PSI / TD G1 - Correction. 9 Tracé de réponses de ltres. H(t) H(t) H(t) H(t) t 5) H(t)

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1 PSI - 03/04 TD G - Correcion 9 Tracé de réponses de lres 3 4 5

2 TD G - Correcion 5 Éude d'un lre acif. Noons pour commencer que ce monage conien une réroacion négaive. On supposera donc que l'ao foncionne en régime linéaire : V s = µ ε. En supposan que l'ao es idéal (µ, on a alors ε = 0 soi V = V +, avec ici V + = 0 (l'enrée non-inverseuse E + es reliée à la masse. En rès basse fréquence, le condensaeur es équivalen à un inerrupeur ouver, le monage es alors équivalen au circui représené ci-conre. Le héorème de Millman (loi des n uds en erme de poeniels, appliqué au noeud N, s'écri donc : E V E Il vien V = + S I + = E + S d'où S = E, soi : + S V I = 0 H = S E = (avec I = 0 pour un AO idéal avec V = 0 Le gain en basse fréquence es égal à : G = H ω 0 : ce lre laisse passer les basses fréquences. En rès haue fréquence, le condensaeur es équivalen à un inerrupeur fermé, d'où le circui équivalen ciconre. Tou se passe alors comme si un l reliai alors la sorie de l'ao e son enrée E d'où S = V = 0 H = S E = 0 : le gain en haue fréquence es nul : G = H ω 0. Ce lre aénue les haues fréquences. On dédui de cee éude asympoique que Le lre éudié es probablemen un lre passe-bas. Soi A le n ud commun aux branches, e C. Le héorème de Millman appliqué à l'enrée E de l'ao s'écri : V A + S I V A V + S V I = 0 soi V = avec I = 0 (AO idéal, V = 0 e = Il vien + /j C ω + /j C ω = + jcω. S = V A = + jcω V A

3 PSI - 03/04 3 An de déerminer V A, on applique le héorème de Millman en A : soi V A = E V A + V V A + 0 V A /jcω = 0 E + V + jcω 0 + = E + V + jcω + jcω = E ( + jcω On a donc nalemen S = + jcω V E A = + jcω ( + jcω d'où H = S E = ( + jx avec x = ω ω 0 e ω 0 = C. Noe : on a bien une expression homogène (x es sans dimension e on rerouve bien les valeurs limies obenues précédemmen : G = H e G = H 0 x 0 x 3. Le module de cee foncion de ransfer es G = H = + jx + jx = = + x + x + x On a donc : pour x ( ω C : G d'où G db = 0 log (G 0 la courbe G db ( = f (log (x présene donc en x une asympoe horizonale à 0 db. pour x ω : G C x d'où G db = 0 log (G 40 log (x d'où une asympoe ( oblique de pene -40 db/décade e passan par l'origine. pour x = ω = : G C d'où G db = 0 log (G 6, 0 db. On en dédui la courbe suivane : 4. La pulsaion de coupure ω c es elle que G (ω c = G max soi, en posan x c = Cω c e avec G max = ici : G (x c = + x c Il vien x c = ( 0, 64 soi ωc = C = < ω 0 pour ce lre d'ordre.

4 4 TD G - Correcion 6 Amplicaeur opéraionnel non idéal

5 PSI - 03/04 5 Calcul de réponses indicielles. Le calcul de la foncion de ransfer en uilisan un pon diviseur de ension condui à : H(ω = s e = ( + j Cω + + j Cω On en dédui l'équaion diérenielle qui régi le sysème : ( + s( + C ds d = e( + C de d Pour calculer la réponse indicielle, on résou cee équaion pour > 0, pour lequel e( = E. On se ramène donc à : ds d + + C s( = E C En posan τ = C +, la résoluion condui à : s( = τe C + A e τ On peu alors uiliser la coninuié de la ension aux bornes du condensaeur. Or, celui-ci es iniialemen déchargé de sore que u c ( = 0 + = 0, ce qui revien à remplacer le condensaeur par un l, e donc s( = 0 + = e( = 0 + = E. En uilisan cee condiion iniiale, on obien : s( = E + Eτ ( e τ C Ce lre es d'ordre d'après la foncion de ransfer. De plus, la sorie es disconinue en = 0, le lre a donc un caracère passe-hau. Par ailleurs, la valeur nale es non nulle, le lre a donc égalemen un caracère passe-bas. Ce lre se rapproche pluô d'un lre déphaseur que d'un simple passe-bas ou passe-hau.. En uilisan un pon diviseur de ension ou en appliquan le héorème de Millman au niveau de la sorie, on obien la foncion de ransfer qui perme d'obenir : Pour > 0, on résou : s( + ( + C ds d = C de d ds d + s( ( + C = 0 En posan τ = ( + C, cee équaion s'inègre en : s( = A e τ Or, à = 0, par coninuié de la ension aux bornes du condensaeur (iniialemen non chargé, u c ( = 0 + = 0. On peu donc remplacer le condensaeur par un l, pour obenir à l'aide d'un pon diviseur de ension : u s ( = 0 + = E, sachan que u e ( = 0 + = E. + On a donc nalemen : s( = E + e τ Ce lre es d'ordre. La sorie es disconinue en = 0, e le lre a donc un caracère passe-hau. De plus, la sorie end vers 0 lorsque end vers l'inni, donc il ne possède pas de caracère passe-bas. C'es donc un lre passe-hau, ce qu'on vérie aisémen en faisan une éude asympoique du lre.. On noe que cee foncion de ransfer peu se mere sous la forme : H(p = K + τp + τ p On consae ainsi que ce lre n'es ni un lre passe-hau, ni un lre passe-bas.

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