COMPORTEMENT SOUS CHARGEMENT THERMIQUE

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1 COMPORTEMENT SOUS CHARGEMENT THERMIQUE

2 Comportement sous chargement thermique Coupe d'un turboréacteur T en entrée turbine jusqu'à 1800 C Cycle thermodynamique Pour augmenter l'efficacité, il faut augmenter le taux de compression P3/P2, ou augmenter T4 Actuellement, on a des matériaux qui résistent jusqu'à T= 1700 C en entrée turbine

3 Comportement sous chargement thermique Disque de turbine équipé d'aubes Sollicitations sur le disque : Force centrifuge Echanges thermiques avec les gaz de combustion (1700 C) Concentration de contrainte en pied d'aube Sollicitations sur l'aube : Pression dûe à l'écoulement Gradient thermique dû aux échanges thermiques avec les gaz de combustion (1700 C) et le disque Environnement corrosif (gaz de combustion) Quel est l'état de contrainte? Quelle durée de vie du disque et de ses aubes?

4 Comportement sous chargement thermique Elasticitélinéaire (rappels) Mécanique des milieux continus Loi de comportement Chargement thermique Dilatation thermique Champ de température Comportement sous chargement thermique Thermo-élasticité linéaire Contraintes d'origine thermique Voir cours MG1100 Mécanique Objectif : être capable de déterminer le champ de contrainte et de déformation d'une pièce soumise à un chargement thermomécanique

5 Mécanique des milieux continus Cinématique : transformation du milieu continu Ω : solide P, Q : deux points matériels Ω Ω' Tenseur gradient de transformation r r dx = F dp Tenseur gradient du déplacement r r r r r dx = dp + du = ( I+ gradu ) dp F

6 Tenseur des déformations Déformations Mesure des allongements relatifs et des distorsions Différentes mesures en transformation finie Tenseur des déformations de Green Lagrange r r r r E = F F I = gradu + grad u + grad u.gradu ( T ) ( T T ) T T 1 r r r r u u u u = x x x x Tenseur des déformations linéarisées ε = 1 r gradu + grad T r u 2 ( ) Tenseur des petites rotations Ω = 1 r gradu grad T r u 2 ( ) Hypothèse des Petites Perturbations

7 Allongements et distorsions Ω x r 2 x r dmfr dl0 e r r dmf π 2α 2 dle r Ω' Allongement relatif d'un segment r r dl e dl0 e0 r r ε = r = ε(e ).e dl e Distorsion r r r r α = ε (e 0).f 0 = ε(f 0).e0 r r r r Dans une base : ε = ε e e + ε e e i j allongement relatif ii i i ij i j distorsion ε ε ε ε = ε ε ε ε ε ε

8 Composantes du tenseur de déformation Dans le repère principal ε1 0 0 ε = 0 ε ε3 Décomposition 1 V ε = δ I + e 3 V Conditions à vérifier ε = 1 r gradu + grad T r u 2 r r r u x S = u ( ) ( ) u 0 Partie sphérique Exprime la variation de volume Partie déviatorique Exprime la variation de forme Champ de déplacement Cinématiquement Admissible (C.A.) ( T ) Rot Rot ε = 0 Condition de compatibilité

9 Notion de contraintes Efforts extérieurs et intérieurs ρ r f A ds n r r r T( n) B r t Vecteur contrainte r r T r δf = δ S B A ( n) en Pa Contrainte normale et tangentielle Soit une facette de normale n r τ n r σ r n n r r T( n) Contrainte normale Contrainte tangentielle donc τ r = T r n r σ T r n r = σ r + τ r ( ) n n ( ) n r r r σn = T( n ).n r n

