Modélisation et Simulation

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1 Cours de modélisation et simulation p. 1/77 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212

2 Cours de modélisation et simulation p. 2/77 Systèmes à temps discret Pourquoi étudier des modèles où le temps change de manière discrète? Voici les raisons principales Le modèles discrets sont un outil pour résoudre les équations différentielles. Ils peuvent être des modèles plus adaptés dans certains domaines: électronique digitale, économie, finance, étude des populations. Ils peuvent être utilisés pour générer des dynamiques chaotiques puisque il est plus facile de générer des dynamiques complexes dans le cas temps discret que dans le cas continu. Ils sont plus faciles à simuler par ordinateur: aucun algorithme d intégration numérique n est requis.

3 Cours de modélisation et simulation p. 3/77 Systèmes à temps discret Un système à temps discret synchrone à dimensions finies est décrit par des équations vectorielles aux différences x(k + 1) = f(x(k), u(k), k) y(k) = η(k, x(k)) où k est un nombre entier qui représente le temps. Un systèmes discret est dit invariant quand les fonctions f( ) et η( ) ne dépendent pas explicitement du temps. Un système discret, linéaire et à dimensions finies est caractérisé d une manière univoque par les trois matrices A( ), B( ) et C( ) qui apparaissent dans x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) y(k) = C(k)x(k)

4 Cours de modélisation et simulation p. 4/77 Équations aux différences Alors que dans les configurations à temps continu nous avons privilégié la représentation de la dynamique sous forme de système d équations d ordre 1, dans le cas à temps discret nous privilégierons la représentation des dynamiques sous forme d équations aux différences. Ceci pour deux raisons: 1. dans le cas discret nous ne pouvons pas tirer avantage de la représentation de trajectoires dans l espace des phases suite à la nature discontinue des trajectoires, 2. nous nous limiterons à considérer des systèmes où le vecteur d état a dimension unitaire, c.-à-d. il est un scalaire.

5 Cours de modélisation et simulation p. 5/77 De l équation au système d équations Dans le cas continu ẍ ẋ 1 = 0 {ẋ1 = x 2 ẋ 2 = x si nous posons x 1 (t) = x(t) et x 2 (t) = ẋ(t) Dans le cas discret x(k + 2) x(k + 1) 1 = 0 { x1 (k + 1) = x 2 (k) x 2 (k + 1) = x 2 (k) + 1 si nous posons x 1 (k) = x(k) et x 2 (k) = x(k + 1)

6 Cours de modélisation et simulation p. 6/77 Équations aux différences Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire d un système dynamique à l instant k N et f : N X n X une fonction connue. L équation récursive x(k + n) = f(k, x(k + n 1),...,x(k)) est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. Une fonction x(k) = ξ(k) qui transforme l équation dans une identité est une solution particulière de l équation. L ensemble de toutes les solutions est appelé la solution générale de l équation. Théorème. L équation admet une et une solution une fois fixées n valeurs initiales. Notons que aucune autre restriction sur la forme de f n est posée. Exemple: une solution particulière de l équation d ordre 1 x(k + 1) = 2x(k) est la fonction x(k) = 2 k. La solution générale a la forme x(k) = C 2 k avec C constante.

7 Cours de modélisation et simulation p. 7/77 Équation aux différences linéaire Définition. Une équation aux différences est dite linéaire d ordre n, avec n > 0, si elle a la forme a n (k)x(k + n) + a n 1 (k)x(k + n 1) + + a 0 (k)x(k) = g(k) (1) où les fonctions a i (k), i = 0,...,n et g(k) sont données. Si les coefficients ne dépendent pas de k l équation est dite invariante (ou stationnaire). Si g(k) = 0 pour tout k alors l équation a n (k)x(k + n) + a n 1 (k)x(k + n 1) + + a 0 (k)x(k) = 0 (2) est dite homogène. La condition initiale d une équation aux différences linéaire d ordre n est le vecteur de taille [n, 1] x 0 = [x(0),...,x(n 1)]

8 Cours de modélisation et simulation p. 8/77 Expression sous forme d un système Considérons l équation aux différences x(k + n) + a n 1 x(k + n 1) + + a 0 (k)x(k) = u(k) Si nous posons x 1 (k) = x(k), x 2 (k) = x(k + 1),...,x n (k) = x(k + n 1) nous obtenons le système suivant x 1 (k + 1) x 2 (k + 1). x n 1 (k + 1) x n (k + 1) = x 2 (k) = x 3 (k) = x n (k) = a 0 (k)x 1 (k) a 1 (k)x 2 (k) a n 1 (k)x n (k) + u(k)

