2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si"

Transcription

1 L'estimation 1. Concrètement... Dernièrement un quotidien affichait en première page : en 30 ans les françaises ont grandi de... je ne sais plus exactement, disons 7,1 cm. C'est peut-être un peu moins ou un peu plus, cela n'a pas d'importance. C'était un nombre assez précis, avec une virgule, pas une dizaine ou une quinzaine de centimètres, non quelque chose de plus précis. Voilà un bien beau résultat... Mais comment a t-on fait pour l'obtenir? Certainement pas en mesurant toutes les françaises : pour ce que je sais, ni mon épouse, ni mes filles, ni ma belle mère, ni ma sœ ur, n'ont reçu la visite d'un quelconque "mesureur". D'ailleurs je ne connais pas beaucoup de gens qui ont été mesurés. Je ne suis d'ailleurs pas sûr qu'il y a trente ans il y ait eu une opération générale de mesurage. Il est bien plus raisonnable de penser que les résultats annoncés ne proviennent pas de l'ensemble des françaises, mais seulement de quelques-unes d'entre elles. Ce qu'en langage statistique on appelle un échantillon. Mais dès lors se pose immédiatement la question de la validité des valeurs annoncées maintenant et il y a trente ans.examinons comment cela a pu se passer. Si toute la population n'est pas concernée, il a fallu définir un protocole pour sélectionner un échantillon "représentatif". Chacun connat les liens entre milieu social, nutrition et taille (liens eux-mêmes mis en évidence par d'autres enquêtes). La constitution d'un tel échantillon a nécessairement été réalisée selon un ensemble de règles strictes. Nous laisserons cela aux enquêteurs spécialistes. Avant de définir ces règles, il leur a fallu toutefois se poser une première série de questions importantes : quel doit être le nombre d'individus de l'échantillon? ce nombre influe t'il sur la précision du résultat obtenu? de quelle façon? Laissons cela aussi de côté pour l'instant. Nous supposerons donc que l'enquêteur soit parvenu à définir une "taille d'échantillon idéale". Il réalise donc la collecte de données. Comment le statisticien peut-il utiliser les valeurs recueillies pour approcher la taille moyenne des femmes dans la population? Il semble assez naturel de penser qu'il fera dans un premier temps la moyenne des tailles des individus de l'échantillon. Et voilà de nouveaux problèmes : tout d'abord ce calcul est-il une bonne façon d'estimer la moyenne cherchée? Est-il la meilleure façon de faire cette estimation ou ne donne t'il qu'une simple idée du résultat sur la population? En second lieu on ne peut ignorer que le résultat de ce calcul dépend de l'échantillon choisi : il y a de grandes chances que d'un échantillon à l'autre les valeurs trouvées soient un peu (ou très) différentes. Enfin, il semble raisonnable de penser qu'avec un échantillon de plus grande taille on aurait pu (mais pas à coup sûr) obtenir une meilleure approximation de ce que l'on cherche.tout ce que nous avons dit jusqu'à présent relève d'interrogations de bon sens. On pourrait sans doute y ajouter une question plus préoccupante encore : une telle estimation a t'elle un sens, une véritable valeur scientifique? Répondre à ces questions avec un peu d'objectivité demande de définir des outils qui nous y aideront.

2 2. Formalisation La première idée est que la taille d'un individu varie dans toutes les populations du monde. On sait en gros qu'il s'agit d'un réel positif. On peut donc considérer la taille comme une variable aléatoire à valeurs dans. Cette variable aléatoire suit une loi de probabilité que l'on ne connat pas. On peut supposer raisonnablement qu'elle admet une espérance et une variance. C'est justement cette espérance que nous voudrions approcher à partir de l'échantillon. On a constitué un échantillon de individus,..., sur lequel on recueille tailles,...,. Avec les notations précédentes, on a (qui se traduit en français par : la taille de l'individu est. Plutôt que de dire que l'on applique la variable à chaque individu de l'échantillon, on préfèrera dire que la taille de la première femme de l'échantillon, c'est la valeur que prend une variable aléatoire de même loi que (et donc de même espérance et de même variance). On recommence aux toutes les femmes de l'échantillon. Imaginons par exemple que l'on ait rangé l'échantillon par ordre alphabétique : sera la variable qui donnera la taille de la première personne de la liste ainsi ordonnée, celle de la deuxième personne, et ainsi de suite. Si l'on prend un autre échantillon de même taille, après rangement par ordre alphabétique, on appliquera à nouveau les variables,...,. Pour tous les échantillons de personnes et tous les rangements possibles, on aura toujours une valeur pour, pour,..., pour. En fait pour chacun des échantillons de n individus possibles, chaque variable prendra une valeur dans et ce indépendamment de ce que les autres variables ont pris comme valeurs. Ces n variables aléatoires sont indépendantes et de même loi. Pour estimer la moyenne des tailles sur la population, on a effectué la moyenne des tailles recueillies sur un échantillon (c'est-à-dire des nombres,,...,, et donc on a calculé... Comme nous l'avons remarqué, ce nombre varie avec les échantillons; il peut donc être considéré comme la valeur prise par une certaine variable aléatoire qui correspond à la moyenne arithmétique des variables,...,. On note cette variable. On aura... Nous retrouvons moyenne empirique (ou expérimentale) sur un échantillon de taille. On a donc approché la valeur de l'espérance de la variable par la valeur que prend la variable sur l'échantillon. Nous savons que si, Or les variables sont indépendantes. si

