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1 1 Résumé de cours Compléter le tableau suivant pour les machines dithermes : Moteur Réfrigérateur Pompe à chaleur Signe de W Signe de Q C Signe de Q F Énergie utile W Q F Q C Énergie onéreuse Q F W W Efficacité ou rendement Efficacité ou rendement de Carnot 1 + Q F Q C 1 + T F T C Q C 1+ Q C Q F T F T C T F Q F T C T C T F 2 Cycle de Carnot d après Banque PT 2002) On considère un moteur thermique constitué d un cylindre de volume égal à 1 L. Le gaz est assimilé à un gaz parfait de rapport γ = 1, 4. Le piston est couplé à un système mécanique de sorte que les transformations seront considérées comme quasistatiques. L air enfermé dans le cylindre subit les transformations réversibles suivantes : A B : isotherme B C : adiabatique C D : isotherme D A : adiabatique Les coordonnées de l état A sont : P A = 1 bar, = 1 L, T A = 300 K. Dans l état B, V B = a avec a = 8 et dans l état C, P C = 50 bar. 1. Les isentropiques P V γ = Cste) sont plus "pentues" que les isothermes P V = Cste) 2. A et B sont reliés par une transformation isotherme, donc P V = Cste au cours de la transformation, et en particulier P A = P B V B donc P B = P A V B = ap A = 8 bar 1

2 B et C sont reliés par une adiabatique réversible, donc une transformation isentropique d un gaz parfait. On peut donc utiliser la loi de Laplace P 1 γ C T γ C = P 1 γ B T γ B, donc, comme T A = T B ) 1 γ ) PB γ 0,4 8 1,4 T C = T A = 300 = 506 K 50 P C La transformation isotherme CD constitue donc le contact entre le fluide et le thermostat à la température T c. 3. La transformation CD est une isotherme, donc P C = P D V D, soit en multipliant par la relation donnée pour AB P A P C = P B P D V B V D Or, compte tenu du caractère isentropique des transformations BC et DA, on a aussi la loi de Laplace T B V γ 1 B = T C V γ 1 C et T D V γ 1 D = T A V γ 1 A donc et donc V B = Or T A = T B et T C = T D, donc et finalement On en déduit TC T B V B V D = ) 1 γ 1 et ) 1 TC T B V D = γ 1 T A V B V D = 1 P A P C = P B P D P D = P AP C = 1 50 P B 8 T D TA T D ) 1 γ 1 = 6, 25 bar ) 1 γ 1 4. Pour le cycle U = Q f + Q c + W = 0 donc W = Q c Q f. Les échanges d énergie thermique se font pendant les transformations isothermes, pour lesquelles l énergie interne reste constante. On a alors, puisque les transformations sont réversibles, donc quasistatiques P e = P ) Q iso = W iso = P dv et donc Q AB = nrt A ln V B Le travail sur le cycle entier vaut donc et Q CD = nrt C ln V D W = nrt A ln V B nrt C ln V D 2

3 On utilise la relation V BV D = 1 pour calculer V D = V B et l équation d état des gaz parfaits pour obtenir n = P A RT A donc W = nrt A T C ) ln V B = P A T A T C ) ln a T A Numériquement W = ) ln 8 = 143 J 300 qui est donc bien négatif, comme on l attend pour un travail moteur. Numériquement D après le théorème de Carnot Q CD = nrt C ln V D = P A T C ln T A Q CD = VA V B ) 506 ln 8 = 360 J η = W Q CD = = 0, 4 = P A T C ln a T A η = 1 T f T c = = 0, 4 7. La puissance est égale au rapport de l énergie produite par le temps mis pour la produire P = = 11, 9 kw = 16, 2 cv 8. Les performances, comparées à celle d un moteur récent, sont assez faibles. Un moteur récent de 1000cm 3 produit une puissance se situant autour de 70 cv. Ceci est du, entre autre, au caractère réversible du moteur suivant un cycle de carnot 3 Cycle de Brayton - Joule On considère une turbine à gaz schématisée sur le dessin ci-dessous : 3

