x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

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1 74 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M lère compositio 1/6 PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (Sujet commu ENS : ULM et LYON) DURÉE : 6 heures Lc cadidat peut traiter l ue quelcoque des parties e admettalit les rdsultzits précédcxiiicrit Cocés das les autres parties. O attire l attetio du cadidat sur le fait qu ue fois admis les résultats du V, la derière partie du problkme cst idkpedate des partics prdcédetes. Les symboles, m. (respectivemet 5) désigerot des ombres ctiers (respectivemet, uxi ombre réel) 21. Le symbole p désigera toujours u ombre premier. O désige par vp() la plus grade puissace, évetuellemet ulle, de p divisat TZ, L etier [z] désige la partie etière de x. Si f,g sot deux foctios umériques défiies au voisiage de +oo, l écriture f = O(g) sigifie que f est produit de g par ue foctio borée au voisiage de +w. De même, si u, et v sot deux suites à valeurs complexes, l écriture u, = O(V) sigifie que la suite u est produit de la suite v par ue suite borée au voisiage de +oo. La otatio Ud désige la somme des Ud étedue aux etiers d 2 1 divisat. dl O désige par I le logarithme épérie. O se doe u etier o ul N fixé ue fois pour toutes. O ote G(N) le groupe multiplicatif des élémets iversibles de l aeau ~ /Nz. Prélimiaire 1. Soit C u, C v, deux séries de ombres complexes. Soit U,, = C uk la somme 2l 2 1 k= 1 partielle. Vérifier l égalité - 1 k= 1 k= 1 1 Soit G u groupe commutatif fii dot o otera la loi multiplicutivcmet. O dit qu u homomorphisme de G das le groupe multiplicatif C est u caractère de G. Soiet x et x deux caractères de G. Le produit xx est défii par la formule :

2 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M lère compositio 2/6 75 O ote 1 le caractère costat de valeur 1. L esemble G des caracthres de G est aisi mui d ue loi de groupc d i.lémet eutrc O rioteg le groupe des caracths de G. O ote efi x le caractbre qui b g E G associe le cojugué x(y) dc ~(9). Pour tout z E G, cosidcros l applicatio 6, 6 : 0. O veut d abord prouver que le morphisme {: z, $) (*> est ijectif. 1. Soit z E G, x # 1 et gr(x) le sous-groupe de G egedré par x. Motrer qu il existe 1111 caractère x de gr( x) tel que x(z) # Soit F la famille des sous-groupes H de G coteat gr(z) tcls cluc y se prologc (xi u caractère de H. Motrer que F admet u élémet G de cardial maximal. Supposos G # G. Soit y u Clémet de G qui est pas das G. E cosidérat le plus petit 2 1 tel que y E G, etier dot o justifiera l existece, motrer que l o peut prologer x au groupe egedré par y et G. Coclure. 3. Soit x E G et x E G. Comparer les so~mes E choisissat x coveablemet, motrer les formules : ~(z) = card G si z = 1. Motrer de même les formules : z G ZEC ~ ( x = ) card G si x = E cosidkrat - la somme C ~(z), motrer card G = card G. Que dire dors (lu x*= morphisme G décrit e (*)?

3 76 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M l&re compositio 3/6 011 rappelle que le symhole p dtsigc ti ombre premier. O rappelle la formule I! = l - + O(l ). 1. Motrer l dgalité m II E déduire l iégalité < vp(.!) P P P(P - 1) 2. E cosidérat l expressio (1 + l)2r a+1, - < 4. E tlkduirc la majjortic.) motrer C rm+, ri p - m+l<pl2m+l 3. Motrer par récurrece sur l iégalité fl p 5 4. Pl 4. E cosidérat I (!), motrer l estimatio < 4m. III Par caractère, o etedra toujours caractère de G(1V). O dira qu u caractère x # 1 est o trivial. O otera ecore x la foctio de N das 43 défiie par x(m) = ~ (t mod N) si m et N sot premiers etre eux et x(m) = O sio. O a la formulc ab) =,y(a)x( b) pour tout a, b. 1. Soit x u caractère o trivial. Motrer que la série C 1) Y( 12) (respectivemeut ll>l xl c +) coverge. 011 ote L(X) (respectivemet LI (x>) sa soliile. rl Das cette partie x est désormais u caractère o trivial à valeurs réelles. 2. Soit f() = C ~ (d). Motrer f(m) = f()f(m) si pgcd(,7rt) = 1. E dixluiro l(*s mioratios dl y. Pour x 2 O, soit g(x) = C <r f() 2 1 si est u carré et f() 2 O siou. Quel est le comportemet dc 9 a voisiage tlc +CO? 3. Motrer très soigeusemet l dgalitd : Grzice à ue aalyse miutieuse dcs deux membres de la soim(!, ioiit.rc*r qi~c la diffc.rc*llw y(z) - 2 fil(k) est borri6e.

