1. Loi d'une variable aléatoire réelle discrète

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1 Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes. Loi d'une variable aléatoire réelle discrète. Définition et loi Définitions : Soit (, T, P) un espace probabilisé. Soit X une application de dans IR. Pour tout x IR, on note : (X x) = { / X() x} Si pour tout réel x, (X x) T, on dit que X est une variable aléatoire. Si on peut écrire X() = {xi, }, où I est une partie de IN ou Z, on dit que X est VAR discrète. Définition : Soit X une V.A.R.D. On appelle loi de probabilité de X la donnée de X() et de P(X = xi), pour tout xi X(). _ la famille (X = xi) est un système complet d'événements de. En particulier, on a donc : P(X = xi) =. _ Si X et Y sont des V.A.R. discrètes et IR, alors X, X + Y, max(x,y), min(x, Y), XY sont des V.A.R. discrètes. _ pour trouver la loi d'une VARD X : _ identifier la définition de X : "X est le nombre de " _ déterminer X() _ pour x X(), déterminer (X = x) puis P(X = x). Ex : Pièce truquée Proba(Pile) = p p ]0;[. q = p. On lance la pièce, puis on la relance la pièce jusqu'à obtenir un résultat différent du premier. On note X le nombre de lancers nécessaires en tout. Loi de X? X() = {, 3, }. (X = k) = (P Pk- Fk) (F Fk- Pk) P(X = k) = p k- q + q k- p. Propriété : Soit I une partie de IN. Soit (xi) une famille de réels distincts et soit (pi) une famille de réels. Alors il existe une variable aléatoire X telle que X() = {xi, } et,, pi 0 P(X = xi) = pi si et seulement si pi = Exemple : Soit (pn)n IN la suite définie par : pn = n+. Montrer que la suite (pn)n IN définit une loi de probabilité ( il existe une variable aléatoire X telle que X() = IN et n IN, P(X = n) = n+. ECE : Année 08-09

2 n IN, pn = n IN pn = n IN n+ 0. n - < < donc la série converge et pn = n=0 = =. Donc (pn)n IN définit une loi de probabilité.. Fonction de répartition Définition : Soit X une VA.R. IR [0,] On appelle fonction de répartition de X l'application : FX x P(X x) Propriété : Soit X une V.A.R. et FX sa fonction de répartition. ) (a,b) IR avec a b, P(a < X b) = FX(b) FX(a) ) FX est croissante sur IR 3) lim FX(x) = 0, lim FX(x) = x x + 4) FX est continue à droite en tout point de IR..3 Fonction de répartition d'une VAR discrète + Dans le cas d'une variable aléatoire à valeurs dans IN, on étudie plutôt P(X k), avec k IN, (ou P(X > k), P(X < k), P(X k). Méthode : Dans certaines situations, il est plus simple de chercher la fonction de répartition que la loi : _ (X k) : utile lorsque X est définie comme un maximum ((X k) = "tous sont k") _ (X k) : utile lorsque X est définie comme un minimum. ((X k) = "tous sont k") _ (X > k) : utile lorsque X est définie comme la ère fois que ((X > k) = "les k ers sont des échecs") Remarque : Si X est à valeurs dans IN, * k IN, P(X < k) = P(X k ) P(X > k) = P(X k + ) Exemples : ) Pour retrouver la loi précédente : k, (X > k) = "les k premiers lancers donnent le même résultat" P(X > k) = P(P P Q Q) = p k + q k ECE : Année 08-09

3 ) On lance deux fois un dé. Soit X le plus grand numéro obtenu. card() = 6 = 36. k {0,, 6}, P(X k) = P("les deux numéros sont inférieurs à k") = P("les deux numéros sont entre et k") = k 36. Propriété : Soit X une V.A.R.D. à valeurs entières (positives). Alors : ) k IN, P(X k) = P(X = i) k i=0 + P(X k) = P(X = i) i=k k- P(X < k) = P(X = i) i=0 + P(X > k) = P(X = i) i=k+ ) k IN, P(X = k) = P(X k) P(X k ) P(X = k) = P(X < k + ) P(X < k) P(X = k) = P(X k) P(X k + ) P(X = k) = P(X > k ) P(X > k) (faire un schéma) Ces formules permettent de trouver la fonction de répartition lorsqu'on a la loi, ou inversement. Elles sont inutiles si on n'a aucune de deux Ex : Suite du deuxième exemple : Donc k {,, 6}, P(X= k) = P(X k) P(X k ) = k (k ) = k (k k +) = k 36.4 Espérance d'une VARD Définition : Soit X une VARD telle que X( ) = {xi, } Si la somme est finie ou si la série xip(x = xi) est absolument convergente, on dit que X admet une espérance. Dans ce cas, on appelle espérance de X, le réel E(X) = xip(x = xi) _ si X() IN, la somme devient i P(X = i), i P(X = i) 0. Donc ip(x = i) est absolument convergente ssi si elle est convergente. _ E(X) représente la "valeur moyenne de X". Attention à la cohérence du résultat (entre min et max) _ soit X et Y deux variables aléatoires si Y X (, Y() X()) alors E(Y) E(X). En particulier, si X 0, E(X) 0 ECE : Année 08-09

