Estimation. Anita Burgun

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1 Estimation Anita Burgun

2 Estimation Anita Burgun

3 Contenu du cours Sondages Mesures statistiques sur un échantillon Estimateurs

4 Problème posé Le problème posé en statistique: On s intéresse à une population mais on ne peut pas étudier la population dans son ensemble On extrait un échantillon A partir de l échantillon, comment estimer un paramètre? Calcul des probabilités : lois Comment tester une hypothèse concernant cette population?

5 Problème posé Lorsqu on travaille sur l ensemble d une population Recensement (dénombrer les sujets) et collecte des données exhaustive Les patients d un hôpital, les naissances Exceptionnel -> on recueille des données sur un groupe limité, sélectionné à l intérieur d une population Echantillonnage: opération qui consiste à identifier un groupe dans une population Echantillon: le groupe sélectionné En statistique, un échantillon est un ensemble d'individus extraits d'une population initiale de manière aléatoire de façon à ce qu'il soit représentatif de cette population. Sondage: la méthode utilisée pour échantillonner

6 Métaphore du papier peint (A-J Valleron) Se rendre compte du résultat final à partir d un petit morceau de papier (échantillon) Objectif: donner l information la plus fiable possible Echantillon de taille d autant plus grande: Que l on souhaite fournir plus de détail sur le papier peint originel Que le papier peint est plus complexe (motif vs uni)

7 Biais de sélection La qualité primordiale d un échantillon est d être représentatif de la population qu il est censé décrire. Lorsqu un échantillon n est pas représentatif, il fournit des données et des paramètres biaisés: biais de sélection Echantillons biaisés: Interroger des passants dans la rue (exclut au travail, impotent, enfant, etc) Annuaire du téléphone Malades hospitalisés Prélèvements sanguins d un CHU

8 Tirage au sort Tirage au sort= randomisation Sondage aléatoire Élémentaire Systématique À plusieurs degrés En grappes stratifié

9 Sondage Population: ensembles des individus (unités statistiques) qu on veut étudier Les unités statistiques ne sont pas forcément des individus, ex services hospitaliers Base de sondage : liste des unités statistiques issues de la population servant à sélectionner un échantillon. Il y a une identification des unités statistiques qui permet de les «atteindre» si elles sont sélectionnées.

10 Sondage élémentaire C est la méthode de référence Après avoir fixé la taille n de l échantillon, on tire au sort les individus (unités statistiques) Tous les individus ont a priori la même probabilité d être sélectionnés Avec N= la taille de la population, cette probabilité est n/n Fraction (taux) de sondage = n/n Base de sondage= population

11 Sondage systématique On considère la population comme une pile d individus On détermine un pas de sondage = N/n Après avoir tiré au sort le 1er individu entre 1 et N/n, on sélectionne les suivants de façon systématique en balayant la pile de pas en pas a b f j Pas du sondage = 4

12 Sondage à plusieurs degrés Cas d une population de très grande taille Sondage à 2 degrés: On fait une partition de la population en groupes Ces groupes représentent les unités primaires (UP). La liste des groupes constitue la première base de sondage. On pratique un 1er sondage élémentaire (ou systématique) sur cette liste d UP On pratique ensuite un 2ème sondage élémentaire (ou systématique) sur les individus des groupes tirés au sort Extensible à 3 degrés ou plus

13 Sondage à 2 degrés

14 Sondage à 2 degrés 1er degré Unités premières

15 Sondage à 2 degrés 1er degré Unités premières

16 Sondage à 2 degrés 1er degré Unités premières

17 Sondage à 2 degrés 1er degré 2ème degré Unités premières Individus

18 Sondage en grappes

19 Sondage en grappes

20 1er degré Sondage en grappes

21 Sondage en grappes On prend tous les individus des grappes t.a.s

22 Sondage en grappes Il faut des grappes nombreuses et semblables avec une variance intra-grappe élevée

23 Sondage stratifié Cas où l on sait qu il y a une liaison entre un caractère particulier de la population et la variable étudiée. Exemple: on veut étudier la comportement par rapport au tabac chez les jeunes d un lycée de 800 élèves Pop= fumeurs p=20% Proportion variable en fonction de la classe (2nde: 10%, 1ere:15%, term:50%) On stratifie sur la classe et on fait le tirage au sort dans chaque strate

24 Sondage stratifié strates Tirage au sort Unités statistique s La fraction de sondage peut être différente selon les strates

25 Types d erreurs liées à l utilisation d un sondage Biais: erreur systématique qui ne peut pas être corrigée par l analyse statistique Fluctuation d échantillonnage: erreur non systématique qui entraîne un manque de précision des données. Pourrait être corrigée en augmentant la taille de l échantillon.

