II - Estimation et Prévision Ponctuelles

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1 II - Estt et Prévs Pctelles II.. Rppels sr l'estt Mdèle (Y P Θ) (Y X P Θ) Prètre θ sclre (Θ R) vectrel (Θ R K ) Estter : θ* f( ; ) Bs θ -E θ (θ*) θ* est dt ss s s qel qe st θ : E θ (θ*) θ 7 L'estter θ* est fct de vrles létres l est l ss létre. E θ désge l'espérce thétqe sel e l sscée à l vler θ d prètre. Le s 'est déf qe s θ* det e espérce thétqe fe. Eeple : Set.....d. l de Pss de prètre λ (l des évéeets rres et dépedts : pr eeple re de prpsts d eche reçes drt le -èe s). Y Í P l'esele des ls de Pss Θ {réels > 0} St l'estter λ* Σ / ee eprqe des. Pr tt λ E λ [λ*] Σ Ε λ [ ]/ λ / λ. l estter λ* est ss s r[λ*] Σ λ [ ]/ λ/ λ/. Le rsqe qdrtqe e est RQM 0 λ/ λ/

2 II.. Rppels sr l estt Rsqe Qdrtqe Me RQM E θ θ - θ* RQM s Σ(θ ) S θ est sclre le RQM est s θ* est ss s et de vrce (cel est pls vr pr θ vectrel). 8 θ est létre θ* est létre. E θ et θ désget l espérce et l vrce clclées pr e l sscée à l vler θ. Pr prètre sclre : RQM E θ [θ - θ*] E θ [θ -E θ (θ*) E θ (θ*) - θ*] RQM E θ { [θ -E θ (θ*)] [E θ (θ*) - θ*] [θ -E θ (θ*)] [E θ (θ*) - θ*] } E θ { [θ -E θ (θ*)] } [θ -E θ (θ*)] (cr tt est cert ds l epress) E θ { [θ -E θ (θ*)] } s E θ {[E θ (θ*) - θ*] } θ [θ*] (déft de l vrce) E θ {[θ -E θ (θ*)] [E θ (θ*) - θ*] } [θ -E θ (θ*)] E θ { E θ (θ*) - θ*} E θ {[θ -E θ (θ*)] [E θ (θ*) - θ*] } [θ -E θ (θ*)] [ E θ (θ*) - E θ ( θ*)] 0 RQM s θ [θ*] S θ est vectrel de des K le rsqe qdrtqe e est déf pr RQM E θ (θ - θ*)'(θ - θ*) E θ Σ k (θ k - θ k *) Σ k E θ (θ k - θ k *) RQM Σ k [ s k θ (θ k *)] RQM s Σ k θ [θ k *] E gls RQM se trdt pr MSE Me Sqre Errr

3 II.. Rppels sr l estt Cvergece (e prlté presqe sûre e ee qdrtqe) θ* est cverget s l «ted» vers l vre vler θ d prètre lrsqe ted vers l f (lte «e prlté» «presqe sûre» «e ee qdrtqe») Cdt sffste de cvergece Pr qe θ* st cverget l sfft qe : E θ (θ*) θet θ (θ*) 0. 9 L estter est e fct des servts : à chqe tlle d échtll l crrespd estter θ Ν. s vs dc e ste de vrles létres. L cvergece d e ste de vrles létres est défe de dfféretes ères. s csdérs c l cvergece e prlté. Cvergece e prlté : P[ θ Ν - θ < ε] ted vers qel qe st ε > 0.

4 II. Méthdes d'estt II... M de vrselce ds dèle prétrqe rselce d prètre l de prlté des servts csdérée ce fct d prètre : f( ; θ) l(θ) Estter d de vrselce slt de M θ [ l( θ )] 0 Eeple : -échtll de l de Berll (dctrce d' évéeet vt s l évéeet est rélsé et 0 s) Y B(;p) P(Y ) p (- p) - pr 0 l (... ; p ) p ( p ) l l [ ] p ( p ) (... ; p ) ( p ) ( p ) l l (... ; p ) l ( p ) ( ) l ( p ) [ ] L Le de vrselce l êe slt qe le de l lgvrselce. Les dérvées de l lgvrselce st : L p p L p p p p ( p) [ p] ( p) < 0 L dérvée pr rpprt à p est lle pr p fréqece servée