9 Cours de modélisation et simulation p. 9/77 Solutions de l équation linéaire Théorème. Considérons l équation linéaire non homogène (1) et sa solution particulière x (p) (k). Soit x (h) (k) une solution de l équation homogène associée (2). Toutes les solutions x(k) de l équation linéaire non homogène peuvent être exprimées sous la forme x(k) = x (p) (k) + x (h) (k) Le principe de superposition suivant est valable Théorème. Si x (1) (k), x (2) (k),...,x (m) (k) sont solutions de l équation homogène (2), alors chaque combinaison linéaire c 1 x (1) (k) + c 2 x (2) (k) + + c m x (m) (k) où c 1,...,c m sont des constantes arbitraires, est aussi une solution de l équation homogène (2).

10 Cours de modélisation et simulation p. 10/77 Exemple Considérons l équation non-homogène (k + 1)x(k + 1) kx(k) = 1, k 1 dont l équation homogène correspondante est (k + 1)x(k + 1) kx(k) = 0. La solution générale de l équation homogène est x (h) (k) = A/k. Une solution particulière est x (p) (k) = 1 La solution générale de l équation non-homogène a donc la forme x(k) = 1 + A/k

11 Cours de modélisation et simulation p. 11/77 Polynôme caractéristique Définition. Soit x(k + n) + a n 1 x(k + n 1) + + a 0 x(k) = 0 une équation linéaire homogène d ordre n à coefficients constants. Le polynôme P(λ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 est appelé le polynôme caractéristique associé à l équation homogène à coefficients constants. Définition. L équation P(λ) = 0 est appelée l équation caractéristique associée à l équation homogène à coefficients constants. Cette équation a n solutions complexes λ 1,...,λ n.

12 Cours de modélisation et simulation p. 12/77 Équation caractéristique et solutions Théorème. Si λ R est une solution de multiplicité 1 de l équation caractéristique, alors x(k) = λ k est une solution de (2). Si λ R est une solution de multiplicité m de l équation caractéristique, alors x (0) (k) = λ k, x (1) (k) = kλ k, x (2) (k) = k 2 λ k,...,x (m 1) (k) = k m 1 λ k sont m solutions linéairement indépendantes de l équation homogène. Toutes les solutions de l équation homogène peuvent être exprimées comme des combinaisons linéaires des solutions mentionnées ci-dessus.

13 Cours de modélisation et simulation p. 13/77 Exemple Considérons de nouveau l équation aux différences: x(k + 2) 2x(k + 1) + x(k) = 0 qui a deux racines caractéristiques λ 1,2 = 1 de multiplicité m = 2. Selon le théorème précédent, x (0) (k) = 1, x (1) (k) = k sont 2 solutions linéairement indépendantes, en accord avec les solutions fondamentales trouvées auparavant.

14 Cours de modélisation et simulation p. 14/77 Équation caractéristique et solutions (II) Si les coefficients a 0 0, a 1,...,a n 1 sont réels et λ = a ± ib sont deux solutions complexes conjuguées de l équation caractéristique alors w(k) = ρ k cos(θk), z(k) = ρ k sin(θk) sont deux solutions linéairement indépendants de (2) où ρ = a 2 + b 2, cosθ = a a2 + b, sinθ = b 2 a2 + b 2 Si λ = a ± ib est une solution complexe de multiplicité m alors w (0) (k) = ρ k cos(θk), w (1) (k) = kρ k cos(θk),... w (m 1) (k) = k m 1 ρ k cos(θk) z (0) (k) = ρ k sin(θk), z (1) (k) = kρ k sin(θk),... z (m 1) (k) = k m 1 ρ k sin(θk) sont 2m solutions linéairement indépendantes.

15 Cours de modélisation et simulation p. 15/77 Exemple Considérons l équation aux différences d ordre n = 3 x(k + 3) 4x(k + 2) + 5x(k + 1) 2x(k) = 0 où x(0) = 0, x(1) = 1 et x(2) = 0. L équation caractéristique associée est λ 3 4λ 2 + 5λ 2 = 0 qui a comme solutions λ 1 = 2 et λ 2,3 = 1. La solution générale est donc x(k) = c 1 2 k + c 2 + c 3 k où le système d équations suivantes doit être satisfait c 1 + c 2 = 0 2c 1 + c 2 + c 3 = 1 4c 1 + c 2 + 2c 3 = 0 Puisque la solution est c 1 = 2, c 2 = 2, c 3 = 3 la solution générale est x(k) = 2 k+1 + 3k + 2

