, w n'inclut pas le travail des forces de pression au niveau des surfaces d'entrée et de sortie).

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1 ENSIETA 95 M / pb1 /(4h) PREMIER PROBLÈME : THERMODYNAMIQUE Ce problème a pour but l'étude thermodynamique d'une turbo machine à gaz comprenant une turbine de compression (TC), une chambre de combustion (CC) et une turbine de détente (TD). Le gaz utilisé (air) est considéré comme parfait. Ses caractéristiques sont : - chaleur massique à pression constante : c p = J.kg -1 K -1 (c p est constant) R 1 - constante massique r = = 287 J. K (avec R = 8,314 J.mol -1.K -1 et M masse molaire du gaz) M Dans tout le problème, on néglige les variations d'énergie potentielle de pesanteur. I- Relations préliminaires : 1 - Montrer que lorsqu'un fluide s'écoule avec un débit masse D m en régime permanent (figure 1), le premier principe de la thermodynamique s'écrit : 2 v D. * * m h+ = W+ Q 2 2 v h + désigne la variation d enthalpie massique et d énergie 2 cinétique massique entre l entrée et la sortie. Q * est la puissance calorifique échangée avec l'extérieur. W * est la puissance mécanique échangée avec l'extérieur ; W * n'inclut pas la puissance des forces de pression au niveau des surfces d'entrée et de sortie. 2 - Le fluide est dorénavant le gaz parfait envisagé. Sa pression est P, sa température T, sa masse volumi- que µ. a - Donner la relation entre P, µ, r et T. dt. b - Donner l'expression de sa variation dh d'enthalpie massique lorsque sa température varie de T à T + c - Dans le cas où l'écoulement est adiabatique, quelle forme prend alors le premier principe de la thermodynamique, w désignant le travail massique échangé avec l'extérieur (comme W *, w n'inclut pas le travail des forces de pression au niveau des surfaces d'entrée et de sortie). 3 - Établir l'expression de l'entropie massique s(t, P) du gaz en fonction de s(t 0, P 0 ), c p, r et des rapports T T et P. 0 P0

2 ENSIETA 95 page 2 s(t 0, P 0 ) désigne l'entropie massique dans les conditions (T 0 et P 0 ).

3 ENSIETA 95 page On considère le diagramme entropique du gaz étudié dans lequel on porte la température T en ordon-née et l'entropie massique s en abscisse. Montrer que dans cette représentation, les isobares correspondant aux pressions respectives P 1 et P 2 se déduisent l'une de l'autre simplement par une application que l'on définira. II - Étude de la turbomachine : EIle comprend le turbocompresseur (TC), la chambre de combustion (CC), et la turbine de détente (TD), (figure 2). Le turbocompresseur est entraîné par la turbine de détente par un arbre (A) assurant une liaison mécanique parfaite. On admet que : - l'évolution du gaz dans (TC) et (TD) est adiabatique. - la combustion dans (CC) (dont les parois sont indéformables) est isobare et réversible. Le carburant (dont on néglige le débit masse d m ) ne modifie pas les propriétés du gaz. - les variations d'énergie cinétique sont négligeables. 1 - On suppose que l'évolution de 1 kg de gaz peut être représentée par le cycle Il est constitué de deux isobares de pressions respectives P 1 et P 2 reliés par deux isentropiques. (figure 3) a - Donner les coordonnées des 4 points dans le diagramme T-s. Données: P 1 = 1 bar T 1 = 300 K P 2 = 6,5 bar T 3 = K s 1 = 0 b - Exprimer en fonction de T 1, T2, T3, T4 et des caractéristiques du gaz : α - w 12 : travail massique échangé entre le fluide et le rotor (arbre(a)) du turbocompresseur. β - w 34 : travail massique échangé entre le fluide et le rotor (arbre(a)) de la turbine de détente. γ - w u : travail utile disponible sur l'arbre d'entraînement (A). δ - q 23 : quantité de chaleur massique fournie au gaz dans la chambre de combustion.

