DENOMBRER INTRODUCTION II L'UNIVERS III LE PRODUIT CARTESIEN LES NOMBRES TRIANGULAIRES CONNUS DES BABYLONIENS 2000 ANS AVANT J.C.

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1 LES NOMBRES TRIANGULAIRES CONNUS DES BABYLONIENS 2000 ANS AVANT J.C. I INTRODUCTION Les problèmes de déombremet semblet avoir été abordés vers les deriers siècles de l'atiquité. Dès le début de l'ère chrétiee,les Chiois, passioés par les jeux de hasard recouret la sigicatio des expressios algébriques das les problèmes de probabilité. les combiaisos (coefciets biomiaux : p ) 'apparaisset qu'au XII ème siècle où o les trouve chez le mathématicie hidou BHASKARA. La formule du biôme parait coue des arabes dès le XIII ème siècle. mais 'est retrouvée e occidet qu'au début du XVI ème Siècle. L'astroome arabe. poète et mathématicie OMAR KHAYYAM coaissait le triagle chiois dit "de PASCAl", du fait de so expositio das u traité posthume de l'auteur (1 665} au XVI ème siècle. L'impressio des premiers traités chiois est postérieure, mais ceùx-ci présetet le triagle comme quelque chose de cou depuis fort logtemps. II L'UNIVERS Depuis des lustres, l'homme est e proie au démo du jeu.das l'atiquité, l'exame des etrailles et du vol des oiseaux servait à lever le voile du futur. Sogeos au comte Sadwich, qui ivete l'immortel casse-croûte a de pouvoir se restaurer sas quitter la table de jeu.l'origie du mot hasard est lié au jeu de dé, le mot arabe az-zahr sigiat le dé. Quad o effectue ue expériece aléatoire, o est ameé à cosidérer l'esembles des résultats possibles que l'o regroupe das u esemble appelé uivers des cas possibles et traditioellemet oté : Das le cas du lacer d'u dé, l'uivers est : = f1:2:3:4:5:6:g ; trés souvet o s'itéressera à ue partie de l'uivers, que l'o appelle évéemet ; das l'exemple précédet, o peut s'itéresser à l'évéemet A : "le résultat du lacer de dé est pair " ; cet évéemet est : A = f2:4:6:g : Pour détermier le ombre de cas possibles d'ue expériece aléatoire ou le ombre de résultats d'u évéemet, o doit appredre à déombrer. III LE PRODUIT CARTESIEN 1. Itroductio: Le siècle où vécut Reé Descartes ( ) costitue ue très grade période itellectuelle de la civilisatio ; il eut comme comme cotemporais, otammet Fermat, Pascal, Galilée, pour e citer qu'eux, et fut suivi de près par Newto... Descartes parlait d'ue clef magique qui était apparue das u rêve et qui devait lui ouvrir l'accès aux trésors de la ature, par l'applicatio de l'algèbre à la géométrie : le 10 ovembre 1619 aissait la géométrie aalytique ; c'était le début des mathématiques moderes. 2. Le Produit Cartésie page 1 UFR14-Uiversité Paris 8 Sait-Deis