5 II... Méthde des ets Pr l l L(;θ) ets : E θ [] E θ [ ] Mets fct de θ f f ( θ θ ) ( ) θ θ θ fct des ets θ θ g g ( ) ( ) Oservt d -échtll (.. ) Mets eprqes : [... ] [... ] Estter de θ θ g θ g ( ) ( ) Eeple : U ssrer étde l dstrt d cût d' cert sstre pr cert tpe d'ssré. U dèle clssqe ttre à ce cût Y e l G de desté : f( ; r ) r Γ ( r ) r e s > 0 0 s ù r et st des prètres strcteet pstfs. Pr de prètres l ft fre terver de ets. s tlsers l espérce thétqe et l vrce O pet trer (cr Y/ st ch-de à r degrés de lerté) qe E(Y) r (Y) r O e dédt l vler des prètres e fct des ets : et r Les ets eprqes st pr échtll de tlle : et L'estter pr l éthde des ets est lrs te e replçt les ets thérqes et pr les ets eprqes :

6 Eeple : cût de sstres l g prètres et r pstfs > Γ s 0 0 s ) ( ) ; ( / e r r f r r r et ( ) ( ) r Y r Y E : : Mets eprqes ( ) Σ Σ r et estter de et r : Rerqes : Il est pssle d tlser les ets cetrés et les ets cetrés. Ic l vrce est pls prtqe à tlser qe le et cetré d rdre. Le prcpe de l éthde est chgé. Les ets cetrés et cetrés st lés pr des relts. E ce q ccere l vrce : ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) E Y E Y Y rce eprqe: rce (thérqe):

7 E Eeple : drées d ttete ( Y ) l fre sr [0 θ] prètre θ pstf f( ; θ ) : θ Mee eprqe Σ s 0 < < θ θ 0 s θ θ estter de θ : 3 ter qe l estter des ets est c dfféret de l estter d de vrselce : l vrselce de θ est c : l l ( θ ) s { θ >... θ > } θ ( θ ) s θ > M {... } θ et 0 s Cette vrselce est e fct décrsste de θ. S est ttet pr le pls pett θ pssle c est à dre M( ) (le de vrselce est ttet sr le rd d spprt de l vrselce l dérvée est ps lle). L estter d de vrselce est dc : { } θ M M...

8 II..c. Ajsteet pr les Mdres Crrés Ordres Ds l flle des fcts : f( t ; θ) θ Θ l fct "l pls prche" des vlers servées ( )( )..( ) est celle crrespdt à l slt θ de : M [ ( )] f ; θ θ f ( ;θ ) est l vler jstée pr les MCO 4 Les fcts tlsées pr de tels jsteets st : fcts epetelles drtes ( fcts ffes) etc s trters e prtcler l jsteet MCO à e drte. θ f ( ) ( ; ) Le prlèe d ptst psé est : L slt est tee pr f θ ( ) ( ) Cette vler ptle de θ est ppelée l estter MCO de θ. L fct slt est ppelée l drte jstée pr les MCO. S éqt est : Les errers ( ; ) M et l vler ttete est l se des crrés des résds tée SCR ( ) [ ] st les ppelés les résds MCO SCR [ ]

9 () Cs d dèle lére ss cstte le dèle certes E... ( ) 0 l flle de fcts : { réel} L'estter MCO de est slt de : M c est : [( ) ( ) ] Σ... Σ 5 L cdt écessred'rdre s'écrt e dérvt l fct jectf pr rpprt à : [( ) ( ) ] ( )... ( ) 0 d'ù tre : L cdt sffste d'rdre : est stsfte [( )... ( ) ]... > 0 L slt trvée crrespd e à. Prprétés de cet estter : pet écrre â ss l fre svte ( ) D'ù l' tre fcleet qe E(â) L'estter MCO ds dèle lére est dc ss s. Pr clcler s vrce l ft fre des hpthèses sppléetres sr les

