VARIABLE ALÉATOIRE ET LOI BINOMIALE

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1 VARIABLE ALÉATOIRE ET LOI BINOMIALE Première S - Chapitre 9 Table des matières I Variable aléatoire et loi de probabilité 2 I Variable aléatoire I 2 Loi de probabilité I 3 Exemple complet II Espérace, variace et écart-type 3 II Espérace II a II b Liéarité de l espérace II 2 Variace et écart-type II 2 a s II 2 b Deux propriétés de la variace III Loi biomiale 5 III Problématique et présetatio III 2 Épreuve de Beroulli III 3 Schéma de Beroulli III 4 Loi biomiale de paramètres et p III 5 Espérace et variace de la loi biomiale III Propriétés des coefficiets biomiaux N. Peyrat Lycée Sait-Charles / 8

2 Das ce chapitre, et i désiget des etiers aturels. I Variable aléatoire et loi de probabilité I Variable aléatoire Lorsqu à chaque issue d ue expériece aléatoire, o associe u ombre réel, o dit que l o défiit ue variable aléatoire. Remarques : Ue variable aléatoire est gééralemet otée par ue lettre majuscule : X, Y, Z, T, G... Lorsque x, x 2,..., x sot les valeurs prises par ue variable aléatoire X, o ote X = x i l évéemet «X pred la valeur x i» (avec i I 2 Loi de probabilité Lorsqu à chaque valeur x i ( i prise par ue variable aléatoire X, o associe la probabilité de l évéemet X = x i, o dit que l o défiit la loi de probabilité de X. O représete gééralemet cette loi à l aide d u tableau : Valeur x i x x 2... x P (X = x i p p 2... p Remarque importate : O a alors : p i = p + p p = I 3 Exemple complet Éocé : O lace u dé cubique, o pipé, dot les faces sot umérotées,,, 2, 3 et 4. Soit X la variable aléatoire doat le uméro apparu. Détermier la loi de probabilité de X. Correctio : Les valeurs prises par X sot, 2, 3 et 4. Le dé état o pipé, chaque face a la même probabilité d être obteue. 3 faces ayat le chiffre, o a doc P (X = = 3 = 2. De même, P (X = 2 =, P (X = 3 = et P (X = 4 =. La loi de probabilité de X est doc : Valeur x i P (X = x i 2 N. Peyrat Lycée Sait-Charles 2/ 8

3 II Espérace, variace et écart-type Das toute cette partie, o appelle X ue variable aléatoire qui pred les valeurs x, x 2,..., x. II II a Espérace L espérace mathématique de la variable aléatoire X est le ombre réel oté E(X défii par : E(X = p x + p 2 x p x avec pour tout etier i compris etre et, p i = P (X = x i. Remarque : L espérace mathématique peut être iterprétée comme ue valeur moyee das le cas d u grad ombre de répétitios de l expériece aléatoire. Exercice : Faire l exercice 42 page 30 du livre (permet d itroduire la remarque suivate. Remarque importate : Si X est ue variable aléatoire égale à u gai algébrique das ue expériece aléatoire représetat u jeu, alors : Si E(X > 0, alors le jeu est dit favorable au joueur (et défavorable à l orgaisateur. Si E(X < 0, alors le jeu est dit défavorable au joueur (et favorable à l orgaisateur. Si E(X = 0, alors le jeu est dit équitable. II b Liéarité de l espérace Propriété Soiet a et b deux réels et X ue variable aléatoire. Alors : E(aX + b = ae(x + b Si X pred les valeurs x, x 2,..., x, alors ax +b pred les valeurs ax +b, ax 2 +b,..., ax +b et o a : i, X = x i ax + b = ax i + b d où P (ax + b = ax i + b = P (X = x i. Aisi, e posat p i = P (X = x i, o a : E(aX +b = (ax i +bp (ax +b = ax i +b = (ax i +bp i = ax i p i + bp i = a p i x i +b p i. Or p i x i = E(X et p i =. Doc E(aX + b = ae(x + b. N. Peyrat Lycée Sait-Charles 3/ 8

