Algèbre Linéaire. 5 janvier 2018

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1 en dimension finie 5 janvier 2018

2 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels Soit à résoudre le système (une équation!) linéaire d inconnue x = (x 0, x 1, x 3 ) R 3 (S) { x 0 +3x 1 x 2 = 0 En introduisant deux paramètres, on tombe sur l ensemble des solutions S de (S) (on choisit, à dessein pédagogique, de prendre comme inconnues secondaires x 0 et x 1 ),

3 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels

4 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels

5 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels Soit à résoudre le système linéaire d inconnue x = (x 0,..., x 4 ) R 5 (S) x 0 +3x 1 x 2 = 0 x 1 +3x 2 x 3 = 0 x 2 +3x 3 x 4 = 0

6 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels en posant 1 u = (1, 0, 1, 3, 8), v = (0, 1, 3, 8, 21), x vérifie (S) si et seulement si il existe λ, µ R tels que On a finalement x = λ.u + µ.v S = {λ.u + µ.v, (λ, µ) R 2 } 1. Je note indifféremment les vecteurs de R 5 sous forme de 5-uplet (..,..,..) ou de matrice colonne à 5 lignes. Cette dernière présentation est compatible avec le codage des vecteurs de numpy

7 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels

8 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels q + u + v u + v q u v 1 2. v u 0 u 0 u 0 1

9 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels q + q + q 1 u u u + v 0 1 q q v v u + q q q + u u v 0 1 q + q 1 +

10 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels Intéressons nous maintenant au problème de déterminer l ensemble R des suites récurrentes (d ordre 2) réelles x = (x n ) n N vérifiant la récurrence linéaire, n N, x n+2 = 3x n+1 x n (R)

11 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels La conclusion de la méthode classique est que si x est une suite satisfaisant cette récurrence (R), il existe alors λ +, λ des réels tels que x = λ +.u + + λ.u (C) C est à dire {λ +.u + + λ.u, (λ +, λ ) R 2 } = R

12 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels Les suites u, v R vérifiant les conditions initiales u 0 = 1, u 1 = 0, v 0 = 0, v 1 = 1 i.e. u = (1, 0, 1, 3, 8,... ) et v = (0, 1, 3, 8, 21,... ) vérifient u = 1 q + q ( q.u + + q +.u ) et v = 1 q + q (u + u ). On a aussi u + = 1.u + q +.v, u = 1.u + q.v.

13 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels Un raisonnement similaire à celui fait sur les suites donne que si f C 2 (R), à valeurs réelles, est solution de l équation différentielle (linéaire, d ordre 2) t R, f (t) 3f (t) + f (t) = 0, (ED) alors, en définissant f + et f par t R, f + (t) = e 1 2 (3+ 5)t et f (t) = e 1 2 (3 5)t, il existe deux constantes réelles λ + et λ telles que f = λ + f + + λ f (C) au sens des fonctions, i.e, t R, f (t) = λ + f + (t) + λ f (t)

14 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels ED = {λ +.f + + λ.f, (λ +, λ ) R 2 }

15 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels Les fonction f, g ED vérifiant les conditions initiales f (0) = 1, f (0) = 0, g(0) = 0, g (0) = 1 vérifient f = 1 q + q ( q.f + + q +.f ) et g = 1 q + q (f + f ). On a aussi f + = 1.f + q +.g, f = 1.f + q.g.

16 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels Ce qu il faut retenir c est que l on connait des opérations + et. agissant sur les nombres réels. Ces opérations «primitives» servent à définir de «nouvelles» opérations, notées de la même manière, mais agissant qui sur les 5-uplets, qui sur les suites, qui sur les fonctions éléments de C 2 (I; R). Dans chaque cas, la somme de deux objets d un type 2 donné donne un objet du même type et la multiplication d un réel (on dit aussi scalaire dans ce contexte) par un objet d un type donné donne aussi un objet du même type. 2. On est prié de prendre les mots «objets» et «type» au sens informatique.