10 6 () Cs d dèle lére vec cstte le dèle : ( ) ( ) [ ]... M ( )( ) ( ) Σ Σ Slt : l flle de fcts : { ; réels} L'estter MCO de ( ) est slt de : ( ) 0 csttes certes... E et ù L cdt écessred'rdre s'écrt e dérvt l fct jectf pr rpprt à et : ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) d'ù tre : Fclttf : l cdt sffste d'rdre ft terver les dérvées secdes ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] L trce des dérvées secdes est de frt *. S détert prdt des vlers prpres est >0 s qe s trce (se des teres dg) q est l se des vlers prpres. Les de vlers prpres st dc de êe sge et pstves. L trce des dérvées secdes est dc défe pstve. L slt trvée crrespd e à

11 Ue slt Les vlers d e vrle X st dées et les vlers 0.9 et 0 s trs échtll de tlle d e l rle (0 ; ) et s clcls les vlers :. s tes échtll de tlle de Y svt dèle lére vec cstte. Répéts l epérece : le prètre ( ) et les restet chgés ; ce st les et les estts de et de q vret d trge à l tre. 7 O vérfe epéretleet le crctère cert des et de ( ) s qe le crctère létre des et des estts ftes. O vérfe qe les vlers et lers jsteets st tjrs de êe ee eprqe

12 0 Y X U vrle eplctve X * * Ces résltts st frs ds l felle de clcl ecel (sltcrsmco.ls). Chqe pp sr F9 prvqe ve trge : s vs qe les pts restet sr e vertcle (les st fés) et l drte jstée chge à chqe trge. Les vlers d prètre () st fées les estts ftes chget à chqe trge.

13 9 Cs d dèle lére vec cstte (ste) Prpst. Ds le cdre d dèle lére déf pr : l estter MCO est ss s ( ) ( ) E E ( ) 0 csttes certes... E Le clcl des estters et de lers prprétés est pls fcle qd tlse les tts et clcls trcels. Xβ ds R dèle LS : E() Xβ () σ I estter MCO slt des éqts rles : X X β X β* (X X) - X E(β*) (X X) - X E() (X X) - X Xβ β : estter ss s d ù les frles. ( ) ( ) X X X X ' ' Frles à rppeler : ( )( ) L cdt sffste d'rdre q prte sr l trce des dérvées secdes se détre ss pls spleet et le rseet est géérlsle cs de pls de de régressers

14 Clcl des rces-cvrces Mdèle lére stdrd dèle lére pls hpthèse sr les vrces et cvrces des : ( ) σ et cv( j ) 0s est dfféret de j. Ds le dèle ss cstte : Y ( σ ; ) Ds le dèle vec cstte : ( ) cv Σ ( ) σ ( ) Σ σ ( ) () Σ σ Σ ( ) ( β ) σ ( X' X) 0 Ds le cs d dèle ss cstte X () e sele cle et X X est le sclre Σ. Ds le cs d dèle vec cstte X ( e) et X X est e trce *. L vrce de â est σ fs l éléet ère lge ère cle de (X X ) etc : les frles s e dédset édteet. (β*) (X X) - X () X(X X) - σ (X X) -

15 Thérèe de GAUSS-MARKO Ss les hpthèses d dèle lére stdrd l'estter MCO est le eller estter de ( ) pr les estters léres et ss s (BLUE) BLUE Best Ler Used Esttr "eller" vet dre qe pr tte cs de et : θ l estter de vrce est θ St prètre θ esté pr de estters dfférets T et T Pr θ sclre T est eller qe T s (Τ ) (Τ ) Pr θ R κ Τ est eller qe Τ s l prprété est vre pr tte cs lére de lers cpstes : Pr tt c de R κ : (c Τ ) (c Τ ) c est-à-dre c (Τ )c c (Τ )c ecre c [ (Τ ) - (Τ ) ] c 0 (e th dt qe l trce (Τ ) - (Τ ) est se-défe égtve) Pr eeple pr K : pres c ( ) s tes qe qel qe st l ellere estt de est st les estts MCO de et. ù et

16 II.3. Prévs L prévs de l vrle létre tée * est clclée e fct de l'frt dsple. L l de est-elle ce? Qelles prprétés pet- ttrer à cette l? s sppss qe les servts téreres st crrélées vec. Pevet-elles s der à prévr? S est dépedte des servts téreres l sele frt pertete est l l de prlté de. Les servts téreres prrt pr ctre être tles s cette l déped d prètre c q l êe vler pr les servts dsples et pr. s lls eer qelles st les prprétés qe l tted d e prévs et cet l pet dre q e prévs est ellere q e tre.

