Concevoir et analyser des tâches mathématiques dans un environnement logiciel : Quels objectifs d apprentissage? Quels choix de conception?

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1 Concevoir et analyser des tâches mathématiques dans un environnement logiciel : Quels objectifs d apprentissage? Quels choix de conception? Semaine 2, auteurs Maha Abboud-Blanchard (ESPE de Versailles, LDAR, IREM de Paris) et Claire Cazes (Université Paris Diderot,LDAR, IREM de Paris) Objectifs du premier cours L objectif de ce premier cours est d introduire à l analyse a priori d une situation, plus particulièrement l analyse a priori de tâches mathématiques en lien avec l activité possible des élèves, les connaissances qu ils doivent mettre en fonctionnement et leurs formes de travail. On s appuie sur une situation géométrique d Enseignes qui est déclinable à plusieurs niveaux d enseignement et peut servir divers objectifs d apprentissages. 1. Introduction Pour construire la forme géométrique que nous appelons Enseigne, on construit d abord une figure géométrique de base (un carré, un rectangle, un cercle ou même une forme en 3 dimensions si on a un logiciel de géométrie 3D). Prenons un carré pour que ce soit plus simple. On se donne ensuite un point mobile sur la figure (sur un côté, sur une diagonale, sur une médiane ici l un des côtés). Le point mobile permet de partager en plusieurs parties la forme initiale. Ici par exemple, un carré et un triangle mais on pourrait considérer d autres partages. A partir de ce partage, une Enseigne est créée. L aire des différentes parties dépend de la position du point mobile que l on s est donné. Pourquoi une Enseigne? Parce qu une telle forme géométrique peut modéliser une enseigne de magasin dont certaines zones seraient éclairées et d autre non. Ainsi à partir de l enseigne qui vient d être construite, en supposant que la dépense d électricité du magasin est proportionnelle à la surface éclairée de l enseigne, on peut se demander comment minimiser la dépense d électricité, et 1

2 donc à quel endroit placer le point mobile pour que la somme des deux aires éclairées, l aire du carré plus l aire du triangle, soit minimale. Pour répondre à cette question, une modélisation fonctionnelle est particulièrement utile. C est l objectif visé. Cette modélisation peut être envisagée de façon différente suivant les questions posées. Elle peut faire intervenir une diversité de fonctions selon la complexité de l enseigne construite, depuis des fonctions linéaires au collège jusqu à des fonctions plus adaptées à un élève du lycée. 2. Prenez maintenant un temps personnel pour construire vous-même une enseigne, celle que nous venons de montrer ou bien une autre. Voici d autres exemples à partir d une forme initiale carré. Soyez attentif aux questions suivantes : - Quelles étapes avez-vous dû suivre? - Quels choix avez-vous dû faire? - Quelles connaissances logicielles ou mathématiques avez-vous mobilisées? - Quelles difficultés pouvez-vous d ores et déjà anticiper chez des élèves? Autant de questions que vous devez vous poser pour faire l analyse a priori de cette tâche de construction. 3. Analyse a priori de la construction Reprenons l enseigne qui nous a servi d exemple au début du cours et tentons une analyse a priori de la construction. Il y a plusieurs sous-tâches à réaliser. 2

3 Tout d abord la construction du grand carré. Il y a des choix : construire un carré sans repère, placer les sommets avec leurs coordonnées cartésiennes ou bien utiliser la commande polygone régulier. Toutes les options ne supposent pas de mobiliser les mêmes connaissances mathématiques et logicielles chez les élèves. Par exemple construire le carré sans repère met en jeu les connaissances géométriques élémentaires du carré et les commandes associées. Utiliser la commande «polygone régulier» nécessite la disponibilité de la reconnaissance de ce carré comme étant justement un polygone régulier à 4 côtés. Selon que l enseignant fournira des indications ou non, les élèves seront aiguillés ou non vers telle ou telle procédure. Ce choix impactera également la suite de la construction et peut-être la suite de la situation. Ensuite, si on a choisi de créer les points par leurs coordonnées, il est possible d introduire un curseur pour définir le point mobile sur le côté du carré. Mais on peut choisir d utiliser directement la commande point sur segment. Les mêmes types de choix pour la construction du petit carré. Dans le cas où les points sont construits par leurs coordonnées, un léger calcul algébrique est nécessaire. Les choix faits par l élève dépendront toujours de la présentation par l enseignant de la tâche et notamment de son découpage en sous-tâches. Ici tout passe par la commande polygône régulier dans la mesure où le travail sur les propriétés géométriques des figures et le travail sur les coordonnées ne sont pas les objectifs d apprentissage visés par la situation. Pour la construction du triangle, on utilise cette fois la commande polygone. Enfin, nous vérifions la robustesse de la figure par déplacement, c est l essence même de la géométrique dynamique qui est à l œuvre. 4. Une nouvelle tâche Identifiez et mettez en œuvre différentes stratégies pour rechercher le minimum de la somme des deux aires du carré et du triangle. Pour chaque stratégie, pointez les connaissances qui sont nécessaires, qu elles soient mathématiques ou uniquement liées au logiciel. Vous pouvez aussi réfléchir à l activité mathématique que ces stratégies supposent, la nécessité ou pas d articuler avec du travail en papier-crayon, sur les moyens dont les élèves disposent pour contrôler leurs réponses, enfin sur l apport de l outil à la résolution de la tâche. 5. Présentation de différentes stratégies Précisons maintenant quelles sont les stratégies possibles. La première stratégie est une stratégie géométrique avec lecture des aires et de leur somme. Poly 1 représente l aire du grand carré, Poly 2 celle du petit et Poly 3 celle du triangle. On créé une aire totale qui vaut la somme de Poly2 et Poly3. 3