17 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels Les axiomes de R-espace vectoriel AXIOMATIQUE 1 Commutativité somme : x, y E, x + y = y + x 2 Associativité somme : x, y, z E, (x + y) + z = x + (y + z). 3 0 Neutre somme : 0 E, x E, x + 0 = 0 + x = x 4 Existence d opposé : x E, x E, x + x = x + x = 0 5 Associativité produit : λ, µ R, x E, (λ.µ).x = λ.(µ.x). 6 1 R Neutre produit : x E, 1.x = x 7 Distributivité I : λ, µ R, x E, (λ + µ).x = (λ.x) + (µ.x) 8 Distributivité II : λ R, x, y E, λ.(x + y) = (λ.x) + (λ.y)

18 en dimension finie Quelques règles de calcul Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels 1 Si E est un R-espace vectoriel, on dit que R est le corps des scalaires de E. Les éléments de E sont appelés des vecteurs. 2 L élément 0 apparaissant dans la propriété Neutre somme est unique avec cette propriété. On le nomme le vecteur nul. Il ne faut pas le confondre avec le 0 réel. On le note parfois 0 E. 3 Pour chaque x E, x vérifiant la propriété Existence d opposé est unique avec cette propriété. On le note x, l opposé de x. 4 0 R et 0 E On a x E, 0.x = 0, λ R, λ.0 = 0. 5 Signes baladeurs : ( λ).x = λ.( x) = (λ.x)

19 en dimension finie Quelques règles de calcul Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels 1 Simplification produit nul : λ R, x E, λ.x = 0 x = 0 ou λ = 0. 2 Simplification égalités I : Si λ.x = λ.y et λ 0 alors x = y 3 Simplification égalités II : Si λ.x = µ.x et x 0 alors λ = µ

20 Nous aurions pu traiter les exemples introductifs, en cherchant, dans le premier problème, les vecteurs x C 5 vérifiant le système linéaire, dans le problème des suites récurrentes, les suites à valeurs complexes vérifiant (R) et dans l équation différentielle, les fonctions f C 2 (R; C) vérifiant (ED). Cela mène, pour chaque problème, à l introduction de scalaires λ, µ, λ +, λ complexes. Pour un C-espace vectoriel, on recopie la définition de R-espace vectoriel en remplaçant chaque occurence de R par C. Dans le contexte des C-espaces vectoriels, on dit que C est le corps des scalaires. Les éléments de l espace vectoriel en considération sont appelés des vecteurs. Si on dit E est un espace vectoriel, le corps des scalaires est sous-entendu. Le contexte indiquealgèbre s il Linéaire s agit de R ou de C. en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels Les axiomes de C-espace vectoriel

21 en dimension finie Combinaisons linéaires Stabilité par combinaisons linéaires Sous-espace engendré par une famille de vecteurs Définition Soit E un K-e.v., F E une partie non vide de E. On dit que F est un K-sous-espace vectoriel de E si 1 (Stabilité par somme) x, y F, x + y F 2 (Stabilité par produit externe) x F, λ K, λ.x F Définition (Equivalente) Soit E un K-e.v., F E une partie non vide de E. On dit que F est un K-sous-espace vectoriel de E s il est stable par combinaisons linéaires i.e. si x, y F, λ, µ K, λ.x + µ.y F

22 en dimension finie Un s.e.v est un e.v. Combinaisons linéaires Stabilité par combinaisons linéaires Sous-espace engendré par une famille de vecteurs Autrement dit, F est un s.e.v de E si et seulement si les restrictions des opérations + et. se restreignent en des opérations sur F : + : F F F,. : K F F. On définit ainsi des opérations sur F héritées des opérations sur E. Proposition Si F est un K-s.e.v du K-e.v. E alors (F, +,.) est un K-ev. Le vecteur nul dans F est celui de E. D un point de vue pratique, quand on vous demande de prouver que tel ensemble F muni de certaines opérations + et. est un K-e.v., il s agit d identifier un K-e.v. E de la liste officielle et de montrer que F en est un s.e.v.

