I. B Polarisation P d un milieu diélectrique; distribution de charges de polarisation.

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1 CHAPITRE I I. MILIEUX DIÉLECTRIQUES : ASPECTS MACROSCOPIQUES I. A Qu est-ce qu un milieu diélectrique? I. B Polarisation P d un milieu diélectrique; distribution de charges de polarisation. I. C Le vecteur déplacement D. I. D Cas des milieux homogènes, linéaires et isotropes; susceptibilité électrique χ e ; constante diélectrique ε. Champ dépolarisant; conditions de passage. Appendices : (a) charges de polarisation; (b) potentiel créé sur l axe d un disque uniformément chargé en surface.

2 I. A Qu est-ce qu un milieu diélectrique? Un milieu diélectrique est un milieu isolant. Les charges électriques (noyaux, électrons) ne sont pas mobiles et ne peuvent donc pas se déplacer dans le volume du matériau si l on applique un champ électrique

3 I. B Polarisation P d un milieu diélectrique; distribution de charges de polarisation. - E dipôle p Q=0 ; p=0

4 E 0 Volume dτ N v = N V dipôles par unité de volume dp =N v p dτ dipôle de moment p P Polarisation (C/m2 )

5 σ +σ On branche le champ E 0 +

6 A : aire de chaque plaque. dq=-a dx dx dx -σ +σ -σ +σ dq=0 p 1 p 2 dq<0!! p 3 p p 1 <p 2 <p 3 Cas uniforme (P indépendant de x : =0) Cas non uniforme où : 0 (>0)

7 charges surfaciques σ P de polarisation. E 0 σ P = P.n n P n - + σ -P +P P = σ P = σ P = P.n NB : σ P =0 si E 0 =0 (Ces charges de polarisation sont induites par la présence de E 0 ) Sur chacune des deux faces de la lame diélectrique il existe une densité surfacique de charges de polarisation σ P = P.n (n est la normale à la surface, orientée vers L EXTERIEUR)

8 charges volumiques ρ P de polarisation. P n n σ P = P.n ρ P E 0 σ P = P.n NB : ρ P =0 si E 0 =0 (Ces charges de polarisation sont induites par la présence de E 0 ) Dans le volume du diélectrique il existe une densité volumique de charges de polarisation ρ P = -.P

9 Champ de Maxwell. E = E 0 n E = E 0 + E dep E = E 0 E < E 0 E est appelé «champ de Maxwell» n P σ P = -P σ P = +P E dep =0 E dep E dep =0 E 0

10 I. C Le vecteur déplacement D. P ρ -P P = -.P +P - Maxwell-Gauss :.E =ρ 0 /ε 0 +ρ P /ε 0.D =ρ 0 + Maxwell-Gauss :.E 0 =ρ 0 /ε 0 D = ε 0 E +P Maxwell-Gauss :.E 0 =ρ 0 /ε 0 ρ D est le vecteur déplacement P = 0 ρ P = 0 E 0

11 I. D Cas des milieux homogènes, linéaires et isotropes; susceptibilité électrique χ e ; constante diélectrique ε. Champ dépolarisant; conditions de passage. Dans un milieu linéaire homogène et isotrope, P = ε 0 χ e E (E = E 0 + E dep ) χ e est la susceptibilité électrique (nombre) D = ε 0 E + P D = ε 0 (1+χ e )E ε r permittivité relative) ε = ε 0 ε r constante diélectrique

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13 Conditions de passage pour les composantes tangentielles du champ E. x=-a/2 z x= +a/2 n u z u x x n P. n = 0 σ P = 0 E dep =0 E = E 0 dans les régions 1 et En particulier en x=±a/2, E 2 =E 1 E 0 S applique aussi au cas où E 0 est parallèle à u y

14 Conditions de passage pour les composantes tangentielles du champ E. Cas général: E a des composantes selon x, y, z x=-a/2 z x= +a/2 AUX LIMITES ENTRE 1 ET 2 Pour x=±a/2 E 22 = E 11 E 0 u z x E 22 = E 11 u x E dep =0 E 2.t 12 = E 1.t 12 t 12 (u z, u y )