26 Contenu du cours Sondages Mesures statistiques sur un échantillon Estimateurs

27 Mesures statistiques sur un échantillon Sur un échantillon, on peut mesurer les mêmes types de paramètres de position et de distribution que sur une population Utilisés comme estimateurs des paramètres inconnus dans la population

28 Contenu du cours Sondages Mesures statistiques sur un échantillon Estimateurs

29 Estimateurs On appelle estimateur d un paramètre de la population un paramètre calculé à partir de l échantillon, approchant au mieux le paramètre de la population Un estimateur t d'un paramètre θ est dit "sans biais", ou "non biaisé", si son espérance est égale à la valeur du paramètre E(t)= θ la valeur d'un estimateur sans biais est "en moyenne" égale à la valeur à estimer

30 Paramètres de position Moyenne: on appelle m ou la moyenne d une variable quantitative calculée sur un échantillon, µ étant la moyenne inconnue dans la population. Avec x: les valeurs! de la variable, x la somme de ces valeurs et n la taille de l échantillon m = x " x La moyenne m est l estimateur de la moyenne µ inconnue n

31 ! Paramètres de position Pourcentage: on appelle p un pourcentage observé sur un échantillon, P étant le pourcentage inconnu dans la population. Avec n la taille de l échantillon et k le nombre d individus présentant la caractéristique p = k n Le pourcentage p est l estimateur du pourcentage P inconnu

32 Paramètres de dispersion Variance empirique, observée d un échantillon Avec x: les valeurs de la variable, m: la moyenne de l échantillon et n la taille de l échantillon v = x " m #( ) n 2 Peut-on estimer σ2, la variance au niveau de la population par v???!

33 Paramètres de dispersion NON v = x " m #( ) n 2 NB: L estimateur v est biaisé E(v) = n "1 n # 2! s 2 = n n "1 v = x " m #( ) n "1 2!

34 Paramètres de dispersion Variance: on appelle s 2 la variance d une variable quantitative calculée sur un échantillon, estimateur de la variance σ 2 inconnue dans la population. Avec x: les valeurs de la variable, m: la moyenne de l échantillon et n la taille de l échantillon s 2 = x " m #( ) n "1 2 = (# x 2 ) " n "1 (# x) 2 n La variance s 2 est l estimateur de la variance σ 2 inconnue

35 Paramètres de dispersion Ecart type: on appelle s l écart type calculé sur les valeurs de l échantillon, σ étant l écart type inconnu dans la population. s = s 2 L écart type s est l estimateur de l écart type σ inconnu!

36 Estimation d un paramètre Définir les paramètres d une population à partir des paramètres observés sur un échantillon POPULATION ECHANTILLON Estimation => estimateurs inconnu observé La valeur observée a fort peu de chances d être exactement la valeur inconnue de la population elle est néanmoins assez proche si l échantillon est représentatif en répétant l échantillonnage, on trouverait d autres valeurs, toutes assez proches les unes des autres

37 On a mesuré le taux de fer sérique de 20 individus. Ce taux, exprimé en µg/100ml est le suivant : 83,0 ; 98,0 ; 183,3 ; 119,6 ; 78,5 ; 162,6 ; 155,7 ; 147,3 ; 100,1 ; 139,2 ; 172,1 ; 102,0 ; 162,8 ; 113,8 ; 157,4 ; 128,5 ; 136,2 ; 129,3 ; 131,6 ; 157,3. Calculer les estimations de la moyenne, de la variance et de l écart-type du taux de fer sérique dans la population à partir de cet échantillon.

38 On a mesuré le taux de fer sérique de 20 individus. Ce taux, exprimé en µg/100ml est le suivant : 83,0 ; 98,0 ; 183,3 ; 119,6 ; 78,5 ; 162,6 ; 155,7 ; 147,3 ; 100,1 ; 139,2 ; 172,1 ; 102,0 ; 162,8 ; 113,8 ; 157,4 ; 128,5 ; 136,2 ; 129,3 ; 131,6 ; 157,3. Calculer les estimations de la moyenne, de la variance et de l écart-type du taux de fer sérique dans la population à partir de cet échantillon. La moyenne du taux de fer sérique µ dans la population est estimée par m, notée aussi x m =! x = n " i=1 n x i = 132,915µg/100ml La variance σ 2 est estimée par s 2! s 2 = n # i=1 (x i " m) 2 n "1 = 900 L écart type σ est estimé par s!

39 Estimation d une moyenne

40 Estimation d une moyenne " x m = est un estimateur non biaisé de la moyenne n sur la population Fluctuation d échantillonnage d une moyenne! m 1 m 3 m 2 Échantillon 1 -> m 1 Échantillon 2 -> m 2

41 Estimation d une moyenne Théorème central limite: La moyenne d une variable quantitative calculée sur un échantillon est une variable aléatoire Qui suit une loi normale (convergence vers une loi normale) Cette loi normale est centrée sur la moyenne µ de la population

42 Estimation: intervalle de pari On se pose le problème suivant. On s'apprête à réaliser une série d'expériences, c'est-à-dire à mesurer la variable X sur un échantillon de n individus. Peut-on construire un intervalle [a, b] tel que la probabilité pour que la moyenne observée que l'on s'apprête à calculer appartienne à cet intervalle ait une valeur donnée? Il s'agit donc de construire un intervalle qui contienne avec une probabilité fixée la valeur observée que l'on va obtenir.