23 en dimension finie Intersection de s.e.v. Combinaisons linéaires Stabilité par combinaisons linéaires Sous-espace engendré par une famille de vecteurs Proposition 1 Si F, G sont deux sev de E alors F G est un sev de E. 2 Si F 1,..., F n sont n sev de E alors F 1 F n = n i=1 F i est un sev de E.

24 en dimension finie Combinaisons linéaires Stabilité par combinaisons linéaires Sous-espace engendré par une famille de vecteurs Définition Soit E un K-e.v., (u i ) i I une famille finie de vecteurs dans E indexée par I, (λ i ) i I une famille de scalaires. La combinaison linéaire de la famille (u i ) i I avec les coefficients (λ i ) i I est le vecteur de E défini par λ i.u i i I Réciproquement, on dit qu un vecteur v E est combinaison linéaire de la famille (u i ) i I s il existe une famille de scalaires (λ i ) i I telle que v = λ i.u i i I

25 en dimension finie Combinaisons linéaires Stabilité par combinaisons linéaires Sous-espace engendré par une famille de vecteurs Proposition (Une CL de CL est une CL) Soit (u i ) i I une famille finie de vecteurs de E, (v j ) j J une famille finie de vecteurs de E, telle que chaque v j est combinaison linéaire de la famille (u i ) i I. Une combinaison linéaire de la famille (v j ) j J est une combinaison linéaire de la famille (u i ) i I.

26 en dimension finie Combinaisons linéaires Stabilité par combinaisons linéaires Sous-espace engendré par une famille de vecteurs Proposition-Définition Soit E un K-e.v., U = (u i ) i I une famille finie de vecteurs de E. Le sous-espace vectoriel de E engendré par cette famille, noté Vect u i, i I ou Vect U, est l ensemble des combinaisons linéaires de la famille (u i ) i I à coefficients dans K, i.e. Vect u i, i I = Vect U = { i I λ i.u i, (λ i ) i I K I } = {z E, (λ i ) i I K I, z = i I λ i.u i }

27 en dimension finie Combinaisons linéaires Stabilité par combinaisons linéaires Sous-espace engendré par une famille de vecteurs Définition Soit E un K-ev, U = (u i ) i I une famille finie de vecteurs de E. On dit que U est génératrice de E si Remarques : E = Vect u i, i I 1 Une tautologie : La famille finie (u i ) i I est génératrice (ou engendre) l espace vectoriel Vect u i, i I. 2 Cas limite : «la famille vide engendre l espace nul.». C est la convention sur les sommes vides.

28 en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Définition Soient E, F deux K-ev, f : E F une application. On dit que f est une application (K)-linéaire si elle respecte les combinaisons linéaires, i.e. x, y E, λ, µ K, f (λ.x + µ.y) = λ.f (x) + µ.f (y)

29 en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque 1 L ensemble des applications linéaires f : E F est noté L(E, F). 2 Une application linéaire f : E F «préserve»les opérations d espace vectoriel, i.e les combinaisons linéaires. Plus précisémment f ( i I λ i.u i ) = i I λ i.f (u i ) 3 Un synonyme d application linéaire est morphisme d espaces vectoriels, l étymologie de ce mot traduit l idée de préservation de la forme des expressions. 4 Quand E = F, on parle d endomorphisme. L ensemble des endomorphismes d un espace E est noté L(E). 5 Quand F = K, on parle de formes linéaires, on note parfois l ensemble des formes linéaires E = L(E, K).

30 Le noyau en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Proposition-Définition Soit f L(E, F ). Le sous-ensemble de E Ker f := {x E, f (x) = 0 F } est un s.e.v de E appelé le noyau de f. Remarque : Noyau, en anglais, c est «kernel»

31 L image en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Proposition-Définition Soit f L(E, F ). Le sous-ensemble de F Im f := {y F, x E, f (x) = y} est un s.e.v de F appelé l image de f.