16 Cours de modélisation et simulation p. 16/77 Les nombres de Fibonacci Considérons l équation qui représente les nombres de Fibonacci x(k + 1) = x(k) + x(k 1) où x(0) = 0 et x(1) = 1. L équation caractéristique λ 2 λ 1 = 0 a les solutions λ 1 = , λ 1 = La solution générale est donc x(k) = c 1 (λ 1 ) k + c 2 (λ 2 ) k et les conditions suivantes { c1 + c 2 = 0 c c = 1

17 Cours de modélisation et simulation p. 17/77 nous amènent à la solution (connue comme la formule de Binet) x(k) = 1 5 ( 1 + ) k ( 1 ) k 5 2 qui corresponde à l évolution 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Le nombre irrationel est aussi connu comme le nombre d or. Ce nombre est l unique solution positive de l équation x 2 = x + 1 et il est le seul rapport a/b qui satisfait la relation a+b a = a b. Cette proportion a été souvent associée à des critères esthétiques de beauté qu on retrouve dans plusieurs monuments ou oeuvres d art (le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops par sa demi-base est le nombre d or...)

18 Cours de modélisation et simulation p. 18/77 Exemple Considérons l équation aux différences où x(0) = 0 et x(1) = 1. x(k + 2) + x(k) = 0 L équation caractéristique λ = 0 a deux solutions complexes conjuguées λ 1,2 = ±i. Il s ensuit que ρ = = 1 et θ = π/2. La solution générale est x(k) = c 1 sin(kπ/2) + c 2 cos(kπ/2) En imposant les conditions initiales nous avons { c1 = 1 c 2 = 0 La solution est donc x(k) = sin(kπ/2)

19 Cours de modélisation et simulation p. 19/77 États d équilibre Considérons une équation aux différences à n pas et à coefficients constants x(k + n) + a n 1 x(k + n 1) + a n 2 x(k + n 2) + + a 0 x(k) = b où a 0, a 1,...,a n 1, b sont n coefficients connus. Définition. Un équilibre est un nombre x auquel il correspond une solution constante x(k) = x. Il est facile de montrer que: si 1 + a n 1 + a n a 0 0, alors il existe un seul équilibre x = b 1 + a n 1 + a n a 0 autrement, si 1 + a n 1 + a n a 0 = 0 1. si b = 0 chaque x est un point d équilibre 2. si b 0 il n y a aucun point d équilibre

20 Cours de modélisation et simulation p. 20/77 Stabilité de l équilibre Définition. Un équilibre x est un équilibre stable si ǫ > 0 il existe un δ > 0 et un k 0 > 0 telle que n 1 j=0 x(j) x < δ x(k) x < ǫ k > k 0 c.-à-d. des états initiaux proches de l équilibre donnent origine à des trajectoires proches de l équilibre. Définition. Un équilibre x est un équilibre attractif (ou asymptotiquement stable) si il est stable et lim x(k) = x k

21 Cours de modélisation et simulation p. 21/77 Théorème. Un équilibre de l équation linéaire États d équilibre 1. est stable ssi chaque solution λ i, i = 1,...,n de l équation caractéristique satisfait λ i 1 et les solutions pour lesquelles λ = 1 ont une multiplicité égale à est asymptotiquement stable ssi chaque solution λ i, i = 1,...,n de l équation caractéristique satisfait λ i < 1. Chaque équilibre asymptotiquement stable est aussi stable.

22 Cours de modélisation et simulation p. 22/77 TP Calculer l équilibre et analyser la stabilité pour les systèmes suivants: 1. 6x(k + 2) 5x(k + 1) + x(k) = x(k + 2) 2x(k + 1) + 2x(k) = 0 x(k + 3) + x(k) = 0

23 Cours de modélisation et simulation p. 23/77 TP Calculer la solution de l équation x(k + 2) 4x(k + 1) + 3x(k) = 2 k et de l équation x(k + 2) 4x(k + 1) + 3x(k) = b k, b 1, b 3

24 Cours de modélisation et simulation p. 24/77 Équations linéaires homogènes à un pas Définition. Soit a R une constante. L équation x(k + 1) = ax(k) (3) est appelée une équation aux différences, d ordre 1, linéaire, homogène et à coefficients constants. L équation caractéristique est λ a = 0 qui a la seul racine λ = a. Les solutions de l équation homogène auront la forme exponentielle x(k) = Ca k = C exp ln(a)k = C exp ln(1/a)k Pour chaque condition initiale x(0) = x 0 l équation (3) admet donc la seule solution x(k) = x 0 a k, x 0 R

25 Cours de modélisation et simulation p. 25/77 Le modèle de Malthus Thomas Robert Malthus ( ) a proposé le modèle suivant pour décrire l évolution d une population x (biologique ou d autre nature) x(k + 1) = x(k) + nx(k) mx(k) = (1 + n m)x(k) = rx(k) où la constante n représente le taux de naissance et la constante m le taux de mortalité des individus. Ceci est un exemple de équation aux différences, d ordre 1 linéaire, homogène et à coefficients constants qui modélise une croissance exponentielle de la population

26 Cours de modélisation et simulation p. 26/77 Équations linéaires affines à un pas Définition. Soient a R, a 0 et b R deux constants. L équation x(k + 1) = ax(k) + b (4) est appelée équation affine aux différences linéaire, d ordre 1 et à coefficients constants.