3 On sait que Là encore le résultat ne dépend pas de la loi de probabilité de la variable X.En résumé on a La loi faible des grands nombres dit alors que 0, 0 la probabilité que la moyenne empirique soit aussi proche que l'on veut de l'espérance cherchée tend vers 1 quand devient infiniment grand (en fait "grand" suffira le plus souvent). Tout cela légitime l'utilisation de pour faire une approximation de. Reste à savoir ce qu'elle est l'erreur que l'on commet quand on fait cette approximation à partir d'un échantillon. Ce sera le problème de l'intervalle de confiance plus loin. 3) Le problème de l'estimation Généralisons la situation précédente. Considérons un caractère quantitatif étudié sur une population. La valeur de ce caractère pour chaque individu de cette population peut être représentée par une variable aléatoire. Supposons que nous connaissions la forme de la loi suivie par cette variable. En pratique il s'agira d'une loi usuelle comme la loi binomiale, la loi de Poisson, la loi géométrique, la loi normale... Toutes ces lois sont données par des paramètres : nombres de répétitions de l'épreuve, probabilités du succès, moyenne, variance... Le plus souvent il y a un ou deux paramètres, parfois trois comme dans la loi hypergéométrique. On connaît le type de loi que suit la variable aléatoire, mais on ne connaît pas les paramètres. Le problème revient à en estimer la meilleure valeur possible au vue des données recueillies à partir d'observations faites sur un ou plusieurs échantillons extraits de cette population. En pratique, on dispose des données obtenues à partir de observations, c'est-à-dire sur un échantillon de individus extraits de cette population. On a donc un -uplet,, qui correspond aux valeurs prises par la variable pour les individus de l'échantillon. On peut considérer ce n-uplet comme la réalisation d'un vecteur aléatoire, où,, sont variables aléatoires de même loi que. En pratique, dans le protocole appliqué pour la constitution de l'échantillon, on peut faire en sorte que ces variables soient indépendantes. On cherche à estimer un des paramètres de la loi suivie par à partir des résultats obtenus pour l'échantillon. Quelle que soit la façon dont on procède pour réaliser cette estimation, ce que nous obtiendrons dépend des valeurs de l'échantillon. Si nous avions eu d'autres valeurs, notre estimation aurait sans doute été différente. On peut donc dire que l'estimation est elle-même une variable aléatoire fonction des variables,,.

4 4) Mise en œuvre sur en exemple Supposons qu'un certain caractère quantitatif dans une population puisse être représenté par une variable aléatoire dont on sait quelle suit une loi normale de moyenne et de variance inconnues. Cette situation est très fréquente : de très nombreux phénomènes ont des distributions très proches de celle d'une loi normale. Sur cette population que nous considèrerons comme suffisamment grande pour qu'il soit irréaliste de calculer directement la moyenne et la variance, on extrait en échantillon de individus. On peut penser au moins dans un premier temps que la moyenne et la variance calculées à partir de cet échantillon sont des estimations (correctes?) de la moyenne et de la variance de la population. A chaque échantillon de taille, on peut associer sa moyenne arithmétique : on définit ainsi une variable aléatoire que l'on note qui est la moyenne empirique déjà rencontrée. On peut de la même façon associer à chaque échantillon sa variance. On définit une variable aléatoire que l'on peut noter. On aura 1 L'estimation que nous ferons de la variance dépend bien entendu des valeurs que prendront et obtenus à partir de l'échantillon. C'est donc ure variable aléatoire, fonction des variables et Une telle variable est appelée un estimateur de V. Les différentes valeurs que peut prendre cet estimateur sont appelées des estimations de V 5) Définitions On se place dans un espace probabilisé Ω,, Soit θ un paramètre inconnu d'une variable aléatoire dont on connaît la forme de la loi de probabilité. On extrait un échantillon de taille n de la population. Soit,, les différentes valeurs prises par sur cet échantillon. Ces valeurs peuvent être considérées comme les réalisations de variables aléatoires indépendantes,,, munies de la même loi que. Définition On dit que,, est un échantillon de variables indépendantes et de même loi que. Un estimateur de θ à partir d'un échantillon de taille sera alors une variable aléatoire que l'on note fonction du vecteur aléatoire,, En pratique on sera amené à considérer la limite d'une telle variable quand n tend vers l'infini. On élargit la notion d'estimateur à la suite de variables. Définition Soit,, est un échantillon de variables indépendantes et de même loi que. On appelle estimateur d'un paramètre θ une suite de variables aléatoires fonctions de,. Par abus de langage, on assimile souvent l'estimateur (qu'est la suite) avec la variable