32 en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Proposition Soit f L(E, F ). 1 f est injective si et seulement si Ker f = {0 E }. 2 f est surjective (sur F ) si et seulement si Im f = F. 3 f est un isomorphisme entre E et F si et seulement si Ker f = {0 E } et Im f = F.

33 en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Proposition Soit f L(E, F ). Soit y F et considérons l équation (E y ) : f (x) = y d inconnue x E, alors 1 Si y Im f, (E y ) n a pas de solution. 2 Si y Im f, et x y est une solution particulière de (E y ) alors l ensemble des solutions de (E y ) est S y = {x y + x, x Ker f } =: x y + Ker f Exemples : matrices et système linéaire. Une EDO linéaire avec second membre.

34 en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Fil rouge : Problème d interpolation de LAGRANGE On sait (d expérience!) que l indice de réfraction n de certains matériaux dépend de la longueur d onde λ de l onde incidente suivant une loi de la forme n = p 0 + p 1. 1 λ 2 + p 2. 1 λ 4 où les coefficients réels p 0, p 1, p 2 sont caractéristiques du matériau. On a effectué des mesures, à l aide d un goniomètre, pour un certain type de verre, regroupées dans le tableau : λ(nm) 404,7 434,7 546,1 n 1,540 1,536 1,526 Peut-on, à partir de ces mesures, déterminer les coefficients p 0, p 1, p 2?

35 en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Fil rouge : Problème d interpolation de LAGRANGE On peut voir cette question comme un problème d interpolation : On dispose de trois nombres réels distincts z 0, z 1 et z 2 (les carrés des inverses des longueurs d onde), des trois valeurs de n correspondantes, n 0, n 1 et n 2 et il s agit de trouver un polynôme P de degré 2 tel que i = 0, 1, 2, P(z i ) = n i

36 en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Fil rouge : Problème d interpolation de LAGRANGE En écrivant les choses telles qu elles viennent, on voit que ce problème se réduit à résoudre le système linéaire d inconnue (p 0, p 1, p 2 ), p 0 +p 1.z 0 +p 2.z0 2 = n 0 p 0 +p 1.z 1 +p 2.z1 2 = n 1 p 0 +p 1.z 2 +p 2.z2 2 = n 2 On laisse le lecteur remplacer les paramètres z i, n i par leurs valeurs obtenues à partir du tableau et fourrer le système linéaire dans un système de calcul afin d obtenir, via la résolution par l algorithme de GAUSS, les valeurs exactes de p 0, p 1 et p 2.

37 en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Proposition Si f 1, f 2 L(E, F), λ 1, λ 2 K alors l application λ 1.f 1 + λ 2.f 2 définie par x E, (λ 1.f 1 + λ 2.f 2 )(x) = λ 1.(f 1 (x)) + λ 2.(f 2 (x)) est une application linéaire E F. 1 On remarque que L(E, F) est un K-ev. On n insiste pas sur ce point. 2 Exemple : Combinaison linéaire de deux évaluations.

38 Composition en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Proposition Si E, F, G sont trois K-e.v., f L(E, F), g L(F, G) alors g f L(E, G) Proposition Si E, F, G sont trois K-e.v., f, f 1, f 2 L(E, F), λ 1, λ 2 K, g, g 1, g 2 L(F, G) alors g (λ 1.f 1 + λ 2.f 2 ) = λ 1.(g f 1 ) + λ 2.(g f 2 ) et (λ 1.g 1 + λ 2.g 2 ) f = λ 1.(g 1 f ) + λ 2.(g 2 f )

39 en dimension finie Composition des endomorphismes Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Proposition Si E est un K-e.v., f, g L(E) alors g f L(E) On peut, dans le cas des endomorphismes, composer un endomorphisme avec lui-même. On note, pour f L(E), f 2 = f f, f 3 = f f f et, pour n N, f n = f} {{ } f n occurences de f. Par convention f 0 = i E, l application identité de E.

