Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f."

Transcription

1 Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau de cofiace. Démotrer que si la variable aléatoire X suit la loi B (, p), alors pour tout α das ]0,1 o a : lim où I désige l itervalle p u α P( X I ) =1 α p(1 p) ; p+u α ] Coaître l'itervalle de fluctuatio asymptotique (*) au seuil de 95% : p 1,96 ; p+1,96 p(1 p) ] où p désige la proportio das la populatio. Estimer par itervalle ue proportio icoue à partir d u échatillo. Détermier ue taille d échatillo suffisate pour obteir, avec ue précisio doée, ue estimatio d ue proportio au iveau de cofiace 0,95. La démostratio ci-cotre doe l expressio d u itervalle de fluctuatio asymptotique (*) au seuil 1 α de la variable aléatoire fréquece F = X fréquece obteue f. qui, à tout échatillo de taille, associe la Avec les exigeces usuelles de précisio, o pratique cette approximatio dès que 30, p 5 et (1 p) 5. E majorat 1,96 p 1 p, o retrouve l itervalle de fluctuatio préseté e classe de secode. La problématique de prise de décisio, déjà recotrée, est travaillée à ouveau avec l itervalle de fluctuatio asymptotique. Les attedus de ce paragraphe sot modestes et sot à exploiter e lie avec les autres disciplies. Il est itéressat de démotrer que, pour ue valeur de p fixée, l itervalle F 1 ; F + ] 1 cotiet, pour assez grad, la proportio p avec ue probabilité au mois égale à 0,95. O éoce alors que p est élémet de l itervalle f 1 ] ; f + 1 avec u iveau de cofiace de plus de 95 %, où f désige la fréquece observée sur u échatillo de taille. Avec les exigeces usuelles de précisio, o utilise cet itervalle dès que 30, p 5 et (1 p) 5. La simulatio de sodages sur tableur permet de sesibiliser aux fourchettes de sodage. Il est importat de oter que, das d autres champs, o utilise l itervalle f 1,96 f (1 f ) ; f +1,96 f (1 f ) ] qu il est pas possible de justifier das ce programme. ] SVT] Aalyse de graphiques où les doées sot fouries par des itervalles de cofiace. (AP) Prise de décisio lors de la comparaiso de deux proportios (par exemple lors d u essai thérapeutique). (*) Avec les otatios précédetes : U itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F au seuil 1 α est u itervalle détermié à partir de p et de et qui cotiet F avec ue probabilité d autat plus proche de 1 α que est grad. U itervalle de cofiace pour ue proportio p à u iveau de cofiace 1 α est la réalisatio, à partir d u échatillo, d u itervalle aléatoire coteat la proportio p avec ue probabilité supérieure ou égale à 1 α, itervalle aléatoire détermié à partir de la variable aléatoire fréquece F qui, à tout échatillo de taille, associe la fréquece. Les itervalles de cofiace cosidérés ici sot cetrés e la fréquece observée f. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy Page 1/10

2 I. Itroductio Das ue populatio, o étudie u caractère doé préset das cette populatio. O distigue les deux situatios suivates : 1ère situatio : Itervalle de fluctuatio et Coformité d'ue hypothèse. O coaît la proportio effective p du caractère das la populatio totale. Soit 1. O prélève u échatillo de taille et o calcule la fréquece observée f obs. O recommece l'épreuve u grad ombre de fois. O costate que ces fréqueces observées f obs variet e état "suffisammet proches" de p das 95% des cas, par exemple. Le "suffisammet proches" déped aturellemet de la taille de l'échatillo. O dit que les fréqueces observées f obs fluctuet das u certai itervalle I. Ou ecore que I est l'itervalle de fluctuatio des fréqueces «au seuil de 95%» ou bie «au risque de 5%». Par coséquet : Si o prélève u échatillo de taille et o calcule la fréquece observée f obs. O peut émettre l'hypothèse H 1 que «pour ce caractère, l'échatillo est représetatif ou coforme à la populatio géérale». O pred la décisio suivate : Si f obs I, o peut affirmer que «au seuil de 95%, o peut accepter l'hypothèse H 1 de coformité» (répose positive) Si f obs I, o peut affirmer que «au risque (d'erreur) de 5%, o peut rejeter l'hypothèse H 1 de coformité» ( répose égative). Nous avos vu e Secode : Si la proportio effective du caractère p 0,2 ; 0,8] et si o prélève u échatillo de taille > 25, alors l'itervalle de fluctuatio des fréqueces f obs au seuil de 95% est doé par : Nous allos améliorer ce résultat. I = p 1 ; p+ 1 ], c'est-à-dire : P( f obs I) = 0,95 = 95%. Exemple 2de : O lace ue pièce de moaie 2500 fois. O ote la fréquece d'apparitio du côté «Face». O recommece cette opératio plusieurs fois, e otat à chaque la fréquece d'apparitio du côté «Face». O costate que ces fréqueces e sot pas idetiques. 1 ) Détermier l'itervalle de fluctuatio de ces fréqueces au seuil de 95%, e supposat que la pièce de moaie soit parfaitemet équilibrée. 2 ) Si o ote 1100 apparitios du côté «Face» sur les 2500 lacers, peut-o e déduire que la pièce soit «parfaitemet équilibrée»? Justifier votre répose. 2ème situatio : Estimatio de la proportio effective par Itervalle de cofiace. O e coaît pas la proportio effective p du caractère das la populatio totale. Nous allos faire u sodage sur u échatillo de taille das cette populatio. Sous certaies hypothèses sur et p, ous pouvos faire ue estimatio de la proportio p par itervalle de cofiace. Nous avos vu e Secode : Si la proportio effective p du caractère est comprise etre 0,2 et 0,8 et si o prélève des échatillos de taille > 25, alors 95% des itervalles associés f 1 ; f + 1 ] cotieet p. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy Page 2/10