27 Cours de modélisation et simulation p. 27/77 Equation affine d ordre 1: a = 1 Considérons l équation non homogène à coefficients constants d ordre n = 1 x(k + 1) = ax(k) + b où a = 1 et b est connu. La solution particulière a la forme x (p) = ck où c doit satisfaire c(k + 1) = ck + b c = b Puisque λ = 1, la solution générale aurait donc la forme x(k) = C1 k + bk = C + bk Si x(0) = x 0 alors C = x 0 et la solution générale devient x(k) = x 0 + kb

28 Cours de modélisation et simulation p. 28/77 Equation affine d ordre 1: a 1 Considérons l équation non homogène à coefficients constants d ordre n = 1 x(k + 1) = ax(k) + b où a 1 et b sont connus. Une solution particulière de l équation est x (p) = c où c doit satisfaire c = ac + b c = b 1 a La solution générale a donc la forme x(k) = Ca k + b 1 a Si x(0) = x 0 alors C + b 1 a = x0 C = x 0 b 1 a donc x(k) = ( x 0 b ) a k + 1 a b 1 a

29 Cours de modélisation et simulation p. 29/77 Équations linéaires affines à un pas (II) Théorème. Pour chaque valeurs initiale x 0 l équation x(k + 1) = ax(k) + b a une solution unique. La forme analytique de la solution dépend du coefficient a: 1. Si a = 1 alors x(k) = x(0) + kb (a) si b 0 il n existe aucun équilibre et toutes les trajectoires sont divergentes. (b) si b = 0 toutes les valeurs de x sont des valeurs d équilibre et toutes les trajectoires sont constantes. 2. Si a 1 alors x(k) = (x 0 α)a k + α où x = α = b/(1 a) est le seul équilibre. Notons que (a) si a < 1 toutes les trajectoires convergent vers α. (b) si a > 1 toutes les trajectoires sont divergentes (à part celle constante si x 0 = α) (c) si a = 1 alors l équilibre est α = b/2 et toutes les solutions sont oscillantes autour de cet équilibre (à part celle constante pour x 0 = α = b/2).

30 Cours de modélisation et simulation p. 30/77 Ordre 1, a = 1, b > 0 x(k+1) x(0) x(1) x(2) x(3) x(k)

31 Cours de modélisation et simulation p. 31/77 Ordre 1, a < 1, b > 0 x(k+1) x(0) x(1) x(2) b/(1 a) x(k)

32 Cours de modélisation et simulation p. 32/77 Ordre 1, a = 1,b > 0 x(k+1) x(0) b/a x(k)

33 Cours de modélisation et simulation p. 33/77 Modèle du cobweb Le modèle du cobweb (toile d araignée) est un modèle économique classique qui décrit la dynamique de l offre et de la demande par le biais d un modèle discret linéaire d ordre 1. Le modèle concerne un seul produit, par exemple le mais. La demande d dépend du prix p du produit. Puisque la consommation diminue à l augmentation du prix nous pouvons supposer que la courbe de la demande soit linéaire et que sa dynamique soit décrite par d(k + 1) = d 0 c d p(k + 1) où d 0 et c d sont des constantes connues réelles et positives. Aussi nous pouvons supposer que la quantité de produit qui est mise à disposition par le producteurs soit directement proportionnelle au prix et que sa dynamique soit décrite pas s(k + 1) = s 0 + c s p(k) où s 0 et c s sont des constantes connues réelles et positives.

