Isogones d une ellipse, un exemple

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1 Isogones d une ellipse, un exemple Nous vons vu dns un suje précéden que l ensemle des poins du pln d où l on peu mener deux ngenes à une prole fisn un ngle consn es, en générl, une hperole. On peu imginer que l ensemle des poins du pln d où l on peu mener deux ngenes à une ellipse fisn un ngle consn es peu-êre, en générl, une ellipse. Cee conjecure es-elle exce? Nous llons x mener une peie enquêe. Nous prendrons pour exemple l ellipse d équion + = e nous llons chercher ses isogones. Cee enquêe v permere de réinvesir quelques echniques propres u second degré (discriminn, signe du rinôme, relions enre coefficiens e rcines, ). Il es pruden ussi de se munir d un logiciel de clcul formel e d un ure de représenions grphiques.. Le suje. Le pln euclidien es rpporé à un repère orhonormé ( O i, j) x crésienne + = l droie de coefficien direceur k pssn pr I.. Soi I un poin du pln, de coordonnées ( ),. On désigne pr (E) l ellipse d équion. Pour ou réel k, on désigne pr D k. Ecrire une équion crésienne de l droie D k.. Vérifier que l scisse d un poin d inersecion de D k e de (E) es soluion de l équion : ( k + ) x ( k( k ) ) x + ( k k + ) = Monrer qu une condiion nécessire e suffisne pour que cee équion i une soluion doule es que k + k + = ( ) Que se psse--il si = ±? 3.3. Monrer que, si I es exérieur à l ellipse, lors il psse pr I deux ngenes à l ellipse disinces.. Exprimer lors en foncion de e de les coefficiens direceurs des deux ngenes à l ellipse issues de I. 5. Déerminer l ensemle (C) des poins du pln d où l on peu mener à l ellipse deux ngenes perpendiculires. G. Juli, 06/07

2 6. Soi I un poin exérieur à l ellipse, d scisse disince de e de - e non siué sur (C). Exprimer en foncion de e de l ngene de l ngle géomérique des deux ngenes pssn pr I. 7. Soi θ un réel el que 0 < θ <. Monrer que si l ngle des deux ngenes pssn pr I pour mesure θ, lors : n θ.( x + 5) ( x + ( ) = 0 uli. Soi (Γ) l coure définie pr cee équion. L conjecure «L ensemle des poins du pln d où l on peu mener deux ngenes à une ellipse fisn un ngle consn es, en générl, une ellipse» es-elle exce? 8. On suppose dns cee quesion que θ =. Monrer que (Γ) es l réunion des qure coures d équions respecives : = 3 x + 3 3x = 3 x + 3 3x = 3 x 3 3x = 3 x 3 3x, coures que l on représener. G. Juli, 06/07

3 . Elémens de correcion. Soi I ( ) un poin du pln. L droie D k pssn pr I e n pour coefficien direceur k pour équion : = k( x ). Les coordonnées d un évenuel poin d inersecion de D k vec l ellipse son soluion du ssème = k( x ) d équions : x + = L scisse d un poin d inersecion vec l ellipse x c'es-à-dire de () : es soluion de l équion : + ( k( x ) + ) = 0 ( k + ) x ( k( k ) ) x + ( k k + ) = 0 L droie D k es ngene à l ellipse si cee équion une soluion doule, c'es-à-dire si son discriminn es égl à zéro. Le discriminn de cee équion u second degré en = k + k + x es : ( ) x uli07 Si =, lors x = k + e ce discriminn es nul pour une seule vleur de k : k =. Suf si I es un des deux sommes de l ellipse siués sur Ox, on peu mener pr I une ngene à l ellipse non prllèle à O (l prllèle à O issue de I psse pr un de ces deux sommes e consiue une ure ngene pssn pr I dns ce cs, il exise deux ngenes disinces à l ellipse don une es prllèle à O). Sinon, x es une expression u second degré en k de discriminn rédui : k = + ( ) = + Si k < 0 (I à l inérieur de l ellipse) il n exise ucune ngene à l ellipse pssn pr ce poin I. Si k = 0 (I sur l ellipse) il exise une seule ngene à l ellipse pssn pr ce poin I. Si k > 0 (I à l exérieur de l ellipse) il exise deux ngenes disinces à l ellipse pssn pr ce poin I. Leurs coefficiens direceurs son : k = + ( ) + + ( ) e k = G. Juli, 06/07 3