3 Par coséquet : O prélève u échatillo de taille, et o calcule la fréquece observée f obs du caractère das cet échatillo. Si >25 et 0,2 < p < 0,8 alors la proportio p appartiet à l'itervalle de cofiace IC au seuil de 95%, avec IC = f 1 obs ; f + 1 obs, c'est-à-dire : P( p IC) = 0,95 = 95%. ] Exemple historique : source (Istitut de sodage IPSOS : ÉLECTIONS PRÉSIDENTIELLES 2002 EN FRANCE : DATE DU TERRAIN: Le 21 avril ECHANTILLON : 1089 persoes costituat u échatillo atioal représetatif de la populatio fraçaise âgée de 18 as et plus et iscrite sur les listes électorales. METHODE : Echatillo iterrogé par téléphoe. Méthode des quotas (sexe, âge, professio du chef de famille, catégorie d'agglomératio et régio). INTENTIONS DE VOTE AU 1er TOUR (Istitut IPSOS) : 20% pour J.CHIRAC, 18% pour L.JOSPIN et 14% pour J.M.LEPEN. O se prépare à u duel etre J.CHIRAC et L.JOSPIN au 2ème tour. 1. Détermier les itervalles de cofiace au iveau 95% doat des estimatios de la proportio de vote pour chacu des trois cadidats. 2. Les résultats effectifs du 1er tour sot les suivats : 19,88% pour J.CHIRAC, 16,18% pour L.JOSPIN et 16,68% pour J.M.LEPEN. Ces résultats sot-ils coformes avec les itervalles de cofiace trouvés das la questio 1? 3. Aalyser la situatio avec les outils de la classe de 2de. Qui a voté quoi?. Les motivatios de vote. 4. Repredre l'exercice à la fi du chapitre pour aalyser la situatio avec les outils de la classe de Termiale. II. Itervalle de fluctuatio 2.1) Le théorème de MOIVRE-LAPLACE Das ue populatio, o étudie u caractère doé, préset das cette populatio. Das ce paragraphe, o suppose qu'o coaît la proportio effective p du caractère. Pour tout etier aturel o ul, o prélève u échatillo aléatoire de taille, cest-à-dire e effectuat tirages successifs idépedats (avec remise) das cette populatio. E gééral, o suppose que l'effectif total de la populatio est suffisammet grad pour supposer que les tirages sot effectués avec remise. o appelle X la variable aléatoire qui compte le ombre de succès, c'est-à-dire le ombre d'idividus ayat le caractère étudié. X suit la loi biomiale B (, p), de paramètres et p. O sait que : E(X ) = p, V(X ) = σ 2 = p(1 p) et σ= V ( X )=p(1 p) Efi, o défiit ue ouvelle variable aléatoire Z de la maière suivate : Z = X m = X p σ p(1 p) Z est ue variable aléatoire cetrée réduite associée à X : E(Z ) = 0 et s(z ) = 1. Efi, ous avos besoi aussi de la variable aléatoire cetrée réduite Z qui suit la loi ormale N(0,1) et défiie das la chapitre précédet par : x b 1 P (a Z b)= 2 a 2π e 2 dx Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy Page 3/10

4 Théorème 1 de Moivre-Laplace : Soit p u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. O suppose que, pour tout etier 1, X ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètres et p. O appelle Z = X p la variable aléatoire cetrée réduite associée à X. p(1 p) Alors, pour tous ombres réels a et b tels que a < b, o a : P a Z b =P a Z b c'est-àdire : lim lim P a X p p 1 p b =P a Z b où Z est la variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réuite N(0,1). Théorème admis. Par coséquet : Corollaire 1 du théorème de Moivre-Laplace Soit p u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. O suppose que, pour tout etier 1, X ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètres et p. O appelle Z = X p la variable aléatoire cetrée réduite associée à X. Alors, p(1 p) si 30, p 5 et 1 p 5, pour tous ombres réels a et b tels que a < b, o a l'approximatio suivate : P (a Z b) P (a Z b) où Z est la variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réuite N(0,1), ou ecore : P (a X p p(1 p) b) P(a Z b) Coséquece immédiate du théorème ci-dessus. 2.2) Itervalle de fluctuatio des fréqueces Soit p u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. Pour tout etier 1, o prélève d'ue maière aléatoire u échatillo de taille et o calcule la fréquece observée du caractère das l'échatillo. Soit X ue variable aléatoire égale au ombre de succès das l'échatillo. X suit la loi biomiale B (, p) de paramètres et p. De même, o appelle F la variable aléatoire égale à la fréquece du succès das l'échatillo. O peut calculer sa moyee et so écart-type à partir de ceux de X. Comme pour tout 1 : F = X = 1 X o obtiet : et E(aX) = a E(X), V(a X) = a²v(x), Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy Page 4/10

