2 PC. Figure 1 Tracé de quelques solutions de l équation différentielle tx 2x = t.

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1 PC Équaions différenielles linéaires 1 - Chapire 11 Équaions différenielles linéaires En première année on éé éudiées les équaions différenielles linéaires du premier ordre : y + a)y = b) où a e b son deu fonsions coninues définies sur un inervalle I de R e à valeurs dans R ou C. Dans ce cas, l inconnue y es une foncion de classe C 1 à valeurs elle aussi dans R ou C. Cee année nous allons généraliser cee approche en éudian les sysèmes différeniels de la forme : X = A)X + B) où A e B son des foncions vecorielles. Plus précisémen, si I es un inervalle de R, A : I M n K) e B : I M n,1 K) seron supposées coninues, e l inconnue X : I M n,1 K) une foncion de classe C 1. Dans ce chapire nous supposerons imporés les modules e foncion suivans : impor numpy as np impor maplolib.pyplo as pl from scipy.opimize impor odein 1. Équaions différenielles linéaires du premier ordre 1.1 Équaions linéaires scalaires Définiion. Soi I un inervalle de R, e a,b,c : I K rois foncions coninues à valeurs réelles ou complees. On appelle équaion différenielle linéaire du premier ordre oue équaion différenielle de la forme : a) + b) = c). Remarque. Lorsque a ne s annule pas sur I, cee équaion différenielle peu êre mise sous forme résolue : = u) + v) en posan u = b/a e v = c/a. Quie à resreindre I, on supposera désormais cee condiion saisfaie. On appelle équaion homogène associée à l équaion différenielle = u) + v) l équaion : Résoluion de l équaion homogène = u) Considérons une primiive U de la foncion u sur l inervalle I 1. Alors es soluion sur I de l équaion homogène si e seulemen si : I, ) u)) = 0 ) U )) ) e U) = 0 d d )e U) ) = 0. Les soluions de l équaion homogène son donc les applicaions définies sur I par : λe U) ; elles formen une droie vecorielle. Résoluion de l équaion générale es soluion de l équaion générale si e seulemen si : I, ) u)) = v) ) U )) ) e U) = v)e U) d d )e U) ) = v)e U). E) H) 1. Faue d en connaîre une primiive, il es possible de définir U en fian 0 I e en posan U : us)ds. 0

2 2 PC Considérons une primiive V de l applicaion v)e U) sur l inervalle I 2. Les soluions de l équaion générale son alors les applicaions définies sur I par : V) + λ ) e U). Proposiion 1.1 Si 0 es une soluion pariculière de l équaion générale, les aures soluions s obiennen en lui ajouan une soluion quelconque de l équaion homogène associée. Remarque. La méhode die de «variaion de la consane» consise, une fois résolue l équaion homogène, à effecuer le changemen de foncion inconnue = y e U). On a = y + u)y ) e U) = y e U) +u), e l équaion différenielle devien : = u) + v) y = v)e U) y = V + C e. Eemple. Résoluion de 2 =. On résou cee équaion sous forme résolue en se plaçan sur l un des deu inervalles ],0[ ou ]0,+ [. On peu alors écrire = Nous avons donc u) = 2 e v) = 1. On choisi pour primiive de u) la foncion U) = ln 2 ) ; les soluions de l équaion homogène associée s écriven donc : λ 2, λ R. On pose alors = 2 y ; alors 2 = y = 1 2 y = 1 + λ, λ R e donc = + λ2. Nous avons donc deu ypes de soluions qui diffèren par leur inervalle de définiion : ) ) ]0,+ [ R ],0[ R φ λ : + λ 2 e ψ µ : + µ 2. T1 = np.linspace 3, 0, 128) T2 = np.linspace0, 3, 128) for k in 2, 1,.5, 0,.5, 1, 2): X1 = [ + k * **2 for in T1] pl.plot1, X1, 'b') X2 = [ + k * **2 for in T2] pl.plot2, X2, 'r') pl.grid) pl.show) Figure 1 Tracé de quelques soluions de l équaion différenielle 2 =. On peu observer sur la figure 1 que ces soluions permeen de consruire des soluions de l équaion iniiale 2. On peu évenuellemen définir V comme sui : V : 0 vs)e Us) ds.