5 Si, on dit que,, qui correspond à la valeur numérique que prend la variable pour les données obtenues à partir de l'échantillon est une estimation de θ. Devant en problème concret comme celui d'estimer la moyenne d'une certaine caractéristique quantitative sur une population à partir des données fournies par un échantillon, la question pas toujours simple à trancher est celle du meilleur estimateur : la moyenne, la médiane, ou tout autre chose. Cette question demande au préalable de savoir quel sens on donne au mot "meilleur". Certaines réflexions de bon sens permettent souvent d'écarter de mauvais candidats. Par exemple pour le problème précédent, si l'on prend, on possède en candidat crédible puisque l'on sait que : Or c'est justement que l'on veut estimer. Par contre, par exemple,,, ne semble pas au moins en moyenne être un bon candidat car quantité qui tend vers l'infini quand tend vers l'infini sauf si 0. 6) Qualités d'un estimateur a) Estimateur sans biais On attend d'un "bon" estimateur qu'en moyenne il nous donne une bonne estimation, au moins quand la taille de l'échantillon devient grande. Autrement dit si θ est le paramètre à estimer et l'estimateur de θ, on voudrait bien que ou au moins que lim. Dans le premier cas, on dit que est un estimateur sans biais de θ, et dans le second cas on dit que est un estimateur asymptotiquement sans biais. Remarquons qu'un estimateur sans biais est automatiquement un estimateur asymptotiquement sans biais. En effet si, alors lim. La variable est un estimation sans biais de la moyenne d'une caractéristique sur une population. Précisons ce qu'est le biais d'un estimateur biaisé. Définition On appelle biais de l'estimateur la différence. Précisons immédiatement que même si l'on recherche d'abord des estimations sans biais, l'absence de biais n'est pas automatiquement synonyme de qualité et un estimateur biaisé n'est pas forcément un mauvais estimateur. b) Estimateur convergent Il serait souhaitable également que les estimations qu'il nous donne soit d'autant plus proche de ce que l'on cherche à estimer que devient grand. Ce que nous avons formulé dans le 1) par 0, lim 1

6 Plus généralement on sera amené à écrire pour un estimateur 0, lim 1 Montrons qu'un estimateur sans biais dont la variance tend vers 0 quand tend vers l'infini remplit bien cette propriété. Si est un estimateur sans biais de θ, alors, D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a pour tout réel α strictement positif: Si lim 0 alors lim 0 Or donc lim 1 On montre qu'un estimateur asymptotiquement sans biais, dont la variance tend vers 0 quand tend vers l'infini remplit également à cette propriété. En pratique nous garderons cette dernière caractérisation pour définir un estimateur convergent. On donnera la définition suivante : Définition Un estimateur convergent est en estimateur asymptotiquement sans biais tel que lim 0. Par exemple, si la variable admet une variance, est un estimateur convergent de la moyenne. On a vu que est un estimateur sans biais et que. lim lim 0 Ce qui prouve que est un estimateur convergent. Remarquons que ce résultat correspond à la loi faible des grands nombres. 7) Risque quadratique Considérons un estimateur sans biais. On a. Or dans le cas d'un estimateur sans biais Que vaut dans le cas général? Pour un estimateur convergent asymptotiquement sans biais, on aura :

7 lim lim Si l'estimateur est simplement asymptotiquement sans biais, alors on retrouve la formule vue pour un estimateur sans biais que lim lim Réciproquement si 0 alors on a 0 Comme il s'agit de la somme de nombres positifs, en a 0. L'estimateur est donc convergent. Définition On appelle risque quadratique de l'estimateur le réel positif si la variable admet une variance. Théorème On a En conclusion, il existe des estimateurs sans biais ou asymptotiquement sans biais : pour ceux-là il y a on a bien entendu lim 0 On a alors lim lim Rien n'oblige comme nous le verrons sur des exemples à ce que de tels estimateurs soient convergents : il existe des estimateurs asymptotiquement sans biais non convergents. Réciproquement rien n'empêche d'imaginer des estimateurs biaisés tels que 0. L'idéal est bien sûr d'avoir un estimateur convergent, mais nous ne pouvons pas toujours être sûr de son existence. 8) Exemples d'estimateurs convergents Nous avons vu que si la variable admet une espérance et une variance, l'estimateur est un estimateur convergent. On en déduit immédiatement deux résultats classiques : a) Estimation du paramètre d'une variable de Bernoulli Soit. On sait que et que 1. On considère par exemple la population française. On veut estimer le nombre de personnes de plus de 60 ans. On appelle la proportion inconnue d'individus remplissant cette condition. Si on appelle la variable aléatoire qui à tout individu associe le nombre 0 s'il a moins de 60 ans et 1 sinon. Il s'agit d'une variable de Bernoulli de paramètre. On a.

