Dérivation. a une limite à droite en xo. On dit alors que f est dérivable à droite

Transcription

1 Dérivation I Rappels et compléments (1) 1. Définitions Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de centre xo. On dit que f est dérivable en xo si : Il existe un réel l tel que lim = Quand il existe, l est appelé nombre dérivé de f en xo ou dérivée de f en xo et est noté l = f (x). Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I non vide ]a ; b[. On dit que f est dérivable sur ]a ; b[ si : f est dérivable en tout point xo de I Dans ce cas, la fonction ]a ; b[ R xo lim = s appelle la fonction dérivée de f ou dérivée première de f. On la note f. Dans ce qui précède, =. Il se peut parfois que f ne soit dérivable que sur une partie stricte de. L ensemble où f est dérivable s appelle le domaine de dérivabilité de f. On a toujours. Soit f une fonction définie sur [xo ; a[ avec (xo < a). On dit que f a une dérivée à droite au point xo si x en xo. La limite est notée. a une limite à droite en xo. On dit alors que f est dérivable à droite Soit f une fonction définie sur ]a ; xo] avec (a < xo). On dit que f a une dérivée à gauche au point xo si x en xo. La limite est notée. a une limite à gauche en xo. On dit alors que f est dérivable à gauche Soit f une fonction définie sur [a ; b]. On dit que f est dérivable sur [a ; b] si I f est dérivable sur ]a ; b[ II f est dérivable à droite en a et à gauche en b Soit f une fonction définie sur [a ; + [. On dit que f est dérivable sur ]a ; + [ si f est dérivable en tout point x tel que x > Soit f une fonction définie sur [a ; + [. On dit que f est dérivable sur [a ; + [ si I f est dérivable sur ]a ; + [ II f est dérivable à droite en a

2 On définit de même une fonction dérivable sur [a ; b[, sur ]a ; b], sur ] ; a[ ou sur ] ; a]. On dit que f est dérivable sur ] ; + [ si elle est dérivable en tout point de R. 2. Tangentes et demi-tangentes Définition Soit f une fonction définie sur une partie de R sa courbe représentative (dans un repère de nature quelconque). Soient M0( xo ; f (xo) ) un point de et une droite passant par M0 et non parallèle à l axe des ordonnées. On dit que est tangente à en M0 si La fonction h le coeficient directeur de la droite passant par M et M(x +h) ( +h)a pour limite le coefficient directeur de quand h 0 Théorème admet une tangente au point ( ;() ) non parallèle à (). (f est dérivable au point xo) Le coefficient directeur de cette tangente est alors () Equation de la tangente à au point M xo ;f(xo) = ( ) ( )+( ). Théorème ( est dérivable au point ) ( est dérivable à droite en ) ( é à h ( )= ( ) Demi-tangentes (sur un exemple) Soit :²+, définie sur R ; ()= ²+ 0 ² 0 τ(x)= ()() lim()= 1 < = () - Si <0, ()= ² lim()=1 > = 1 - Si >0, ()= ² =+1

3 n est donc pas dérivable en =0 car 1 1. Mais est dérivable en 0 à gauche et à droite et admet une demi-tangente à droite au point O(0;0) dont le coefficient directeur est 1. admet une demi-tangente à gauche au point O(0;0) dont le coefficient directeur est ² ²+ Autre exemple possible : = = ² 0 :.= ² 0 - si <0, = ² =, lim =0 < - si >0, = ² =, lim=0 > est donc dérivable en II Rappels et compléments (2) 1. Théorème Soient f et g deux fonctions dérivables sur un même intervalle I ouvert, non vide. o + est dérivable sur I et + = + o. est dérivable sur I et = R o est dérivable sur I et = + o o est dérivable sur J = I\ :=0 et = ² est dérivable sur J et = ²

4 2. Résultats classiques et conséquences du théorème précédent o : ; :0 o :+ ; : (R) (R) o :²++ ; :2+ (R) o : ; : ( ;0 0;+ ) o : ; : ( R,R ) o (, h sont dérivables sur I) (++h) = + +h ( h) = h+ h+h Ce résultat reste valable pour un nombre fini de fonctions dérivables sur I. Cas particuliers = ( ) =2 Pour N, ( ) = ; ( ) =0 Soit : est dérivable sur R :² ; :2 : ; :3² Toute fonction polynôme est dérivable sur R o Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle inclus dans son ensemble de définition. o Soit :, N ; : : : 1 ² = ²+² ² = 1 =1+² ² ; : ² ; : = sin, =cos, =1+² 3. Théorème 3.1 Soit définie sur un intervalle. Soit. Si est dérivable en alors :, = + + où est une fonction définie sur I telle que lim =0

5 Ex : ()=(1+) =1+2+² =(0)+ (0) + ()=(1+) =1+3+3²+ =1+3+(3+ ) h()= 1=(1+)(1 )+² 1 ² = = ² ² 1 On admet que la réciproque de ce théorème est vraie. 3.2 Soit une fonction définie sur un intervalle. Soit. Si est dérivable en alors est continue en. Démonstration Puisque est dérivable en alors, ()=( )+ ( ) ( )+( ) () Où est une fonction définie sur I telle que lim =0 lim =0 lim =0 Donc lim = Donc est continue en La réciproque du théorème 3.2 est fausse. En effet en considérant la fonction :, on obtient une fonction qui est continue en 0 (lim =0= lim = 0 mais qui n est pas dérivable en 0

6 0 0 0 = = = 1 =1 lim = 0 0 = 1 lim = 0 0 =1 4. Notation différentielle de la dérivée Partant du 1 er théorème du 3., parfois on pose h=. On obtient alors : h+ = +h +h h+ =h+ avec lim h+ =0 Puis (1) h+ = +h +h.h ù h=h+ avec lim h=0 (1) permet d obtenir approximation h+ +h avec l erreur h.h (1) s écrit, en posant = +h =h et =h+ (2) = + avec lim =0 On obtient l approximation avec l erreur Pour 0,2 = + avec lim =0 D où lim que l on écrit : = = = c est la notation différentielle de la dérivée, très utilisée en Sciences Physiques 5. Dérivée d une fonction composée Théorème g : I I=J R x x=y gy=gx =g On suppose de est dérivable sur l intervalle I c'est-à-dire dérivable en tout point I On suppose que g est dérivable au point =.

7 Alors g est dérivable au point et g = g : Z =gy = g = = Donc =