Investissements. Plan

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1 Investissements Plan Relation entre placement, revenus et taux d intérêt Relation entre emprunt, sommes remboursées et taux d intérêt Bilan: relation entre flux monétaires résultant d un échange intertemporel à un taux d intérêt donné Critères de décision: Un investissement est-il intéressant? Si cet investissement n empêche pas d autres investissements ou placements présents ou futurs, ni ne modifie leurs conditions Critère de la valeur présente Critère du taux de rendement interne Si cet investissement empêche d autres investissements ou placements présents ou futurs, ou modifie leurs conditions 1

2 Relation entre placement, revenus et taux d intérêt Placement à un taux d intérêt fixe On place I au taux annuel Plusieurs possibilités de revenus sur 2 ans suivant ce que l on souhaite recevoir la première année: 2

3 Placement à un taux d intérêt fixe Si l on cherche à trouver une relation entre les montants reçus et le montant investi, il est naturel d essayer d éliminer x, qui peut prendre plusieurs valeurs On obtient: ou Placement à un taux d intérêt fixe Interprétation: Je peux échanger 1 euro aujourd hui contre euros dans un an ou euros dans 2 ans. Donc B 1 dans un an peut être échangé contre aujourd hui et B 2 dans deux ans peut être échangé contre aujourd hui. Donc l ensemble «B 1 dans un an et B 2 dans deux ans» peuvent être échangé contre aujourd hui. 3

4 Relation entre emprunt, sommes remboursées et taux d intérêt Emprunt à un taux d intérêt fixe On emprunte E au taux annuel Plusieurs possibilités de remboursements sur 2 ans suivant ce que l on souhaite rembourser la première année: E 4

5 Emprunt à un taux d intérêt fixe Bilan: relation entre flux monétaires résultant d un échange intertemporel à un taux d intérêt donné 5

6 Généralisation Investissement On peut présenter le résultat sous la forme suivante: (I)+ B B 2 (1+) 2 =0 Emprunt On peut présenter le résultat sous la forme suivante: E + (R 1) 1+ + (R 2) (1+) 2 =0 Généralisation F 0, F 1, F 2,,F n des flux de paiements (F k positif si on reçoit F k à la periode k, négatif si on paye -F k à la periode k) correspondant à n périodes consécutives Si ces flux de paiements correspondent à divers échanges intertemporels au taux 6

7 Preuve En effet, partant d un flux F 0, F 1, F 2,,F n si on échange en plus des montants D l et D m au taux, Donc Le résultat provient alors du fait que Applications Montant des remboursements mensuels constants R d un emprunt de C euros à taux d intérêt mensuel t fixe sur n mois. Capital restant dû après i mois C i. Exercice: 7

8 Applications Montant des remboursements constants R d un emprunt d un montant C à taux d intérêt fixe sur n mois. Capital restant du. C + R 1+ + (R) (1+) 2 C = R 1+ R = 1( 1 1+ )n C [1( (R) (1+) n =0 = R [1 ( 1 1+ )n ] 1+ )n ] Rq: R tend vers une limite non nulle quand n tend vers l infini. A R constant, C tends vers une limite quand n tend vers l infini Applications Montant des remboursements constants R d un emprunt d un montant C à taux d intérêt fixe sur n mois. Capital restant du. C i : capital restant du apres i mois C i+1 = C i (1 + ) R : C i est une suite arithmetico-geometrique C i C i+1 + C i = R Interpretation a = a(1 + ) R a = R = C [1( 1 1+ )n ] (C i+1 a) =(1+)(C i a) C i = a +(1+) i (C a) = R +(1+)i (C R ) 8

9 Applications Capital restant du au bout de x années pour un emprunt de 30, à un taux d intérêt annuel de 10% sur 25 ans (remboursements constants) y x Applications Exercice: 9

10 Applications Exercice: M : taux d intérêt mensuel M + (100) (1+ M ) (100) (1+ M ) 12 = = M ( 1( 1 1+ ) 12 M )= M M A :tauxd intérêt annuel 1 M (1 ( 1+ M ) 12 ) 1+ A =(1+ M ) A

11 Critères de décision: Un investissement estil intéressant? Premier critère: valeur présente d un investissement (ou projet) (Si cet investissement n empêche pas d autres investissements ou placements présents ou futurs, ni ne modifie leurs conditions) Critères de décision: Un investissement est-il intéressant? Vous avez l opportunité de placer 100e aujourd hui qui vous rapporteront 110e dans un an. Faut-il que vous saisissiez cette opportunité? On voit bien que sans plus de précision, cette question n a pas de sens: Dépend de vos goûts (préférence pour le présent/futur, êtes-vous prêts à passer du temps à vous occuper de gérer un investissement, etc ) Dépend des placements alternatifs Dépend de vos capacités d emprunt Si «vous» êtes une entreprise, dépend du taux de rendement en dessous duquel les actionnaires préfèrent recevoir des dividendes (ce qui dépend de leur goûts, de leurs placements alternatifs, etc ) 11