8 Si l'on extrait au hasard un échantillon de personnes dans la population française, la variable aléatoire est appliquée à chaque individu de l'échantillon et retourne valeurs qui sont des 0 ou des 1. On est dans la situation décrite plus haut. On sait alors que est un estimateur convergent de donc de. Remarquons que représente le nombre de "succès", c'est-à-dire le nombre de personnes de plus de 60 ans sur un échantillon de taille et donc représente le pourcentage de personnes de plus de 60 ans sur un échantillon de taille, ce que l'on appellera la fréquence. Pour un échantillon donné dans lesquel les variables,, prennent les valeurs,, (qui sont des 0 ou des 1), on note souvent Ce que dit la convergence de c'est que est une approximation "non biaisé" de, mais aussi que plus le nombre grandit plus la probabilité que soit éloignée de la valeur réelle de est petite. b) Estimateur du paramètres d'une loi de Poisson Nous sommes dans la même situation que précédemment. La loi de Poisson modélise habituellement les évènements rares. Si suit une loi de Poisson de paramètres λ, alors. Si l'on prend un échantillon de taille, l'estimateur est un estimateur convergent de λ. c) Estimateur du paramètre d'une loi géométrique Si suit une loi géométrique de paramètre, on sait que 1 Une urne contient des boules blanches et des boules noires dans une proportion inconnue. On procède au tirage avec remise d'une boule et l'on note le numéro de la première boule blanche obtenue. Si est la variable correspondant à ce numéro, on sait que suit une loi géométrique dont le paramètre correspond à la proportion exacte de boules blanches dans l'urne. On répète cette expérience fois, on obtient une série de valeurs,, qui sont les valeurs prises par sur chacune des expériences. On obtient donc un échantillon de taille auquel on associe variables aléatoires de même loi que:,,. On sait alors que l'estimateur est un estimateur convergent de. On en déduira une estimation de à partir d'un échantillon. 9) La variance empirique En reprenant les mêmes notations que dans les parties a) et b), on peut donc considérer que l'on prendra comme estimateur de l'espérance de la variable la moyenne empirique. La variance empirique est-il un estimateur de? Ou plutôt puisque a priori tout peut être considéré comme un estimateur possible, quelles sont les qualités de cet estimateur? On a On calcule. On a 1

9 Or Et et On a également. 1 1 Or et, donc La variance empirique n'est pas un estimateur sans biais. Son biais est égal à Remarquons toutefois que lim. La variance empirique est donc un estimateur asymptotiquement sans biais. Si l'on prend 1 On a la variable est un estimateur sans biais de la variance. C'est celui que l'on utilisera. 10) Intervalle de confiance Reprenons le problème évoqué plus haut d'une urne contenant des boules noires et blanches. On ne connaît pas le nombre total de boules, ni la proportion de chaque catégorie. Soit la proportion inconnue de boules blanches. On procède à une série de tirages avec remise jusqu'à ce que l'on obtienne une boule blanche. La variable correspond au nombre de boules tirées suit une loi géométrique de paramètre. Son espérance est 1 On recommence 100 fois cette opération. On obtient 100 résultats correspondant aux valeurs prises par 100 variables aléatoires indépendantes,, de même loi que.

10 On sait que est un estimateur sans biais de. On sait également que si est la variance empirique calculée sur cet échantillon, la variable donnée par la formule est un estimateur sans biais de la variance. On a trouvé sur l'échantillon des 100 valeurs une moyenne 3,55 avec un écart-type de 2,78. On a donc une variance de 2,78 qui nous permettra d'estimer la variance par la formule : on estime l'écart type par On cherche α tel que 0,95 On a \ D'après le théorème central limite, on a On est donc ramené à chercher α tel que : Et donc 100 \ 100 \ , ,975 Or 1,96 0,975 Par croissance de la fonction ϕ, on en déduit : 10 1,96 Et donc 0, Si l'on prend pour estimation de σ la valeur 2.79, on trouve