40 Réciproque en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque Proposition Si E, F sont deux K-e.v. et f L(E, F) est bijective alors sa réciproque, f 1 : F E est linéaire : f 1 L(F, E). Dans ce cas, on a f 1 f = i E et f f 1 = i F où i E et i F sont les endomorphismes identité de E et F.

41 Vocabulaire en dimension finie Définition-exemples Sous-espaces associés à une application linéaire Résolution d équations linéaires Exercices Opérations : CL/ composition, réciproque 1 si f : E F est linéaire et bijective, on dit que c est un isomorphisme. 2 si E et F sont deux K-ev et s il existe f : E F un isomorphisme, on dit que E et F sont isomorphes en tant que K-ev. 3 si f : E E est un endomorphisme, bijectif alors on dit aussi que c est un automorphisme de E. Dans ce cas, f 1 est aussi un automorphisme de E.

42 en dimension finie Familles libres et liées Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Définition Soit E un K-ev. On dit que u, v E sont colinéaires si Il existe λ K, u = λ.v ou il existe λ K, v = λ.u

43 en dimension finie Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Définition Soit (u i ) i I une famille finie de vecteurs de E. On dit que cette famille est libre si (λ i ) i I K I, i I λ i.u i = 0 ( i I, λ i = 0) La famille est dite liée si elle n est pas libre. Dans ce cas, il existe une famille (λ i ) i I finie de scalaires non tous nuls telle que i I λ i.u i = 0. Une telle relation s appelle une relation de dépendance linéaire entre les u i.

44 en dimension finie Sur-familles/Sous-familles Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Proposition 1 Si U = (u i ) i I est libre alors toute famille extraite de U est libre. 2 Si U = (u i ) i I est liée alors toute sur-famille de U est liée.

45 en dimension finie Liberté et applications linéaires Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Proposition Soit U = (u i ) i I une famille finie de vecteurs de E. On a équivalence entre 1 U est libre. 2 L application linéaire K I E, (λ i ) i I i I λ i.u i est injective.

46 en dimension finie Extraction de familles libres Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Proposition (Lemme crucial pour l extraction) Si U = (u i ) i I est une famille libre de vecteurs de E, alors pour tout vecteur v E, on a équivalence entre 1 ((u i ) i I, v) est liée, 2 v Vect u i, i I. Proposition Si (u i ) i I est une famille finie de vecteurs de E, il existe alors une sous-famille (u i ) i J, libre, telle que Vect u i, i I = Vect u i, i J.

47 en dimension finie Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Définition Soit U = (u i ) i I une famille finie de vecteurs de l espace E. On dit que U est une base de E si U est libre et génératrice de E. Définition On dit que E est un espace de dimension finie s il existe une famille génératrice finie de E Théorème Un espace est de dimension finie si et seulement si il admet une base.

48 en dimension finie Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Toutes les bases ont même cardinal Théorème Si (u i ) i I et (v j ) j J sont deux bases d un e.v. E alors I et J ont même nombre d éléments. Démonstration. Toute la preuve de ce théorème tient en la remarque suivante dont on se sert couramment Lemme Si (u i ) i I est une famille de vecteurs de Vect v j, j J et #I > #J alors (u i ) i I est liée. Explication du lemme, preuve du théorème.

49 en dimension finie Dimension/Exemples Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Définition Soit E un espace de dimension finie. La dimension de E est le cardinal de l une quelconque de ses bases. On note ce nombre dim E ou dim K E lorsque l on veut préciser les scalaires.

50 en dimension finie Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Utilisation élémentaire de la dimension Proposition Soit E un e.v. de dimension n, U = (u i ) i I une famille de vecteurs de E. 1 Si #I > n, U est liée. 2 Si #I < n, U est n est pas génératrice de E. 3 Si #I = n et U est libre alors U est une base de E. 4 Si #I = n et U est génératrice de E alors U est une base de E.