3 Équaions différenielles linéaires 3 définies sur R ; il s agi des foncions : θ λ,µ : R R + µ 2 si 0 + λ 2 si 0 Eercice 1. Déerminer les soluions sur ],1[ e sur ]1,+ [ de l équaion différenielle 1 ) =. Eise--il des soluions définies sur R? Le problème de Cauchy On appelle problème de Cauchy la donnée d une équaion différenielle linéaire du premier ordre) mise sous forme résolue : = u) + v) e d une condiion iniiale 0 ) = 0. Une soluion au problème de Cauchy es une soluion de l équaion différenielle vérifian cee condiion iniiale. La connaissance des soluions générales d une équaion différenielle linéaire nous perme d énoncer le résula suivan : Théorème 1.2 L équaion différenielle = u) + v) adme en ou poin 0, 0 ) I K une unique soluion au problème de Cauchy. Remarque. Dans l eemple précéden, il y a unicié de la soluion d un problème de Cauchy sur l inervalle ],0[ e sur ]0,+ [ mais pas sur R. Eercice 2. Soien u e v deu foncions coninues e 1-périodiques, e une soluion de l équaion différenielle = u) + v). Monrer que la foncion : + 1) es aussi soluion, e en déduire que la foncion es 1-périodique si e seulemen si 0) = 1). Monrer alors qu il eise en général une unique soluion 1-périodique. Uilisaion de la foncion odein Un problème de Cauchy peu êre résolu numériquemen à l aide de la foncion odein, du module scipy.inegrae. Cee foncion eige rois argumens : = odeinf, 0, ) où : f, ) es la foncion qui décri l équaion différenielle = f,) ; 0 es la condiion iniiale 0 ) = 0 ; es une discréisaion du emps à parir de la dae 0 un ableau [ 0, 0 + h, 0 + 2h,...]). Le résula renvoyé es le ableau des valeurs [ 0 = 0 ), 0 + h), 0 + 2h),...] associé. { = cos5) Par eemple, pour résoudre numériquemen le problème de Cauchy 0) = 1 ci-dessous : on réalise le scrip def f, ): reurn np.cos5*) = np.linspace0, 10, 256) = odeinf, 1, ) pl.plo, ) pl.grid) pl.show)

4 4 PC Sysème d équaions linéaires du premier ordre Définiion. Un sysème d équaions différenielles linéaires du premier ordre es un sysème de la forme : 1 = a 11) 1 + a 12 ) a 1n ) n + b 1 ) 2 = a 21) 1 + a 22 ) a 2n ) n + b 2 ). n = a n1 ) 1 + a n2 ) a nn ) n + b n ) les foncions considérées éan des foncions coninues, définies sur un inervalle I e à valeurs réelles ou complees. Ce sysème se me immédiaemen sous la forme maricielle : X = A)X + B) E) où A : I M n K) e B : I M n,1 K) son des foncions vecorielles coninues. On appelle équaion homogène associée à l équaion E) l équaion différenielle : X = A)X H) On di que l applicaion X : I M n,1 K) es soluion sur I de E) lorsque X es de classe C 1 sur I e vérifie : I, X ) = A)X) + B). Nous admerons le héorème de Cauchy qui affirme que pour ou 0 I e X 0 M n,1 K) il eise une unique soluion définie sur I au problème de Cauchy : { X = A)X + B) X 0 ) = X 0 Proposiion 1.3 Noons S l ensemble des soluions de l équaion X = A)X + B), e S celui des soluions de l équaion homogène X = A)X. Alors S es un K-espace vecoriel de dimension n, e si X par désigne une soluion quelconque de E) alors S = { X par + X X S }. Nous allons mainenan éudier l équaion homogène, avan de voir commen obenir ensuie les soluions de l équaion générale à l aide de la méhode die de «variaion des consanes». 1.3 Éude de l équaion homogène Cas d une marice diagonalisable Commençons par éudier le cas pariculier où la marice A) es consane e diagonalisable. Il eise donc une marice inversible P elle que : P 1 AP = D es diagonale.