34 Cours de modélisation et simulation p. 34/77 Modèle du cobweb d(0) d d(1) s(1) s s(2) d(2) s(0) p(1) p(2) p(0) p

35 Cours de modélisation et simulation p. 35/77 Modèle du cobweb En imposant la condition que à l équilibre la demande est égale à l offre s 0 + c s p(k) = d 0 c d p(k + 1) nous obtenons cette équation affine aux différences d ordre 1 qui décrit la dynamique du prix p(k + 1) = c s c d p(k) + d 0 s 0 c d = ap(k) + b L équilibre du modèle est p = α = b 1 a = d 0 s 0 c d + c s et la solution p(k) = ( p(0) d )( 0 s 0 c ) k s + d 0 s 0 c d + c s c d c d + c s

36 Cours de modélisation et simulation p. 36/77 Nous supposons que le prix à l instant k détermine la quantité produite mais que suite aux retards de production le produit sera disponible seulement à l instant k + 1. Une fois que l offre est disponible le prix sera déterminé par la demande, c.-à-d. le prix sera ajusté afin que toute la marchandise soit vendue. Notons que la convergence dépend du rapport entre la pente de la courbe de l offre et de la courbe de la demande. Si c s < c d, alors a < 1 et les prix convergent après une série d ajustements vers α pour k et pour tous prix initiaux. Si c s > c d alors a > 1 et il n y a pas stabilisation du prix. En d autres termes, pour que il y ait un équilibre les producteurs doivent être moins sensibles aux prix que les consommateurs.

37 Cours de modélisation et simulation p. 37/77 Remboursement d un prêt hypothécaire Supposons d emprunter à une banque le montant s(0) et de le rembourser par des primes constantes de valeur p. Soit r le taux d intérêt appliqué à la dette résiduelle s(k). L évolution de la somme à rembourser suit la loi s(k + 1) = max(0, s(k) p + rs(k)) = max(0, (1 + r)s(k) p)

38 { x1 (k + 1) = (1 + a 11 )x 1 (k) a 12 x 1 x 2 Cours de modélisation et simulation p. 38/77 Lotka-Volterra en temps discret x 2 (k + 1) = a 21 x 1 (k)x 2 (k) + (1 a 22 )x 2 (k)

39 Cours de modélisation et simulation p. 39/77 Systèmes discrets non-linéaires d ordre 1 Considérons un système discret autonome d ordre 1 dont la dynamique est décrite par x(k + 1) = f(x(k)) où f C et x(k) I R. Dénotons ce système par le couple {f, I}. Nous dénotons l orbite de x(0) par x(1) = f(x(0)) x(2) = f(x(1)) = f(f(x(0))) = f 2 (x(0))... x(k) = f(x(k 1)) = f(f(...(f(x(0))))) = f k (x(0)) N.B.: f k ( ) dénote la valeur de x après la kème itération. Donc x(k) = f k (x(0)) (f(x(0))) k f (k) (x(0))

40 Cours de modélisation et simulation p. 40/77 Représentation graphique f(x) x(3) x(4) x(0) x(1) x(2)

41 Cours de modélisation et simulation p. 41/77 Etats d équilibre Comme dans le cas à temps continu, les points fixes où états d équilibre jouent un rôle important dans la description de la dynamique Définition. L état x est un état d équilibre (ou point fixe) du système {f, I} si x = f( x) D un point de vue géométrique les points d équilibre sont les intersections sur le plan x, y entre la fonction y = f(x) et la droite y = x. Théorème. Soit I = [a, b] un intervalle clos et borné et f : I I une fonction continue telle que les ensembles de départ et d arrivée coïncident avec I. Alors il existe toujours un point d équilibre x tel que f( x) = x.

42 Cours de modélisation et simulation p. 42/77 Exemple Le système à temps discret x(k + 1) = x(k) 3 a les points fixes x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 1

43 Cours de modélisation et simulation p. 43/77 Stabilité de l équilibre: ordre 1 Définition. L équilibre est stable si pour chaque ǫ > 0 il existe une constante δ > 0 et un k 0 > 0 telle que x(0) x < δ x(k) x < ǫ Définition. L équilibre est globalement asymptotiquement stable (ou globalement attractif) si pour chaque x(0) I lim x(k) = x. k Définition. L équilibre est localement asymptotiquement stable (ou localement attractif) si il existe η > 0 telle que pour chaque x(0) I { x η, x + η} lim x(k) = x. k

44 Cours de modélisation et simulation p. 44/77 Cycles Définition. Soit donnée un système discret {f, I}. Un cycle d ordre s est un ensemble de s valeurs différentes { x 0,..., x s 1 } telles que x 1 = f( x 0 ), x 2 = f( x 1 ),..., x 0 = f( x s 1 ) La quantité s est le période de l orbite. Par exemple le système non linéaire {1/x, (0, + )} a un seul équilibre mais un nombre infini de trajectoires de période 2. Théorème. Considérons le système discret {f, I}. La paire { x 0, x 1 } est un cycle d ordre 2 ssi x 0 et x 1 sont des points d équilibre de {f 2, I} mais pas de {f, I}.