5 p(1 p) E(F ) = p, V(F p(1 p) ) = et σ( F )= V ( F )= = Soit a u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. O désige par I l itervalle : I = p u ] α ; p+u α où P (u α Z u α )=1 α et Z suit la loi ormale N(0,1). Théorème 2 Soit a et p deux ombres réels (fixés) compris etre 0 et 1. O suppose que, pour tout etier 1, X ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètres et p. Soit F est la variable aléatoire égale à la la fréquece du succès das l'échatillo de taille. Alors, avec les otatios ci-dessus, o a : lim P (F I )=1 α + c'est-à-dire : ou ecore : P( lim p u α + lim + P( X I ) =1 α ) F p+u α =1 α Défiitio : Soit a u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. L itervalle I aisi défii : I = p u ] α ; p+u α s'appelle l'itervalle de fluctuatio asymptotique des fréqueces au seuil de 1 a (pour ue répose positive) ou au risque de a (pour ue répose égative). Démostratio du théorème 2 (ROC) E trois "petites" étapes : O trasforme la double iégalité du théorème de Moivre-Laplace, de X e F = X etre a et b, puis o écrit l'égalité des probabilités des deux évéemets ; O écrit la formule du théorème de Moivre-Laplace avec la limite de probabilités ; O itroduit a et u a avec la loi ormale cetrée réduite., 1ère étape : Pour tous ombres réels a et b tels que a < b, o a : a Z b (ssi) a X p p 1 p b (ssi) a p 1 p X p bp 1 p Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy Page 5/10

6 (ssi) (ssi) (ssi) (ssi) (ssi) a p 1 p X p b p 1 p e divisat partout par a p 1 p X 2 p b p 1 p e posat 2 = 2 au déom. a p 1 p X p b p 1 p a p 1 p F p b p 1 p après simplificatio avec F = X p a p 1 p F p b p 1 p p 1 p b =P p 1 p p 1 p p a F p a Par coséquet : P a X p 2ème étape : D'après le théorème de Moivre-Laplace, o sait que : P lim a X p p 1 p b = P a Z b par suite : lim e rajoutat p aux trois termes. P p a p 1 p F p b p 1 p =P a Z b 3ème étape : Soit a u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. O sait qu'il existe u ombre réel u a tel que P u Z u =1. O pose alors : a = u a et b = u a O obtiet alors : lim P p u p 1 p p 1 p F p u =1. CQFD 2.3) Itervalle de fluctuatio au seuil de 95% Corollaire 1 ( ) Si a = 0,05, u 0,05 = 1,96. Doc si 30, p 5 et 1 p 5, alors l'itervalle de fluctuatio asymptotique des fréqueces au seuil de 95% est doé par : Démostratio : I = p 1,96 ; p+1,96 ] C'est ue coséquece directe du théorème précédet pour a = 0,05. Or, d'après le cours chapitre précédet], o sait que u 0,05 = 1,96. d'où le résultat. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy Page 6/10

7 2.4) Prise de décisio Si o prélève u échatillo de taille et o calcule la fréquece observée f obs. O peut émettre l'hypothèse H 1 que «pour ce caractère, l'échatillo est représetatif ou coforme à la populatio géérale». O pred la décisio suivate : Si f obs I, o peut affirmer que «au seuil de 95%, o peut accepter l'hypothèse H 1 de coformité» (répose positive) Si f obs I, o peut affirmer que «au risque (d'erreur) de 5%, o peut rejeter l'hypothèse H 1 de coformité» ( répose égative). Exemple : Baccalauréat S Asie 18 jui 2013] (source APMEP) À des fis publicitaires, u grossiste affiche sur ses plaquettes : «88 % de otre thé est garati sas trace de pesticides». U ispecteur de la brigade de répressio des fraudes souhaite étudier la validité de l affirmatio. À cette fi, il prélève 50 boîtes au hasard das le stock du grossiste et e trouve 12 avec des traces de pesticides. O suppose que, das le stock du grossiste, la proportio de boîtes sas trace de pesticides est bie égale à 0,88. O ote F la variable aléatoire qui, à tout échatillo de 50 boîtes, associe la fréquece des boîtes e coteat aucue trace de pesticides. 1 ) Doer l itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 95 %. 2 ) L ispecteur de la brigade de répressio peut-il décider, au seuil de 95 %, que la publicité est mesogère? Corrigé : 1 ) O vérifie tout d abord que les hypothèses sot satisfaites : = 50 et 50 > 30 et p = 0,88 ; p = 50 0,88 = 44 et 44 > 5 ; (1 p) = 50 0,12 = 6 et 6 > 5. O sait alors que l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % est égal à : I 50 = p 1,96 ; p+1,96 ] 0,88 0,12 I 50 = 0,88 1,96 ; 0,88+1,96 0,88 0, ] Coclusio : L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % est égal, au cetième près, à : I 50 = 0,79 ; 0,98]. 2 ) Calcul de la fréquece observée : f obs = , L ispecteur de la brigade de répressio costate ue proportio de lots sas pesticides d'eviro f obs 0,76. Or 0,76 I 50. Par coséquet, l ispecteur de la brigade de répressio costate doc qu'au risque de 5 %, l'hypothèse de coformité est rejetée. Coclusio : l ispecteur de la brigade de répressio décide qu'au risque de 5 %, la publicité du grossiete est mesogère. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy Page 7/10