5 Équaions différenielles linéaires 5 Dans ce cas, X = AX X = PDP 1 X P 1 X = DP 1 X Y = DY avec Y = P 1 X. y y Posons Y =. d = d 1y 1 e D =... ; le sysème es alors équivalen à :. y n d n y n = d n y n λ 1 e d 1 Il se résou immédiaemen e donne Y) =., puis X) = PY). λ n e d n Noons que si V 1,..., V n ) désignen les veceurs colonnes de P ils consiuen donc une base formée de veceurs propres de A), alors X) = λ 1 e d1 V 1 + λ n e dn V n. Remarque. Lorsque la marice A es rigonalisable, cee même ransformaion condui à un sysème qui se résou en cascade. Eercice 3. = 2y + 2z Résoudre le sysème différeniel y = + 2y + 2z z = + y + 3z Cas général Revenons mainenan au cas général. Noons S l espace des soluions de l équaion homogène X = A)X. Nous avons déjà vu que S es un espace vecoriel de dimension n. Définiion. Une base X 1,..., X n ) de S es appelée un sysème fondamenal de soluions du sysème linéaire. Eemple. Dans le cas où A) es consane e diagonalisable, les soluions e d k V k, pour k 1,n, consiuen un sysème fondamenal de soluions. Eemple. Considérons le sysème : = + y ) X y + y = A)X avec X = e A) = 1 ) 1 y 1 + = ) ) 1 On consae que X 1 : e X 1 2 : son deu soluions linéairemen indépendanes ; elles consiuen donc un sysème fondamenal de soluions, e on peu affirmer que oues les aures soluions von se mere sous la forme X = λ 1 X 1 + λ 2 X 2, soi : { : λ1 λ 2 y : λ 1 + λ 2 λ 1 e λ 2 peuven êre déerminés par une condiion de Cauchy ; si on cherche par eemple la soluion vérifian les condiions 1) = 1 e y1) = 2 on obien λ 1 = 3 2 e λ 2 = 1 le sysème qu on écri es nécessairemen de 2 Cramer). Revenons au cas général e considérons un sysème fondamenal de soluions X 1,..., X n ). On inrodui la foncion vecorielle W : Ma can X1 ),..., X n ) ) M n K) ; elle vérifie : e oue soluion X = I, W ) = A)W) n λ 1 λ k X k s eprime : X = W)L avec L =.. Le héorème de Cauchy appliqué au poin k=1 implique que quel que soi le veceur X 0 il eise un unique veceur L el que X 0 = W)L. Ceci prouve la : λ n Proposiion 1.4 Pour ou I, la marice W) es inversible.

6 6 PC L inérê de ce résula es de fournir un moyen de caracériser un sysème fondamenal de soluions. En effe : Proposiion 1.5 Soien X 1,..., X n des soluions, e la foncion W : Ma can X1 ),..., X n ) ). Alors X 1,..., X n ) es un sysème fondamenal de soluions si e seulemen s il eise 0 I el que la marice W 0 ) soi inversible. Remarque. Dans ce cas, la proposiion précédene monre que quel que soi I, la marice W) es inversible. Remarque. On appelle Wronskien d un sysème de soluions X 1,..., X n ) le déerminan de la marice W, c es à dire la foncion : Wr : de W) ) = de X 1 ),..., X n ) ). Il s agi d une foncion de classe C 1 qui : ne s annule jamais lorsque le sysème de soluions es un syséme fondamenal ; es consammen nulle dans le cas conraire. 1.4 La méhode die de variaion des consanes hors programme) Supposons mainenan connu un sysème fondamenal de soluions X 1,..., X n ) de l équaion homogène H), e cherchons à en déduire les soluions du sysème différeniel E). Rappelons que les soluions de l équaion homogène son données par : X : n λ 1 λ k X k ) = W)L avec L =.., λ 1,...,λ n ) K n. k=1 La méhode die de variaion des consanes consise à effecuer le changemen de foncion inconnue X = W)Y, licie puisque W) es inversible. On a X = W )Y + W)Y donc X = A)X + B) W)Y = B) car W ) = A)W)), soi encore : Y = W) 1 B). On obien Y en inégran chacune des composanes. Eemple. considérons le sysème différeniel : = + y y = + y avec A) = λ n ) 1 1 e B) = ) ) 1 Nous avons déjà vu qu un sysème fondamenal de soluions es : X 1 :, X 1 2 :, donc W) = ) ) ) 1. Ainsi, W) = e Y = W) 1 1 B) =. On en dédui une soluion pariculière 1 0 ) ) 2 Y 0 :, ce qui donne X 0 0 :. Les soluions générales son donc : ). 1 { : 2 + λ 1 λ 2 y : + λ 1 + λ Un eemple de résoluion numérique Les équaions de Loka-Volerra modélisen l évoluion conjoine de deu populaions, l une consiuée de proies des lapins par eemple), l aure de prédaeurs des renards). Si u désigne le nombre de proies e v le nombre de prédaeurs, l évoluion au cours des emps de ces deu quaniés es représenée par un sysème de la forme { u = au buv v = cv + dbuv où a,b,c,d son des consanes caracérisiques des deu populaions :