4 II 2 II 2 a Variace et écart-type s La variace de la loi de probabilité de X est le ombre réel positif oté V (X défii par : V (X = p i (x i E(X 2 L écart-type de la loi de probabilité de X est le ombre réel positif oté σ(x défii par : σ(x = V (X II 2 b Deux propriétés de la variace Propriété : Formule de Köig-Huyghes - admise Soit X ue variable aléatoire. Alors : V (X = E(X 2 E(X 2 Propriété 2 Soiet a et b deux réels et X ue variable aléatoire. Alors : V (ax + b = a 2 V (X V (ax + b = p i (ax i + b E(aX + b 2 V (ax + b = p i (ax i + b (ae(x + b 2 V (ax + b = p i (ax i ae(x 2 V (ax + b = p i a 2 (x i E(X 2 V (ax + b = a 2 V (ax + b = a 2 V (X p i (x i E(X 2 N. Peyrat Lycée Sait-Charles 4/ 8

5 III Loi biomiale III Problématique et présetatio O lace vigt fois de suite, das les mêmes coditios, u dé bie équilibré à faces.. Quelle est la probabilité d obteir 20 fois la face sur les 20 lacers? 2. Quelle est la probabilité d obteir 0 fois la face sur les 20 lacers? 3. Quelle est la probabilité d obteir 4 fois la face sur les 20 lacers? Correctio :. Faire ue idée de l arbre podéré complet, bie préciser que toutes les expérieces sot idetiques et idépedates (même probabilité. Soit X la variable aléatoire égale au ombre de fois qu apparait la face sur les 20 lacers. ( 20 U seul chemi doe 20 fois la face : celui du haut. Doc P (X = 20 =. 2. U seul chemi doe 0 fois la face : celui du bas. Doc P (X = 0 = ( O e peut pas détermier (pour le momet! P (X = 4 car il y a u ombre idétermié de chemis das l arbre doat exactemet 4 fois la face. Par exemple : EEEEE...E, EEEEEE...E, EE...EEEE etc E revache, o peut détermier la probabilité de chacu de ces chemis, car ces chemis cotieet autat de braches qui vot vers le haut (4 braches car 4 succès que de braches qui vot vers le ( 4 ( 5 bas ( braches car succès : cette probabilité vaut. ( 4 ( 5 Aisi, P (X = 4 = (Nombre de chemis qui doet exactemet 4 fois la face. Ce ombre de chemis, qui correspod au ombre de combiaisos possibles de 4 succès parmi 20 épreuves, est appelé u coefficiet biomial. Il se détermie (e classe de ère! à l aide de la calculatrice, sauf quelques cas particuliers. O le ote ( La calculatrice doe ( 20 4 = Aisi, P (X = 4 = ( 20 4 ( 4 ( 5 = 4845 ( 4 ( 5 0, Remarques : - Das la pratique, les coefficiets biomiaux se détermiet à la calculatrice. Pour les petites valeurs de, ces ombres peuvet être détermiés directemet à partir d u arbre. - Das la pratique (toujours!, il est plus écessaire de réaliser u arbre pour détermier les différetes probabilités P (X = k pour k allat de 0 à. E effet, o peut reproduire la formule obteue pour X = 4 pour toute autre valeur de X comprise etre 0 et 20 ; détermier aisi P (X = 7 P (X = 7 = (Nombre de chemis qui doet exactemet 7 fois la face P (X = 7 = ( ( 20 7 ( , ( 7 ( 5 3. N. Peyrat Lycée Sait-Charles 5/ 8

6 III 2 Épreuve de Beroulli Lorsque, das ue expériece aléatoire, o s itéresse uiquemet à la réalisatio d u certai évéemet S (appelé «succès» ou à sa o-réalisatio S (appelé «échec», o dit que cette expériece est ue épreuve de Beroulli. Soit X la variable aléatoire preat la valeur e cas de succès et la valeur 0 e cas d échec. O dit alors que X suit ue loi de Beroulli. Exemple : U jeu de dé est tel que le joueur gage lorsque le sort et perd das le cas cotraire. Soit S l évéemet «le sort» ; alors si le dé est pas pipé, P (S = et P (S = = 5. La variable aléatoire qui pred la valeur si le sort et la valeur 0 das les ciq autres cas suit ue loi de Beroulli : x i 2 P (X = x i 5 III 3 Schéma de Beroulli Lorsque l o effectue plusieurs épreuves de Beroulli successives, idetiques et idépedates les ues des autres, o dit qu il s agit d u schéma de Beroulli. Exemple : L expériece cosistat à effectuer 20 fois de suite l épreuve de Beroulli de l exemple précédet est u schéma de Beroulli. III 4 Loi biomiale de paramètres et p O cosidère u schéma de Beroulli costitué par la répétitio de épreuves de Beroulli idetiques et idépedates. Pour chacue d elles, o ote p la probabilité d obteir u succès S. Soit X la variable aléatoire égale au ombre de succès obteus parmi les épreuves. Alors o dit que la loi de probabilité de X est ue loi biomiale de paramètres et p. O le ote : X B( ; p. Propriété Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale de paramètres et p. Alors pour tout etier k compris etre 0 et, o a : ( P (X = k = p k ( p k k N. Peyrat Lycée Sait-Charles / 8