8 2.5) Coséquece Corollaire 2 (ROC) : Versio simplifiée vue e secode Si a = 0,05, u 0,05 = 1,96. Doc, pour assez grad, c'est-àdire si 30, p 5 et (1 p) 5, alors l itervalle I = p 1/ ; p+1/] cotiet les fréqueces observées avec ue probabilité au mois égale à 0,95. Ue approximatio de l'itervalle de fluctuatio asymptotique des fréqueces au seuil de 95% est doé par : I = p 1 ; p+ 1 ] Démostratio : O suppose que les coditios du corollaire 1 sot vérifiées. O défiit ue foctio f par : f ( p)=1,96 ou f ( p)= 1,96 p p2 La foctio f est défiie et cotiue sur l'itervalle 0 ; 1] et dérivable sur ]0 ; 1 et pour tout p ]0 ; 1 o a : f ' (x)= 1 2 p. Le sige de f '( x) est le même 2 que celui de 1 2p. O obtiet le tableau de variatios suivat : p 0 1/2 1 f ' ( p) + 0 f ( p) f (1/2) 0 0 Or, f ( 1 2) = 1, doc f ( 1 2) = 1,96 2 < 1. La foctio f admet doc u maximum pour p = 1/2. Doc, pour tout etier aturel o ul et tout ombre réel p 0 ; 1] o a : f p f Par coséquet : p 1,96 puisque 1,96 < 2. ] ; p+1,96 ] p 1 ; p+ 1 Or, si A et B sot deux évéemets tels que A B, alors P ( A) P (B). P( ]) Or, o sait que p 1,96 ; p+1,96 =0,95 doc : P p 1 ; p ] 1 0,95 Coclusio : Si 30, p 5 et 1 p 5, alors l'itervalle de fluctuatio asymptotique des fréqueces F au seuil de 95% est coteu das l'itervalle : I = p 1 ; p+ 1 ]. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy Page 8/10

9 III. Estimatio d'ue proportio 3.1) Itervalle de cofiace Soit u etier aturel o ul. O cherche à estimer la proportio effective p (icoue das ce pragraphe) d'u caractère das ue populatio doée. Pour tout etier aturel o ul, o prélève u échatillo aléatoire de taille, cest-à-dire e effectuat tirages successifs idépedats (avec remise) das cette populatio. E gééral, o suppose que l'effectif total de la populatio est suffisammet grad pour supposer que les tirages sot effectués avec remise. Sous certaies hypothèses sur et p, ous pouvos faire ue estimatio de la proportio effective p par itervalle de cofiace. Défiitio : Soit a u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. Alors, u itervalle de cofiace pour ue proportio p à u iveau de cofiace 1 a, est la réalisatio d'u itervalle, oté IC (avec deux lettres) qui, pour assez grad, cotiet la proportio p avec ue probabilité au mois égale à 1 a, c'est-à-dire : P ( p IC) 1 α Seul le cas a = 0,05 est au programme de Termiale, c'est-à-dire u iveau de cofiace de 95%. Cela sigifie que, si o réalisait u grad ombre de sodages de même taille, et o calculait les itervalles de cofiace correspodats, alors plus de 95% de ces itervalles cotieet la proportio p. 3.2) Estimatio de p par itervalle de cofiace au iveau 95% Soit u etier aturel o ul. O prélève u échatillo aléatoire de taille. O appelle X ue variable aléatoire «ombre de succès», alors X suit ue loi biomiale de paramètres et p. Soit F est la variable aléatoire égale à la la fréquece du succès das l'échatillo de taille. Alors, o a les résultats suivats : Propriété admise : Soit p u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1 et u etier aturel o ul. Alors, pour suffisammet grad, l'itervalle aléatoire F 1 ;F + ] 1 cotiet la proportio p avec ue probabilité au mois égale à 95%. Coséquece pratique : Si f désige la fréquece observée sur u échatillo de taille alors, avec les exigeces usuelles de précisio, c'est-à-dire : si 30, f 5 et (1 f ) 5, Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy Page 9/10

10 ] l'itervalle IC = f 1 ; f + 1 est u itervalle de cofiace pour la proportio p au iveau de cofiace de 95%. Cet itervalle est aussi appelé «fourchette de sodage». Exemple : Das u échatillo de 100 voitures, prélevé au hasard das u parc de voitures de locatio, o a costaté que 88 'ot pas eu de siistre au cours des 6 deriers mois. Doer u itervalle de cofiace de la proportio p au iveau de cofiace de 95%, de voitures 'ayat pas eu de siistre au cours des 6 deriers mois. O suppose que le ombre de véhicule est suffisammet grad pour effectuer des tirages sas remise. Corrigé. O calcule la fréquece observée : f = O vérifie les hypothèses : o a = 100, doc si 30 ; f = 88, doc f 5 et (1 f ) = 12, doc (1 f ) 5. Par coséquet ue réalisatio de l'itervalle de cofiace pour la proportio p au iveau de cofiace de 95% est doée par : IC = f 1 ] ; f + 1 = 0, ] ; 0,88+ 1 doc IC = 0,78; 0,98 ]. 3.3) Détermier la taille d'u échatillo Commet détermier ue taille d échatillo suffisate pour obteir, avec ue précisio doée, ue estimatio d ue proportio au iveau de cofiace 0,95. La précisio de l estimatio est doée par l amplitude de l itervalle de cofiace et déped de la taille de l échatillo. Défiitio : O appelle amplitude d'u itervalle a ; b] la logueur l = b a de cet itervalle. Propriété 1. : O cosidère u échatillo de taille. L'aplitude d'u itervalle de cofiace au iveau de cofiace 95% est égale à l= 2. E effet : l = b a = ( f + 1 ) ( ) f 1 = 2 Applicatio : Détermier ue taille d échatillo suffisate pour obteir, avec ue précisio d'amplitude iférieure à 0,06, ue estimatio d ue proportio au iveau de cofiace 0,95.. E effet, l 0,06 2 0,06 4 0, , ,11 Coclusio : Pour obteir ue estimatio d ue proportio au iveau de cofiace 0,95 avec ue précisio d'amplitude iférieure ou égale à 6%, il faut prélever u échatillo d'ue taille d'au mois 1112 idividus. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy Page 10/10