4 Le gaz qui décrit le cycle est l air considéré comme un gaz parfait. On ne tient pas compte de l écoulement du gaz. Partant de l état 1 P 1 = 1 bar, T 1 = 300 K), le gaz passe dans un turbocompresseur dans lequel il subit une compression adiabatique réversible état 2 : P 2 = 6.5 bar, T 2 ). Ensuite il passe dans une chambre de combustion E 1 ), où il est mélangé avec une petite quantité de carburant dont on néglige la masse. Le gaz subit une transformation isobare réversible et passe à l état 3 P 3, T 3 = 1300 K). Le gaz subit ensuite une détente adiabatique réversible dans une turbine T ) pour arriver à l état 4 P 4, T 4 ). Enfin, il se refroidit de manière isobare réversible en retournant à l état 1. On donne pour l air : γ = 1, 4, masse molaire M = 29 g.mol 1. Constante des gaz parfaits R = 8, 314 J.K 1 mol 1. On raisonnera sur une masse de 1 kg de gaz. 1. Déterminer l expression de T 2 et de T 4 en fonction de T 1, P 1, P 2 et T 3. Effectuer les applications numériques. La transformation entre l état 1 et l état 2 est adiabatique réversible. Comme de plus, l air est considéré comme un gaz parfait, on peut appliqué la loi de Laplace : P 1 γ 1 T γ 1 = P 1 γ 2 T γ 2 T γ 2 = T γ 1 P1 P 2 ) 1 γ T 2 = T 1 P1 P 2 ) 1 γ γ L application numérique donne T 2 = 512 K. De même, la transformation entre l état 3 et l état 4 est également adiabatique et réversible et on a P 1 γ 3 T γ 3 = P 1 γ 4 T γ 4 T γ 4 = T γ 3 ) 1 γ P3 Comme la transformation entre l état 2 et l état 3 est isobare, on a P 2 = P 3 et comme la transformation entre l état 4 et l état 1 est isobare, on a P 4 = P 1. Il vient donc P 4 L application numérique donne T 4 = 762 K. ) 1 γ P2 γ T 4 = T 3 P 1 4

5 2. Représenter le cycle dans un diagramme de Watt sans respecter l échelle). S agit-il d un cycle moteur ou récepteur? La cycle est moteur car il est parcouru dans le sens horaire. 3. Déterminer les expressions des transferts thermiques reçus par le gaz entre les états 2 et 3 Q 23 ) et entre les états 4 et 1 Q 41 ). Effectuer les applications numériques. La transformation 2 3 est isobare, on a donc Q 23 = H 23 = C P T = γnr γ 1 T 3 T 2 ) On raisonne sur une masse de 1 kg d air, on a donc n = m M Ainsi, Q 23 = γmr Mγ 1) T 3 T 2 ) avec m = 1. L application numérique donne Q 23 = 791 kj pour 1 kg d air. Ce transfert thermique est positif, étant donné le principe de fonctionnement d un moteur, il s agit du contact avec la source chaude. La transformation 4 1 est isobare, on a donc soit pour 1 kg d air Q 41 = H 41 = C P T = γnr γ 1 T 1 T 4 ) Q 41 = γmr Mγ 1) T 1 T 4 ) L application numérique donne Q 41 = 464 kj pour 1 kg d air. Ce transfert thermique est négatif, étant donné le principe de fonctionnement d un moteur il s agit du contact avec la source froide. 4. Déterminer l expression du travail total reçu par le gaz W sur le cycle. Effectuer l application numérique. 5