4 Ex : Soit X une VARD telle que X() = IN et k IN, P(X = k) = kp(x = k) = k IN k IN k k+ = 4 k IN k k- k+. - < < donc la série converge absolument. Donc X admet une espérance et E(X) = 4 = Théorème de transfert : Soit X une VARD, (X() = {xi, } et g une fonction de X() dans IR. La VARD Y = g(x) admet une espérance si et seulement si la série g(xi)p(x = xi) converge absolument. i Dans ce cas, E(Y) = E(g(X)) = g(xi)p(x = xi) Remarque : si X(), la formule devient E(g(X)) = g(i)p(x = i) Ex : Soit X telle que X() = IN* et k, P(X = k) = k. Soit Y = 3 X. E(Y)? 3 i P(X = i) = 3 i i = i i i 6 i - < < donc la série converge absolument. 6 + Donc Y admet une espérance et E(Y) = i + i'+ = (i' = i ) = 6 = 6 6 i= i'=0 = 5. 6 Propriété : Linéarité de l'espérance Soit X une VARD et a et b deux réels. Si X admet une espérance, alorst Y = ax + b admet une espérance et E(Y) = E(aX + b) = ae(x) + b.5 Moments / Variance Définition Soit X une VARD Soit r IN *. Si X r admet une espérance, on dit que X admet un moment d'ordre r. Dans ce cas, on appelle moment d'ordre r le réel E(X r ) Remarque : Si X( ) = {xi, }, d'après le théorème de transfert, on sait que si elle existe, E(X r ) = xi r P(X = xi). ( i r P(X = i) si à valeurs entières) Définition Soit X une VARD. Si E((X E(X)) ) existe, on dit que X admet une variance, et dans ce cas on appelle variance de X le nombre réel V(X) = E((X E(X)) ) et écart-type de X le nombre (X) = V(X) ECE : Année 08-09

5 _ (X E(X)) 0 donc V(X) 0. La définition de (X) a donc un sens _ la variance et l'écart-type mesurent la dispersion d'une variable aléaoire. Propriété (Formule de Huygens) : Soit X une V.A.R.D. X admet une variance si et seulement si X admet une espérance. Dans ce cas, V(X) = E(X ) E(X) Ex : suite de l'exemple précédent : X() = IN P(X = k) = k P(X = k) = k k+ = k IN k IN k IN ( ) k+ E(X) = k(k ) + k k+ = 8 k(k ) k IN k- + 4 k k IN - < < donc les séries convergent absolument. Donc X admet une espérance et E(X ) = = = 3. Donc X admet une variance et V(X) = E(X ) E(X) = 3 =. k- Propriété : Soit X une V.A.R.D qui admet une variance V(X). Soit Y = ax + b. Alors Y admet une variance et V(Y) = a V(X) et (Y) = a (X) ECE : Année 08-09

6 . Lois usuelles Nom Situation X() P(X = k) E(X) V(X) Certaine C(a) résultat presque {a} P(X = a) = a 0 certain Uniforme U([[n]]) Equiprobabilité {,, n} n n + n Bernoulli B(p) p p( p) Binomiale B(n,p) Poisson P() Géométrique G(p) succès de probabilité p X = si succès X = 0 sinon n épreuves de Bernoulli indépendantes X = nombre de succès épreuves de Bernoulli indépendantes X = premier succès {0,} P(X= 0) = p P(X = ) = p {0,, n} IN ( k n ) pk ( np np( p) n k p) k k! e - IN * ( p) k p p p p _ n'oubliez pas l'indépendance pour la loi binomiale et la loi géométrique _ si X G(p) : X = "rang du er succès". Alors X = "nombre d'échecs avant le premier succès" _ si X G(p) : (X > k) = "les k premiers essais sont des échecs" donc P(X > k) = ( p) k. Remarque : On se ramène parfois à une loi usuelle par un "décalage" des valeurs. (commencer toujours par chercher l'ensemble des valeurs prises) Ex : Soit X une variable aléatoire telle que X() = {, 3, 4, } et k, P(X = k) = k-. On pose Y = X. Loi de Y? X() = {, 3, 4, } donc Y() = {,, } = IN* k, P(Y = k) = P(X = k) = P(X = k + ) = k+- = k = k- = k- Donc Y G(/). ECE : Année 08-09