M Matériaux M-2 Traction-compression. Cours M-2. Résistance des matériaux. Traction - compression

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1 Cours Cours M-2 Résistance des matériaux TSI1 TSI2 Période X Traction - compression Cycle 1 : Matériaux Durée : 4 semaines X X ANALYSER Identifier les contraintes, les déformations et les sollicitations d un solide Les sollicitations en traction compression sont souvent rencontrées : Structure en treillis Rivet pop (pose) Câble, chaine, courroie Bielle Cette sollicitation est notamment utilisée sur des bancs de traction-compression pour quantifier la résistance élastique R e des matériaux. Traction mors en translation mors fixe Traction Figure 2 : Contraintes dans une éprouvette prismatique (produit en feuilles) Compression Figure 3 : machines d'essai en traction-compression Figure 1 : Contraintes dans une éprouvette cylindrique (produit en barres) Les éprouvettes possèdent pour les essais de traction des dimensions plus grandes aux extrémités afin de limiter les contraintes et les déformations dues aux actions des mors. La méthode suivante de résolution d'un problème de traction-compression doit être connue en autonomie (le questionnement ne détaillera pas les étapes à réaliser). Lycée Jules Ferry Page 1 sur 7 TSI2

2 Méthode de résolution d'un problème de traction compression MODELISER Choisir un modèle de solide (indéformable ou déformable) en fonction de l'objectif visé 1) On schématise le problème de résistance de matériau (articulation, appui-simple, encastrement). MODELISER Déterminer le torseur de cohésion dans un solide Associer un modèle de contraintes à l état de sollicitation 2) On détermine les actions de liaison par application du PFS à la poutre. Cette étape est inutile pour une poutre uniquement encastrée d'un côté : A B si on isole la partie sans encastrement à l'étape suivante. 3) Déterminer le torseur de cohésion par application du PFS à chaque tronçon de y x G B la poutre (un dessin du tronçon isolé est fortement recommandé) : o identifier la nature de la sollicitation L traction compression pour une poutre de direction : { ( é )} = avec N>0 en traction et N<0 en compression (où N est la composante, normale à la section droite, de la résultante de cohésion). o tracer l'évolution des composantes du torseur de cohésion en fonction de la N position x du centre G de la section afin de déterminer la section la plus sollicitée. F RESOUDRE Déterminer la répartition des contraintes dans une section droite Vérifier la résistance mécanique d une poutre droite Déterminer le coefficient de sécurité par rapport aux exigences du cahier des charges fonctionnel 4) Résoudre le problème de résistance ou de déformation en traction-compression : Problème de résistance en traction compression - Contrainte (hypothèses : modèle poutre, Barrée Saint Venant, Bernoulli, petit déplacement): σ= avec (en Pa ou MPa) : la contrainte normale à la section droite N (en N) : la composante normale de la résultante de cohésion S (en m²) : l'aire initiale de la section droite - Critère de résistance : "#$ & '( = ) * avec Lycée Jules Ferry Page 2 sur 7 TSI2,,, +.- (en Pa ou MPa) : la contrainte normale à la section droite Rpe (en MPa) : résistance pratique élastique Re (en MPa) : limite élastique du matériau k : coefficient de concentration de contrainte (irrégularité axiale ; k=1 par défaut) s : coefficient de sécurité Problème de déformation en traction compression : - Déformée (hypothèses : modèle poutre, Barré Saint Venant, Bernoulli et petit déplacement) :.= /0 0 avec 1 : allongement unitaire ΔL (en m) : allongement axial de la poutre L (en m) : longueur initiale de la poutre - Loi de Hooke (hypothèse : matériau élastique) : 4=5.6 avec (en Pa ou MPa) : la contrainte normale à la section droite E (en Pa ou MPa) : le module d'young du matériau (raideur) 1 : allongement unitaire x x

3 Annexe 1 : Déformations en traction-compression Les déformations sont mesurées à l'aide d'un extensomètre (mesure optique, par capteur de position ou par jauge de déformation). Hypothèse de Barré Saint-Venant (en observant les déformations loin des mors) : on constate que les déformations sont uniformes sur la longueur de la poutre. Hypothèses de Navier-Bernoulli (les sections droites avant déformation restent droites après déformation) : vérifiées ici par l'observation des déplacements uniformes des contours de sections droites. On observe un raccourcissement de la poutre en compression et un allongement en traction. Δh/2 N h N x Figure 4 : Déformation d'une poutre en traction L ΔL/2 Allongement unitaire La variation de longueur de la poutre sera notée ΔL ou Δx (algébrique). Cette variation de longueur ΔL=L-Lo et rendue indépendante de la longueur de la poutre Lo par division. On obtient alors l'allongement unitaire 1 = ;< < 1 ;< <= : allongement conventionnelle pour les petites déformations des métaux notamment. Coefficient de poisson Le coefficient de poisson ν caractérise la tendance qu'a le matériau à varier de section lorsque la poutre s'allonge ν = h Δh (voir Figure 4) ΔL/L où ε F est l'allongement transversal à la section dans une direction ε est l'allongement normal à la section Validation et conséquence des hypothèses Elasticité du matériau : Lors d'un essai de traction-compression, la machine permet de mesurer la composante normale N appliquée à la poutre ainsi que sa variation de longueur ΔL. On montre que lorsque les contraintes σ dans le matériau sont inférieures à la limite élastique R e, le matériau a un comportement élastique : - déformation nulle en absence d'effort, - proportionnalité entre l'effort appliqué et la déformation (voir Figure 5). Condition de validité de l'hypothèse S So pour une éprouvette cylindrique : S=π.D 2 = π.(do- ΔD) 2 = π.(do - ν.do. ΔL/(Lo+ΔL)) 2 Do/Lo : petit par définition des poutres (petites dimensions transversales devant la longueur), ΔL /L : petit en général car les déformations élastiques pour les métaux sont de l'ordre de 0,2%. En approximation du 1 er ordre on obtient S= π.do 2-2ν Do 2. ΔL /L =So.(1-2.ν.ε) 0< ν<0,5, l'hypothèse S So est donc vérifiée pour ε<<1 (soit ε<10%). Lycée Jules Ferry Page 3 sur 7 TSI2