7 Équaions différenielles linéaires 7 a modélise le au de reproducion des proies en l absence de prédaeur ; b es le au de moralié des proies dû au prédaeurs ; c es le au de moralié naurelle des prédaeurs ; d décri le au de reproducion des prédaeurs en présence des proies. Ce sysème n es pas linéaire ; il n es pas résoluble auremen que numériquemen. On uilise la foncion odein pour visualiser une soluion, en eécuan le scrip ci-dessous : a, b, c, d = 1., 0.1, 1.5, 0.75 def FX, ): [u, v] = X du = a * u b * u * v dv = c * v + d * b * u * v reurn [du, dv] = np.linspace0, 15, 256) X = odeinf, [10, 5], ) pl.plo, X[:, 0], 'b') pl.plo, X[:, 1], 'r') # racé sur un inervalle de emps de 15 ans # au dépar, il y a 10 lapins e 5 renards # la populaion des lapins es représenée en bleu # celle des renards en rouge pl.grid) pl.show) Équaions du second ordre 2.1 Équaions linéaires scalaires d ordre 2 Définiion. Soi I un inervalle de R, e a,b,c,d : I K rois foncions coninues à valeurs réelles ou complees. On appelle équaion différenielle linéaire du second ordre oue équaion différenielle de la forme : a) + b) + c) = d). E) Une soluion sur I de cee équaion différenielle es une applicaion : I K de classe C 2 vérifian : I, a) ) + b) ) + c)) = d). Remarque. lorsque a ne s annule pas sur I, cee équaion différenielle peu se mere sous forme résolue : = u) + v) + w) avec u = b a, v = c a e w = d a. Quie à resreindre I, on supposera désormais cee condiion saisfaie.