45 Cours de modélisation et simulation p. 45/77 Exemple Le système à temps discret x(k + 1) = (2 x(k))(3x(k) + 1)/2 a un cycle d ordre 3 formé par les valeurs x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2

46 Cours de modélisation et simulation p. 46/77 Exemple Le système à temps discret x(k + 1) = x(k) 2 1 a un cycle { x 0 = 0, x 1 = 1} d ordre 2. Ceci peut être facilement démontrable puisque x 0 = 0 et x 1 = 1 sont les points d équilibre de mais pas de f. f 2 = (x 2 1) 2 1 = x 4 2x 2

47 Cours de modélisation et simulation p. 47/77 Conditions de stabilité Théorème. Si x un équilibre du système {f, I}, où f C 1 alors f ( x) < 1 x est localement asymptotiquement stable f ( x) > 1 x est instable f ( x) = 1 ne renvoie aucune information sur la stabilité de x

48 Cours de modélisation et simulation p. 48/77 Linéarisation Les résultats de stabilité peuvent être facilement expliqués de la manière suivante. Considérons le point fixe x = f( x) du système x(k + 1) = f(x(k)). Afin d analyser sa stabilité considérons la trajectoire proche x(k) = x + δ(k) et demandons nous comment cette trajectoire va se comporter autour de x x + δ(k + 1) = x(k + 1) = f( x + δ(k)) = f( x) + f ( x)δ(k) + O(δ(k) 2 ) Ceci nous amène à la dynamique linéaire δ(k + 1) = f ( x)δ(k) + O(δ(k) 2 ) δ(k + 1) aδ(k) qui décrit comment évolue la perturbation. Si f ( x) < 1, la dynamique de la perturbation est asymptotiquement stable, c.-à-d. δ(k) 0 et x(k) x pour k.

49 Cours de modélisation et simulation p. 49/77 Localement asymptotiquement stable x(k+1) f ( x) < 1. x(k)

50 Cours de modélisation et simulation p. 50/77 Equilibre instable x(k+1) f ( x) > 1. x(0) x(k)

51 Cours de modélisation et simulation p. 51/77 Conditions de stabilité pour f ( x) = 1 Théorème. Si x un équilibre du système {f, I}, où f C 2 et f ( x) = 1. Alors f ( x) > 0 x est inférieurement asymptotiquement stable et supérieurement instable (ou répulsif) f ( x) < 0 x est supérieurement asymptotiquement stable et inférieurement instable (ou répulsif) Théorème. Si x un équilibre du système {f, I}, où f C 3 et f ( x) = 1 et f ( x) = 0. Alors f ( x) > 0 x est instable. f ( x) < 0 x est localement asymptotiquement stable Théorème. Si x un équilibre du système {f, I}, où f C 3 et f( x) = x et f ( x) = 1. Alors 2f ( x) + 3 (f ( x)) 2 > 0 x est localement asymptotiquement stable. 2f ( x) + 3 (f ( x)) 2 < 0 x est instable.

52 Cours de modélisation et simulation p. 52/77 Inférieurement asympt. stable x(k+1) x(0) f ( x) = 1 et f ( x) > 0. x(0) x(k)

53 Cours de modélisation et simulation p. 53/77 Supérieurement asympt. stable x(k+1) f ( x) = 1 et f ( x) < 0. x(0) x(0) x(k)

54 Cours de modélisation et simulation p. 54/77 Fonction croissante Le comportement qualitative d un système non-linéaire n est pas évident à déterminer. Un cas particulier est représenté par une fonction f monotone croissante. Dans ce cas il est possible exploiter le théorème suivant Théorème. Une série réelle monotone croissante (décroissante) admet toujours une limite: ceci est fini ssi la série est limitée, autrement il est + ( ).

55 Cours de modélisation et simulation p. 55/77 Fonction croissante Si f : R R est continue et croissante alors le comportement du système pour un x(0) donné est décrit par l algorithme suivant: Si x(1) = f(x(0)) = x(0) alors x(k) = x(0), k N Si x(1) = f(x(0)) > x(0) Si ils existent des point fixes plus grands que x(0) alors x(k) x où x est le plus petit parmi les points fixes plus grands que x(0) Si ils n existent pas des point fixes plus grands que x(0) alors x(k) + Si x(1) = f(x(0)) < x(0) Si ils existent des point fixes plus petits que x(0) alors x(k) x où x est le plus grand parmi les points fixes plus petits que x(0) Si ils n existent pas des point fixes plus petits que x(0) alors x(k)

56 Exemple Soit f(x) = x + sinx x(0)= k x(0)= k Cours de modélisation et simulation p. 56/77

57 Cours de modélisation et simulation p. 57/77 Attracteur Définition. Soit {f, I} un système discret à un pas. Un ensemble clos A I, tel que f(a) = A, est appelé attracteur si il est le plus petit ensemble pour le quel il existe un η > 0 tel que, x(0) I : dist(x(0), A) < η il se produit que lim dist(x(k), A) = 0 k L ensemble {x(0) I : lim x(k) A} k est appelé le bassin d attraction.

