Chapitre 13 Produit scalaire (2) Applications

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1 Chapitre 13 Produit scalaire (2) Applications

2 Ex 1 Soit ABCD un losange de côté 5 avec AC=4. 1. Calculer la longueur BD. 2. Calculer les produits scalaires suivants : a. AB AC ; b. AB c. AB CD ; AD ; d. BA BC ; e. f. AD CB ; AC BD. Pour la question a., employer deux méthodes : définition avec le cosinus puis par projection.

3 Ex 2 ( 9 On donne les points A(1;3), B 2 ; 5 ) ( ) 7 et C 2 2 ; 9 dans un repère orthonormé (O; i, j ) Montrer que le triangle ABC est rectangle. 2. Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un rectangle.

4 Étude des triangles 1.2 Trigonométrie Droites et vecteur normal 2.2 Cercles et produit scalaire

5 Étude des triangles 1.2 Trigonométrie Droites et vecteur normal 2.2 Cercles et produit scalaire

6 Théorème :... de la médiane Soient A, B et M trois points du plan et I le milieu de [AB]. On a alors : M MA 2 + MB 2 = 2MI AB2 A // I // B

7 Démonstration.

8 Exemple.Soient A et B des points tels que AB=2 et I milieu du segment [AB]. Déterminer l ensemble Γ des points du plan tels que MA 2 + MB 2 = 11.

9 Théorème :... d Al-Kashi Dans un triangle ABC, avec les notations de la figure ci-dessous, on a : a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(â) C b a A Â c B

10 Démonstration.

11 Remarque.Si on prend le cas d un angle  = 90 on observe que : le triangle est rectangle, la relation devient a 2 = b 2 + c 2 celle du théorème de Pythagore. d où son appellation de «Théorème de Pythagore généralisé».

12 Exemple. On considère trois points A, B et C du plan tels que AB = 7, BC = 8 et AC = a. Calculer AB AC. b. En déduire une mesure de Â, arrondi à 0,1 près. 2. Déterminer B puis Ĉ.

13 Étude des triangles 1.2 Trigonométrie Droites et vecteur normal 2.2 Cercles et produit scalaire

14 Propriété : Formules d addition Soient a et b deux réels.

15 Propriété : Formules d addition Soient a et b deux réels. cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b)

16 Propriété : Formules d addition Soient a et b deux réels. cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) cos(a b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

17 Propriété : Formules d addition Soient a et b deux réels. cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) cos(a b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

18 Propriété : Formules d addition Soient a et b deux réels. cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) cos(a b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) sin(a b) = sin(a)cos(b) cos(a)sin(b)

19 Démonstration.

20 Remarque.Moyen mnémotechnique : «cos = coco-sissi» a+b a b a b «sin = sico+cossi» a+b a b a b

21 Exemple. Justifier que π 4 π 6 = π 12 puis calculer sin π 12.

22 Propriété : Formules de duplication Soit a un réel. On a : cos(2a) = cos 2 (a) sin 2 (a) = 2cos 2 (a) 1 = 1 2sin 2 (a) sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)

23 Démonstration.

24 Étude des triangles 1.2 Trigonométrie Droites et vecteur normal 2.2 Cercles et produit scalaire

25 Étude des triangles 1.2 Trigonométrie Droites et vecteur normal 2.2 Cercles et produit scalaire

26 Définition : Vecteur normal Dans le plan, on dit qu un vecteur non nul n est normal à une droite (d) s il est orthogonal à un vecteur directeur de (d). n est alors orthogonal à tout vecteur directeur de (d).

27 5 4 y n = ( 2 3 ) (d) : 2x 3y + 2 = 0 M ) 3 A u = ( x

28 5 4 y n = ( 2 3 ) (d) : 2x 3y + 2 = 0 M ) 3 A u = ( x Vérifier que u est bien un vecteur directeur de (d).

29 5 4 y n = ( 2 3 ) (d) : 2x 3y + 2 = 0 M ) 3 A u = ( x Vérifier que u est bien un vecteur directeur de (d). Calculer u n. Conclure.

30 Propriété : Vecteur normal et équation de droite On se place dans un repère orthonormé du plan et on considère deux réels a et b non tous les deux nuls. La droite d équation cartésienne ax + by + c = 0 admet ( ) a n pour vecteur b normal. Réciproquement, une droite admettant ( a n b équation ax + by + c = 0 (où c est à déterminer). ) pour vecteur normal a pour

31 Démonstration.

32 Exemple. 1. Déterminer un vecteur directeur et un vecteur normal de chaque droite. a. 5x + 2y 4 = 0 b. y = 2x + 3 c. y = 2 3 x 2 2. Donner une équation de la droite passant par A(2;3) et de vecteur normal n ( 3 5 ).

33 Étude des triangles 1.2 Trigonométrie Droites et vecteur normal 2.2 Cercles et produit scalaire

34 Propriété : Points du cercle Dans un repère orthonormé du plan : le cercle C de centre O et de rayon r a pour équation (x x O ) 2 + (y y O ) 2 = r 2, tout point M(x;y) du cercle a des coordonnées vérifiant cette équation ; le cercle C de diamètre [AB] est l ensemble des points M vérifiant MA MB = 0.

35 Démonstration.

36 Exemple. Soit C le cercle d équation (x 1) 2 + (y + 2) 2 = Donner les coordonnées du centre de C et son rayon. 2. Montrer que le point A(4;2) appartient à C. 3. Soit d la tangente à C en A. Déterminer une équation cartésienne de d.

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