8 8 PC Le cas des équaions à coefficiens consans Soi à résoudre l équaion : a + b + c = d), où a, b e c son des consanes non nulle pour a) e d une foncion coninue sur I. Il a éé vu en première année que les soluions son de la forme 0 + y, où 0 es une soluion pariculière e y une soluion quelconque de l équaion homogène associée : ay + by + cy = 0. Résoluion de l équaion homogène Pour rouver y on procède ainsi : si l équaion caracérisique ar 2 + br + c = 0 possède deu racines disinces r 1 e r 2, y es combinaison linéaire des foncions e r 1 ) e e r 2 ) ; si l équaion caracérisique ar 2 + br + c = 0 possède une racine double r, y es combinaison linéaire des foncions e r ) e e r ) ; si a, b, c son réels e si l équaion caracérisique ar 2 +br +c = 0 possède deu racines complees conjuguées ρ + iω e ρ iω, y es combinaison linéaire des foncions e ρ cosω) e e ρ sinω). Remarque. Dans ous les cas on consae que l espace des soluions de l équaion homogène es un espace vecoriel de dimension 2. Résoluion de l équaion générale Pour résoudre l équaion générale, il suffi de rouver une soluion pariculière 0 e de lui ajouer une soluion quelconque y de l équaion homogène. Le cours de première année donne quelques méhodes pour rouver ces soluions pariculières lorsque d) prend une forme pariculière : lorsque d) = Ae λ avec A,λ) C 2 ) il eise une soluion pariculière de la forme : 0 ) = Ke λ lorsque λ n es par racine de l équaion caracérisique ar 2 + br + c = 0 ; 0 ) = K e λ lorsque λ es racine simple de l équaion caracérisique ; 0 ) = K 2 e λ lorsque λ es racine double de l équaion caracérisique. lorsque d) = Bcosω) ou d) = Bsinω) avec B,ω) R 2 ) on applique le principe de superposiion : on cherche une soluion pariculière z 0 de l équaion a + b + c = Be iω. Alors c = z 0 + z 0 )/2 es soluion pariculière de a +b +c = Bcosω) e s = z 0 z 0 )/2i) es soluion pariculière de a +b +c = Bsinω). Eercice 4. Résoudre l équaion différenielle + 4 = cos2). 2.2 Reour au cas général D un poin de vue héorique, une équaion différenielle linéaire ) résolue du second ordre es équivalene à un sysème différeniel du premier ordre, dès lors qu on pose X = : ) = u) + v) + w) = u) v) 1 0 Ceci nous perme d en déduire un cerain nombre de résulas : ) ) + pour ou 0 I e ou couple 0, 0 ) K2, le problème de Cauchy : { = u) + v) + w) ) w) X = A)X + B) 0 adme une soluion unique sur I ; 0 ) = 0 0 ) = 0 L ensemble des soluions de l équaion homogène = u) + v) forme un espace vecoriel de dimension 2 ; l ensemble des soluions sur I de l équaion : = u) + v) + w) peu êre décri comme la somme d une soluion pariculière e d une soluion quelconque de l équaion homogène.

9 Équaions différenielles linéaires 9 Remarque. Tou comme pour les sysèmes linéaires, nous ne donnerons pas de méhode générale de résoluion de l équaion homogène, mais il es possible, connaissan une soluion pariculière de cee équaion, d en déduire les aures en appliquan la méhode suivane, die méhode de Lagrange hors programme) : Supposons connue une soluion 0 de l équaion homogène ne s annulan pas. On peu effecuer le changemen de foncion inconnue = 0 y. On calcule : = 0 y + 0y e = 0 y y + 0 y donc = u) +v) 0 y u) 0) y = 0, qui es une équaion différenielle homogène du premier ordre vis à vis de y, e que l on sai résoudre. Eercice 5. Résoudre l équaion différenielle 2 + 1) 2 = 0 en commençan par chercher des polynômes soluions. 2.3 Méhode die de «variaion des consanes» hors programme) Cee méhode s applique pour résoudre l équaion générale une fois déerminée une base 1, 2 ) des soluions de l équaion homogène. ) Considérons la foncion vecorielle X = ; elle es soluion du sysème différeniel du premier ordre : ) ) X u) v) w) = X ) Si 1, 2 ) es une base de l espace vecoriel des soluions de l équaion homogène, les foncions X 1 = 1 e X 2 = ) 1 2 consiuen un sysème fondamenal de soluions. Le méhode de variaions des consanes consise donc à 2 ) poser : = 1 ) ) 2 y1, soi encore = 1 2 y 1 y y 2 avec la condiion 1 y 1 + 2y 2 = 0 en effe, pour avoir 2 = y y 2 2 il es nécessaire que cee condiion soi vérifiée). On calcule alors = y y y y 2 2 e donc : = u) + v) + w) y y 2 2 = w). Il suffi alors de résoudre le sysème de Cramer : { 1 y 1 + 2y 2 = 0 1 y y 2 = w) d inconnues y 1 e y 2, puis d inégrer, pour obenir y 1 e y 2, e enfin. Eercice 6. Résoluion de = 3 e. On se place sur l un des inervalles ],0[ ou [0,+ [ de manière à pouvoir mere l équaion différenielle sous forme résolue même s il n es pas nécessaire de le faire epliciemen). a) Résoudre l équaion homogène = 0 en cherchan une soluion sous la forme α. b) Choisir un sysème fondamenal de soluions 1, 2 ) de l équaion homogène, puis effecuer dans l équaion générale le changemen de foncions inconnues = 1 y y 2 en imposan la condiion 0 = 1 y 1 + 2y 2. En déduire l ensemble des soluions de l équaion iniiale. Remarque. On appelle wronskien des soluions 1 e 2 la foncion Wr : I K définie par : Wr = = Nous avons : Wr = = 1 u) 2 + v) 2) u) 1 + v) 1)y 2 = u)wr donc I, Wr) = λe U), U désignan une primiive de u. Si on avai λ = 0, Wr serai ideniquemen nulle e les foncions 1 e 2 seraien liées.