6 D après le premier principe appliqué au cycle de transformations, on a Avec Q 12 = 0 et Q 34 = 0, il vient U = W + Q 12 + Q 23 + Q 34 + Q 41 = 0 W = Q 23 Q 41 L application numérique donne W = 327 kj pour 1 kg d air. On a bien W < 0, ce qui confirme le fonctionnement moteur de ce dispositif. 5. Une partie du travail fourni par la turbine sert à entraîner le turbocompresseur par l intermédiaire d un arbre. Déterminer le travail nécessaire à l entraînement du compresseur et la part que cela représente dans le travail total fourni par la turbine. Le travail fournit par la turbine se fait durant l étape 3 4, durant laquelle le système reçoit un travail W 41. Evaluons ce travail : la transformation étant adiabiatique, le premier principe s écrit : U 34 = W 34 = nr γ 1 T 4 T 3 ) W 34 = mr Mγ 1) T 4 T 3 ) L application numérique donne W 41 = 540 kj. Ainsi, la turbine fournit à l extérieur un travail W T = 540 kj. Le passage par le turbocompresseur se fait durant l étape 1 2 durant laquelle le gaz reçoit un travail W 12 > 0. Évaluons ce travail. La transformation étant adiabatique, le premier principe s écrit : U 12 = W 12 = nr γ 1 T 2 T 1 ) W 12 = mr Mγ 1) T 2 T 1 ) L application numérique donne W 12 = 213 kj. Le turbocompresseur doit donc recevoir de l extérieur un travail W T C = 213 kj. Ce travail représente 39,4% du travail fourni par la turbine. 6. Déterminer l expression du rendement η en fonction des températures. Effectuer l application numérique. Pour un moteur, on a η = W Q c = W Q c = Q c + Q f Q c = 1 + Q f Q c On a Q f = H 41 = C P T 1 T 4 ) et Q c = H 23 = C P T 3 T 2 ). Ainsi, L application numérique donne η = 41, 4%. η = 1 + T 1 T 4 T 3 T 2 6

7 4 Comparaison radiateur/pompe à chaleur 1. On suppose qu on utilise dans un premier temps un radiateur électrique. a) b) On considère le système constitué par le local. Pour ce système, la transformation est isochore, donc U = Q. Si la température ne varie pas, il faut alors que Q = 0, donc Q rad = Q pertes et donc, en terme de puissance P rad = 4180 W. 2. On suppose maintenant qu on utilise une pompe à chaleur. a) b) L efficacité d une pompe à chaleur réversible est donnée par e = c) L efficacité est aussi donnée par T c T c T f = e = Q c W = W = Q c e = 14, 65 L énergie thermique fournie par la PAC au local vaut Q P AC = Q c et elle doit compenser les pertes Q P AC = Q pertes, donc P P AC = Qpertes = P t pertes. Finalement d) Dans ce cas P W = P c e = P pertes e P W = P c e = P pertes e = , 65 = 285 W = , 5 = 1194 W 3. La PAC permet de diminuer l énergie nécessaire au maintient de la température dans la pièce. 7

8 5 Réfrigérateur à absorption D après le premier principe, U = 0, donc Q 1 + Q 2 + Q 3 = 0. Or Q 1 > 0 et Q 3 > 0, donc Q 2 < 0. Par ailleurs, on a l inégalité de Carnot Clausius donc ce qui donne Q 1 T 1 + Q 2 T 2 + Q 3 T 3 0 et Q 2 = Q 1 Q 3 Q 1 Q 1 + Q 3 + Q Q 1 1 ) ) + Q 3 T 1 T 2 T 3 T 1 T 2 1T3 1T2 0 ) ) T2 T 1 T2 T 3 T 3 Q 1 Q 3 Q 1 Q 3 T 2 T 1 T 2 T 3 T 1 ) T3 T 2 T 2 T 1 3. L énergie utile est égale à Q 1 refroidissement du réfrigérateur) et l énergie onéreuse est égale à Q 3, donc e = Q 1 T ) 3 T3 T 2 Q 3 T 1 T 2 T 1 4. Dans le cas évoqué, on trouve e 1, 9 e = T f T c T f = T 1 T 2 T 1 = 7, 6 Le réfrigérateur proposé est donc moins efficace mais fonctionne sans apport de travail, ce qui peut être un atout, par exemple dans un environnement où le bruit est une contrainte. 8

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