Activités sur Angles inscrits -Polygones réguliers
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- Agathe Carignan
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1 Activités sur Angles inscrits -Polygones réguliers Activité 1 1) Tracer un cercle (C) de centre 0, puis placer trois points distincts A, B et D sur ce cercle. 2) a) Tracer en bleu les côtés de l'angle BAD et colorier cet angle. On dit que l'angle BAD est inscrit dans le cercle (C). b) Repasser en rouge l'arc BD de cercle ne contenant pas le point A. Tous les points de cet arc de cercle appartiennent à l'angle BAD. On dit que l'angle BAD intercepte l arc de cercle BD du cercle (C). 1) Tracer un cercle de centre I et de rayon 3 cm. Placer deux points E et F sur le cercle tels que: EIF 110.On dit que l'angle EIF est un angle au centre. 2) a) Tracer en rouge l'arc de cercle EF intercepté par l'angle EIF b) Tracer en vert l'autre arc de cercle d'extrémités E et F. L arc de cercle rouge est appelé le petit arc de cercle EF. L arc de cercle vert est appelé le grand arc de cercle EF. Activité 2 Conjecture A l aide du logiciel Géogebra 1) a) Construire un cercle C de centre O et passant par un point A. b) Placer sur ce cercle le point B tels que [AB] ne soit pas un diamètre et le point M distinct des points A et B sur le grand arc de cercle AB. 2) Justifier que : AMB est un angle inscrit dans ce cercle AOB est un angle au centre qui intercepte le même arc de cercle que l angle AMB. 3) Afficher les mesures des angles AMB et AOB (en degré) 2 autres points B et M sur ce cercle, avec A et B non diamétralement opposés et M 4) Modifier la taille du cercle et la position des points (vérifiant bien les conditions du 1)b) ). Que constatez vous? Quelle conjecture peut on faire concernant les mesures des angles AMB et AOB A l aide du logiciel Géogebra 1) a) Construire un cercle C de centre O et passant par un point A. b) Placer sur ce cercle le point B tels que [AB] ne soit pas un diamètre et le point M distinct des points A et B sur le petit arc de cercle AB. 2) Afficher les mesures des angles AMB et AOB (en degré) interceptant le même grand arc de cercle. 3) Modifier la taille du cercle et la position des points (vérifiant bien les conditions du 2). Que constatez vous? Quelle conjecture peut on faire concernant les mesures des angles AMB et AOB Page 1 sur 5
2 Partie 3 Enoncer une conjecture concernant les mesures d un angle inscrit dans un cercle et de l angle au centre du même cercle qui interceptent le même arc de cercle. Activité 3 * Démonstration Cas particulier A,M et N sont trois points d un cercle C de centre O. Le segment [MN] est un diamètre de C. On pose AMN a 1) Quelle est la nature du triangle MOA? Justifier. 2) Exprimer MOA en fonction de a. En déduire une relation entre les angles AON et AMN Cas général A,M et N sont trois points d un cercle C de centre O. Le segment [MN] est un diamètre de C. On pose AMN a et NMB b Figure 1 Figure 2 1) Dans le cas de la figure 1 a) Exprimer AMB en fonction de a et b. b) En utilisant l égalité trouvée dans la, exprimer AON en fonction de a puis NOB en fonction de b. c) En déduire que AOB 2 AMB 2) Dans le cas de la figure 2 a) Exprimer AMB en fonction de a et b b) En utilisant l égalité trouvée dans la partie 2, exprimer AON en fonction de a puis NOB en fonction de b. c) En déduire que AOB 2 AMB 3) Que pouvez vous conclure? Page 2 sur 5
3 Activité 4 * Démonstration A et B sont deux points d un cercle C de centre O. M et N sont deux autres points du cercle C situés du même côté que O par rapport à la droite (AB). En appliquant l égalité obtenue dans l activité 3, 3) démontrer que AMB ANB. Que pouvez vous conclure? Activité 5 Préciser si chacune des figures suivantes est un polygone régulier. Justifier votre réponse. Activité 6 * Les points A, B, C et D sont quatre sommets consécutifs du polygone régulier. On considère un polygone régulier à n côtés. La bissectrice de l'angle ABC et la bissectrice de l'angle BCD se coupent en un point O. 1) a) Démontrer que le triangle OBC est isocèle en O. b) Que peut-on en déduire concernant les longueurs OB et OC? 2) On considère la symétrie d'axe (CO). Répondre aux questions suivantes en justifiant chaque réponse. a) Quel est le symétrique: du point O? du point C? de l angle OCB? b) En déduire le symétrique du point B. 3) Déduire des questions précédentes que OB = OC = OD, puis que tous les sommets de ce polygone régulier appartiennent à un même cercle de centre O. Ainsi, un polygone régulier est inscrit dans un cercle. Le centre de ce cercle est appelé centre du polygone. Page 3 sur 5
4 Les points A et B étant deux sommets consécutifs d'un polygone régulier de centre O, on dit que l'angle AOB est un angle au centre du polygone. 1) a) Utiliser la pour justifier que BOC = COD b) Que peut-on en déduire pour les angles au centre d'un polygone régulier? 2) a) Quelle est la somme des mesures des n angles au centre du polygone? b) En déduire la mesure d'un angle au centre d'un polygone régulier. Activité 7 1) Tracer un cercle de centre O, puis construire un triangle équilatéral ABC inscrit dans ce cercle. 2) Tracer un cercle de centre O, puis construire un carré ABCD inscrit dans ce cercle. 3) Tracer un cercle de centre O, puis construire un hexagone régulier ABCDEF inscrit dans ce cercle. Annexes Annexe 1 Annexe 2 Annexe 3 Annexe 4 Page 4 sur 5
5 Annexe 5 Annexe 6 Annexe 8 Annexe 9 Annexe 11 Annexe 7 Données Construction Conclusion Le cercle ( C ) a pour centre O. L angle au centre AOB et l angle inscrit AMB interceptent l arc de cercle AB. Annexe 10 Données Construction Conclusion Le cercle ( C ) a pour centre O. Les angles inscrits ANB et AMB interceptent l arc de cercle AB. Page 5 sur 5
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