2 2 Descartes et Excel 3. Représetatio par u arbre (modèle multiplicatif) Lettres Nombres Cellules (30) % 1! A1 % 2! A2 A % 3! A3 & 4! A4 & 5! A5 & 6! A6 % % B idem 6 cellulesg?! C idem 6 cellulesg & D idem 6 cellulesg & E % % % & & & 1! 2! 3! 4! 5! 6! E1 E2 E3 E4 E5 E6 Das le tableau suivat commet caractériser l'esemble des cellules? Das Excel ue cellule est caractérisée par ue référece, par exemple A3 (coloe A, lige 3) O ote : L = fa; B; C; Dg et N = f1; 2; 3; 4; 5; 6g O déira l'esemble de ces cellules par : P = L N Produit Cartésie : c'est-à dire l'esemble des couples (x; y) ;où x est ue lettre de L et y u ombre de N Card (L N) = Card (L) Card (N) = 4 6 = Gééralisatio a. E géométrie aalytique quad o travaille e dimesio 2, das u pla, chaque poit est repéré das u repère cartésie par u couple de coordoées (x; y) élémet de R 2 ou R R ; e dimesio 3, das l'espace, chaque poit est repéré das u repère cartésie par u triplet de coordoées (x; y; z) élémet de R 3 ou R R R ; e relativité, o est e dimesio 4;la quatrième dimesio état le temps : (x; y; z; t) 2 R 4 : b. Exemples probabilistes E1-Pile ou face : o lace trois fois de suite ue pièce et o ote ;l'uivers des cas possibles (esemble des résultats) ; = fp ; F g 3 ; il y a doc Card = 2 3 = 8 résultats possibles ; par exemple (p; p; f) est u des résultats possibles ; o le omme triplet ou 3 uplet ce qui permet de gééraliser à u uplet (suite ordoée de élémets) E2-O lace u dé, deux fois de suite.u résultat possible de cette expériece aléatoire est u couple, par exemple : (5; 4) ou (5; 5).L'uivers des cas possibles est : = f1; 2; 3; 4; 5; 6g 2 = [j1; 6j] 2.otatio où [j1; 6j] désige tous les etiers aturels de 1 à 6 iclus.autremet dit il y a 36 résultats possibles. Cet uivers peut-être représeté par u arbre, par les 36 poits placés das u repère et dot l'abscisse et l'ordoée peuvet predre toutes les valeurs etières de 1à 6(rectagle délimité par les poits A(1; 1); B(6; 1); C(6; 1) et D(1; 6)) ou ecore par u tableau à double etrée (pricipe du tableur) 2 UFR14-Uiversité Paris 8 Sait-Deis

3 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) 2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) 3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) 4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) 5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) 6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) c. Exercice: U restaurat chiois présete ue carte compreat 17 etrées, 20 plats et 10 desserts.combie peut-o former de meus? Vous compredrez sas doute que très souvet o peut commecer u arbre pour visualiser la situatio mais qu'o e cherchera pas écessairemet, à part les isomiaques, à le ir. d. O lace quatre dés, dot les faces sot umérotées de 1à 6:Quel est l'uivers des résultats possibles et quel est so cardial? IV LES TECHNIQUES DE DENOMBREMENT IV.1 DES EXEMPLES 1. PERMUTATIONS a. Quatre persoes ayat le permis de coduire partet e week-ed; de combie de faços peuvet -elles s'istaller das la voiture? b. Combie peut-o écrire de ombres formés de quatre chiffres disticts, avec les chiffres 2, 4,6, et 8? c. O désire former u sigle de trois lettres distictes avec les lettres E, D et F; former tous les sigles possibles et compter les. d. 10 persoes ot décidé de se retrouver tous les midi et tous les soirs au restaurat, jusqu'à avoir épuisé les différetes possibilités de se placer à table; calculer combie de temps elles devrot aisi predre leurs repas e commu. e. Def iitio : Faire ue permutatio das u esemble de élémets, cosiste à les ordoer. Le ombre de possibilités est appelé factorielle et oté!:! = ( 1) ::::::: 1 f. Avec la calculatrice : calcul de 10! avec la calculatrice : o commece par retrer 10, puis o utilise le meu MATH, puis o met PRB(probabilité) e surbrillace e se déplaçat vers la droite, e o tape 4 et o obtiet le résultat. 2. ARRANGEMENTS: Ordre a. Le digicode d'u immeuble doit comporter u code formé de 4 chiffres disticts et d'ue lettre, le tout das u certai ordre; doer 4 exemples de codes possibles et doer le ombre total de possibilités. b. Ue course de chevaux comporte 12 partats; combie y a-t-il de tiercés possibles? combie de quités? c. U groupe de 5 touristes, a réservé 5 chambres das u hôtel das lequel il reste 8 chambres de libres; combie y-a-t-il d'affectatios possibles de ces touristes? Remarque : O parle aussi d'arragemet d'ordre p sas répétitio, ou de p liste d'élémets disticts de E: ( p uplet ); u 2 uplet est u couple. d. Defiitio : Faire u arragemet d'ordre p das u esemble de élémets, c'est choisir p élémets de E et les ordoer. Le ombre de possibilités est oté A p (pour p ). Calcul de A p : o a choix pour le premier élémet, ( 1) pour le secod, etc., le seul problème état le ombre de choix pour le derier, c'est-à dire le p ème ; avat lui o a choisi (p 1) ; il e reste doc : (p 1) soit ( p + 1) ; le résultat est doc : A p = ( 1) :::::::: ( {z p + 1) } p termes Exemples : A 2 4 = 4 3 = 12 ; A 4 6 = = 360 ; A 6 6 = = 720 e. Avec la calculatrice : A 4 6 retrer 6 (le plus grad) puis accéder au meu MATH, PRB, taper 2 (Pr) puis 4: page 3 UFR14-Uiversité Paris 8 Sait-Deis