58 Cours de modélisation et simulation p. 58/77 Bifurcations Considérons un système discret d ordre 1 où la fonction f a est paramétrique avec un paramètre a. Souvent les phénomènes physiques sont caractérisés par une dépendance continue du comportement par rapport aux paramètres qui les caractérisent. Dans certains cas, toutefois, nous pouvons assister à des gros changements suite à des petites variations. L étude des bifurcations vise à déterminer ces valeurs des paramètres qui entraînent des fort changements qualitatifs. Définition. Soit f a une fonction de transition paramétrique dans a A. La valeur ā A est appelée valeur de bifurcation pour {f a, I} si pour chaque ǫ > 0 la somme du nombre de points d équilibre et du nombre de points qui appartient à des orbites périodiques n est pas constant dans (ā ǫ, ā + ǫ).

59 Exemple Considérons f a = x 2 + a. Le système n a pas des points fixes pour a > 1/4, il a un point fixe x = 1/2 pour a = 1/4 et il a deux points fixes pour a < 1/4 x 1,2 = 1 2 ± 1 4a 2. x(k+1) x(k+1) x(k) x(k) x(k+1) x(k) Cours de modélisation et simulation p. 59/77

60 Cours de modélisation et simulation p. 60/77 Fonction logistique discrète L équation logistique a été proposée par le biologiste May en 1976 pour représenter de manière très simplifiée l évolution annuelle d une population d insectes x(k + 1) = f a (x(k)) = ax(k)(1 x(k)), a [0, 4], x [0, 1] ou x(k) [0, 1] représente le pourcentage de population par rapport à une certaine valeur maximale de référence. Malgré sa simplicité le système peut afficher des comportements qualitativement très complexes au fur et à mesure que a augmente

61 Cours de modélisation et simulation p. 61/77 Fonction logistique discrète Le graphique de f a est une parabole ayant origine dans le point (1/2, a/4), concave et symétrique par rapport à la droite verticale x = 1/2. Les points fixes sont obtenus en résolvant l équation ax(1 x) = x Les racines sont l origine x (1) = 0 et le point x (2) = (a 1)/a pour 1 < a 4. Notons aussi que les trajectoires ayant comme conditions initiales x(0) = 1 et x(0) = 1/a si a > 1 sont constantes pour k 1.

62 Cours de modélisation et simulation p. 62/77 Au fur et à mesure que le paramètre a augmente, le comportement qualitative du système change fortement. Afin de l analyser il est important tenir en considération que f(x) = ax(1 x), f (x) = a 2ax, f (x) = 2a, f (x) = 0

63 Cours de modélisation et simulation p. 63/77 Fonction logistique discrète: 0 a < 1 Si a [0, 1) le point x (1) = 0 est le seul équilibre. Puisque f (0) = a < 1, il est asymptotiquement stable. 1 a=0.5 x eq = x(k+1) x(k)

64 Cours de modélisation et simulation p. 64/77 a = 1 Si a = 1 puisque f (0) = a = 1 et f (0) = 2a < 0, l équilibre x (1) = 0 est supérieurement asymptotiquement stable. 1 a=1 x eq = x(k+1) x(k)

65 Cours de modélisation et simulation p. 65/77 a > 1 Si 1 < a 4 nous avons deux points fixes: x (1) = 0 et x (2) = (a 1)/a. Puisque f (0) = a > 1 le point x (1) = 0 est instable. Puisque f ( x (2) ) = 2 a l équilibre x (2) est asymptotiquement stable pour 1 < a < 3. Pour a = 3, nous avons f ( x (2) ) = 1, f ( x (2) ) = 2a = 6, f ( x (2) ) = 0. Puisque 2f ( x (2) ) + 3 ( f ( x (2) )) 2 > 0 alors x (2) est localement asymptotiquement stable. L équilibre x (2) devient instable pour 3 < a 4.

66 a = a=1.5 x eq =0 x eq = x(k+1) x(k) 1 a=1.5 x eq =0 x eq = x(k+1) x(k) Cours de modélisation et simulation p. 66/77

67 Cours de modélisation et simulation p. 67/77 a = 3 L équilibre x (2) est localement asymptotiquement stable pour a = 3. 1 a=3 x eq =0 x eq = x(k+1) x(k)

68 Cours de modélisation et simulation p. 68/77 a = 3.3 < x(k+1) a=3.3 x eq =0 x eq = x(k) x(k) k Un cycle stable et attracteur d ordre 2 apparait.