10 10 PC 2.4 Un eemple numérique Nous l avons di, résoudre une équaion différenielle scalaire d ordre 2 revien à résoudre un sysème différeniel à deu inconnues : { = F, = y,) y = F,y,) = 31 2 ) Par eemple, pour résoudre numériquemen le problème de Cauchy 0) = 0 on réalise le scrip suivan : 0) = 1 def FX, ): [, d] = X d2 = 3 * 1 **2) * d reurn [d, d2] = np.linspace0, 30, 256) X = odeinf, [0, 1], ) pl.plo, X[:, 0]) pl.grid) pl.show) Foncions convees hors programme) Définiion. Soi I un inervalle non poncuel, e f : I R. On di que f es convee lorsque : a,b) I 2, λ [0,1], f 1 λ)a + λb ) 1 λ)f a) + λf b) Proposiion 2.1 convee du plan. f es convee si e seulemen si l ensemble E = {,y) R 2 I e f ) y } es une parie Lemme Soi f : I R une foncion convee, e a < b < c dans I. Alors f b) f a) b a f c) f a) c a f c) f b). c b Proposiion 2.2 Soi f une foncion dérivable sur I. Alors f es convee si e seulemen si f es croissane sur I. Corollaire Soi f une foncion deu fois dérivable sur I. Alors f es convee si e seulemen si f 0. Théorème 2.3 Soi f une foncion dérivable sur I. Alors f es convee sur I si e seulemen si la courbe représenaive de f es siuée au dessus de chacune de ses angenes.

11 Équaions différenielles linéaires 11 y E 1 λ)f a) + λf b) f 1 λ)a + λb) a 1 λ)a + λb b Figure 2 Une foncion convee : le sous-arc es siué sous la corde. Remarque. On appelle inégalié de conveié l applicaion du héorème 2.3 à ceraines foncions usuelles, el : pour ou R, 1 + e ; pour ou > 1, ln1 + ). Eercice 7. sur R +? Monrer que oue foncion convee, dérivable e majorée sur R es consane. Es-ce vrai Équaion de Surm-Liouville Considérons deu foncions a e b de classe C 2 sur un inervalle I, ainsi que l équaion différenielle homogène de degré 2 : y + a)y + b)y = 0. Si on effecue le changemen de foncion inconnue y = e α) ) on obien l équaion : + 2α ) + a) ) + α ) + a)α ) + b) ) = 0. On peu oujours choisir la foncion α de sore que 2α + a = 0. En posan q = α + aα + b on es ramené à la résoluion de l équaion + q) = 0, die équaion de Surm-Liouville. Théorème 2.4 Si es une soluion non ideniquemen nulle de l équaion + q) = 0, alors les zéros de son isolés. Auremen di, si 0 ) = 0, il eise η posiif el que pour ou I [ 0 η, 0 + η] \ { 0 }, ) 0. Les soluions d une équaion de Surm-Liouville possèden des propriéés qui son l obje de nombre d eercices, cerains en connecion avec la noion de conveié, comme par eemple dans l eercice suivan. Eercice 8. a) Soi q une foncion coninue à valeurs négaives, e une soluion non nulle de l équaion +q) = 0. Monrer que possède au plus un zéro. b) Soi q une foncion coninue à valeurs posiives, non ideniquemen nulle. Monrer que oue soluion de : + q) = 0 s annule au moins une fois. 3. Eercices Équaions différenielles linéaires du premier ordre Eercice 9 Éudier les soluions maimales des équaions différenielles linéaires suivanes : 1 + ) + = 1 + ln1 + ) 1 2 ) = 3.