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours Aée 2013/2014 TS Itervalle de fluctuatio et estimatio Cours est u etier aturel o ul et p est u réel de l itervalle 0 ; 1. I Itervalle de fluctuatio Cotexte : Das ue populatio, la proportio d idividus présetat

Plus en détail

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont :

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont : Estimatio Objectifs Estimer poctuellemet ue proportio, ue moyee ou u écart type d ue populatio à l aide de la calculatrice ou d u logiciel, à partir d u échatillo Détermier u itervalle de cofiace à u iveau

Plus en détail

FLUCTUATION ET ESTIMATION

FLUCTUATION ET ESTIMATION 1 FLUCTUATION ET ESTIMATION Le mathématicie d'origie russe Jerzy Neyma (1894 ; 1981), ci-cotre, pose les fodemets d'ue approche ouvelle des statistiques. Avec l'aglais Ego Pearso, il développe la théorie

Plus en détail

Intervalles de fluctuation et de confiance

Intervalles de fluctuation et de confiance Chapitre 9 Itervalles de fluctuatio et de cofiace Sommaire 9.1 Itervalle de fluctuatio................................... 157 9.1.1 Quelques rappels..................................... 157 9.1.2 Itervalle

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule

Plus en détail

Échantillonnage. Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : Activité 1. Activité 2. 1 Réponse c. 2 Réponse a. Réponse c. 3 Réponse a.

Échantillonnage. Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : Activité 1. Activité 2. 1 Réponse c. 2 Réponse a. Réponse c. 3 Réponse a. Échatilloage 9 Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Répose c. Répose a. Répose c. 3 Répose a. 4 Répose b. Répose c. Activité. La populatio étudiée est la productio d automobiles. Le caractère

Plus en détail

VARIABLES ALEATOIRES

VARIABLES ALEATOIRES VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES. Loi de probabilité.. Exemple... Calcul de probabilités sur u uivers Ω... Variable aléatoire à valeurs réelles...3. Probabilité image défiie par ue variable aléatoire..4.

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des

Plus en détail

Terminale S (2014-2015) Suites numériques

Terminale S (2014-2015) Suites numériques Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale

Plus en détail

Questions pour un champion en ligne

Questions pour un champion en ligne Questios pour u champio e lige Le jeu télévisé QPUC préseté sur FR3 et aimé par Julie Lepers existe aussi e variate «e lige». U jeu «e lige» se déroule aisi : Six iterautes disputet ue première mache dite

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

1 Introduction. 2 Probabilités : Variables Aléatoires Continues. 3 Estimation. 4 Tests. 5 Régression

1 Introduction. 2 Probabilités : Variables Aléatoires Continues. 3 Estimation. 4 Tests. 5 Régression Pla du cours Méthodes de statistique iféretielle. A. Philippe Laboratoire de mathématiques Jea Leray Uiversité de Nates Ae.Philippe@uiv-ates.fr 1 Itroductio 2 Probabilités : Variables Aléatoires Cotiues

Plus en détail

Séquence 9. Lois normales, intervalle de fluctuation, estimation. Sommaire

Séquence 9. Lois normales, intervalle de fluctuation, estimation. Sommaire Séquece 9 Lois ormales, itervalle de fluctuatio, estimatio Sommaire 1. Prérequis. Lois ormales 3. Itervalles de fluctuatio 4. Estimatio 5. Sythèse de la séquece Séquece 9 MA0 1 Ced - Académie e lige Das

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée 447 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? Aalyse de l exercice de spécialité de TS de Podichéry 2013 Jacques Lubczaski «Podichéry est tombé!» : cela ressemble à l aoce

Plus en détail

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

STATISTIQUES - ESTIMATION

STATISTIQUES - ESTIMATION STATISTIQUES - ESTIMATION I Echatilloage et estimatio : itroductio O se situe ici das 2 domaies des statistiques qui sot ceux de l «échatilloage» et de l «estimatio». Ces 2 domaies ot des cotextes d applicatio

Plus en détail

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquece 9 Itervalles de fluctuatio, estimatio Objectifs de la séquece Das le chapitre 2, o étudie des itervalles de fluctuatio des variables aléatoires X F =, fréqueces des variables aléatoires biomiales

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques Agrégatio extere de mathématiques, sessio 2008 Épreuve de modélisatio, optio (public 2008) Mots clefs : Loi des grads ombres, espace des polyômes, estimatio o-paramétrique Il est rappelé que le jury exige