69 Cours de modélisation et simulation p. 69/77 3 < a 4 Si 3 < a 4, un cycle de période 2 apparaît. Ceci est vérifié par le fait que f 2 = a 2 x(1 x)(1 ax(1 x)) = x ( x x a 1 ) ( a 3 x 2 + (a 2 + a 3 )x (a 2 + a)) = 0 a a quatre solution distinctes: x (1), x (2) et deux solutions additionnelles β = a (a 3)(a + 1) 2a Si 3 < a le cycle est stable et attractif, γ = a + 1 (a 3)(a + 1) 2a Si a > le comportement devient beaucoup plus complexe. Le cycle n est plus stable et un cycle d ordre 4 apparaît. A partir de ces valeurs on assiste à un doublement de l ordre de la période jusqu à a = quand le système devient chaotique.

70 Cours de modélisation et simulation p. 70/77 a = 3.5 > x(k+1) a=3.5 x eq =0 x eq = x(k) x(k) k Un cycle stable et attracteur d ordre 4 apparait.

71 Cours de modélisation et simulation p. 71/77 a = 3.57 > x(k+1) a=3.57 x eq =0 x eq = x(k) x(k) k Un comportement chaotique apparait

72 Cours de modélisation et simulation p. 72/77 Valeurs de bifurcation Notons par a 1 = 3, a 2 = , a 3 = , a 4 = ,...,a = les valeurs de a telles que le système a une orbite stable de periode 2 n si a n < a a n+1. Feigenbaum a montré que lim n a n a n 1 a n+1 a n = est une constante connue comme la constante de Feigenbaum. Il s agit d une grandeur universelle comme le nombre e ou le nombre π; en effet, elle possède la propriété d être valable pour de nombreuses fonctions. Il est intéressant remarquer que des phénomènes de cascade de doublement du période avec le même comportement asymptotique ont été détecté dans d autres systèmes dynamiques aussi.

73 Cours de modélisation et simulation p. 73/77 Diagramme de bifurcation 1 Bifurcation digram

74 Cours de modélisation et simulation p. 74/77 Système chaotique Notons que à la différence du cas continu, un système à temps discret peut être chaotique aussi pour n = 1 ou n = 2. Définition. Un système discret {f, I} est appelé chaotique si chaque intervalle (a, b) I contient au moins un point qui appartient à un cycle pour chaque x, y I et pour chaque ǫ > 0 il existe un z I et un k N telles que z x < ǫ, f k (z) y < ǫ Ceci signifie que une fois définis deux intervalles n importe comment petits, dans chacun il y a une trajectoire qui passe dans l autre le système est sensitive aux conditions initiales, c.-à-d. il existe δ > 0 tel que pour chaque x I et ǫ > 0, ils existent z I, k N telles que z x < ǫ, f k (z) f k (x) > δ La troisième propriété signifie que des petites erreurs dans la mesure de x peuvent entraîner des grandes différences entre la valeur calculée et la vraie valeur

75 Exposant de Liapounov Une manière pour quantifier la taux de chaoticité d un système est estimer l exposant de Liapounov. Soit x(n) + δ(n) = f N (x(0) + δ(0)). Après N étapes la perturbation initiale est amplifiée d un facteur δ(n) δ(0) = δ(n) δ(n 1) δ(n 1) δ(n 2) δ(1) δ(0) Le logarithme du facteur d amplification est donc ln δ(n) δ(0) N 1 = ln L exposant de Liapounov est défini par k=0 δ(k + 1) δ(k) L = lim N 1 N N 1 k=0 ln δ(k + 1) δ(k) et il représente le taux moyen de divergence par itération. Cours de modélisation et simulation p. 75/77

76 Cours de modélisation et simulation p. 76/77 Puisque δ(k + 1) f ( x)δ(k) Exposant de Liapounov L lim N 1 N N 1 k=0 ln f (x(k)) Un système est défini chaotique si son exposant de Liapounov est positif L > 0 δ(n) δ(0) > 1 L erreur infinitésimale du début ira donc en augmentant. Le système sera dans ce cas sensible aux très petites variations de sa condition initiale. Si au contraire l exposant de Lyapunov est négatif, l erreur infinitésimale du début ira en diminuant. L erreur initiale n aura dans ce cas aucun effet à long terme.

77 Cours de modélisation et simulation p. 77/77 Exposant de Liapounov et éq. logistique Voici quelques estimations de l exposant de Liapounov obtenues de manière numérique pour des valeurs differentes de a dans l équation logistique: a ˆL