51 en dimension finie Croissance de la dimension Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Proposition Si E est de dimension finie et F est un sev de E alors F est de dimension finie et dim F dim E. Si dim F = dim E, on a E = F.

52 en dimension finie Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Proposition Soit φ : E F une application linéaire. E un espace de dimension finie. U = (u i ) i I une famille génératrice de E. La famille (φ(u i )) i I est génératrice de Im φ. Exemples. App. Lin. déf. par matrice. Autres.

53 en dimension finie Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Proposition Soit φ : E F une application linéaire. E un espace de dimension finie. On a équivalence entre 1 φ est un isomorphisme. 2 Pour une base U = (u i ) i I de E, φ(u) = (φ(u i )) i I est une base de F. 3 Pour toute base U = (u i ) i I de E, φ(u) = (φ(u i )) i I est une base de F.

54 en dimension finie Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Proposition (Dimension, l invariant d isomorphie) 1 dim K E = n ssi E et K n sont isomorphes. 2 Si m n, K n et K m ne sont pas isomorphes. 3 Si E, F sont de dimension finie, dim K E dim K F, E et F ne sont pas isomorphes.

55 en dimension finie Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Proposition Soit E de dimension finie, φ : E F une application linéaire. 1 Si φ est surjective, dim F dim E. 2 Si φ est injective, soit F n est pas de dimension finie, soit dim E dim F.

56 en dimension finie Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Proposition Si E = (e i ) i I est une base de E, l application K I E, (λ i ) i I i I λ i.e i est un isomorphisme. Sa réciproque est l application coordonnées dans la base E. Autrement dit, pour tout vecteur x E, il existe une unique famille de scalaires (λ i ) i I tels que x = i I λ i.e i. Notation : on notera E [x] ou Mat(x, E) le vecteur des coordonnées de x E dans la base E.

57 en dimension finie Rang d une famille de vecteurs Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Définition Soit E un K-e.v. (u 1, u 2,..., u n ) une famille de n vecteurs de E. On appelle rang de cette famille, noté rg(u 1,..., u n ) la dimension de l espace vectoriel Vect u 1,..., u n.

58 en dimension finie Rang d une application linéaire Bases Bases et applications linéaires Application coordonnées Définition Soit E, F deux K-e.v. φ L(E, F). On appelle rang de cette application, noté rg(φ) la dimension de l espace vectoriel Im φ si celui-ci est de dimension finie.

59 en dimension finie Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Théorème Soit E et F deux ev de même dimension finie, φ L(E, F). On a équivalence entre 1 φ est un isomorphisme 2 φ est injective. 3 φ est surjective.

60 en dimension finie Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Soit A M n (K) une matrice carrée n n. On a équivalence entre 1 A est inversible, 2 il existe B M n (K) telle que B.A = I n, 3 il existe B M n (K) telle que A.B = I n, 4 rga = n 5 Les colonnes de A forment une base de K n, 6 Les lignes de A forment une base de K n. Pour les trois premiers points, il s agit d une reformulation du théorème précédent appliqué au cas de φ : K n K n, x A.x.

61 en dimension finie Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Définir une a.l. par les images de vecteurs d une base Théorème Soit E un espace vectoriel de dimension finie, E = (e j ) j J une base. F un espace vectoriel et (f j ) j J une famille de vecteurs de F. Il existe une unique application linéaire f : E F telle que j I, f (e j ) = f j.

62 en dimension finie Matrice d application linéaire Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Proposition Soit E, F deux K-ev de dimension finie, E = (e j ) j J une base de E, F = (f i ) i I une base de F. 1 Etant donnée φ L(E, F), il existe une unique famille de scalaires Φ = (φ ij ) (i,j) I J telle que j J, φ(e j ) = i I φ ij.f i 2 Réciproquement, étant donnée une famille de scalaires Φ = (φ ij ) (i,j) I J, il existe une unique φ L(E, F) vérifiant la relation ci-dessus.