4 Lorsque, les deux ngenes son non prllèles à O e perpendiculires si e seulemen si k k =. Or k k = en n que produi des deux soluions de équion u second degré (). Les deux ngenes non prllèles à O e son perpendiculires si e seulemen si : = c'es-à-dire si e seulemen si : ce qui siue I sur le cercle de cenre O e de ron 5 excepé ux uli = 0 poins d inersecion de ce cercle vec les droies d équion x = ±. Mis en ces poins, on peu mener ussi deux ngenes perpendiculires, l une prllèle à O e l ure à Ox. Ce cercle enier es l ensemle cherché. Il s ppelle le cercle orhopique de l ellipse. Supposons désormis les deux ngenes issues du poin I non perpendiculires. L ngene de l ngle formé pr ces deux droies es lors égle à : k k + k k D une pr k k = + ( ). D ure pr k k =. k k + ( ) On oien insi : = k k Si on pose n θ = ( + ( ) celle de θ : uli07 ( + 5), lorsque ce ngle pour ngene =. On oien ciconre une relion icrrée lin e. En désignn pr u le crré de, ce crré s exprime en foncion de e de. G. Juli, 06/07

5 De l sore, si l ngle des ngenes issues de I es égl à θ, lors I pprien à une coure Γ du qurième degré d équion crésienne : n θ.( x + 5) ( x + ( ) = 0 Cee coure es réunion de deux coures d équions respecives : = ( 5 x ) ( ) + 6 3x e ( ) ( ) = 5 x 6 3x 6 6 Elle es ussi réunion de qure coures représenives d une foncion numérique : ( 5 x ) + 6 ( 3x 6) = = ( 5 x ) 6 ( 3x 6) = = ( 5 x ) + 6 ( 3x 6) ( 5 x ) 6 ( 3x 6) L conjecure émise u déu du suje es donc fusse. Les isogones de l ellipse ne son ps des ellipses. Lorsque pr exemple θ =, n θ =, on oien les qure coures d équions : = 3 x + 3 3x = 3 x 3 3x = 3 x 3 3x = 3 x + 3 3x L écrn ci-conre présene l ellipse (E) en leu, le cercle orhopique de l ellipse en poinillés rouges e l coure isogone de l ellipse ssociée à l vleur θ =, réunion de qure coures représenives d une foncion numérique (mgen pour l représenion grphique de f e ver pour celle de f 3. 5 Le cs θ =, un peu différen G. Juli, 06/07 5

6 Le cs θ =, similire u cs θ = 6 3. En perspecive Il reseri à fire une éude réciproque, pr exemple en envisgen une éude des foncions : x ( 5 x ) + 6 ( 3x 6) f ( x) = e : x f ( x) Une condiion nécessire pour que ces deux foncions, f comme f 3, 6 3 ( 3 6) ( + ) x 0, c'es-à-dire que x Pour que f soi définie, il fu de plus que 8 ( 5 ) + 6 ( 3 6) x x Pour que f 3 soi définie, il fu de plus que 8 ( 5 ) 6 ( 3 6) 0 + x x 3 = ( 5 x ) 6 ( 3x 6) Une éude grphique lisse conjecurer qu il deux cs de figure suivn l vleur de soien définies es déjà que = nθ Ou ien il exise qure vleurs de x pour lesquelles ( 5 x ) ( ) = 6 3x 6, uquel cs f 3 es définie sur une réunion de rois inervlles G. Juli, 06/07 6

7 Ou ien il n en exise que deux, uquel cs f 3 es définie sur un inervlle. Le chngemen de cs lieu lorsque il rrive que simulnémen = x = ( 5 x ) = ( 3x 6) 0, c'es-à-dire lorsque = 0 On devri «récupérer» dns cee réciproque les poins d scisse ou, d où l on peu mener une ngene à l ellipse prllèle à O. L écrn ci-conre monre en effe qu on peu mener des poins de Γ d scisse une deuxième ngene don l ngle polire es θ ou + θ. L ngle géomérique d une elle ngene vec une prllèle à O pour mesure θ. Soien A e A les poins de conc vec l ellipse des ngenes issues d un poin M de l coure isogone. Il devri pprîre que l ngle géomérique A pour mesure nô θ nô IA θ uli07. Dns les deux cs, l ngle géomérique des deux ngenes pour mesure θ G. Juli, 06/07 7