12 Critères de décision: Un investissement est-il intéressant? Vous avez l opportunité de placer 100e aujourd hui qui vous rapporteront 110e dans un an. Faut-il que vous saisissiez cette opportunité? En supposant que vous préférez avoir 110e dans un an plutôt que 100e maintenant Si vous disposez de 100e, la réponse est oui ssi les placements alternatifs vous rapportent moins de 10% par an. Si vous pouvez emprunter 100e à un taux d intérêt, la réponse est oui ssi est inférieur à 10% par an. Dans ce cas, quel «montage» financier pouvez vous faire pour recevoir une certaine somme maintenant et ne rien avoir à payer ni à recevoir dans un an? Emprunter 110/(1+t) e maintenant, et utiliser 100e parmi ces 110/(1+t) e pour investir dans le projet: Les revenus du projet dans un an, 110 e, vous permettront de rembourser votre emprunt Critères de décision: Un investissement est-il intéressant? Vous avez l opportunité de placer 100e aujourd hui qui vous rapporteront 110e dans un an. Faut-il que vous saisissiez cette opportunité? En supposant que vous préférez avoir 110e dans un an plutôt que 100e maintenant Si vous pouvez emprunter 100e à un taux d intérêt, et si est inférieur à 10% par an. Emprunter 110/(1+t) e maintenant, et utiliser 100e parmi ces 110/(1+t) e pour investir dans le projet: Les revenus du projet dans un an, 110 e, vous permettront de rembourser votre emprunt Au final, vous gagnez /(1+t) aujourd hui C est ce qu on appelle la valeur présente (net present value) du projet, VP(t), qui bien sûr dépend du taux d intérêt t auquel vous pouvez emprunter Il est plus intéressant d investir dans le projet que de ne pas investir si VP(t) est positif (t taux d intérêt d emprunt si vous devez emprunter, taux d intérêt de placement si vous disposez de la somme à investir) 12

13 Généralisation: Valeur présente d un projet Un projet est caractérise par un flux de paiements futurs F 0,F 1, F 2, F 3,,F n (flux ne contenant pas les éventuels remboursements liés à un emprunt nécessaire à l investissement initial. Si F est négative, c est une somme que vous devrez payer, si F est positif c est une somme que vous recevrez) On supposera, sauf mention contraire, qu on peut librement emprunter ou investir au taux (bien sûr, en réalité on ne peut emprunter et investir au même taux). Recevoir F k dans k périodes vous permet de recevoir maintenant et rien dans k période (dit autrement, en empruntant maintenant, vous devrez rembourser F k dans k périodes ce que vous pourrez faire à l aide du revenu de votre projet). Ainsi, si vous entreprenez le projet, vous pouvez obtenir maintenant et ne rien payer ni recevoir dans le futur. Valeur présente d un projet C est ce qu on appelle la valeur présente du projet (net present value) Vu autrement, c est une façon d agréger bénéfices et pertes futures en une seule variable, suivant une plus ou moins grande valorisation du présent par rapport au futur Si la valeur présente est positive alors le projet est intéressant. 13

14 F 0 =-1000 F 1 =300 F 2 =400 F 3 =400 F 4 =500 F 5 =500 VP(0.1)=555.8 Valeur présente: interpretations VP(0.1)=555.8= =(300/ / )-1000 Interpretation 1: est le montant que l on doit placer aujourd hui à 10% annuel pour pouvoir retirer 300 dans un an, 400 dans deux ans, 400 dans trois ans VP(0.1)=555.8 signifie que le projet coûte de moins en investissement initial qu un investissement à 10% permettant de rapporter les mêmes sommes dans le futur. 14

15 Valeur présente: interpretations VP(0.1)=555.8= =(300/ / )-1000 Interpretation 2: est la somme qu on peut emprunter aujourd hui à 10% annuel si l on prevoit de rembouser 300 dans un an, 400 dans deux ans, 400 dans trois ans VP(0.1)=555.8 signifie que le projet coûte de moins que la somme que l on peut emprunter aujourd hui à 10% annuel grâce aux revenus futurs liés au projet. Critères de décision: Un investissement estil intéressant? Deuxième critère: taux de rendement interne d un investissement (ou projet) (Si cet investissement n empêche pas d autres investissements ou placements présents ou futurs, ni ne modifie leurs conditions) 15

