Chapitre 4 Le cercle trigonométrique Première S

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1 Chapitre 4 Le cercle trigonométrique Première S. Définition du cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon sur lequel on distingue deux sens de parcours : le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre) et le sens indirect (sens des aiguilles d'une montre). Le rayon étant de (une unité), la longueur du cercle est, celle du demi-cercle est, celle du quart de cercle est!. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique Soit une droite graduée d origine A comme sur les figures ci-dessous. maginons que nous enroulions la droite autour du cercle. n associe alors à chaque abscisse d'un point de la droite, un point du cercle :

2 A retenir! A tout réel x, on peut associer un point M sur le cercle de la façon suivante : * Si x > 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point dans le sens direct. * Si x < 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point dans le sens indirect. La longueur de l arc M» est alors égal à x.. Angles en radians Définition : Soient A et M deux points du cercle trigonométrique de centre. La mesure en radians de l angle AM correspond à la longueur de l arc ¼ AM. Correspondance entre angles en degrés et angles en radians : Angles en degrés Angles en radians Exercice : Placer les points suivants sur le cercle en fonction de l angle en radian qui leur est associé en partant de : A ( ) E - 6 B F C G D 4 H -

3 Mesure principale d un angle en radians : Activité : Placer les points ci-dessous en fonction de l angle en radian qui leur est associé en partant de : 8 A B C 5 D E n remarque que plusieurs mesures d angles définissent un même point sur le cercle. (n retrouve le fait qu il y a enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique) n appelle alors mesure principale d un angle l unique mesure appartenant à l intervalle ] ; ]. Exercice : Trouver la mesure principale des angles suivants : 4 Si α = Si α = Si α = Si α =. Trigonométrie n munit le cercle trigonométrique d un repère orthonormé ( ; ; ). Soit x la mesure en radian d un angle, et M le point tel que M = x. B M + Dans le triangle rectangle AM, on a : De même : cos x = A sin x = MA M M x A cos x = A sin x = MA cos x = A sin x = MA = B donc cos x est l abscisse de M. donc sin x est l ordonnée de M. Conclusion : Si M est le point associé a un réel x sur le cercle trigonométrique, alors M(cos x ; sin x). Remarques importantes: ) Pour tout x, on a - cos x et - sin x ) Dans le triangle AM rectangle en A on a M =, A = cos x et AM = sin x, alors d après le théorème de Pythagore A² + AM² = M² et donc : cos²x+ sin²x =

4 Exercice : n a donné les valeurs exactes du sinus et cosinus de quelques angles remarquables entre 0 et. Point A B C x cos x sin x a. Retrouver le point qui correspond à chaque angle. H C b. En déduire les valeurs exactes des cosinus et sinus de tous les angles du tableau. K D 6 4 B A E M Propriétés du sinus et du cosinus : L F N G Définition de la tangente : sin( α) α, si cos( α) 0 alors tan( α) = cos( α) Démonstration :

5 Relation trigonométrique et angles associés : Activité : n obtient donc les formules suivantes : ( + α ) = sin ( α ) ( α ) = sin ( α ) = ( + α ) = sin ( α ) ( α ) = sin ( α ) cos cos cos cos + = + = = cos + α = sin + α = cos α = sin α = Les équations trigonométriques : Equation du type cos ( x) = cos ( a) avec a réel donné Equation du type ( ) = ( ) sin x sin a avec a réel donné