Objectifs évalués. Date Mai Mots-Clés pour le site : 1. Fonctions 2. Probabilité 3. Espace 4. Suites numériques 5.

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1 Objectifs évalués Référence 16MATH1RES_E2_MAALR Matière Mathématiques Professeur Maalouf Raymonde & Hélou Pierre Classe Première S Date Mai 2016 Mots-Clés pour le site : 1. Fonctions 2. Probabilité 3. Espace 4. Suites numériques 5. Produit scalaire Objectifs évalués Cible 1. Etudier une fonction et résoudre des problèmes. 70 % 2. Résoudre des problèmes de probabilité 70 % 3. Résoudre un problème dans l espace 65 % 4. Etudier des suites 65 % 5. Utiliser le produit scalaire pour chercher des ensembles de points et pour résoudre un problème 70 % Auteurs : Acceptation : Maalouf Raymonde & Hélou Pierre Gladys Younès

2 Nom : N o : L usage de la calculatrice est autorisé Le sujet est formé de sept exercices Date : Mai 2016 Classe : Première S Durée : 180 minutes Exercice 1 (4 points) Cet exercice est composé de questions simples et indépendantes visant à tester vos connaissances sur le produit scalaire. 1. Déterminer l ensemble des points ( ; ) 2. Déterminer une équation du cercle de centre ( 2; 3) 3. Soit [ AB ] un segment de longueur M x y du plan tels que x + y + x 2y = Déterminer l ensemble des points M du plan tels que MA + MB = 16. Ω et tangent à la droite d équation y = x ABCD est un parallélogramme tel que AB = 4, AD = 3 et AC = 6. Calculer AB. 5. Sur la figure ci-contre, AC D I C 1 J A B ABCD est un carré de côté 1, I et J sont les milieux respectifs de [ DC ] et [ ] On note α la mesure de l angle AJ,AI ( ). BC. Donner la valeur exacte de cosα puis donner une valeur approchée de α à 1 degré près. Exercice 2 (2 points) ( ) = 5 x. Soit f la fonction définie sur ]0 ; 5[ par : f x A tout point M de la courbe (C) représentant f dans un repère orthonormé (O ; i, j ) on associe les points P et Q projetés orthogonaux respectifs de M sur l axe des abscisses et celui des ordonnées. 1. L aire du rectangle OPMQ est-elle constante pour toute position de M sur (C)? Justifier. 2. L aire de ce rectangle peut-elle être maximale? Si oui, préciser les coordonnés du point M correspondant. Justifier. 2

3 Exercice 3 (7 points) Soit la fonction f m définie sur R { 3} par : f m ( x) = x2 + x + m. x + 3 Soit (C m ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i, j ). 1. Montrer que toutes les courbes (C m ) admettent les mêmes asymptotes (d 1 ) : y = x 2 et (d 2 ) : x = 3, pour m Montrer que la dérivée f m ' ' est définie sur R { 3} par : f m ( x) = x2 + 6x + 3 m x + 3 ( ) Déterminer m pour que la tangente (T) à (C m ) au point d abscisse 0 de (C m ) soit parallèle à l axe des abscisses. 4. Calculer m pour que (C m ) admette deux extremunms. 5. Dans la suite, on suppose m = 3 et on considère la fonction f définie sur R { 3} par : f ( x) = x2 + x + 3 x + 3 et on désigne par (C) sa courbe. a) Etudier les variations de f et tracer (C). b) Soit (D) la droite d équation y = λ où λ est un paramètre réel. Déterminer λ pour que la droite (D) coupe (C) en deux points E et F. c) On désigne par G le centre de gravité du triangle OEF. Déterminer l ensemble des points G lorsque (D) varie. Exercice 4 (5 points) Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante : Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40% des dossiers reçus sont validés et transmis à l entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l issue duquel 70% d entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25% des candidats rencontrés. 1. On choisit au hasard le dossier d un candidat. On considère les événements suivants : D : «Le candidat est retenu sur dossier» E 1 : «Le candidat est retenu à l issu du premier entretien» E 2 : «Le candidat est recruté» a) Représenter la situation par un arbre pondéré. b) Calculer la probabilité de l événement E 1. c) On note F l événement Le candidat n est pas recruté. Démontrer que la probabilité de F est égale à 0,93. 3

4 2. Cinq amis postulant à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d eux soit recruté est égale à 0,07. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. a) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. b) Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10 3 près. 3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999? Exercice 5 (3 points) On donne un triangle quelconque ABC tel que : AB = 1 + 2, AC = 2 et BC = Calculer l angle en A et l aire du triangle ABC. 2. [AI] et [AH] représentent respectivement la médiane et la hauteur relatives à [BC]. Calculer AI et AH. 3. Soit M un point variable du plan tel que MB 2 + MC 2 = 2 2. a) Déterminer l ensemble (T) des points M. b) Déterminer la position du point A par rapport à (T). Exercice 6 (4 points) Dans la figure donnée en annexe, OAB est un triangle rectangle isocèle en O tel que OA = OB = 1. Soit C un point de la perpendiculaire (d) en O au plan (OAB). Soit E le milieu de [AB]. 1. Montrer que le plan (COE) est perpendiculaire aux plans (OAB) et (CAB). 2. On désigne par (OH) la hauteur relative à (CE) dans le triangle OCE, (H étant sur [CE]). a) Montrer que (OH) est perpendiculaire au plan (CAB). b) Trouver le lieu géométrique de H lorsque C varie sur (d). 3. Dans cette partie, on suppose que OC = 1. a) Calculer la tangente de l angle aigu des deux plans (CAB) et (OAB). b) Soit (P) le plan médiateur de [OC] et (d ) la perpendiculaire en E au plan (OAB). Le plan (P) coupe (d ) au point L. Montrer que L est équidistant des points O, C, A et B. 4

5 Exercice 7 (5 points) Soient deux suites (u n ) et (v n ) définies par : u 0 = 2 et v 0 = 10 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 2u n + v n 3 et v n+1 = u n + 3v n 4. Partie A On considère l algorithme ci-contre. On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Compléter le tableau, en annexe, donnant l état des variables au cours de l exécution de l algorithme. Partie B 1.a) Montrer que, pour tout entier naturel n, v n+1 u n+1 = 5 ( 12 v n u n). b) Pour tout entier naturel n, on pose w n = v n u n.! Montrer que, pour tout n, w n = 8 5 $ # &. " 12% n 2.a) Démontrer que la suite (u n ) est croissante et que la suite (v n ) est décroissante. b) Déduire des résultats précédents que, pour tout entier naturel n, u n 10 et v n 2. 5

6 Nom : Exercice 6 ANNEXE Exercice 7 6