16 Taux de rendement interne d un investissement Investissement: F 0 négatif, les flux futurs sont positifs. Alors VP(t) est décroissante Taux de rendement interne (internal rate of return): le taux d intérêt alternatif pour lequel la valeur présente du projet serait nulle Revient à déterminer le taux d intérêt qui nous aurait permis d obtenir les revenus futurs pour un investissement de départ F 0 F 0 =-1000 F 1 =300 F 2 =400 F 3 =400 F 4 =500 F 5 =500 VP(0.1)=555.8 TRI=

17 Taux de rendement interne d un investissement Si on ne peut emprunter ou épargner avec le même taux d intérêt: Si on doit emprunter pour financer le projet, l investissement est intéressant si le taux de rendement interne est supérieur au taux d intérêt d emprunt Si on dispose des liquidités nécessaires pour financer le projet, l investissement est intéressant si le taux de rendement interne est supérieur au taux d intérêt auquel on peut investir (avec un niveau de risque équivalent) Critères de décision: Un investissement est-il intéressant? (Si cet investissement empêche d autres investissements ou placements présents ou futurs, ou modifie leurs conditions) 17

18 Critères de décisions Dans le cas d un seul investissement, les critères de la valeur présente et du taux de rendement interne conduisent au même résultat. Un problème peut se poser quand on doit comparer plusieurs investissements: Ex TRI1=0.28 TRI2=0.275 TRI3=0.24 VP1(0.1)=555.8 VP2(0.1)=636.7 VP3(0.1)=

19 Dans l idéal, il faudrait entreprendre tous les projets pour lesquels la valeur présente est positive. Si un seul projet peut être adopté, et qu il n existe pas de contrainte sur les sommes que l on peut emprunter, il faut choisir le projet dont la valeur présente est la plus forte Si le taux d intérêt d emprunt est de 10%, il est donc préférable de choisir le projet 2 plutôt que le projet 1. Ce résultat s inverse si le taux d intérêt s approche de 25%. On ne choisit jamais le projet 3. Provient du fait qu à valeur présente constante, plus les revenus sont concentrés dans un futur proche, plus le taux de rendement interne est important. Autre exemple Projet 1: j investis 1 aujourd hui et je reçois 0.4 à chacun des tours futurs Projet 2: j investis 1 aujourd hui et je reçois 2 à la deuxième période TRI1=0.4, TRI2=1 Si le taux d intérêt est inférieur à 0.25, on préfère le projet 1 (Si on doit choisir entre les deux, on préfère bénéficier très longtemps d un investissement très rentable, plutôt que d un investissement beaucoup plus rentable pendant très peu de temps) 19

20 Critères de décisions(2) Si le taux d intérêt est de 5%, il peut être plus intéressant de bénéficier d un investissement à 8% pendant très longtemps, plutôt que d un investissement de 10% pendant une très courte période (si les investissements sont incompatibles et non renouvelables). Méthodologie générale: Considérer tous les ensembles de projets compatibles et choisir l ensemble de projet dont la valeur présente est la plus forte. Autre exemple Autre exemple: Si l on ne peut investir que dans un et un seul des deux projets suivants, lequel est le plus intéressant? Placement à 100 % annuel de 1 euro pendant 1 an Ou placement de euros à 30 % annuel pendant 30 ans? 20

21 Exercice: Effet de levier ou comment booster le taux de rendement interne Si l on peut emprunter à 10%, quel est le nouveau flux de paiement si on emprunte maintenant une somme telle qu on devra payer 500 en dernière période pour la rembourser? VP(0.1) inchangée TRI augmente 21

22 Taux de rendement qui tend vers l infini Dans l idéal, on voudrait réaliser tous les investissements dont la valeur présente au taux d emprunt est positive. En général, les banques demandent à ce que l on apporte une partie de l investissement (50% par exemple), et demandent des intérêts de plus en plus élevés quand votre endettement augmente, ce qui limite le nombre d investissements réalisables. Effet de levier: on s endette au max pour réaliser le plus possible d investissements dont la valeur présente est positive au taux de l emprunt (permet de maximiser la valeur présente des investissements réalisés pour un montant de capital propre fixé). 22

23 ex Projets concurrents Projet 1: Projet 2: Projet 3: Les projets 1 et 2 doivent obligatoirement être lancés maintenant Le projet 3 peut être lancé plus tard (mais une seule fois) On dispose de 5 unités monétaires au début et on ne peut pas emprunter. 23

24 24

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