11 On peut donc affirmer qu'au moins 95% des échantillons de taille 100 ont une moyenne empirique comprise entre 0,55 et 0,55. Nous avons donc moins 5% de chances de nous tromper en affirmant que 3,55 est dans cet intervalle. Dans ce cas on aura 0,55 3,55 0,55 donc 3 4,1. L'intervalle [3;4,1] est appelé intervalle de confiance de au seuil de 95% ou au risque de 5%. On a alors , On peut estimer que le pourcentage de boules blanches dans l'urne se situe entre 24% et 33% avec un risque d'erreur de moins de 5%. Comment améliorer la précision? Une façon d'améliorer l'encadrement est d'augmenter 100 c'est-à-dire la taille de l'échantillon. Si par exemple nous avions eu les mêmes résultats sur 1000 répétitions de l'expérience, on aurait alors \ En appliquant encore le théorème central limite, on aura C'est-à-dire : Et donc , ,96 1, \ 1000 \ avec σ 2,79 on aurait Soit ,17 L'intervalle de confiance aurait été alors [3,55-0,17;3,55+0,17]. Ce qui donne

12 Et donc , Nous prenons un risque inférieur à 5% en disant que la proportion de boules blanches est comprise entre 26,8% et 29,6%. 11. Influence de la taille des échantillon L'écart entre les deux valeurs extrêmes de est de 0,028. Que devrait être la taille de l'échantillon pour que cet écart soit inférieur ou égal 0,01? Cet écart se calcule par On veut donc que ,01 Ce qui donne , Ou encore ou On ne conserve que la valeur positive. On prend donc 0,063 Si est la taille cherchée nous savons en reprenant les mêmes calculs que ceux faits pour 100 et 1000 que : Il suffit donc de prendre Ce qui donne Et donc 7535 Nous aurions pu trouver un ordre de grandeur de avec l'inégalité de Bienaymé Tchebychev. On veut en effet que dans plus que 95% des échantillons de taille, on ait On sait que

13 On veut donc que Et donc que Il suffit que prendre Ce qui donne La précision est nettement moins bonne que celle obtenue par le théorème central limite.

TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple

TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple Un examinateur doit faire passer une épreuve type QCM à des étudiants. Ce QCM est constitué de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a trois réponses

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Analyse des données - Méthodes explicatives (STA102) Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Giorgio Russolillo giorgio.russolillo@cnam.fr Infos et support du cours Slide

Plus en détail

EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 : «MIXTE»

EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 : «MIXTE» EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 : «MIXTE» 1. Les électeurs d'une grande ville américaine sont constitués de 40% de blancs, 40% de noirs et 20% d'hispaniques. Un candidat noir à la fonction de Maire espère

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Exercices de dénombrement

Exercices de dénombrement Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.

Plus en détail

Examen d accès - 28 Septembre 2012

Examen d accès - 28 Septembre 2012 Examen d accès - 28 Septembre 2012 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Cet examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses

Plus en détail

Exercices de simulation 1

Exercices de simulation 1 Licence MIA 2ème année Année universitaire 2009-2010 Simulation stochastique C. Léonard Exercices de simulation 1 Les simulations qui suivent sont à effectuer avec Scilab. Le générateur aléatoire de Scilab.

Plus en détail

DOCUMENT 2.1 : INFORMATIONS COMPLEMENTAIRES SUR LA METHODE D ENQUETE

DOCUMENT 2.1 : INFORMATIONS COMPLEMENTAIRES SUR LA METHODE D ENQUETE DOCUMENT 2.1 : INFORMATIONS COMPLEMENTAIRES SUR LA METHODE D ENQUETE 1 Définir le type de variable Dans notre cas, la variable est quantitative nominale. Note : Une variable est qualitative nominale quand

Plus en détail

Série de TD N 1. On lance un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6, donc

Série de TD N 1. On lance un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6, donc Série de TD N 1 Exercice 1 Combien de " mots " de cinq lettres au plus peut-on former avec les quatre lettres de mot "CLAN". Ces lettres étant répétées ou non, et leur ordre n intervenant pas. Exercice

Plus en détail

Introduction à la Statistique Inférentielle

Introduction à la Statistique Inférentielle UNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL SCIENCES FACULTE DES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SMI semestre 4 : Probabilités - Statistique Introduction à la Statistique Inférentielle Prinemps 2013 0 INTRODUCTION La statistique

Plus en détail

EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS

EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS Exercice 1 Dans un univers Ω, on donne deux événements A et B incompatibles tels que p(a) = 0,2 et p(b) = 0,7. Calculer p(a B), p(a B), p ( A ) et p ( B ). Exercice 2 Un

Plus en détail

Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010

Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010 Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010 Exercices fortement conseillés : 6, 10 et 14 1) Un groupe d étudiants est formé de 20 étudiants de première année

Plus en détail

I. Cas de l équiprobabilité

I. Cas de l équiprobabilité I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

Correction des exemples. Mathieu EMILY

Correction des exemples. Mathieu EMILY Correction des exemples Mathieu EMILY Novembre 2005 Table des Matières Exemple_Exercice 1 Page 2 Exemple_Exercice 2 Page 3 Exemple_Exercice 3 Page 5 Exemple_Exercice 4 Page 6 Exemple_Exercice 5 Page 7