4 4 3. COMBINAISONS : pas d'ordre a. O cosidère u touroi sportif egageat équipes, et das lequel chaque équipe doit recotrer chacue des autres; o appelle N le ombre total de matchs. Détermier N das les cas suivats : = 2; = 3; = 4; = 5: ( 1) La formule N = vous paraît-elle coveir? Calculer N pour = 11: 2 b. A l'issue d'ue réuio de travail, les ivités, courtois, se séparet e se serrat la mai. Combie y-aura-t-il de poigées de mais s'il y a 10 participats? c. Combie y-a-t-il de possibilités de choisir deux cartes das u jeu de 32 cartes? d. Ue etreprise emploie 5 meuisiers et doit evoyer ue équipe de trois meuisiers sur u chatier; combie y-a-t-il de choix possibles? e. Defiitio :O appelle combiaiso d'ordre p das u esemble E de cardial, tout sous esemble formé de p élémets disticts de E. O e tiet pas compte de l'ordre, il y e a doc mois de combiaisos que d'arragemets ; aisi avec les chiffres de 0 à 6; o peut former A 2 7 = 42 ombres formés de deux chiffres disticts (y compris 04...), mais combie de domios o doubles (formés de chiffres disticts)? le domio f5; 4g est évidemmet le même que le domio f4; 5g ; il y a doc seulemet 21 domios o doubles, c'est à dire 21 combiaisos d'ordre 2. Plus gééralemet, le ombre de combiaisos d'ordre p est le ombre d'arragemets divisé par p!: p = Ap p! Notatio :O ote p et o lit p élémets choisis parmi ";le ombre de combiaisos d'ordre p das u esemble de élémets (la otatio C p devat être abadoée). f. Avec la calculatrice Calcul de 12 4 : Retrer 12 (le plus grad) puis accéder au meu MATH, PRB, taper 3 (Cr) puis taper 4 : 4. APPLICATIONS QUELCONQUES a. O doit rager deux dossiers das 3 armoires, chacue pouvat coteir évetuellemet les deux dossiers. Représeter l'esemble des possibilités par u arbre, puis justier que l'esemble des possibilités peut être assimilé au produit cartésie A 2, A désigat l'esemble des armoires. Combie y e a -t-il? même questio avec 3 dossiers, 4, 10 e supposat que chaque armoire peut évetuellemet les coteir tous. b. U autobus démarre avec 15 passagers et sa lige comporte 20 arrêts; combie y-a-t-il de possibilités de répartitios des voyageurs aux différets arrêts? c. T heoreme : Soiet deux esembles E et F de cardiaux respectifs et p;il existe : p applicatios de E vers F: 5. Rappel : LES FORMULES Applicatios quelcoques Factorielle Arragemets : Ordre Combiaisos : uplets A p! Il y a p =!! = ( 1) ::: 2 1 ( p)! p = applicatios de p! ( p)! Covetio : 0! = 1 ( 1) ( 2) ::: ( p + 1) A p E das F p {z } p = P FACTEURS p! 4 UFR14-Uiversité Paris 8 Sait-Deis