10 Tenseur des contraintes e r M e r 2 1 r T 1 r e 3 r T 3 r T 2 Soit un cube de petite taille centré en M les vecteurs contrainte sont constants sur chaque face Soient T 1, T 2, T 3 vecteurs contrainte sur les faces de normales e 1, e 2, e 3 r r r σ σ σ σ σ σ T σ, σ, σ T (,, ) T (,, ) ( ) On peut rassembler ces 9 composantes dans une matrice r r r T 1 T 2 T 3 σ σ σ σ = σ σ σ σ σ σ

11 Tenseur des contraintes Cette matrice suffit à calculer le vecteur contrainte T s'exerçant sur n'importe quelle facette de normale n(n 1, n 2, n 3 ) On considère le tétraèdre MABC T r 2 A e r 1 C M r e 3 T r 1 T r 3 B e r 2 On pose MA = dx 1, MB = dx 2, MC = dx 3 aire MBC ds 1 = ½ dx 2 dx 3 - x 1 ABC ds n normale Principe fondamental de la dynamique r r r r r r dx r 1dx2dx3 TdS T1dS1 T2dS2 T3dS3 + ( f ργ ) = Or ds 1 = ds cosθ 1 = ds n 1 On obtient r r r r T = n T + n T + n T t σ σ σ t = σ σ σ t σ σ σ r r T = σ n négligeable n n n

12 Tenseur des contraintes On introduit un tenseur σ tel que r r r r σ:n T n = σ n ( ) Dans une base σ σ σ σ = σ σ σ σ σ σ Equilibre global Equilibre local r r T r r r r r r uur ( n) r r F = 0 A V ρ fdv + T(n)dS = 0 divσ + f = 0 P V S V S Contraintes normales Contraintes de cisaillement ds n r r r r r r r r r M = 0 A V x ρ fdv + x T(n)dS = 0 σ = σ ρ r f A V B T r t

13 Composantes du tenseur des contraintes Dans le repère principal σ1 0 0 σ = 0 σ σ3 Décomposition σ = s + σ Conditions à vérifier uur r r divσ + f = 0 r σ n = r t H I Partie déviatorique Cisaillements Partie sphérique Contrainte hydrostatique Champ de contrainte Statiquement Admissible (S.A.) Résultantes r r F = σ n ds S r r r C = x σ n ds S

14 Loi de comportement Elasticitélinéaire isotrope σ = λ tr( ε) I+2 µ ε 1+ ν ν ε = σ t E E r( σ ) I Coefficients de Lamé Coefficient de Poisson, module d'young Réversibilité, proportionnalité, indépendance de la direction de sollicitation

15 Limites du comportement linéaire réversible Critères de plasticité isotrope Critère de von Mises : énergie de distorsion critique σ = 2 2 ( σ ) 2 11 σ 22 + ( σ22 σ 33 ) + ( σ33 σ 11 ) + 6( σ σ 2 23+σ13 2 ) eq 2 σ 0 Critère de Tresca : cisaillement maximal σ = Max σ σ σ eq i j i,j 0 σ 0 limite d'élasticité en traction simple

16 Comportement sous chargement thermique Elasticitélinéaire (rappels) Mécanique des milieux continus Loi de comportement Chargement thermique Dilatation thermique Champ de température Comportement sous chargement thermique Thermo-élasticité linéaire Contraintes d'origine thermique

17 Dilatation thermique V T = T T 0 V' Etat naturel à T 0 σ = 0 ε = 0 Déformation thermique Etat libre de contrainte à T σ =0 th ( T T ) ε = ε = α Matériau isotrope α = α I 0 α coefficient de dilatation linéique en K -1 (à T) En général, α dépend de T

18 Coefficient de dilatation thermique linéique Potentiel de la liaison atomique Céramiques : 10-6 K -1 Métaux : 10-5 K -1 Polymères : 10-4 K -1 Invar (64%Fe 36%Ni) Voir cours PH2300 Physique de la matière

