Terminale S spécialité Amérique du Nord 2018 : Modèle de Lotka Volterra, une généralisation

Transcription

1 Terile S spécilité ériqe d Nord 8 : Modèle de Lot Volterr, e géérlistio L prtie B de l eercice de ce set présete eeple d éoltio selo odèle proies / prédters O se propose ici d étdier qelqes spects d e pproitio de ce odèle Le odèle discrétisé (Lot-Volterr) O s itéresse à l coittio sr territoire de de espèces : des proies et lers prédters O coiet d e ée de référece et o ote le ore de proies et le ore de prédters à e certie dte de cette ée-là Por tot etier trel, o ote le ore de proies et le ore de prédters à l dte iersire, ées pls trd O sppose q il eiste qtre réels stricteet positifs,,, ec e otre < < tels qe por tot etier trel : ( ) ( ) Ces reltios ot ses sos coditio de positiité, c'est-à-dire sos coditio qe Ces reltios de récrrece s écriet, de fço éqilete por des popltios o lles : () L reltio () eprie le t de ritio de l popltio des proies Le coefficiet est le t d ccroisseet trel de cette popltio dû à l tlité e l sece de prédters Le tere eprie qe le t de ortlité est proportioel à l popltio des prédters, le coefficiet de proportiolité étt L reltio () eprie le t de ritio de l popltio des prédters Le coefficiet est le t de ortlité el de cette popltio Le tere eprie qe le t de tlité est proportioel à l popltio des proies, le coefficiet de proportiolité étt Motrer q il eiste étt stle o l, c'est-à-dire des lers de et o lles telles qe les sot sttioires O ote respectieet et ces lers o lles qi redet sites ( ) et ( ) sttioires les de sites ( ) et O défiit de sites iliires pr, por tot etier trel : Etlir qe ces sites iliires stisfot les reltios de récrrece : gilertli 8 Gilert JUL, i 8

2 Gilert JUL, i 8 O se propose d étdier e pproitio de ce q il se psse por des sittios proces de l éqilire Por cel, o e tiet ps copte des teres prodit ds les reltios de récrrece qe l o iet d étlir, e les idért coe égligeles reltieet teres liéires O coiet de reteir coe reltios de récrrece d pproitio les reltios : gilertli 8 c'est-à-dire tricielleet : O ote l trice : Pr e récrrece éidete, il pprît qe por tot etier trel : U ee er est de preir à clcler O pose : ec ces ottios : Clcl de l pissce -ièe de l trice, preier résltt Clcler les trices Soit etier trel Eprier e foctio de, et les trices : Motrer qe por tot etier trel : l reste à codeser ces epressios e sig

3 Gilert JUL, i 8 Des epressios codesées des soes sig ds cs pls géérl O rppelle le résltt ote ds le prolèe «rerds et cpgols», qe l o e redéotre ps ici : «Soit ore réel stricteet positif O idère le ore coplee : z i Si o pose : lors : z i» E ppliqt ces résltts por e ler de qe l o préciser, eprier l trice (Utiliser l fore trigooétriqe, qe l o préciser, de z ) Doer des forles eplicites por et

4 Gilert JUL, i 8 Eléets de correctio S il eiste étt stle, cet étt doit être tel qe : c'est-à-dire tel qe O otiet étt stle o l ec : Les sites des écrts à l éqilire serot défiies pr les reltios : i gilertl 8 Les teres de rgs éctifs et des sites iliires érifiet : c'est-à-dire les reltios : gilertli 8 O retiet coe reltios de récrrece d pproitio les reltios : gilertli 8 C'est-à-dire, tricielleet : O pose ec ces ottios :

5 Gilert JUL, i 8 5 Por tot etier trel : et l qestio ere est itet d epliciter Soit etier trel lors : et e éqece : ce qi doe, e ordot sit les lers des pissces de : Copte te des lers de ces pissces de trices : O ppliqe les forles ec : : q lors : i i

6 Gilert JUL, i 8 6 O otiet : i e i Or le odle de z est égl à et rget est déterié pr ses liges trigooétriqes si Le réel rc e est Ds ces coditios : si L trice est l trice : si si Si l sittio iitile est lors : si si l e réslte les reltios sites por : si si L présece d tere ( ) otre l istilité à lqelle o otit e discrétist Cette odélistio ses por des lers iitiles proces de l éqilire, por coefficiet qi est ps ecop pls grd qe, et por des petites lers de (doc sr cort tere)

7 U eeple Spposos :,,75,,, soit :,,5,, Ds ce cs, l étt stle est ( 5 ) Les forles eplicites de et de fot l oet de défiitios foctioelles 5 Spposos e otre qe 5 Les coloes e et e sot clclées à prtir des forles de récrrece ectes Les coloes et sot clclées ec les forles eplicites d odèle d pproitio Ce qi doe des ges de poits de ce gere (e le, ec les reltios de récrrece de Volterr, e roge ec les forles eplicites d pproitio) ci, ce des proies Gilert JUL, i 8 7