5 6. Pascal, Newto... a. Le triagle chiois (1303) ou de Pascal p 1 p p 1 p 1 p = 1 + p 1 p 1 La formule du Biôme de Newto : (a + b) = k= P k=1 k a k b k V OPERATIONS SUR LES ENSEMBLES O cosidère ue expériece aléatoires et l'uivers des cas possibles. O rappelle qu'u évéemet A est ue partie de ; et que l'o ote : A. La Réuio (OU) : A [ B Le complémetaire : A A Β L'itersectio (ET) : A \ B 1. Itersectio : A \ B : x 2 A \ B, x 2 A et x 2 B: f1; 3; 5g \ f4; 5g = f5g : 2. Evéemet cotraire de A, oté A : si l'expériece aléatoire cosiste à lacer u dé hoête, alors = [j1; 6j] et si A désige l'évéemet : le résultat est pair, A = f1; 3; 5g :Les évéemets A et A sot disjoits ou icompatibles, car ils e peuvet se réaliser simultaémet : A \ A =?: 3. La réuio : A [ B : x 2 A [ B, x 2 A ou x 2 B par exemple : f1; 3; 5g [ f2; 5g = f1; 3; 5; 2g 4. L'itersectio : A \ B: c'est l'esemble des élémets apparteat à A ET à B 5. La réuio page 5 UFR14-Uiversité Paris 8 Sait-Deis

6 6 A [ B: c'est l'esemble des élémets apparteat à A OU à B; le OU état iclusif (cotraire de exclusif), ce qui sigie que les élémets peuvet apparteir à A et à B ; e clair : A \ B A [ B 6. Le complémetaire : si E est u esemble et A ue partie de A;o ote C E (A);appelé le complémetaire de E das A;l'esemble A [ A = E des élémets de E 'apparteat pas à A:Cet esemble est oté A e probabilité ; o a : A \ A = ; 7. LA FORMULE DE POINCARE Heri ( ,pricipe d'exclusio-iclusio) Card(A [ B) =Card(A)+Card(B) Card(A \ B) 8. CAS PARTICULIER IMPORTANT : L'additivité si A et B sot disjoits ou icompatibles, o a : Card(A [ B) = Card(A) + Card(B, A \ B = ; VI INTRODUCTION AUX PROBABILITES 6 UFR14-Uiversité Paris 8 Sait-Deis

7 1. Les foctios biométriques O cosidère la table de mortalité d'u groupe (d'ue cohorte selo l'expressio cosacrée e démographie) de idividus és à ue même date x ; cette foctio doe l'effectif du ombre de survivats ayat l'âge x (exprimé e aées).o ote l (x) le ombre de survivats à l'âge x. et d x le ombre de persoes décédées etre l'âge x et l'âge x + 1: Les tables de mortalité ot été établies e suivat ue cohorte de persoes, de sexe fémii (table vie) ou masculi (table décès) et e otat le ombre de vivats à l'âge x, oté ici l(x). Les assureurs costatet que la mortalité de leur clietelle est différete de la mortalité de la populatio et que les assurés qui cotractet ue assurace e cas de vie ot ue mortalité plus faible que ceux qui cotractet ue assurace e cas de décès. Le code des assuraces impose d'utiliser pour les assuraces e cas de décès la table masculie (TD) et pour les assuraces e cas de vie la table fémiie (TV). Les compagies d'assurace établisset aisi leurs tarifs sur les hypothèses "pessimistes", qui coduiset aux tarifs les plus élevés. Cette prudece vise à faire obstacle à la ruie de l'assureur et doc à garatir la sécurité des cotrats. page 7 UFR14-Uiversité Paris 8 Sait-Deis