7 L évéemet X = k est associé à l esemble des chemis das l arbre pour lesquels il y a exactemet k succès et doc k échecs. Chacu de ces chemis a ue probabilité égale au produit des probabilités iscrites sur les braches qui costituet ce chemi, c est-à-dire p k ( p k. Or il y a ( k chemis de ce type. D où P (X = k = ( k p k ( p k. Exemple : Ue société spécialisée das l audiece des médias estime que 9,8% des Fraçais vot regarder le premier match de la Frace pour l Euro 20 de Football. Ezo cotacte 20 de ses amis et o estime que le ombre d amis d Ezo est assez grad pour assimiler ce tirage à u tirage avec remise de 20 amis. Soit X la variable aléatoire qui doe parmi ces 20 persoes, le ombre de celles qui vot regarder le premier match de l Euro 20. (O doera des valeurs approchées à 0 près. Justifier que X suit ue loi biomiale dot o précisera les paramètres. 2. Détermier la probabilité qu ue persoe cotactée sur deux va regarder le match. 3. Détermier la probabilité qu au mois 2 persoes sur les 20 vot regarder le match. 4. Détermier, à l aide de la calculatrice, la probabilité qu etre 5 et 5 persoes vot regarder le match. 5. Écrire u algorithme, e lagage aturel, qui revoie la plus petite valeur de k telle que la probabilité P(X k soit supérieure à 0, 99. III 5 Espérace et variace de la loi biomiale Propriété (admise Si X est ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B( ; p, alors : E(X = p et V ar(x = p( p III Propriétés des coefficiets biomiaux Propriété Soiet u etier aturel et k u etier aturel compris etre 0 et k. Alors : ( ( 0 = ( = ( = ( k = k ( ( 0 ( = car il y a qu u seul chemi réalisat 0 succès : celui e comportat que des échecs. = car il y a qu u seul chemi réalisat succès : celui e comportat que des succès. = car il y a chemis réalisat succès. E effet, les -uplets réalisat u seul succès e différet que par la place qu occupe l uique succès das la liste des issues. Il y a choix possibles ( pour placer le succès parmi les épreuves. ( k = k car lorsqu il y a k succès, il y a k échecs. Compter le ombre de chemis meat à k succès reviet doc à compter le ombre de chemis meat à k échecs. Déombrer les faços de placer k échecs parmi épreuves reviet alors à calculer ( k. N. Peyrat Lycée Sait-Charles 7/ 8

8 Propriété 2 : Formule de Pascal Soiet u etier aturel et k u etier aturel compris etre 0 et. Alors : ( ( ( + + = k k + k + Les chemis comportat k + succès parmi + épreuves de Beroulli sot de deux types : - ceux pour lesquels la derière épreuve (la ( + ième doe u succès. - ceux pour lesquels la derière épreuve doe u échec. - Si la ( + ième épreuve doe u succès, alors pour avoir u total de k + succès, il faut que les épreuves précédetes aiet doé k succès. Il y a doc ( k combiaisos possibles. - Si la ( + ième épreuve doe u échec, alors pour avoir u total de k + succès, il faut que les épreuves précédetes aiet doé k + succès. Il y a doc ( k+ combiaisos possibles. Les esembles de ces deux types de chemis état disjoits, o e déduit doc que ( ( k + ( k+ = + k+. Faire u schéma des deux cas de figure, avec des cases, et la derière case qui est S ou S. Remarque : O retrouve les coefficiets biomiaux et la formule de Pascal das u tableau dit «triagle de Pascal» : / k O retrouve aussi les coefficiets biomiaux das le développemet de (a + b : (a + b 0 = (a + b = a + b (a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b 4 = a 4 + 4a 3 b + a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b 5 = a 5 + 5a 4 b + 0a 3 b 2 + 0a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5. O peut alors cojecturer le développemet de (a + b pour tout etier aturel : ( ( ( ( ( (a + b = a + a b + a 2 b ab + b 0 2 qui peut s écrire aussi : (a + b = k=0 ( k a k b k N. Peyrat Lycée Sait-Charles 8/ 8