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Chapitre 3 Détermination de la taille de l'échantillon

Chapitre 3 Détermination de la taille de l'échantillon Chapitre 3 Détermiatio de la taille de l'échatillo Lorsqu o prélève u échatillo pour estimer u paramètre, o court toujours le risque de découvrir u peu trop tard que l'échatillo prélevé est trop petit

Plus en détail

CORRECTION DU BAC BLANC 2

CORRECTION DU BAC BLANC 2 CORRCTION DU BAC BLANC 2 XRCIC 1 (6 poits) Baccalauréat ST Mercatique Podichéry - 2010 Deux tableaux sot doés e aexe : le premier doe l évolutio du prix du mètre carré das l immobilier résidetiel acie

Plus en détail

1. Probabilités sur les ensembles finis

1. Probabilités sur les ensembles finis . Probabilités sur les esembles fiis.. RAPPELS ET COMPLEMENTS. VOCABULAIRE DES EVENEMENTS Das ue expériece aléatoire, l'uivers Ω est l'esemble des résultats possibles. U évéemet est ue partie de l'uivers.

Plus en détail

ÉCHANTILLONNAGE ESTIMATION

ÉCHANTILLONNAGE ESTIMATION Chapitre 16 ÉCHANTILLONNAGE ESTIMATION Vous vous ferez estimer e supportat les ijustices. Cicéro 1 ÉCHANTILLONNAGE 1.1 Itroductio O cosidère ue populatio (par exemple la populatio fraçaise) et u certai

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation.

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation. Lois ormales. Itervalle de fluctuatio. Estimatio.. Loi ormale cetrée réduite... p. Théorème de Moivre-Laplace... p 3. Loi ormale (µ ; σ²)... p3 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réserwidevec{}vés

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Chapitre 1 : Les notions de base

Chapitre 1 : Les notions de base Chapitre : Les otios de base Itroductio I Comparer des gradeurs A) Les pourcetages B) Taux de variatio, coefficiet multiplicateur, idice C) Importace du ses de la comparaiso ) Raisoemet sur les taux de

Plus en détail

Mathématiques : statistiques et simulation

Mathématiques : statistiques et simulation PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 Uiversité de Picardie Jules Vere 0-0 UFR des Scieces - LAMFA CNRS UMR 640 PAF Amies - Formatio Eseigemet des Mathématiques

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

Test de validité et d'hypothèse

Test de validité et d'hypothèse Test de validité et d'hypothèse 1 Vocabulaire Problème: Il s'agit à partir de l'étude d'u ou plusieurs échatillos de predre des décisios cocerat l'esemble de la populatio. O est alors ameé à émettre des

Plus en détail

PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jean-Marie MARION

PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jean-Marie MARION Des PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jea-Marie MARION 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE (décrire ue populatio à l aide de caractéristiques et graphiques) STATISTIQUE INFERENTIELLE (étedre des résultats

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles BTS Mécaique et Automatismes Idustriels Statistiques iféretielles, Aée scolaire 2005 2006 Statistiques iféretielles 1. Itroductio vocabulaire Pour étudier ue populatio statistique, o a recours à deux méthodes

Plus en détail

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan.

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan. Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable FNCTIN RECIPRQUE D'UNE FNCTIN CNTINUE, D'UNE FNCTIN DERIVABLE EXEMPLES N SE LIMITERA AUX FNCTINS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R Notatios

Plus en détail

Formulaire de statistiques

Formulaire de statistiques Formulaire de statistiques E. Depiereux G. Vicke B. De Hertogh Javier 009 Formulaire de statistiques I. Statistiques descriptives : Moyee arithmétique : (populatio: m x = µ) (échatillo = x = M x ) 1 i

Plus en détail

Lucyna FIRLEJ IUT Mesures Physiques Statistiques C1

Lucyna FIRLEJ IUT Mesures Physiques Statistiques C1 1 Statistique iferetielle. Relatios Iteratioales Lucya Firlej Pl. E.Bataillo, Bat.11, cc.06 34095 Motpellier cedex 5 Frace lucya.firlej@umotpellier.fr S3. Statistics. 30 h d eseigemet: 10 cours, 10 TD,

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

Cours VII. Tests de randomisation - Tests de contingence P. Coquillard 2015

Cours VII. Tests de randomisation - Tests de contingence P. Coquillard 2015 1 TESTS DE RANDOMISATION Cours VII. Tests de radomisatio - Tests de cotigece P. Couillard 2015 Das ue majorité de cas e biologie o cosidèrera certaies hyothèses comme des alteratives à l hyothèse ulle.

