Estimation de la moyenne : Une approche expérimentale versus une approche classique.

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1 Estimation de la moyenne : Une approche expérimentale versus une approche classique Jean-François Coeurjolly & Rémy Drouilhet Labsad, BSHM, UPMF, 1251 Avenue Centrale BP 47, Grenoble Cedex 9 Jean-FrancoisCoeurjolly@upmf-grenoblefr, RemyDrouilhet@upmf-grenoblefr Résumé: Enseignants en deuxième année (de Licence de sciences économiques dans une filière non-matheuse, nous avions pour charge d enseigner les probabilités et la statistique inférentielle pour un volume horaire assez court (20h cours et 20h TD De par nos différentes expériences, nous avons remarqué qu étant donné le public une approche classique trop formalisée posait un certain nombre de difficultés que ce soit sur les concepts probabilistes ou sur la construction et l interprétation des intervalles de confiance et tests d hypohèses Afin d appréhender ces différents concepts tout en évitant les techniques mathématiques, nous nous sommes orientés vers l utilisation conjointe d une approche en simulation (appelée approche expérimentale des probabilités (AEP et de logiciels éducatifs permettant la visualisation graphique de ces concepts Dans cet exposé, nous nous concentrerons uniquement sur l étude des lois d échantillonnage puis sur la notion d intervalle de confiance Mots-clés: approche expérimentale des probabilités, approche visuelle, intervalle de confiance Abstract: Lecturers in second year of Economics Licence in a non-mathematical branch, we were in charge of a course on probability and statistical inference This lecture was designed to a volume of forty hours This constraint and our experience convinced us that a classical approach is too formal and so not adapted to our public In order to learn concepts like probability density function, confidence intervals or hypothesis testing, we try to avoid mathematical technics by combining an experimental approach of probability and some educational softwares that allow a graphical visualisation of such concepts This talk will focus on the following topics : sampling distributions and confidence interval 1 Introduction et motivations Dans un séminaire de probabilités ou statistiques, il est courant que l orateur conclut son exposé par une étude en simulation Cette étape basée sur l expérimentation permet entre autres choses de mettre en avant et ainsi de communiquer plus facilement les résultats obtenus en se dégageant de la lourdeur des techniques mathématiques ayant permis de les démontrer Notre étonnement a été alors le suivant : pourquoi enseigner à un public plutôt rebuté par les mathématiques, les statistiques et les probabilités par une approche classique reposant sur les techniques mathématiques (dont les principales vertues sont de calculer et démontrer plutôt qu une approche expérimentale conduisant à une meilleure interprétation des outils mathématiques mis en place? 1

2 Quelques unes des difficultés rencontrées par l étudiant : (1 Compréhension plus que confuse de la notion de variable aléatoire, (2 Confusion entre variable aléatoire (va (notée dès que possible en majuscule et ses réalisations (notées en minuscule, (3 Cadre des va continues bien moins accessibles que celui des va discrètes, (4 Densité de probabilité, un objet graphique très étrange et bien plus difficile qu un diagramme en baton pour caractériser la loi de probabilité d une va discrète et Les messages que nous jugeons difficiles à faire passer (notamment à des étudiants non matheux : (1 Approximation d une va discrète (représentation classique de sa loi de probabilité en diagramme en baton par une va continue (représentation de sa loi de probabilité par une densité de probabilité, (2 Bonne interprétation de la notion d intervalle de confiance et (3 Interprétation des décisions résultant d un test d hypothèses (voir l exposé intitulé Construction d un test d hypothèses par un approche visuelle et une approche expérimentale des probabilités Nos solutions : (1 Appréhension de la notion de va en introduisant une phase expérimentale (plutôt classique consistant à générer un grand nombre de ses réalisations, (2 Système de notations plus complexes mais plus précises (très utiles en phase d apprentissage spécialement adaptées à cette approche expérimentale (3 Représentation des va discrètes et continues par des histogrammes (discrets et continus définis comme un mur de briques empilées une à une en abscisse en leurs réalisations associées Nous estimons que malgré la complexité apparente des notations introduites (impression immédiate, elles nous permettent (dans un deuxième temps de communiquer plus facilement les messages aux étudiants puisqu elles décrivent très précisément tous les acteurs de cette approche expérimentale des probabilités 2 Introduction de l Approche Expérimentale des Probabilités (AEP Pour être le plus direct possible, nous nous limitons ici à présenter l Approche Expérimentale des Probabilités dans le cadre de l étude des lois d échantillonnage Puisque notre approche pédagogique est basée sur l utilisation de logiciels éducatifs (pour la plupart développés par nous-mêmes, nous privilégierons dans cet exposé les représentations graphiques que nous montrons aux étudiants Notre principal exemple de cours : un industriel veut savoir s il doit ou pas lancer un nouveau produit (noté produit B sur le marché Cette problématique est facile et rapide à appréhender reposant notamment sur l estimation d un paramètre défini à partir d informations relatives à une population finie (ici celle des N = acheteurs potentiels L enjeu de l industriel est que le jour J, il devra dépenser une grosse somme d argent pour recueillir les choix d achats de n = 1000 individus de son échantillon et qu avec cette seule information il devra prendre sa décision de lancement ou pas de son produit L industriel se fait alors assister 2