8 8 Quelques questios pour se familiariser avec ces tables. a. Quelle est la probabilité qu'u homme de 20 as soit ecore e vie à 21as? b. Quelle est la probabilité pour u homme de 20 as de décéder avat ses 21 as? c. Quelle est la probabilité pour u homme de 20 as de décéder à 70 as? d. Quelle est la probabilité pour qu'ue femme de 30 as soit ecore e vie à 60 as? e. Quelle est la probabilité pour qu'ue femme de 30 as décède avat ses 60 as? f. Quelle est la probabilité pour qu'ue femme de 30 as décède etre 60 as et 70 as? Avec les tables de mortalité o a pu calculer des probabilités sas techique particulière, mais le calcul des probabilités écessite ue théorie et beaucoup de rigueur, ous allos aborder maiteat cette théorie. VII-MESURE DE PROBABILITE 1. Il s'agit ici d'itroduire la otio de mesure, c'est à dire à partir d'ue expériece aléatoire, d'associer à chaque évéemet de l' uivers u ombre compris etre 0 et 1 et qui mesure sa probabilité de réalisatio, 0 mesurat l'impossible et 1 le certai. 2. Esemble des eveemets : si désige l'uivers, o ote P () ; l'esemble des parties de ; c'est-à dire l'esemble des évéemets. Preos l'exemple d'ue pièce qui peut être éclairée par 3 éclairages idépedats, otés L 1 ; L 2 ; L 3 et détermios 1 : o allume la lampe toutes les possibilités d'éclairage de cette pièce : o peut dresser u arbre e décidat d'u "code biaire" : 0 : o 'allume pas la lampe et représeter la situatio par u ARBRE : % fl 1 ; L 2 ; L 3 g 1 % & fl 1 ; L 2 g 1 % & % fl 1 ; L 3 g 0 I & fl 1 g I % fl 2 ; L 3 g 1 & % & fl 2 g 0 & % fl 3 g 0 & 0 000? Represetatio par u arbre de l'esemble des parties de O voit aisi sur cet exemple, que l'esemble des parties de l'uivers est costitué de 8 évéemets ; l'esemble? (aucue lampe), les trois sigletos (évéemets élémetaires), les trois paires et l'uivers lui-même. O voit sur cet exemple que CardP () = 2 3 ; car pour costituer ue partie de l'uivers, o a pour chacu des élémets deux possibilités : soit o le pred, soit o le laisse.o otera aussi que CardP () = 2 3 correspod à la somme des termes de la troisième lige du triagle de Pascal : = 2 3 : 0 {z} V ide 1 {z} Si gletos 2 {z} paires 3 {z} uivers Plus gééralemet, o démotre que pour u uivers de cardial ; o a : CardP () = + + ::::::: + = Remarque : la formule du biôme de Newto, appliquée pour a = b = 1 doe : (1 + 1) = :::: + k + ::: + soit ::::::: + = 2 : 3. MESURE DE PROBABILITE O appelle mesure de probabilité déie sur u uivers ; toute applicatio de P () das [0; 1] qui vérie les propriétés suivates : 4. Propriétés : P () = 1 et P (?) = 0 P(A [ B) = P(A) + P (B), A \ B = ; : Axiome de Kolmogorov a. Formule de Poicaré : P(A [ B) = P(A) + P (B) P (A \ B) b. P(A) = 1 P(A) et de même : P(A) = 1 P(A) 8 UFR14-Uiversité Paris 8 Sait-Deis