19 Champ de température Equation de la chaleur T ρc r p = div q t en l'absence de source de chaleur C p capacité calorifique massique à pression constante (J/kg.K) Loi de Fourier r uuuur q=- k grad T k conductivité thermique (J/s.K.m) À 20 C céramiques 1 à 50 J/s.K.m métaux 10 à 500 J/s.K.m polymères 0.1 à 0.5 J/s.K.m Conditions aux limites thermiques (temp. imposée, flux imposé) champ de température dans la pièce à tout instant Voir cours EN1100 Transferts thermiques

20 Comportement sous chargement thermique Elasticitélinéaire (rappels) Mécanique des milieux continus Loi de comportement Chargement thermique Dilatation thermique Champ de température Comportement sous chargement thermique Thermo-élasticité linéaire Contraintes d'origine thermique

21 Problèmes thermo-mécaniques A priori, l'énergie de déformation est dissipée en partie sous forme de chaleur Problème couplé (difficile à résoudre) On peut découpler la thermique de la mécanique si pas de dissipation intrinsèque pas de changement de phase dû à la température échelles de temps caractéristiques très différentes Résolution des équations de thermique puis de celles de la mécanique

22 Thermo-élasticité couplage Composition des déformations th ( ) ε = α T T0 I ε = ε + ε = r + ( grad u grad u) e th 1 T 2 Relation contraintes-déformations élastiques r σ = Cε % e Pour un matériau isotrope 1+ ν ν ε = σ tr( σ ) I+ α( T T ) I E E ε e th ε ( th ) ( th ) σ = λ tr ε- ε I+2 µ ε-ε ( ) ( ) ( ) σ = λ tr ε I+2 µ ε 3λ + 2µ α T T I 0

23 Contraintes d'origine thermique 2 1 À T 0 À T>T 0 σ = 0 ε = 0 th ε = ε = α( T T ) 11 0 e ( T T ) th 11 0 ε = ε = α Développement de contraintes associées aux déformations élastiques σ ( ) e 11 = Eε11 = Eα T T0 Déformation thermique empêchée contrainte

24 Chargement thermique et mécanique 2 1 À T 0 σ = 0 ε = 0 T>T 0 P Chargement thermique T>T 0 Chargement mécanique P T 0

25 Chargement thermique 2 1 T>T 0 T th ε = ε = α( T T ) T 11 0 ε 11 0 T T e T th = ε11 = σ E ε T th ε T ( ) α T T0 0 0 = 0 α( T T0 ) α T T σ T σ = ( ) = 0 (1 + ν) α( T T0 ) (1 + ν) α T T 0 ( ) 0

26 Chargement mécanique P σ T 0 M M 22 = σ33 = P σ M σ = 0 P P ε ε Me 11 M 11 σ 2νP = 0 = + E E Me P = ε3 = ( 1+ ν) E = ( 2 + ν + ν ) P 1 2 E Me 22 3 νσ E M 11 ε M e M σ11 2νP E E M ( 1 +ν)p νσ11 = 0 0 E E ( 1 +ν)p 0 0 E νσ E M 11

27 T>T 0 P Superposition des solutions (linéarité) T σ = σ + σ M T ε = ε + ε M σ = ( ) 2νP Eα T T P P 2 ( + ν + ν ) P ε = + (1 + ν ) α( T T 0 ) E 0 0 1

28 Assemblage de matériaux différents Assemblage en parallèle 2 T>T 0 1 Bilame A B α A α > α B 2 matériaux à coefficient de dilatation thermique différents ex : Invar + FeNiMn ou FeNiCr A ε A 11 A 11 A = ε B 11 B 11 B σ S + σ S = 0 Contraintes internes auto-équilibrées Applications : interrupteur, thermomètre, temporisation

29 Gradient thermique Assemblage en parallèle 2 T>T 0 1 A B T > T B A σ ε A B 11 = ε11 A B 11SA + σ11sb = 0 Température hétérogène Dilatation contrariée de chaque élément de la matière

30 Fatigue thermique Four en briques réfractaires Culasses de moteur