3 par un expérimentateur et un mathématicien lui promettant de bien lui faire comprendre la nature des estimations de µ B dont il disposera le jour J Dans cet exposé, nous ne traiterons pas directement de test d hypothèses mais uniquement d estimation (ponctuelle et par intervalle de confiance du paramètre, ici le nombre µ B moyen de produit(s acheté(s sur la population totale Phase d expérimentation ou de simulation : Malheureusement pour l industriel, le paramètre d intérêt µ B est inconnu Pour anticiper ce qui peut arriver avant la prise de décision finale, il peut simuler toutes les situations possibles dans une phase expérimentale Pour ce faire, le paramètre d intérêt µ B inconnu sera remplacé par un paramètre µ dont la valeur peut être fixée arbitrairement par l expérimentateur La population totale sera alors remplacée par une urne Uµ B contenant N boules (en remplacement des acheteurs potentiels dont N j (j = 0,, J max sont numérotées par j (correspondant au nombre de produit(s B acheté(s Notons que la répartition doit être choisie de sorte que la moyenne des numéros de toutes les boules de l urne soit égale à µ (dans nos exemples, 01 ou 015 ou 019 La variance quant à elle sera alors notée σ 2 remplaçant dans la phase expérimentale celle σb 2 de la vraie population Construire un échantillon consistera alors à simplement tirer n = 1000 boules (avec remise dans ces urnes Un tableau décrivant l Approche Expérimentale des Probabilités : Soulignons l utilisation d un système de notations spécifique et la mise en avant de la chronologie à partir du jour J AVANT le jour J Phase expérimentale Le paramètre à estimer est µ fixé arbitrairement (par exemple, à 019 Avant simulation E = (E 1, E 2,, E n Y = (Y 1, Y 2,, Y n µ (Y Après simulation 1ère expérience e [1] y [1] µ ( y [1] 2ème expérience e [2] y [2] µ ( y [2] expérience e [m] y [m] µ ( y [m] Phase pratique Le paramètre à estimer est µ B qui est inconnu Avant pratique E = (E 1, E 2,, E n Y = (Y 1, Y 2,, Y n µb (Y APRES le jour J Après pratique l expérience réelle e y µb (y Nous avons ici particularisé nos notations à celle de la problématique de l industriel mais elles sont facilement adaptables à un cadre général Nous aimons rassurer nos étudiants en leur affirmant que toutes les notations utilisées (vues comme des mots d un langage mathématique sont faciles à traduire littéralement (en français Ainsi, θ ( se dit : estimation ou remplaçant 3