Plus en détail

Classes de première générale et technologique STATISTIQUES ET PROBABILITÉS

Classes de première générale et technologique STATISTIQUES ET PROBABILITÉS Classes de première géérale et techologique STATISTIQUES ET PROBABILITÉS Sommaire I. Itroductio...4 II. Statistique descriptive, aalyse de doées...4 III. Variables aléatoires discrètes...6 IV. Utilisatio

Plus en détail

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A Iformatique TP : Calcul umérique d ue itégrale CPP 1A Romai Casati, Wafa Johal, Frederic Deveray, Matthieu Moy Avril - jui 014 1 Zéro de foctio O doe le code suivat (vu e cours), qui permet de calculer

Plus en détail

COURS DE STATISTIQUES INFERENTIELLES Licence d économie et de gestion

COURS DE STATISTIQUES INFERENTIELLES Licence d économie et de gestion COURS DE STATISTIQUES INFERENTIELLES Licece d écoomie et de gestio Laurece GRAMMONT Laurece.Grammot@uiv-st-etiee.fr http://www.uiv-st-etiee.fr/maths/cvlaurece.html September 19, 003 Cotets 1 Rappels 5

Plus en détail

CTU, Licence de Mathématiques Statistique Inférentielle. Jean-Yves DAUXOIS. Université de Franche-Comté

CTU, Licence de Mathématiques Statistique Inférentielle. Jean-Yves DAUXOIS. Université de Franche-Comté CTU, Licece de Mathématiques Statistique Iféretielle Jea-Yves DAUXOIS Uiversité de Frache-Comté Aée scolaire 2011-2012 Ce polycopié cotiet le cours, les sujets d exercice et leurs corrigés aisi que les

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Utilisation du bootstrap pour les problèmes statistiques liés à l estimation des paramètres

Utilisation du bootstrap pour les problèmes statistiques liés à l estimation des paramètres B A S E Biotechol Agro Soc Eviro 00 6 (3) 43 53 Utilisatio du bootstrap pour les problèmes statistiques liés à l estimatio des paramètres Rudy Palm Uité de Statistique et Iformatique Faculté uiversitaire

Plus en détail

Échantillonnage et estimation

Échantillonnage et estimation Échantillonnage et estimation Dans ce chapitre, on s intéresse à un caractère dans une population donnée dont la proportion est notée. Cette proportion sera dans quelques cas connue (échantillonnage),

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Automates 1 Présentation

Automates 1 Présentation Automates Présetatio Présetatio d u automate 2 Ue maière de désiger l automate de l exemple 3 Défiitio géérale 4 U exemple d automate 5 Mot costruit sur l alphabet C 6 L esemble de tous les mots das u

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

Probabilités et Statistiques MATH-F-315. Simone GUTT

Probabilités et Statistiques MATH-F-315. Simone GUTT Probabilités et Statistiques MATH-F-315 Simoe GUTT 2012 Das la vie, ous sommes cotiuellemet cofrotés à des collectios de faits ou doées. Les statistiques formet ue brache scietifique qui fourit des méthodes

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

Statistiques et estimation

Statistiques et estimation DERNIÈRE IMPRESSION LE 23 juillet 2014 à 16:35 Statistiques et estimation Table des matières 1 Intervalle de fluctuation 2 1.1 Simulation................................. 2 1.2 Définition.................................

Plus en détail

Estimation par vraisemblance

Estimation par vraisemblance Chapitre 4 Estimatio par vraisemblace Le procédé de costructio des estimateurs par isertio a été itroduit das le chapitre 2. L objectif de ce chapitre est d étudier ue autre méthode de costructio, basée

Plus en détail

DROITES, TABLEAUX, FORMULES. Location de voitures. - Pour chaque société déterminer k et f et exprimer P en fonction de n.

DROITES, TABLEAUX, FORMULES. Location de voitures. - Pour chaque société déterminer k et f et exprimer P en fonction de n. 1/8 Situatios Des essais de locatio de voitures ot été effectués das trois sociétés de locatio différetes. our chaque essai, la voiture 'a été louée qu'ue jourée. Société Aimatour J'ai payé u jour 34 pour

Plus en détail

GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir d exercices de BAC TES

GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir d exercices de BAC TES GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilatio réalisée à partir d exercices de BAC TES Exercice. U groupe d amis orgaise ue radoée das les Alpes. O a représeté par le graphe ci-dessous les sommets B, C, D, F,

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet

Plus en détail

Décomposition d'un nombre en fractions égyptiennes, conjecture de Sierspinski

Décomposition d'un nombre en fractions égyptiennes, conjecture de Sierspinski Décompositio d'u ombre e fractios égyptiees, cojecture de Sierspiski Stage "Mathématiques et iformatique" - Ouagadougou février 999 Sommaire. Historique : l œil oudjat. Décompositio d u ombre e fractios

Plus en détail

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6 Corrigés TD Chapitre : Variables aléatoires sur u uivers fii Exercice : Soit X la VAR défiie par le tableau suivat : x i - - 0 p 6 4 6 4 6 i O ote Y = X ) Détermier la loi cooite de X et Y ) Détermier

Plus en détail

COURS N 6 : Estimations

COURS N 6 : Estimations COURS N 6 : Estimatios O peut rappeler que les biostatistiques ot pour objectif de predre e compte la variabilité iteridividuelle, de résumer et décrire des doées et de comparer des échatillos. Nous avos

Plus en détail

PERFORMANCE CONTACT vous présente son LOGICIEL de PRISE de RENDEZ-VOUS

PERFORMANCE CONTACT vous présente son LOGICIEL de PRISE de RENDEZ-VOUS PERFORMANCE CONTACT vous présete so LOGICIEL de PRISE de RENDEZ-VOUS OBTENEZ sas effort LES RENDEZ-VOUS que vous SOUHAITEZ SIMPLICITÉ ET EFFICACITÉ Spécialisée das la prise de redez-vous depuis de ombreuses