63 en dimension finie Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires On notera F [φ] E ou Mat(φ, E, F) cette matrice.

64 en dimension finie Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Théorème Cette matrice est caractérisée par la relation fondamentale x E, F [φ(x)] = F [φ] E. E [x].

65 en dimension finie Construction pratique Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires On retiendra la recette pratique de construction de la matrice Φ d une application linéaire φ : E F relativement aux bases E = (e 1,..., e n ) de E et F de F Φ = F [φ] E = (F [φ(e 1 )]... F [φ(e n )] ) Autrement dit, on calcule les colonnes de coordonnées sur la base F de chacun des vecteurs φ(e i ). Φ est obtenue en plaçant ces colonnes côte à côte.

66 en dimension finie Le théorème du rang Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Proposition Soit E, F deux K-ev de dimension finie, E = (e j ) j J une base de E, F = (f i ) i I une base de F, φ L(E, F) et Φ = F [φ] E alors, via les applications coordonnées, Ker φ et Ker Φ sont isomorphes. Im φ et Im Φ sont isomorphes.

67 en dimension finie Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Théorème (Théorème du rang) Soit E un K-ev de dimension finie, F un espace vectoriel, φ L(E, F), on a dim E = rg(φ) + dim Ker φ

68 en dimension finie Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Matrices et Addition/multiplication par un scalaire Théorème Soient E et F deux K-ev de dimension finie, munis respectivement des bases E et F. Si φ, ψ L(E, F), λ, µ K. On a F [λ.φ + µ.ψ] E = λ. F [φ] E + µ. F [ψ] E Les opérations à droite de cette égalité étant les opérations + et. du K-ev des matrices dim E dim F à coefficients dans K.

69 en dimension finie Matrices et Composition Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Théorème Soient E, F, G trois K-ev de dimension finie, munis respectivement des bases E, F, G. Si φ L(E, F), γ L(F, G), γ φ L(E, G) et G [γ φ] E = G [γ] F. F [φ] E La multiplication à droite de cette égalité étant une multiplication entre matrices de dimensions compatibles.

70 en dimension finie Matrices d endomorphismes Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Dans le cas où E = F, on peut bien sûr prendre E = F, dans ce cas, si φ est un endomorphisme de E, on appelle E [φ] E la matrice de φ relativement à la base E

71 en dimension finie Matrice de passage Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Soit E et E deux bases de E. On considère la matrice P dont les colonnes sont constituées des coordonnées de chaque vecteur de E dans la base E. Si E = (e 1,..., e n ) et E = (e 1,..., e n), on a donc P = ( E [ e 1]... E [ e n ])

72 en dimension finie Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Propriétés des matrices de passage Proposition La matrice de passage de E à E est inversible, son inverse est la matrice de passage de E à E.

73 en dimension finie Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Formules de changement de base : vecteurs Proposition Soit E un K de dimension finie n, E et E deux bases (indicées de 1 à n) de E, P la matrice de passage de E à E. Pour tout x E, notons X, resp. X le vecteur de ses coordonnées dans la base E, resp. E. On a X = P.X

74 en dimension finie Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Formules de changement de base : matrices Proposition Soient E, F deux espaces de dimension finie, φ : E F une application linéaire, E, E deux bases de E, F, F deux bases de F, Φ, resp. Φ les matrices de φ relativement à E et F, resp. E et F, P la matrice de passage de E à E, Q la matrice de passage de F à F. On a alors Φ = Q 1.Φ.P

75 en dimension finie Inversibilité automatique Matrices d applications linéaires Formules de changement de base : endomorphismes Proposition-Définition Soient E de dimension finie, φ : E E un endomorphisme, E, E deux bases de E, Φ, resp. Φ les matrices de φ relativement à E, resp. E, P la matrice de passage de E à E. On a alors Φ = P 1.Φ.P Deux matrices Φ et Φ liées par une telle relation sont dites semblables. Deux matrices semblables représentent la même application linéaire relativement à des bases éventuellement distinctes