4 On explore la variation de l aire totale en fonction de la position du point mobile sur le côté. Une lecture approximative du minimum est alors possible. La précision n est pas très bonne. Peu de connaissances mathématiques sont mises en jeu. La covariation est expérimentée mais n est pas explicitement modélisée. La deuxième stratégie est une stratégie tableur, à partir de la capture de données, plus sophistiquée. Il faut commencer par afficher la fenêtre tableur, c est une connaissance liée au logiciel qui doit être disponible pour les élèves si aucune indication n est donnée. Puis, on enregistre dans le tableur l aire totale et on la capture en déplaçant le point mobile. Pour visualiser la covariation, on crée une nouvelle variable représentant l abscisse du point mobile. On aborde ainsi les fonctions numériques comme modèle mathématique de covariation des grandeurs. Mais les fonctions ne sont pas encore forcément présentes pour les élèves, dans la mesure où elles n apparaissent qu à travers une représentation numérique, discrète. Il peut cependant s agir d un premiers pas vers la pensée fonctionnelle, assez naturel grâce aux captures numériques qu offre le logiciel à partir de la situation de géométrie dynamique. La troisième stratégie est graphique. On a introduit cette fois un point du plan d un statut différent, dont l abscisse est celle du point mobile M, et dont l ordonnée est l aire totale. On a alors une représentation graphique de la covariation entre la longueur DM et l aire totale en faisant afficher la trace de ce point. Encore plus que pour la stratégie précédente, cela nécessite des connaissances logicielles qui embarquent des mathématiques. Arriver à faire en sorte que des élèves programment eux-mêmes les coordonnées du point suppose qu ils comprennent déjà ou du moins cela participe de leur compréhension de l existence d une relation de covariation entre les deux grandeurs en jeu. Comprendre aussi que cette covariation est modélisable par une fonction, dont la variable 4

5 indépendante est la grandeur prise en abscisse, variant entre 0 et 4, et la variable dépendante est celle prise en ordonnée. Interpréter alors la trace obtenue comme une représentation graphique de cette fonction, en relation avec la variation des aires et la position du point M sur la figure, peut aider à comprendre ce qu est une fonction en mathématique et son utilité. Reste une dernière stratégie, par l algèbre, qui permet le contrôle mathématique des conjectures qui ont pu être faites ou testées numériquement et graphiquement. Seule cette dernière stratégie suppose une activité dans l environnement papier-crayon. L introduction de la variable x est une difficulté majeure. Elle oblige l élève à sortir du cadre géométrique et à véritablement penser en termes de fonctions. A défaut, l introduction de ce x peut paraître bien artificielle. Il y a là beaucoup de connaissances mathématiques nécessaires, liées aux fondements de l algèbre, liées aussi aux formules d aires qui doivent être disponibles pour les élèves afin d arriver à produire tout seuls l expression de f(x) en fonction de x=dm. Il ne faut pas négliger le retour au logiciel. La superposition de la trace de M et de la représentation graphique de la fonction obtenue par le calcul est un moyen de contrôle du résultat algébrique obtenu, de même que la valeur du minimum obtenue algébriquement le cas échéant. Il est important que les élèves fassent la distinction entre les phases de conjecture et les phases de démonstration. Mais ces dernières ne sont nécessairement pas l objectif à atteindre tant les stratégies numériques ou graphiques peuvent déjà être riches en activités mathématiques. La situation est reproductible plusieurs fois avec les élèves, avec des adaptations, dans des tâches mettant en jeu des fonctions de plus en plus complexes, peut-être à la fin hors d atteinte algébriquement mais que les élèves peuvent tout de même explorer numériquement et graphiquement. 6. A retenir Concernant l exemple qui nous a servi de fil conducteur à l analyse, sans nul doute il y a des potentialités pour enrichir l activité des élèves grâce à une telle situation, avec des Enseignes plus ou moins complexes, avec des objectifs d apprentissages multiples, depuis le travail sur la construction des figures jusqu au travail d optimisation de fonctions, en passant par des résolutions d équations algébriques. Retenons aussi l interaction entre connaissances logicielles et connaissances mathématiques. C est-àdire comprendre que les actions de l élève sur le logiciel dépendent de ses connaissances mathématiques des objets à créer, de ses connaissances des commandes du logiciel et des instructions ainsi que des interactions avec l enseignant et ses pairs. Quelles tâches sont réellement dévolues aux élèves et quelle gestion en est faite a priori, notamment en termes de découpage? Le découpage en sous-tâches permet aux élèves d être maintenus en activité mais peut parfois les priver d une activité dont ils auraient tiré plus de bénéfice s ils avaient été plus autonomes pour la développer. 5

6 Il y a plusieurs choix à faire pour le professeur et qui doivent guider vos réflexions. Nous y reviendrons en semaine 3. Quel est l objectif de la situation et comment s insère t-elle dans un scénario global? S agit-il de réinvestir des connaissances anciennes ou en cours d apprentissages? Connaissances supposées disponibles chez les élèves ou bien remises en scènes par des indications explicitement prévues par l enseignant? Connaissances uniquement logicielles ou qui embarquent des mathématiques? S agit-il d en viser de nouvelles et quel est l apport du logiciel dans la situation. Quelles sont les formes de travail des élèves? Comment sont gérés les supports papiers? Nous renvoyons à la grille qui donne des critères plus exhaustifs et que l on continuera d illustrer dans les deux prochains cours. 6

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