Plus en détail

Examen d accès - 1 Octobre 2009

Examen d accès - 1 Octobre 2009 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

Petits jeux de probabilités (Solutions)

Petits jeux de probabilités (Solutions) Petits jeux de probabilités (Solutions) Christophe Lalanne En famille 1. Mon voisin a deux enfants dont l un est une fille, quelle est la probabilité pour que l autre soit un garçon? Une famille de deux

Plus en détail

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006 ESSEC M B A CONCOURS D ADMISSION Option économique MATHEMATIQUES III Année 2006 La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront

Plus en détail

Exercices : VAR discrètes

Exercices : VAR discrètes Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre

Plus en détail

Chapitre VI Échantillonages et simulations

Chapitre VI Échantillonages et simulations Chapitre VI Commentaires : Récursivement, les commentaires ne sont pas à l attention des élèves.. Fluctuation d échantillonnage Définition : En statistiques, un échantillon de taille n est la liste des

Plus en détail

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce

Plus en détail

Programmer avec des Fonctions

Programmer avec des Fonctions Programmation Fonctionnelle I, 2009-2010 L1 Info&Math - Faculté des Sciences de Nice http://deptinfo.unice.fr/~roy Cours n 2 Programmer avec des Fonctions Calculer avec des Fonctions Un algorithme est

Plus en détail

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2.1 Probabilité conditionnelle Soient A et B deux événements tels que P(B) > 0. Soit alors P(A B), la probabilité que A se réalise, B étant réalisé.

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC 2013

BACCALAURÉAT BLANC 2013 BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,

Plus en détail

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation.

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation. Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4 Lois limites ; estimation. Exercice 1. Trois machines, A, B, C fournissent respectivement 50%, 30%, 20% de la production d une usine. Les pourcentages

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S)

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S) MA 09 CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée, conformément à la réglementation. La clarté et

Plus en détail

Statistique descriptive : Exercices supplémentaires Introduction à la théorie des probabilités

Statistique descriptive : Exercices supplémentaires Introduction à la théorie des probabilités Statistique descriptive : Exercices supplémentaires Introduction à la théorie des probabilités 1. Lors du lancer d un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, quelle est la probabilité d obtenir

Plus en détail

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS Cours de Probabilités Jean-Yves DAUXOIS Septembre 2013 Table des matières 1 Introduction au calcul des probabilités 7 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire........ 8 1.1.1 Un exemple

Plus en détail

NOTIONS DE PROBABILITÉS

NOTIONS DE PROBABILITÉS NOTIONS DE PROBABILITÉS Sommaire 1. Expérience aléatoire... 1 2. Espace échantillonnal... 2 3. Événement... 2 4. Calcul des probabilités... 3 4.1. Ensemble fondamental... 3 4.2. Calcul de la probabilité...

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires

Plus en détail

Problème: si les tableaux que l'on trie sont déjà à peu près triés, l'algorithme n'est pas efficace.

Problème: si les tableaux que l'on trie sont déjà à peu près triés, l'algorithme n'est pas efficace. Traonmilin Yann traonmil@enst.fr MOD Algorithmique Probabiliste 1. Deux exemples 1.1. Quicksort randomisé. Dans l'algorithme de tri classique Quicksort, le pivot est choisi au début du tableau puis on

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Loi binomiale

Exercices supplémentaires : Loi binomiale Exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Dans une région pétrolifère, la probabilité qu un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. 1) Justifier que la réalisation d un

Plus en détail

Dénombrement, opérations sur les ensembles.

Dénombrement, opérations sur les ensembles. Université Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 1 (du 16 au 20 septembre 2013) Dénombrement, opérations sur les ensembles 1 Combien de façons y a-t-il de classer

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

STATISTIQUES. Cours I : Test d hypothèses. Télécom Physique Strasbourg Module 2101. Fabrice Heitz. Octobre 2014

STATISTIQUES. Cours I : Test d hypothèses. Télécom Physique Strasbourg Module 2101. Fabrice Heitz. Octobre 2014 Télécom Physique Strasbourg Module 2101 STATISTIQUES Cours I : Test d hypothèses Fabrice Heitz Octobre 2014 Fabrice Heitz (Télécom PS) Statistiques 2014 1 / 75 Cours I TESTS D HYPOTHÈSES Fabrice Heitz

Plus en détail

La simulation probabiliste avec Excel

La simulation probabiliste avec Excel La simulation probabiliste avec Excel Emmanuel Grenier emmanuel.grenier@isab.fr I. Introduction Incontournable lorsqu il s agit de gérer des phénomènes aléatoires complexes, la simulation probabiliste

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. 1 Généralités sur les tests statistiques 2

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. 1 Généralités sur les tests statistiques 2 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document 4 : Les tests statistiques 1 Généralités sur les tests

