Documents_chapitre6 EM TSI 2 ( ) ( )

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1 Quelques éléments sur les travaux de Fourier 1) Description d un signal périodique a) Notions sur les séries de Fourier Soit une fonction de forme quelconque mais périodique et de pulsation =, le mathématicien Fourier a démontré que peut s écrire sous la forme suivante : = + + Avec une valeur moyenne donnée par = et des coefficients de Fourier vérifiant : = et =. On pourra retenir que les coefficients sont logiquement nuls pour une fonction impaire et que les coefficients sont logiquement nuls pour une fonction paire. Dans le cas d un signal carré impaire, on trouve un spectre discret (ou spectre de raies) : = = = [cos] = (cos 1) = sin + sin(3 ) 3 + sin(5 ) Représentation temporelle Représentation spectrale

2 Réciproquement, on peut reconstituer un signal en sommant le fondamental et les harmoniques qui le constitue : AMPL = 1.27 FREQ = 1k 1 U1 AMPL =.2 FREQ = 3k 2 AMPL =.25 FREQ = 5k 3 AMPL =.18 FREQ = 7k U AMPL =.1 FREQ = 9k 5 AMPL =.12 FREQ = 11k 6 U6 AMPL =.98 FREQ = 13k 7 AMPL =.85 FREQ = 15k 8 U8 AMPL =.75 FREQ = 17k 9 AMPL =.67 FREQ = 19k 1 U11 11 AMPL =.6 FREQ = 21k R1 1k 2. SEL>> (U1) (U) (U6) -2. s 1ms 3ms ms 5ms 6ms 7ms 8ms 9ms 1ms (U11) Time

3 b) Application aux systèmes linéaires Lorsque les systèmes sont linéaires, on est assuré que chaque composante de pulsation constituant le signal d entrée aboutit à un signal en sortie possédant les même pulsations (avec un éventuel déphasage et une atténuation ou une amplification). Ainsi connaître le comportement du système pour toute composante (à l aide d un diagramme de Bode par exemple) c est connaître la réponse du système pour toute excitation. Signal d entrée Signal carré de 1HZ et de 2,5 d amplitude maximum. Fondamental -. s 2 m s ( R 2 : 2 ) 2. Harmonique 3-2. s (R3:2) Harmonique 5 1. FILTRAGE LINEAIRE circuit RC Fréquence de coupure à 5Hz 1ac dc e 6 5 R2 1k - 2. m s C2.32u -m s 2. 2m s 2 m s ( C 1 : 2 ) (C1:2) 2. Signal de sortie -2. s (C1:2) -1. s (R:2) - 2m s (C1:2)

4 2) Description d un signal non périodique a) La transformée de Fourier Lorsque le signal n est pas périodique alors son spectre est obtenue par transformée de Fourier c est-à-dire avec : = 1 exp( ) Dans le cas d une impulsion émise pendant un temps, on obtient le résultat suivant : = 1 exp( ) = ( 2 2 ) = 2 On donne le tracé de la fonction = On trace alors le spectre normalisé : = avec = 2 Partie du spectre exclue physiquement Partie du spectre négligée En se limitant aux domaines de pulsations positives, on remarque une amplitude notable pour qui permet d affirmer qu un signal «bref» est «riche spectralement». On notera aussi que le spectre d une fonction quelconque est continu.

5 b) Applications 1 : encombrement spectrale de données numériques La numérisation des données analogiques conduit à faire transiter sur des supports matériels une succession de pulses appelées bits à une fréquence. Pour des données aléatoires, le résultat de la page précédente permet de comprendre que le spectre est majoritairement compris entre et. spectre Représentation temporelle c) Application 2 : spectre d un signal sonore 2 3 Représentation spectrale Un signal quelconque n est pas, en général périodique mais aléatoire. Il peut cependant toujours être vu comme une somme continue de sinusoïdes. Un signal acoustique issu d une conversation peut être étudié en analysant son spectre compris typiquepent entre 2Hz et 5kHz. B l a B l a

6 I- Etude d un signal PWM (Pulse Width modulation) Nous allons considérer un signal PWM présentant deux niveaux : un état haut et un état bas de. Ce type de signal carré est alors caractérisé par : - Sa fréquence (ou sa période = 1/ ) - Son rapport cyclique qui est le rapport du temps de l état haut sur la période : = Ce type de signal est très employé en électronique (par exemple pour le contrôle de la vitesse de rotation des moteurs à courant continu). Dans la suite, on souhaite étudier son spectre d un tel signal. On montre que peut s écrire sous la forme : = sin cos + 2 sin(2 ) cos(2 ) sin cos + 2 1) On effectue le relevé ci-dessous d un signal PWM. Par lecture graphique, déterminer : a) La valeur de la composante continue b) L amplitude de l harmonique de rang 12 c) L amplitude de l harmonique de rang 32 d) La fréquence de l Harmonique de rang 32 2) Des lectures précédentes, déterminer la valeur du rapport cyclique. On souhaite récupérer la valeur moyenne du signal ci-dessus. 3) Proposer les valeurs des composants d un circuit RC permettant d atténuer de db l amplitude du fondamental.

7 II- Spectre d un signal sur un oscilloscope Il est possible d obtenir le calcul de la transformée de Fourier d un signal à l aide d un oscilloscope. Le spectre du signal calculé est alors celui du signal affiché sur l écran et observé pendant un temps. Prenons l exemple d un signal sinusoïdal = (2 ) envoyé sur un oscilloscope. Sur l écran, on apprécie le signal = h avec h = 1 < h = > 1) Le spectre de est toujours évaluée dans le domaine des fréquences positives. Montrer que = ( ( ) ) La simulation ci-dessous représente le spectre normalisé c est-à-dire d un signal sinusoïdal de fréquence 1 Hz étudié pendant. Le spectre n est donc plus une raie «fine» mais un spectre qui se retrouve principalement dans une raie centrale «épaisse» 1Hz 2) Déterminer, à l aide du graphe précédent, le temps pendant lequel le signal est observé. 3) On peut distinguer deux raies centrales si le premier minima de l une coïncide avec le maxima de l autre. Quel doit alors être l écart en fréquence entre deux signaux sinusoïdaux acquis et pouvant être distingués spectralement (ces signaux étant étudiés temporellement sur une même fenêtre de durée )?