9 5. Cas d'ue probabilité uiforme: a. Déitio 1: O dit que des évéemets sot equiprobables, si et seulemet si : P(A) = P (B) : b. Déitio 2: O dit que la probabilité est uiforme, si tous les évéemets élémetaires sot équiprobables. Exemples : jeu de pile ou face avec ue pièce o truquée : P(pile) = P (face) = 1 2 : jeu de dés o truqués, avec ue probabilité de 1 6 pour chaque face. c. Si la probabilité est uiforme, o calcule P(A) par la formule suivate : P(A) = CardA ombre de cas favorables = Card ombre de cas possibles d. Exemple: U coseil muicipal est costitué de 10 coseillers; le coseil a décidé de costituer 3 commissios, ue relative à l'urbaisme formée de deux coseillers, ue relative à la citoyeeté formée de trois coseillers et la derière relative au logemet et formée de 5 coseillers. i. Combie y-a-t-il de possibilités de costituer ces trois commissios? ii. E supposat que ces commissios soiet costituées au hasard, quelle est la probabilité pour que deux coseillers doés, M.U. et Mme.V. soiet das la même commissio? VIIIEXERCICES 1. Ecrire : a. Combie peut-o écrire de mots de 6 lettres avec les 26 lettres de l'alphabet? b. Combie de ces mots sot écrits avec des lettres distictes? c. Combie peut-o écrire de mots de 6 lettres tels que deux lettres cosécutives soiet distictes? 2. Préciser l'uivers ; das les expérieces aléatoires suivates : (o débutera u arbre das chaque exemple) a. Jouer à pile ou face 10 fois de suite. b. Lacer u dé 6 fois de suite. c. Répodre à u QCM qui compred 20 questios, si o peut répodre à chaque questio par : Vrai, Faux ou Rie. 3. U coseil muicipal est costitué de 10 coseillers; le coseil a décidé de costituer 3 commissios, ue relative à l'urbaisme formée de deux coseillers, ue relative à la citoyeeté formée de trois coseillers et la derière relative au logemet et formée de 5 coseillers. a. Combie y-a-t-il de possibilités de costituer ces trois commissios? b. E supposat que ces commissios soiet costituées au hasard, quelle est la probabilité pour que deux coseillers doés, M.U. et Mme.V. soiet das la même commissio. 4. Pour accéder à ue baque de doées, vous devez taper u code commeçat par trois lettres distictes prises parmi fa; e; i; o; ug et issat par u ombre à 5 chiffres dot aucu chiffre 'est ul. Combie peut-o former de tels codes? 5. U chef d'etreprise doit recruter quatre employés, pour occuper quatre postes similaires, parmi 20 cadidats, dot treize femmes et 7 hommes. a. Quel est le ombre de choix possibles? b. Combie a-t-il de possibilités de recruter 4 employés de même sexe.? 6. Le petit déjeuer: Julie a le choix etre quatre cotures différetes pour étaler sur ue tartie, ue biscotte et u toast. E plus de la coture, elle peut évetuellemet les beurrer. Combie a-t-elle de possibilités? 7. Le problème du Chevalier de Méré : Le Chevalier de Méré a demadé à Pascal, s'il est plus facile d'obteir au mois u 6 e laçat quatre fois de suite u seul dé ou d'obteir au mois u double 6 e laçat 24 fois de suite deux dés. Retouver la répose du grad mathématicie ( ). 8. O tire simultaémet 5 cartes d'u jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de tirer exactemet deux rois? 9. Ue classe de 35 élèves doit élire ses deux délégués; combie y a-t-il de possibilités? 10. Les représetats d'u parti politique américai doivet choisir parmi 10 persoes u ticket pour l'électio présidetielle: présidet, vice présidet; combie y a-t-il de possibilités? 11. La secrétaire du bureau des ressources humaies d'ue etreprise doit partager u esemble de 12 cadidatures e trois groupes de 4 cadidatures. Combie y-a-t-il de possibilités d'effectuer ce partage? 12. Même questio si l'o doit costituer u groupe de 6, u de 4 et u de La répartitio par sexe (X) et par atioalité (Y ) des 40 passagers d'u avio est détermiée par le tableau ci-dessous: page 9 UFR14-Uiversité Paris 8 Sait-Deis