4 Annexe 2 : Contraintes en traction-compression L'élasticité du matériau et le respect des hypothèses de Navier-Bernoulli conduisent (dans les conditions de Barré Saint-Venant) à établir que la contrainte est uniforme sur la section d'une poutre soumise à de la traction (ou compression) simple. Par définition de la contrainte : R é = C(M).ds Le torseur de cohésion ne comporte qu'une composante non nulle N: N.x= σ(m).x.ds Enfin la contrainte étant uniforme on obtient : N.x=O dsp.σ.x Par identification des composantes : N=σ.S En traction-compression : σ= ( :contrainte conventionnelle, valide pour les petites déformations) R avec σ : contrainte normale dans la section droite (en MPa) N : composante normale de la résultante du torseur de cohésion dans la section (en N) S : aire de la section droite (en mm 2 ) / So : aire avant déformation. Cette relation peut éventuellement être algébrique. On obtiendra alors : une contrainte σ<0 en compression une contrainte σ>0 en traction. Lycée Jules Ferry Page 4 sur 7 TSI2

5 Annexe 3 : Loi de comportement (essai de traction-compression) La loi de comportement qui traduit l'élasticité du matériau est la loi de Hooke. Loi de Hooke : σ=e.ε avec σ : contrainte normale dans la section droite (en MPa), E : module d'young en MPa (pour l'acier E= MPa), ε : déformation unitaire de la section. Les essais sur les matériaux sont généralement effectués jusqu'à la rupture : Charge unitaire R=N/So Re Matériau fragile Compression : éventuellement sans limite pour un matériau ductile. RDM : domaine élastique Re Rm Striction : la diminution de la section entraîne la diminution de l'effort. Matériau ductile déformation plastique Re Rupture de l'éprouvette déformation élastique Rp 0,2% : effort à 0,2% d'allongement Matériau ductile sans démarcation entre le domaine élastique et plastique Effort nul / Déformation nulle ε = 0,2% Figure 5 : Allures des courbes de traction ε Eprouvette non sollicitée Eprouvette en traction Eprouvette avec striction Eprouvette à la rupture Rupture ductile avec striction Rupture fragile sans striction Figure 6 : Les 4 phases d'un essai de traction sur matériau ductile (allongements amplifiés). Ces mesures sont normalisées : formes des éprouvettes, température, vitesse d'application de la charge). Lycée Jules Ferry Page 5 sur 7 TSI2

6 Annexe 4 : Caractéristiques des matériaux Les mesures de N et ΔL et celles de la section S (S : en mm 2, souvent S So ; à ne pas confondre avec le coefficient de sécurité s) permettent d'obtenir : - le module d'young E (en MPa) de la zone élastique (pente de la droite σ(ε) ; raideur du matériau) - la résistance élastique noté σ e (en MPa) : σ e R e (voire R p0,2%), - le coefficient de poisson ν Valeurs usuelles pour l'acier : E= MPa σ e= centaines de MPa ν=0,3 D'autres valeurs sont données dans les graphiques suivant (selon les familles de matériaux). Source CesEdupack Figure 7 : Graphe des limites élastiques en fonction des allongements relatifs Lycée Jules Ferry Page 6 sur 7 TSI2

7 Source CesEdupack Figure 8 : Modules d'élasticité (module d'young en fonction du module de poisson) Déformation élastique suite à une déformation plastique. Charge unitaire R=N/So (MPa) Rm Matériau ductile ε Figure 9 : retour élastique suite une déformation plastique. Nouvelle caractéristique "élastique" après que la poutre ait subie une déformation plastique sous la charge Rm (on notera au niveau des abscisses la déformation permanente en absence d'effort) Suite à une déformation plastique, le matériau reste en général élastique et sa limite élastique est augmentée à la valeur qui avait été atteinte lors de la déformation plastique. Ce phénomène qui s'appelle l'écrouissage est un des avantages de la réalisation de pièces par forgeage. La résistance maximum R m (en MPa) impose une limite à cet écrouissage qui n'est pas du domaine de la résistance des matériaux par le modèle poutre. Références : "Mécanique 2" de P. Agati Edition Dunod "La rupture des aciers" de G.Sanz / Edition IRSID OTUA Base de données des matériaux : CesEdupack Lycée Jules Ferry Page 7 sur 7 TSI2