12 12 PC Eercice 10 Soien u e v deu foncions définies sur R e coninues, elles que u soi impaire e v paire. Monrer que l équaion différenielle = u) + v) possède une unique soluion impaire. Eercice 11 a) Résoudre l équaion différenielle y y = e 2 sur R. On eprimera la soluion générale en foncion de u) = + e 2 d. b) Démonrer que oues les soluions enden vers 0 en e qu une seule soluion adme une limie finie en +. Quelle es cee limie? Eercice 12 On considère l équaion différenielle E) : = 1 e ses soluions sur ]0,+ [. D après le héorème de Cauchy, un poin M de coordonnées 0, 0 ) avec 0 > 0 apparien au graphe C M d une unique soluion de E). Déerminer sans résoudre l équaion différenielle l ensemble H des poins M pour lesquels la angene à C M en M es horizonale, e l ensemble I des poins M qui son poins d infleion de C M on admera que les poins d infleion son eacemen les poins qui annulen la dérivée seconde). + e s Monrer que l applicaion φ 0 : ds es soluion de E) ; commen se siue son graphe vis à vis de 0 + s H e I? Décrire enfin l allure des différenes soluions de E). Eercice 13 Soi f : R R une foncion de classe C 1 vérifian : lim f ) + f ) ) = 0. Monrer que lim f ) = 0. + Sysèmes différeniels du premier ordre + Eercice 14 Résoudre le sysème différeniel X = AX lorsque A es une marice nilpoene de M n R). Eercice 15 Résoudre le sysème différeniel suivan : = 2y + 2z y = + 2y + 2z z = + y + 3z Eercice 16 Résoudre le sysème différeniel suivan : = 3 + y + e y = 2 + 2y + e Eercice 17 Soi u un veceur non nul d un espace euclidien E de dimension 3. Résoudre l équaion différenielle = u. Quelle es la rajecoire de la courbe paramérée par )? Équaions différenielles linéaires du second ordre Eercice 18 Trouver sur soluion pariculière sur l inervalle ]0,+ [ de l équaion différenielle : 2 + = 0, e en déduire l ensemble des soluions. ) 1 Quelles son les foncions dérivables f : ]0,+ [ C qui vérifien : > 0, f ) = f? Eercice 19 Trouver l ensemble des soluions sur ]0,+ [ de l équaion différenielle : 2 + = 0 on pourra chercher d évenuelles soluions sous la forme α ). Résoudre alors sur le même inervalle l équaion différenielle : 2 + = ln.

13 Équaions différenielles linéaires 13 Eercice 20 a) En faisan le changemen de variable = e u c es-à-dire en posan yu) = e u )) résoudre l équaion différenielle 2 + = 1 sur ]0,+ [. b) À l aide d un changemen de variable analogue, résoudre cee même équaion différenielle sur ],0[. Eercice 21 Soi qune foncion coninue de I dans R. On noe 1 e 2 deu soluions non ideniquemen nulles de + q) = 0. a) On suppose que 1 possède au moins deu zéros, e on en considère deu consécuifs 1 e 2. Monrer que : ou bien 2 s annule sur ] 1, 2 [ ; ou bien 2 / 1 es consan sur ] 1, 2 [. Indicaion. On pourra considérer le wronskien W : 1 ) 2) 2 ) 1). b) En déduire que deu soluions linéairemen indépendanes ne peuven avoir de zéro en commun, e qu enre deu zéros consécuifs de l une se rouve eacemen un zéro de l aure. Eercice 22 Soi q : R R une foncion de classe C 1, à valeurs posiives, elle que lim q) = l > 0. + On considère une foncion φ : R R de classe C 2 e soluion de l équaion différenielle y + q)y = 0, ainsi que la foncion ψ : sinα + β) avec α,β) R 2. On noe enfin W : φ)ψ ) ψ)φ ). a) Calculer W ). b) Monrer que φ adme une infinié de zéros.