10 10 Y Suisse Allemade Italiee Fraçaise Total X Masculi Fémii 4 3 Total 8 Au cours d'ue escale, trois passagers descedet de l'avio; détermier les probabilités des évéemets suivats : a. A : " les trois passagers sot de même sexe. B : les trois passagers sot de même atioalité B 0 : les trois passagers sot de trois atioalités différetes C : " u seul des trois passagers 'est pas fraçais D = A \ C et E = A [ C et F : il y a au mois ue femme parmi ces trois passagers 14. les deux boulagers d'u même village choisisset idépedemmet l'u de l'autre, deux jours de fermeture hebdomadaire. O suppose que la probabilité de fermeture est la même pour les sept jours de la semaie et ceci pour les deux boulageries. a. Préciser le cardial de l'uivers. b. Quelle est la probabilité d'avoir tous les jours au mois ue boulagerie ouverte? c. Quelle est la probabilité d'avoir u seul jour das la semaie les deux boulageries fermées? 15. A chaque voyage, u représetat de commerce visite 5 des 8 villes de sa régio. De combie de faços peut-il prévoir so itiéraire? 16. De combie de faços, ue compagie peut-elle choisir quatre sites, parmi les 10 suceptibles d'accueillir de ouveaux cetres de distributio? 17. U restaurat chiois présete ue carte compreat 17 etrées (dot le rouleau de pritemps), 20 plats (dot des crevettes sel et poivre) et 10 desserts. a. Combie peut-o former de meus? b. Quelle est la probabilité, e choisissat u meu au hasard, d'avoir u rouleau de pritemps pour etrée?d'avoir des crevettes sel et poivre pour plat?d'avoir u rouleau de pritemps pour etrée ou des crevettes sel et poivre pour plat? 18. Le problème du Price de Toscae: Ce problème a été posé à Galilée par ce price, grad joueur : le price avait remarqué que le total 9 sortait mois souvet que le total 1 0 quad o lace trois dés, mais il e compreait pas pourquoi car, disait-il, il ya six faços d'obteir 9 et égalemet six faços d'obteir 10. Pour 9 : 6-2-1, 5-3-1, 5-2-2, 4-3-2, 3-3-3, Pour 10: 6-3-1, 6-2-2, 5-4-1, 5-3-2,4-4-2, Recostituer la solutio de Galilée et déduisez e que ce price était u très bo observateur. 19. U exame comporte u QCM de 20 questios ; à chaque questio, o peut répodre par vrai, faux ou e pas répodre. Quelle est la probabilité d'avoir exactemet 10 réposes justes? 20. New-York, New-York... M Combie y-a-t-il de plus courts chemis de O à M? O 21. U couple a ivité couples à u dîer autour d'ue table ; Quelle est la probabilité pour que la maîtresse de maiso se trouve e face de so cojoit? 22. Quelle est la probabilité de touver les 6 bos uméros au loto? (o rappelle que les uméros sot à choisir parmi les ombres de 1 à 49). 23. Directemet dérivés de l'art combiatoire cher à Leibiz, les poèmes de R.Queeau sot egedrés par 10 soets de 14 vers.chacu de ces soets est imprimé sur ue feuille découpée e badelettes ; chaque vers peut être remplacé par le vers du même rag de l'u des 9 autres poèmes. Combie y-a-t-il de poèmes? 24. Calculer : 4! + 0! + 5! + 8! + 5! 25. U istitut de sodage effectue ue equête sur la lecture de trois périodiques. Voici les pourcetages des réposes afrmatives aux questios suivates : Questios OUI Questios OUI Lisez vous le périodique A? 56% Lisez vous les périodiques B et C? 8% Lisez vous le périodique B? 33% Lisez vous les périodiques A et C? 11% Lisez vous le périodique C? 27% Lisez vous les périodiques A; B et C? 2% Lisez vous les périodiques A et B? 7% 10 UFR14-Uiversité Paris 8 Sait-Deis

11 Idiquez le pourcetage de persoes qui e liset aucu de ces trois périodiques? 26. Quatre persoes preet l'asceseur au iveau 1 d'u immeuble, a de moter aux iveaux supérieurs (2 à 5 ) ; Quelle est la probabilité que les persoes s'arrêtet à des étages différets? (leurs choix sot idépedats et les étages sot visités de faços équiprobables). page 11 UFR14-Uiversité Paris 8 Sait-Deis

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle

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