4 du paramètre θ obtenu à partir du jeu de données Les différents jeux de données sont décrits ci-dessous : Avant le jour J, les futures données : L industriel envisage le procédé de construction de ses futures données Y = (Y 1,, Y n constitué des futurs nombres de produit(s B acheté(s par les n = 1000 individus choisis au hasard (et avec remise dans la population totale ou dans une des urnes expérimentales Selon ces deux cas, il obtiendra respectivement comme future estimation soit µ B (Y soit µ (Y obtenue à partir des Y 1,, Y n : µ B (Y ou µ (Y = Y = 1 n n i=1 Y i Il en est de même pour l estimation de la variance avec σ 2 B (Y et σ 2 (Y futures estimations de σ 2 B et σ2 respectivement Avant le jour J, les données simulées : Après avoir construit son urne expérimentale, l industriel peut obtenir autant de jeux de données qu il le souhaite Il en construit m (ici 10000, le jème étant noté y [j] Il obtient alors m estimations ( µ ( y [j] j=1,,m et ( éventuellement m estimations ( σ 2 y[j] j=1,,m Le jour J, les données réelles : L industriel se paie un jeu de données y = (y 1,, y n constitué des nombres de produit(s B acheté(s par les n = 1000 individus choisis au hasard (et avec remise dans la population totale Il en déduit une estimation (réelle µ B (y de µ B et éventuellement une estimation (réelle σ B 2 (y de σ2 B Après avoir mis en correspondance, le langage mathématique et le langage littéral, nous allons maintenant les mettre en correspondance avec le langage visuel En effet, dès que c est possible, nous avons pour volonté de représenter graphiquement tout objet acteur important dans la phase d apprentissage La phase expérimentale facilite la compréhension de la nature aléatoire de l échantillonnage en proposant une multitude (m = ou plus de réalisations de la future estimation Afin de caractériser son comportement aléatoire, il ne reste plus qu à en faire une représentation graphique de sa répartition La question est diagramme en bâtons ou histogramme discret? Nous optons pour le second qui permettra de visualiser sur un même graphique la loi d une va discrète ainsi que son approximation par celle d une va continue Histogramme en briques : Les m réalisations µ ( y [j] de µ (Y sont représentées par des briques de surface 1/m et de largeur 1/n centrées en abscisse en leurs valeurs associées Toutes les briques sont empilées une par une et l évolution en m de cet empilement laisse apparaître un mur de briques de surface totale toujours égale à 1 Cette représentation, appelée histogramme (discret, permet de visualiser en un seul coup d oeil la répartition des ( µ ( y [j] j=1,,m 4

5 Sur une urne particulière, voilà l évolution en m de l histogramme en briques Evolution des histogrammes discrets Assez naturellement, nous nous interrogeons sur la meilleure valeur de m pour caractériser le comportement aléatoire (ici de µ (Y Les étudiants répondent très rapidement le plus grand possible et les plus courageux une infinité Ensuite, nous poursuivons notre récit en évoquant que le matheux le savait à l avance dès lors toute information relative à l urne expérimentale lui est fournie L étudiant est alors invité à comprendre le résultat du mathématicien dans son propre langage : µ (Y approx N (µ, σ n (1 Le tableau et les graphiques ci-dessous décrivent les connaissances de l expérimentateur et du mathématicien La courbe lisse du dernier graphique exprime la connaissance anticipée du mathématicien décrite en (1 La question que nous posons à l étudiant est la suivante : à quoi ressemble une brique si m tend vers +? Il répond généralement un point Bien qu erronée, celle-ci nous satisfait complètement mais nous lui indiquons que sa réponse est juste si n tend lui-aussi vers + Nous poursuivons alors avec l interprétation de ce résultat L industriel s imagine être le jour J dans l une des situations expérimentales (µ fixé et il prend alors conscience que ce qui peut lui arriver le jour J, c est équivalent (ou presque à : 1 Grâce à l Expérimentateur, choisir (graphique du haut ci-dessous au hasard une brique (ie un des m µ ( y [j] du tableau ci-dessous 2 Grâce au Mathématicien, choisir (graphique du bas ci-dessous au hasard un point sous la courbe N (µ, σ n associé à son abscisse représentant une réalisation au hasard de µ (Y choisie parmi une infinité Il voit clairement la courbe N (µ, σ n comme un empilement d une infinité de briques ( devenues des points associées à une infinité de réalisations possibles de µ (Y 5

6 Urne U B 015 j µ ( y [j] Application à l intervalle de confiance Nous ne nous concentrerons pas sur l aspect mathématique de la construction de l intervalle de confiance (relativement aisée mais plutôt sur la difficulté à l interpréter En effet, le jour J l industriel disposera d un intervalle de confiance [ θ inf (y, θ sup (y] (par exemple [0113, 023] obtenu avec 95% de niveau de confiance La question est alors : quelle est la valeur de la probabilité P ( µ B [0113, 023]? Même bien avertis, les étudiants traduisant leur propre compréhension de cette fourchette répondent en coeur : 95% Ils ne prennent pas conscience que µ B est ou n est pas dans l intervalle obtenue Pour les éclairer, nous nous en remettons à l AEP Nous pouvons alors imaginer construire une infinité d intervalles de confiances [ θ ( ( ( ( inf y[1], θ sup y[1] ],, [ θ inf y[m], θ sup y[m] ], dont 5% seulement ne contiendront pas µ B Le jour J, cela revient alors à en choisir un au hasard parmi cette infinité Utiliser un tel outil c est donc parier que nous sommes normalement chanceux en tombant sur un parmi les 95% qui contiennent µ B Par manque de place, nous ne pouvons faire figurer les représentations graphiques relatives à un de nos logiciels éducatifs illustrant ce contexte 6