43 Estimation d une moyenne Résultat: intervalle de pari de la moyenne Si, dans une population, une v.a. X a une moyenne µ et une variance σ 2, la moyenne des n valeurs d un échantillon a une probabilité 1-α d être comprise entre! $ µ " z # n Condition de validité: et n " 30 µ + z " # n!!

44 Rappel concernant l écart type de la moyenne Soit X 1,. X n une suite de n v.a. indépendantes de mêmes moyenne et écart-type µ et σ La moyenne sur l échantillon m= (X 1 + X 2 +. X n ) /n a comme moyenne µ et pour écart-type Si X 1,. X n suivent une loi normale ou si on peut faire une approximation, la moyenne des n valeurs d un échantillon a une probabilité 1-α d être comprise entre µ " z # $ n et! " n µ + z " # n

45 Estimation d une moyenne L écart type de la moyenne m peut être estimé par: s m = s n Avec s: écart type des valeurs de l échantillon n: taille de l échantillon Applicable ssi la taille de l échantillon est négligeable par rapport à la taille de la population (10%).! ATTENTION: ne pas confondre s et s m

46 Intervalle de confiance d une moyenne Un intervalle de confiance d un paramètre inconnu est une fourchette de valeurs dans laquelle le paramètre inconnu qu on veut estimer a une probabilité 1-α de se trouver (et α de ne pas se trouver) m " z # s m < µ < m + z # s m! Ici, on connaît m et on cherche à déterminer µ.

47 Intervalle de confiance d une moyenne On cherche à déterminer µ m " z # $n < µ < m + z # $ n σ est inconnu. On le remplace par son estimation s.! m " z # sn < µ < m + z # s n

48 Intervalle de confiance d une moyenne L intervalle de confiance au risque α permettant l estimation de µ à partir d un échantillon (m, s) est! m ± z " La valeur recherchée µ a une probabilité 1- α de se trouver dans cet intervalle. " n 30 Condition! s n

49 Machine A garantie par le constructeur comme faisant des comprimés de poids moyen 0,80g avec un écart-type de 0,02g Echantillon A prélevé 15 comprimés m A = 0,79 g X poids des comprimés suit loi normale Echantillon de 15 cps (n) Machine A: µ connu (0.80) σ connu (0.02) Intervalle de pari de la moyenne du poids m sur un échantillon vaut: µ "# $ n ;µ + # $ n

50 Machine A garantie par le constructeur comme faisant des comprimés de poids moyen 0,80g avec un écart-type de 0,02g m A = 0,79 g n= 15, µ = 0.80; σ =0.02 Intervalle de pari de la moyenne du poids m sur un échantillon vaut: µ "# $ n ;µ + # $ n " =1.96! 0.789;0.811

51 Estimation d un pourcentage

52 Estimation d un pourcentage Etant donné une population où une proportion P des individus possède un certain caractère. Il s agit d estimer P à partir de p, proportion trouvée dans un échantillon de taille n. On sait que np suit une loi binomiale B(n,P). Si n est petit on utilise les calculs de la loi binomiale Si n est grand,! ( ) np suit N np; écart - type = np(1- P) " p suit loi N$ P; ecart - type = # P(1- P) n % ' &

53 Estimation d un pourcentage Fluctuation d échantillonnage d un pourcentage Un pourcentage observé sur un échantillon est une variable aléatoire. Il varie selon les échantillons. Cette variable suit une loi normale (convergence vers une loi normale) Cette loi normale est centrée sur le pourcentage P de la population

54 Estimation d un pourcentage Résultat: intervalle de pari d un pourcentage Si, dans une population, on a la proportion P, le pourcentage p sur les n valeurs d un échantillon a une probabilité 1-α d être comprise entre P " z # P(1" P) n et P + z " P(1# P) n Condition de validité: np et n(1" P) #10!!

55 Estimation d un pourcentage Ecart type d un pourcentage P peut être estimé par: s p = p(1" p) n! Conditions de validité: n négligeable par rapport à la taille de la population (<10%) (ref: Ancelle)

56 Intervalle de confiance d un pourcentage Le but est d estimer P à partir d une observation sur un seul échantillon. Théorème central limite Condition np et n(1" p) #10 L intervalle de confiance au risque α permettant l estimation de P à partir d un échantillon (p, s p ) est! p ± z " s p

1/4 2/4 3/4 4/4. 10. Estimation MTH2302D. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016. (v1) MTH2302D: estimation 1/50

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