4 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M lère compositio 4/6 77 IV 1. O ote p() l etier défii par : { O si est divisible par le carré d u rioibrc* prcrier d) = (-l)r si r est le ombre de facteurs premiers disticts dc, o divisible par le carré d u ~io~iil)rc 1)rcricr Motrer que pour tout # 1, o a 1 Cgalité C p(d) = O. dl 2. Soit H ue foctio o ulle de N das C telle que V, r E hl, H(tiz) = H(r~)H(r). Calculer H( 1).. O se doe égalemet deux foctios F et G de [l, +m[ das 43 telles que : Motrer la formule : 3. Soit A la foctio de [l, +CO[ das R qui à p associe I p et qui est ulle sur tous les réels qui e sot pas des etiers de la forme p. Motrer la formule : Soit x u caractère o trivial (pas forcémet à valeurs réelles). 1. Posos G(z) = $x(). Motrer que G(x) - sl(x) est bord. C l<<r X est bor@. sr X 2. Supposos L(x) = O. Posos Gl(z) = C ($l z)x(). 1 L<t Motrer que G1(x) = -zll(x) + O(l (x)). Commc e 1, dkduirc c p : la foctio. Supposos L(x) # O. E utilisat le IV, déduire que C V

5 78 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M lère compositio 5/6 3. E utilisat le IV, motrer 4. Déduire de ce qui précède : 5.Soit T le ombre de caractères o triviaux tels l expressio : c c X(P)b XEG(N) P 9 P motrer l estimatio card G(N). c - Pl+ pii mod N l P - r que L(x) = O. - (1 - T)l x + O( 1). E cosidérat E déduire T Motrer que T est ul (o distiguera le cas OÙ x est à valeurs réelles ou complexes). 7. Soit 1 u etier premier à N. Motrer e cosidérat la somme que {p premier/ p z 2 mod } est ifii. VI Soit P u polyôme o ul à coefficiets etiers. O ote c(p) lct plus grad diviseur commu des coefficiets de P. 1. Motrer quc si P et Q sot deux polyômes o uls B cocffivicuts wlticrs, alws (O pourra se rameer B c(p) = c(q) = 1 et cosidérer alors u dvciitrlol cliviscur prcmicr dc c( PQ)).

6 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M lère compositio 6/ Soit, < iule racic -ihc dc l uité. Soit Pc le polyiict A coc4ikicwts <lais Q iiiiitiiiw de plus petit degré qui amile (. Motrer que Pc cst à cocfficicts cticrs. O ote Z[C] (resp. Q[(]) le sous-aeau de 43 egedrd par Z et, c (rcsl). par Q et c). Soit d le degr6 de Pc. 3. Motrer que 13 = (1, C,..., Cd- ) est ue base du Q-cspacc vcct,oricl Q[C]. 4. Soit P u polyôme i coefficiets etiers. Motrer que pour tout orbre premier p, il existc 1111 polyôme G, à coefficiets etiers tel que Pour tout z E ï![cl, o défiit M(z) comme la matrice daris 0 de 1 apl)licatioii Q-liéaire 5. E utilisat V.7 ct e cosidérat des matrices M(z) pour z E Q[( ] coveables, motrer que si I est u etier premier à, o a 6. Motrer que la réuio des esembles pour d 2 1 divisat est égale à P&) = o. k Ed = {- pgcd(k,d) = 1 et 15 k 5 d } d {:-, /c = 1,..., } et que les eserblcs Ed, l etier d parcourat les diviseurs 2 1 dc ri, sot deux à deux disjoits. lc polyômc Motrer l idetité E dbduire que + cst A cocfficicrits cticrs pour tout YL. 7. Qu e déduire sur Pc? dl