4 ENSIETA 95 page 4 c - Calculer le rendement thermodynamique η du cycle en fonction du rapport des pressions P P 2 1. d - Calculer numériquement w 12, w 34, w u, q 23 et η,

5 ENSIETA 95 page En réalité, le cycle décrivant l'évolution de 1 kg de gaz dans la machine est le cycle 1-2'-3-4'-1 (figure 4), comportant deux isobares 2'-3 et 4'-1. Par suite de l'existence de frottements fluides internes, les transformations 1-2' et 3-4' dans (TC) et (TD) sont irréversibles. On conservera pour P 1, T 1, s 1, T 3 et P 2 = P 2 les valeurs numériques de la question 1 -a-. a - Justifier la position des points 2' et 4' par rapport aux points 2 et 4. b - On définit le rendement η SC (en compression) du turbocompresseur (TC) par rapport à l'isentropique par w12 η SC =. w12' w 12 est le travail massique réel échangé par le fluide avec le rotor de (TC) et w 12 le travail massique relatif à l'isentropique 1-2. α - Justifier que w 12 > w 12 et 0 < η sc <1. β - Exprimer η sc en fonction de T 1, T 2, T 2 ' (T 2 ' est la température réelle du gaz à la sortie de (TC) en 2'). γ - Calculer numériquement T 2' et w 12, si η SC = 0,80. δ - L'évolution du gaz lors de la compression (1-2') peut être décrite par une transformation polytropique définie par : PV k c = constante. Calculer l'exposant k c (constant) de la polytropique. c - Le rendement (en détente) de la turbine (TD) par rapport à l'isentropique est η SD = 0,85. α - Définir η SD en fonction de w 34 et w 34'. β - Calculer T 4', température réelle du gaz à la sortie de (TD), ainsi que w 34' et le coefficient (constant) k D de l'exposant de la polytropique de détente dans (TD). d - Calculer le rendement thermodynamique η' du cycle 1-2'-3-4'-1. Le comparer à η. e - Calculer les variations d'entropie massique s c = s 2' - s 1 et s D = s 4' - s Calculer le débit masse D m du gaz si l'on veut disposer d'une puissance utile de 3 MW (centrale thermique). 4 - Le pouvoir calorifique du carburant (pétrole), c'est-à-dire l'énergie dégagée par la combustion de 1 kg de carburant, étant P CI = kj. kg -1, déterminer le rapport des débits massiques de gaz D m et de carburant d m. On supposera la chambre de combustion parfaitement calorifugée. Commenter.

6 ENSIETA 95 page 6 *** les questions 5 et III de ce problème sont exclusives à l option M *** 5 - De façon à augmenter le rendement de la turbomachine, les gaz sortant de TC (d échappement) sont repris dans un échangeur thermique (E) parfaitement calorifugé. (E) comporte deux canalisations dans lesquelles le gaz circule avec le même débit massique D m, mais en sens opposés. Dans chaque canalisation, la pression est constante (figure 5). Les températures d entrée sont T 2 et T 4, celles de sortie T 5 et T 6. a - Les transformations subies dans (E) étant supposées réversibles, donner les relations entre T 2, T 4, T 5 et T 6. T5 T2 ' b - L efficacité de (E) est définie par e = ; (E) T4 ' T2 ' fonctionne de façon irréversible. Cauculer T 5 et la quantité de chaleur fournie au gaz dans (CC) si e = 0,75. III - Tuyère d un turboréacteur Dans un turboréacteur, la turbomachine est terminée par une tuyère (Tu) convergente-divergente pour accélérer les gaz sortant de la turbine de détente (figure 6). L écoulement dans la tuyère est supposé isentropique et sans frottement. Le profil de la tuyère est tel que la pression à la sortie de (Tu) soit P 5 = 1 bar (pression atmosphérique). A l entrée de (Tu), P e = P 4 = 2,5 bar et T e = T 4 = 1000 K et la vitesse est v 4 = Calculer T 5 et la vitesse v 5 des gaz à la sortie de (Tu). 2 - Calculer la section S 5 de sortie de la tuyère si l on veut obtenir une poussée du turboréacteur de F = N.