15 Plan infini uniformément chargé, de densité surfacique de charge σ E(M)=± σ 2ε 0 u Z

16 Condition de passage pour la composante normale de D. 2 x=-a/2 x=+a/2 1 2 E 0 E = E 0 E = E 0 + E dep = E 0 P/ε 0 E = E 0 σ P = -P P σ P = +P +P/2ε 0 +P/2ε 0 +P/2ε 0 P/2ε 0 P/2ε 0 P/2ε 0 E dep =0 E dep =0 E dep = P/ε 0

17 Condition de passage pour la composante normale de D. 2 x=-a/2 x=+a/2 1 2 E 0 Dans la région 1, E = E 0 + E dep E = E 0 = E 0 P/ε 0 E = E 0 ε 0 E +P = ε 0 E 0 σ P = -P P σ P = +P D = D 0 Dans la région 2, D = D 0 +P/2ε 0 P/2ε 0 En particulier, en x=±a/2, D 2 =D 1 E dep =0 E dep =0 E dep = P/ε 0

18 Conditions de passage pour la composante normale de D. Cas général: E a des composantes selon x, y, z mais SANS charges surfaciques RÉELLES sur les faces de la lame diélectrique z AUX LIMITES ENTRE 1 ET 2 Pour x=±a/2 n 12 n 12 u z u x x D 22 = D D 2.n 12 = D 1.n 12 x=-a/2 x= +a/2 n 12 -u x en x=-a/2 n 12 +u x en x=+a/2

19 Conditions de passage pour la composante normale de D. Cas général: E a des composantes selon x, y, z AVEC une densité surfacique de charges RÉELLES σ S sur les faces de la lame diélectrique n 12 n 12 σ S u z z u x x +σ S AUX LIMITES ENTRE 1 ET 2 Pour x=±a/2 ( D 2 - D 1 ).n 12 =σ S (x) n 12 -u x et σ S (x) =-σ S en x=-a/2 n 12 +u x et σ S (x) =+σ S en x=+a/2 x=-a/2 x= +a/2

20 APPENDICE A : CHARGES SURFACIQUES ET VOLUMIQUE DE POLARISATION Le potentiel créé en M par un dipole p placé en M 1 est donné par V(M) = 1 4ππ 0 p.m 1 M M 1 M 3 D après le théorème de superposition, une distribution infinitésimale de dipoles dp= Pdτ centrée en M 1 crée le potentiel élémentaire dv = 1 M 1 M.PPτ 4ππ 0 M 1 M 3 d où le potentiel total V= dd τ (l origine de V est à l infini) sachant que la distribution est contenue dans le volume fini τ centré à l origine O des coordonnées. La surface qui limite ce volume est désignée par A et on introduit le vecteur normal n en chaque point de cette surface. Nous allons établir que V(M)= 1 4ππ 0 [ ρ P dd + M 1 M σ P dd A M 1 M ] où σ P = P.n et ρ P = -.P

21 Pour cela nous allons établir l identité sur le gradient au point M 1 de la fonction des coordonnées 1/ M 1 M M1 1 M 1 M = M 1 M M 1 M 3 où M1 = ( 1, 1, Pour la dérivation, x,y,z se comportent comme des constantes. 1 ) OO 1 = r 1, OO = r, M 1 M =r -r 1 Vérifiez cette relation dans le cas particulier où M, M 1 ne dépendent que d une seule coordonnée, celle sur l axe des x. On en déduit que dv = 1 4ππ 0 On utilise alors la relation M1 MMM. Pdτ = 1 1 P. dτ MMM 3 4ππ M1 0 M 1 M.P = 1. 1 M 1 M M 1 M M 1 P + P. M1 M 1 M Et donc V(M)= 1 [ M Pdd 1 4ππ 0 M 1 M + M1.P M 1 M dτ D où la propriété annoncée = A P.ndd M 1 M D après le théorème d Ostrogradskii-Gauss

22 APPENDICE B : CHAMP ELECTRIQUE CRÉÉ PAR UN DISQUE UNIFORMEMENT CHARGÉ EN SURFACE, SUR L AXE DU DISQUE. Source:

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