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

II - Estimation d'un paramètre par intervalle de confiance

II - Estimation d'un paramètre par intervalle de confiance II - Estimatio d'u paramètre par itervalle de cofiace 1 ) - Gééralités sur la costructio O veut estimer u paramètre (moyee, proportio ) d'u caractère das ue populatio P. Ue estimatio poctuelle à partir

Plus en détail

Temps moyen de lecture par page (exercice compris) : 10 minutes

Temps moyen de lecture par page (exercice compris) : 10 minutes MOTS BINAIRES Mots biaires de logueur 2 Rappel : le logarithme e base b 3 Le choix de la logueur des mots biaires 4 Calculs avec les mots de logueur 5 Le poids d u mot biaire de logueur 6 La distace de

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

CONCOURS EXTERNE POUR l ACCÈS AU GRADE D INSPECTEUR DES FINANCES PUBLIQUES AFFECTÉ AU TRAITEMENT DE L INFORMATION EN QUALITÉ D ANALYSTE

CONCOURS EXTERNE POUR l ACCÈS AU GRADE D INSPECTEUR DES FINANCES PUBLIQUES AFFECTÉ AU TRAITEMENT DE L INFORMATION EN QUALITÉ D ANALYSTE J. 3 398 CONCOURS EXTERNE POUR l ACCÈS AU GRADE D INSPECTEUR DES FINANCES PUBLIQUES AFFECTÉ AU TRAITEMENT DE L INFORMATION EN QUALITÉ D ANALYSTE ANNÉE 04 ÉPREUVE ÉCRITE D ADMISSIBILITÉ N 3 Durée : 3 heures

Plus en détail

Estimation de paramètres

Estimation de paramètres CHAPITRE 8 Estimatio de paramètres 1. Distributio des moyees des échatillos Das ce chapitre, ous étudieros commet est distribué la moyee de tous les échatillos de taille possibles d ue certaie populatio.

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Asie 23 juin 2016

Corrigé du baccalauréat ES Asie 23 juin 2016 Corrigé du baccalauréat ES Asie jui 16 A.. M. E.. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 6 poits Das u repère orthoormé du pla, o doe la courbe représetative C f d ue foctio f défiie et dérivable sur l itervalle

Plus en détail

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de "Processus Stochastiques"

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de Processus Stochastiques Master ère aée spécialité IMIS et Mathématiques Cotrôle cotiu de "Processus Stochastiques" 8 octobre 00 - Durée h Calculatrices et documets autorisés Exercice Jacques va tous les jours à so travail e emprutat

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

Échantillonnage et estimation

Échantillonnage et estimation Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page Échatilloage et estimatio Partie C : Capacités et exercices-types. Rappelos

Plus en détail

Proposition : la droite d équation «y= 4» est asymptote horizontale à la courbe de f en. . Calculer : a) lim f( x) h( x) xlim

Proposition : la droite d équation «y= 4» est asymptote horizontale à la courbe de f en. . Calculer : a) lim f( x) h( x) xlim NOM : Termiale S- ABC S3 ludi ovembre 06 La présetatio, la rédactio et la rigueur des résultats etrerot pour ue part sigificative das l évaluatio de la copie. Le sujet est composé de 5 eercices idépedats.

Plus en détail

. En déduire la limite de f 1 en +. F 1 (x) = e 2 2 4

. En déduire la limite de f 1 en +. F 1 (x) = e 2 2 4 Atilles-Guyae septembre 5 EXERCICE 6 POINTS Commu à tous les cadidats 6 poits Soit u etier aturel o ul. O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l esemble des ombres réels par f (x) = x e x O ote

Plus en détail

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre Exercices de Khôlles de Mathématiques, secod trimestre Lycée Louis-Le-Grad, Paris, Frace Igor Kortchemski HX 2-2005/2006 Exercices particulièremet itéressats : - Exercices 2., 2.2 - Exercice 3. - Exercice

Plus en détail

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points)

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points) Exercice 1 (6 poits) Corrigé du DS 1 Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10 - près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves

Plus en détail

Chapitre 3: Réfraction de la lumière

Chapitre 3: Réfraction de la lumière 2 e B et C 3 Réfractio de la lumière 16 Chapitre 3: Réfractio de la lumière 1. Expériece 1 : tour de magie avec ue pièce de moaie a) Dispositio Autour d'ue petite boîte coteat ue pièce de 1 de ombreux

Plus en détail

DÉTERMINATION DE L INDICE DE RÉFRACTION D UN LIQUIDE

DÉTERMINATION DE L INDICE DE RÉFRACTION D UN LIQUIDE TP O. Page /5 BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE TRAVAUX PRATIQUES DE SCIENCES PHYSIQUES SUJET O. Ce documet compred : - ue fiche descriptive du sujet destiée à l examiateur : Page /5 - ue fiche descriptive

Plus en détail

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède).

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède). #4 Itégrale de Riema Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Soit f ue foctio cotiue sur [, ] telle que Motrer que f ab f(t)dt = O pose a = mi f et b = max f Exercice x ) Motrer

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

EXERCICES de Statistiques

EXERCICES de Statistiques EXERCICES de Statistiques Aette Corpart lycée Jea Zay de Thiers EXERCICES sur la LOI NORMALE La variable aléatoire X suit la loi ormale N ( 12 ; 4 ). Calculer les probabilités suivates : P ( X 15 ) ; P

Plus en détail