17 II.3.. Eeple Srtt d DEA vs cherchez epl : qelle prévs ftes-vs d teps q vs ser écessre pr qe vtre recherche tsse? Le ft de svr qe étdts srtt d DEA l derer t s e ee 33 sees pr trver epl pet-l vs der? S vs cssez e pls e plsers crctérstqes de ces étdts est-ce qe cel pet élrer vtre prévs? 3

18 II.3.. Q est ce q e e prévs? Ue prévs * est ss s s E(*) E() (tée ) Errer qdrtqe ee (MSE) MSE E( - *) () E( -*) Prévs thérqe : s ce * Prévs eprqe : s ce * est l'estter de q se le Rsqe Qdrtqe Me E ( -*) 4 Eeple : dèle lére t t t t certes E( t ) 0 réel pr dée sppse qe ù est ss crrélt vec les vlers déjà servées et E() 0. S s csss s csss l espérce de : E(). L errer qdrtqe ee est tjrs spérere à () et elle l est égle s pred pr prévs * S est c l ft chsr l estter de q se le RQM. S les pertrts vérfet les cdts stdrd d'rdre hscédstcté et -crrélt les es vec les tres lrs le thérèe de Gss-Mrkv s ssre qe le eller estter de est â ù â est l estter MCO de. s pres ce prévs de l vrle * â Ds ce cs de dèle lére stdrd E(â) et (â) σ / Σ t errer - * - â ( - â) E(errer) E() E( -â) 0 : l prévs est ss s. (errer) () (â) cv( â) () (â) σ σ / Σ t L errer qdrtqe ee est égle à l vrce de l errer (cr cette errer est d espérce lle) : MSE σ σ / Σ t Ue prte est de à l certtde sr q est létre l deèe prte est de à l certtde sr l l de c est-à-dre sr le prètre.

19 II.3.c. Ste de l eeple l ft sppser qe vs vez les êes crctérstqes qe les étdts déjà servés. tre drée d ctvté est : E( ) et ( ) σ ce l ellere prévs est L MSE est E Σ c : 33 sees ( ) E( ) ( ) E E( ) ( ) ( ) MSE σ MSE σ 0 5 Rerqe : le cs de l échtll ù E( ) pr tt est cs prtcler de dèle lére ds leqel l «vrle» eplctve est l sele cstte (vlt qel qe st ). L ee eprqe de l échtll est e l estter MCO de. érfez le e pplqt l frle dt â ds l jsteet MCO à sel régresser.

20 S s vs e pls servé e crctérstqe : s sppss qe s ses ds le cdre d dèle lére stdrd E ( ) 0 ( ) σ cv ( ) 0 pr k certes... csttes k pred pr vs l vler s devs sppser qe le prètre l êe vler pr vs qe pr les étdts de l derer. 6 Cel revet à dre qe l espérce de est ps cstte s déped ss de q est servle.

21 7 L prévs ptle est tee à prtr des estters MCO : ( ) ( ) ( ) E.. 0 pr cv 0 σ Cette prévs est ss s : ( ) ( ) 0 E

22 L errer qdrtqe ee est : MSE E MSE E MSE σ ( ) ( ( ) E ) ( ) (( ) ) cv( ( ) E ) ( ) () cv( ) 0 Applct érqe : ; σ 9 (sppsée ce) ( X ' X ) MSE L MSE est e ft l vrce de l errer de prévs psqe cette errer est d espérce lle. Fre e ttet de repérer ds ces epresss ce q est létre et ce q e l est ps : les vrles létres st l pertrt et les estters. Pr le clcl de l MSE s vs ( ) ( ) σ cv σ () σ s vs sppsé qe l vrce de est ce et égle à 9. s verrs pls trd cet fre pr ester cette vrce.

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