Plus en détail

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé Baccalauréat ES Centres étrangers 1 juin 14 - Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats 1. On prend un candidat au hasard et on note : l évènement «le candidat a un dossier

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

Chapitre 5 Les Probablilités

Chapitre 5 Les Probablilités A) Introduction et Définitions 1) Introduction Chapitre 5 Les Probablilités De nombreuses actions provoquent des résultats qui sont dus en partie ou en totalité au hasard. Il est pourtant nécessaire de

Plus en détail

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien

Plus en détail

Introduction à la simulation de Monte Carlo

Introduction à la simulation de Monte Carlo Introduction à la simulation de 6-601-09 Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues

Plus en détail

CHAMPION Matthieu Modèles de Marché en Visual Basic ESILV S04 S6. Sommaire... 1. Introduction... 2

CHAMPION Matthieu Modèles de Marché en Visual Basic ESILV S04 S6. Sommaire... 1. Introduction... 2 Sommaire Sommaire... 1 Introduction... 2 1 Trois différentes techniques de pricing... 3 1.1 Le modèle de Cox Ross Rubinstein... 3 1.2 Le modèle de Black & Scholes... 8 1.3 Méthode de Monte Carlo.... 1

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

1. Introduction...2. 2. Création d'une requête...2

1. Introduction...2. 2. Création d'une requête...2 1. Introduction...2 2. Création d'une requête...2 3. Définition des critères de sélection...5 3.1 Opérateurs...5 3.2 Les Fonctions...6 3.3 Plusieurs critères portant sur des champs différents...7 3.4 Requête

Plus en détail

UE ADP1 Durée de l'épreuve : 1 heure 30 mn. Aucun document n'est autorisé. Seule la calculette (sans sa documentation) est autorisée.

UE ADP1 Durée de l'épreuve : 1 heure 30 mn. Aucun document n'est autorisé. Seule la calculette (sans sa documentation) est autorisée. Université René Descartes- Paris V Licence de Psychologie Année L1, Semestre S1-2005 /2006 Page 1/5 UE ADP1 Durée de l'épreuve : 1 heure 30 mn. Aucun document n'est autorisé. Seule la calculette (sans

Plus en détail

Biostatistiques Biologie- Vétérinaire FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke

Biostatistiques Biologie- Vétérinaire FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke www.fundp.ac.be/biostats Module 140 140 ANOVA A UN CRITERE DE CLASSIFICATION FIXE...2 140.1 UTILITE...2 140.2 COMPARAISON DE VARIANCES...2 140.2.1 Calcul de la variance...2 140.2.2 Distributions de référence...3

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

Cours (8) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012. Test du Khi 2

Cours (8) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012. Test du Khi 2 Test du Khi 2 Le test du Khi 2 (khi deux ou khi carré) fournit une méthode pour déterminer la nature d'une répartition, qui peut être continue ou discrète. Domaine d application du test : Données qualitatives

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie... 1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................

Plus en détail

Simulation d un système d assurance automobile

Simulation d un système d assurance automobile Simulation d un système d assurance automobile DESSOUT / PLESEL / DACHI Plan 1 Introduction... 2 Méthodes et outils utilisés... 2.1 Chaines de Markov... 2.2 Méthode de Monte Carlo... 2.3 Méthode de rejet...

Plus en détail

Chaînes de Markov au lycée

Chaînes de Markov au lycée Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat

Plus en détail

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Chapter 2 Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Sommaire 2.1 Tribu et événements........................................... 15 2.2 Probabilité................................................

Plus en détail

STATISTIQUES I) UN PEU DE VOCABULAIRE

STATISTIQUES I) UN PEU DE VOCABULAIRE STATISTIQUES I) UN PEU DE VOCABULAIRE Toute étude statistique s'appuie sur des données. Dans le cas ou ces données sont numériques (99% des cas), on distingue les données discrètes (qui prennent un nombre

Plus en détail

Société de Calcul Mathématique SA

Société de Calcul Mathématique SA Société de Calcul Mathématique SA Outils d'aide à la décision La génération de nombres aléatoires : est-elle utile? est-elle possible? par Bernard Beauzamy PDG, SCM SA septembre 2013 On rencontre assez

Plus en détail

Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition

Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition Lorsqu'une variable est qualitative et l'autre numérique, il est courant que la première identie des sous-populations (sexe, catégories socio-économiques,

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de Terminale ES 2 Table des matières 1 Équations de droites. Second degré 7 1.1 Équation de droite.................................. 7 1.2 Polynôme du second degré..............................

Plus en détail

Théorie de la crédibilité

Théorie de la crédibilité ISFA - Année 2008-2009 Théorie de la crédibilité Chapitre 2 : Prime de Bayes Pierre-E. Thérond Email, Page web, Ressources actuarielles Langage bayesien (1/2) Considérons une hypothèse H et un événement

Plus en détail

Échantillonnage. Pierre Neuvial, http://stat.genopole.cnrs.fr/~pneuvial Evry, M1 SGO, automne 2014

Échantillonnage. Pierre Neuvial, http://stat.genopole.cnrs.fr/~pneuvial Evry, M1 SGO, automne 2014 Démarche Statistique 1 Échantillonnage Pierre Neuvial, http://stat.genopole.cnrs.fr/~pneuvial Evry, M1 SGO, automne 2014 Introduction Objectif statistique descriptive: sur l'échantillon statistique inférentielle:

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Investissement dans la construction de nouveaux bâtiments résidentiels (travaux mis en place) Méthodologie

Investissement dans la construction de nouveaux bâtiments résidentiels (travaux mis en place) Méthodologie Investissement dans la construction de nouveaux bâtiments résidentiels (travaux mis en place) Méthodologie Division de l investissement et du stock de capital Méthodologie L'investissement dans la construction

Plus en détail

TUTORAT UE 4 2014-2015 Biostatistiques Séance n 3 Semaine du 06/10/2014

TUTORAT UE 4 2014-2015 Biostatistiques Séance n 3 Semaine du 06/10/2014 TUTORAT UE 4 2014-2015 Biostatistiques Séance n 3 Semaine du 06/10/2014 Séance d entrainement M. Dujols M. Sabatier Séance préparée par les TS de l ATM² QCM n 1 : Une population comporte 94750 individus

Plus en détail

Feuille d exercices 1

Feuille d exercices 1 Université Paris 7 - Denis Diderot L2 - Probabilités PS4 Année 2014-2015 Feuille d exercices 1 Exercice 1 Combien y a-t-il de paires d entiers non consécutifs compris entre 1 et n (n 1)? Exercice 2 1.

Plus en détail

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études

Plus en détail

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2 22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul

Plus en détail

«L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PROBABILITES & SES LOIS

«L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PROBABILITES & SES LOIS «L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PROBABILITES & SES LOIS PONDICHERY 2015 Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie

Plus en détail

Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Chapitre Ce que dit le programme : Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Objectifs visés par l enseignement des statistiques et probabilités à l occasion de résolutions de problèmes dans

Plus en détail

Introduction. I Étude rapide du réseau - Apprentissage. II Application à la reconnaissance des notes.

Introduction. I Étude rapide du réseau - Apprentissage. II Application à la reconnaissance des notes. Introduction L'objectif de mon TIPE est la reconnaissance de sons ou de notes de musique à l'aide d'un réseau de neurones. Ce réseau doit être capable d'apprendre à distinguer les exemples présentés puis

Plus en détail

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION Dans les leçons précédentes, nous avons modélisé des problèmes en utilisant des graphes. Nous abordons dans cette leçon un autre type de modélisation.

Plus en détail

Licence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7

Licence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7 Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,

Plus en détail

Principe d un test statistique

Principe d un test statistique Biostatistiques Principe d un test statistique Professeur Jean-Luc BOSSON PCEM2 - Année universitaire 2012/2013 Faculté de Médecine de Grenoble (UJF) - Tous droits réservés. Objectifs pédagogiques Comprendre

Plus en détail

Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux

Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux Risque et assurance : quelques éléments théoriques Ecole des Ponts - Le 6 Avril 01 Jacques Pelletan 1 Théorie du risque et pérennité de l

Plus en détail

Evaluation de la variabilité d'un système de mesure

Evaluation de la variabilité d'un système de mesure Evaluation de la variabilité d'un système de mesure Exemple 1: Diamètres des injecteurs de carburant Problème Un fabricant d'injecteurs de carburant installe un nouveau système de mesure numérique. Les

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Probabilités»

Exercices sur le chapitre «Probabilités» Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 18 juin 2013

Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 Dans l ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation

Plus en détail

Comparaison entre un groupe expérimental et un groupe témoin (Corrigé) /30

Comparaison entre un groupe expérimental et un groupe témoin (Corrigé) /30 Comparaison entre un groupe expérimental et un groupe témoin (Corrigé) /30 I1 Connaissances préalables : Buts spécifiques : Outils nécessaires: Consignes générales : Test t de comparaison de moyennes pour

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

5 Méthodes algorithmiques

5 Méthodes algorithmiques Cours 5 5 Méthodes algorithmiques Le calcul effectif des lois a posteriori peut s avérer extrêmement difficile. En particulier, la prédictive nécessite des calculs d intégrales parfois multiples qui peuvent

Plus en détail

Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN

Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN Table des matières. Introduction....3 Mesures et incertitudes en sciences physiques

Plus en détail

Activité 1 : échantillonnage

Activité 1 : échantillonnage Activité échantillonnage, intervalle de fluctuation, prise de décision (à partir d un même thème) Les trois activités qui suivent s inspirent du document «ressources pour la classe de première générale

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail