Moment cinétique d un point matériel

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1 Le moment cinétique et le théorème qui lui est associé sont aux systèmes en rotation ce que le PFD est aux systèmes en translation. Ces notions sont donc d une importance capitale dans l étude des machines en rotation. Nous commencerons par étudier le moment cinétique d un point matériel, puis celui d un solide en rotation autour d un axe. Nous verrons par ailleurs dans le chapitre suivant que les propriétés du moment cinétique en font un outil de choix dans l étude des mouvements soumis des forces centrales. I Moment cinétique d un point matériel I.1 Moment cinétique d un point matériel par rapport à un point Dans le référentiel (R), on appelle moment cinétique du point matériel M (de masse m) par rapport à A le vecteur : σ A (M) (R) = AM p(m) (R) = AM m v(m) (R) Remarques : σ A (M) (R) dépend du point d application A. En effet, soit A A. On a : σ A (M) (R) = A M p(m) (R) = ( A A + AM) p(m) (R) = A A p(m) (R) + AM p(m) (R) d où σ A (M) (R) = A A p(m) (R) + σ A (M) (R) le moment cinétique est une propriété du mouvement, il est donc relié à la cinématique, il caractérise le mouvement, comme la vitesse ou la position. Propriétés : la norme du moment cinétique est d autant plus grande que : la vitesse est grande, le point M est éloigné du point A. le moment cinétique est perpendiculaire au plan défini par AM et v. Exemple d un mouvement circulaire uniforme autour du point O Un point matériel en mouvement circulaire uniforme a pour vitesse, en coordonnées cylindriques v = Rω u θ. Comme il est en mouvement circulaire autour de O, le moment cinétique par rapport à O semble d intérêt particulier : σ O = OM m v = R u r mrω u θ = mr 2 ω u z Il est donc constant dans le cas de ce mouvement, ce qui justifie à posteriori son calcul et son intérêt. 1

2 I.2 Moment cinétique d un point matériel par rapport à un axe orienté Soit un axe orienté par un vecteur unitaire u et A un point de. Dans le référentiel (R), on appelle moment cinétique de M par rapport à la projection de σ A (M) (R) sur soit : σ (M) (R) = σ A (M) (R) u Remarques : σ (M) est un scalaire algébrique (> 0 ou < 0) σ (M) ne dépend pas du point A choisi sur l axe. En effet, soit A A appartenant à l axe, on a σ (M) = σ A (M) (R) u = ( A A p(m) (R) + σ A (M) (R) ) u = ( A A p(m) (R) ) u + σ A (M) (R) u = 0 + σ (M) σ (M) > 0 si M a tendance à tourner autour de dans le sens direct, le sens direct étant défini grâce à l orientation du vecteur u. II II.1 Moment d une force Moment d une force par rapport à un point Soit une force F (M) s appliquant sur un le point matériel M. On appelle moment de F (M) par rapport à un point A le vecteur : Remarques : M A ( F (M)) = AM F (M) M A ( F (M)) dépend du point d application A, ce qui se démontre avec le même cheminement que pour le moment cinétique, donc M A ( F (M)) = A A F (M) + M A ( F (M)) le moment d une force est un élément lié à la dynamique du mouvement, au même titre que les forces. Exemple : Moment en O de la force gravitationnelle, avec schéma. 2

3 Propriété importante pour la suite : de ces forces. Démonstration : Soit F (M) = i f i (M) alors : Le moment d un somme de forces est la somme des moments M A ( F (M)) = AM F (M) = AM i f i (M) = i AM f i (M) = i M A ( f i (M)) II.2 Moment d une force par rapport à un axe orienté Soit un axe orienté par un vecteur unitaire u et A un point de. On appelle moment de la force F (M) par rapport à la projection de MA ( F (M)) sur soit : M ( F (M)) = M A ( F (M)) u Remarques : C est un scalaire algébrique. Le moment d un force par rapport à un axe ne dépend pas du point A choisi sur cet axe mais dépend du sens d orientation u de l axe (mêmes démonstrations que pour le moment cinétique). M ( F (M)) > 0 si F (M) tend à faire tourner M autour de dans le sens direct (défini par u). II.3 Cas particuliers Force dont le support est parallèle à l axe La force est alors colinéaire à, donc M A ( F ) F (M) d où M A ( F ) u d où M ( F (M)) = 0 Force dont le support coupe l axe M ( F (M)) = M A ( F ) u mais M A ( F ) = AM F = 0 car AM est colinéaire à F d où M ( F (M)) = 0. Force dont le support est orthogonal à l axe (sans couper l axe) Si l on décompose la force F en deux termes : F // (parallèle à l axe) et F orthogonal à l axe, alors seul le terme F intervient dans le moment de la force par rapport à l axe, impliquant alors la distance d = HM (où H est le projeté orthogonal de M sur ) appelée bras de levier. On a alors M ( F (M)) = ±df 3

4 Le signe dépend de si la force tend à faire tourner le point M dans le sens direct ou indirect (défini par l orientation de l axe) F peut éventuellement couper l axe. Si c est le cas, alors le bras de levier est nul et M ( F (M)) = 0. M ( F // ) est nul car cette composante de la force ne tend pas à faire tourner M autour de. III III.1 Théorème du moment cinétique (TMC) Théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe Soit un référentiel (R) galiléen, A un point fixe dans (R) et M un point matériel de masse m. La dérivée par rapport au temps, dans (R) du moment cinétique dans (R) de M par rapport à A est égale au moment résultant des forces qui s exercent sur M par rapport au point A. Mathématiquement : ( d ) σ A (M) (R) (R) = M A ( F ext (M)) Démonstration On a : d σ A (M) = m d ( AM v(m)) = m d AM v(m) + m AM d v(m) Or d AM = d AO + d OM = v(a) + v(m). Comme A est fixe dans (R), on a v(a) = 0 d où d σ A (M) = m v(m) v(m) + m AM d v(m) = m AM d v(m) D après le PFD appliqué en référentiel galiléen, on a m d v(m) = m a(m) = F ext d où finalement : d σ A (M) = AM F ext = M A ( F ext ) III.2 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe orienté Soit un référentiel (R) galiléen, un axe fixe dans (R) et M un point matériel de masse m. La dérivée par rapport au temps, dans (R) du moment cinétique dans (R) de M par rapport à est égale au moment résultant des forces qui s exercent sur M par rapport à l axe. Mathématiquement : ( ) dσ (M) (R) (R) = M ( F ext (M)) 4

5 Démonstration Soit A un point de. On a dσ (M) (R) = d ( σ A (M) (R) u) = d σ A (M) (R) u + σ A (M) (R) d u Comme est fixe dans (R), on a d u = 0 et d après le théorème du moment cinétique par rapport au point A, on a d σ A (M) (R) = M A ( F ext ) soit : dσ (M) (R) = M A ( F ext ) u = M ( F ext (M)) III.3 Exemple : le pendule simple Faire un schéma puis retrouver l équation du mouvement d un pendule simple grâce au théorème du moment cinétique par rapport à un point judicieusement choisi. Indication : de même que lorsque l on applique le PFD on cherche à projeter de façon à "faire disparaître" les forces inconnues, on cherchera ici un point tel que le moment des forces inconnues par rapport à ce point soit nul, de sorte que ces forces n apparaissent plus dans l équation du mouvement. 5

6 IV Moment cinétique des solides en rotation Dans toute la suite, on considère une solide indéformable en rotation autour d un axe (Oz) noté. IV.1 Moment d inertie Du point au solide Soit un solide constitué d un ensemble de points matériels M de masse m, en rotation autour de l axe porté par u z à la vitesse angulaire ω(t) = θ(t). On note r = HM la distance à l axe du point M (constante car le solide est indéformable). Exprimons le moment cinétique du point matériel par rapport à : σ (M) = ( OM m v) u z = ( HM m v) u z = (r u r mrω u θ ) u z = mr 2 ω u z u z ce qui donne une expression relativement simple pour le moment cinétique σ (M) = mr 2 ω Si l on généralise à un système de n points de masse m i situés à la distance r i, on a σ (solide) = ω n m i ri 2 Pour un solide continu, constitué non pas de points discrets mais d un volume continu, on peut imaginer "découper" ce solide en une infinité de petits volumes, centrés en différents points M, de masses dm situés à une distance r(m) de l axe, chacun se comportant comme un point. On peut alors exprimer le moment cinétique de ce solide par rapport à l axe sous forme d une intégrale i=1 σ (solide) = ω r 2 dm V On note alors J le moment d inertie du solide par rapport à tel que σ (solide) = J ω Il ne dépend que de la géométrie du solide (forme et répartition de la masse volumique). Son calcul n est pas au programme (ou alors pour des cas extrêmement simples) et il sera toujours fourni par l énoncé. IV.2 Moment des forces s exerçant sur un solide Notion de couple Un couple est un ensemble de forces d exerçant sur un solide dont la résultante est nulle mais dont le moment par rapport à est non nul. Par abus de langage, on appelle alors "couple" (noté Γ ou C) le moment par rapport à de cet ensemble de forces : Γ = M ( F ext ) 6

7 Étant donné que F couple = F 1 + F 2 = 0, la loi de la quantité de mouvement pour un solide uniquement soumis à ce couple s écrit m a G = 0, ce qui équivaut à v G = cte. Un couple de force ne permet donc pas de translater un solide mais uniquement de le mettre en rotation. Liaison pivot Dans le cas général, lorsqu un solide est en rotation autour d un axe, il existe un dispositif mécanique permettant au solide de rester lié à l axe. On appelle liaison pivot un mécanisme ne laissant un solide qu un seul degré de liberté autour d un axe. S il n y a pas de frottement, la force extérieure exercée par le bâti sur le solide est uniquement constituée de la réaction normale du bâti sur le solide en tout point du bâti : son moment est nul. On dit qu une liaison pivot est parfaite si M = 0 Une liaison pivot non parfaite exerce un couple de frottement dont le moment par rapport à l axe de rotation est de signe opposé au sens de rotation. L expression, s il est utile, sera donnée dans l énoncé. Règle du calcul du moment d une force Le moment d une force qui s exerce sur un solide est en général la résultante des moments des forces qui s exercent sur toutes les parties du solide. On retiendra la règle suivante : Le moment d une force est calculé au point d application de la force. IV.3 Théorème du moment cinétique par rapport à On a vu que pour un solide en rotation autour d un axe à la vitesse angulaire θ = ω, on a σ = J ω Ainsi, en référentiel galiléen, le TMC s écrit : dσ = J = M ( F ext J a le même rôle que la masse dans l équation m a G = F ext. Pour une même force, si m 1 < m 2, alors a 1 > a 2 (la masse s oppose aux variations de la vitesse). De même, si J 1 < J 2, alors 1 < 2 : le moment d inertie s oppose aux variations de la vitesse angulaire ω. 7

8 Application 1 : Étude des machines tournantes constante ω est composée de deux parties : Une machine tournante qui tourne à la vitesse le rotor, partie tournante du moteur, lié à la partie utile (les pales d un hélicoptère par exemple) le stator, partie fixe du moteur, qui entraine le rotor. En régime permanent, le couple exercé par le stator sur le rotor compense le couple de frottements exercé par la partie utile sur le rotor. 8

9 IV.4 Étude du pendule pesant On considère une tige de masse m et de longueur l uniforme, en rotation autour de l axe Oy grâce à une liaison pivot parfaite. On repère la position de la tige par l axe θ qu elle fait avec la verticale et on donne son moment d inertie par rapport à cet axe J =Oy = 1 3 ml2 On applique le TMC : J = M ( P ) puisque la liaison pivot est parfaite. Le poids étant perpendiculaire à l axe Oy, le moment du poids vaut simplement M ( P ) = mgd = mg l 2 sin θ puisque le poids s applique au centre de gravité, situé au milieu de la barre. On a donc ce qui donne comme équation différentielle J + mg l 2 sin θ = 0 d 2 θ 2 + mgl sin θ = 0 2J qui est une équation analogue à celle du pendule simple. Elle se résout donc avec les mêmes outils : petites oscillations, méthodes numériques et portrait de phase. Intégrale première Si on multiplie l équation précédente par θ, alors θ θ + mgl 2J sin θ θ = d ( ) θ2 + mgl d ( cos θ) = 0 2 2J soit en réarrangeant les termes ( ) d θ2 J d ( ) mgl 2 2 cos θ = 0 Cette équation est celle de la conservation de l énergie, le premier terme correspondant à l énergie cinétique, le deuxième à l énergie potentielle de pesanteur d un solide dont le centre de gravité a pour altitude l/2 cos θ. 9

10 IV.5 Aspect énergétique Un solide en translation possède une énergie cinétique de translation E ct = 1 2 mv2 G Un solide en rotation autour d un axe possède une énergie cinétique de rotation E cr = 1 2 J ω 2 En effet, pour un système de points M i de masse m i situés à une distance r i de l axe : v i = r i ω E c = 1 2 mv2 i = 1 2 mr2 i ω 2 = 1 2 ω2 mr 2 i = 1 2 J ω 2 Théorème de l énergie cinétique pour un solide Écrivons le TMC dans le cas d un solide en rotation Comme en mécanique du point, on multiplie par ω ce qui fait apparaitre dans le membre de gauche J = M ( F ext ) J ω = M ( F ext )ω J ω = d ( ) 1 2 J ω 2 = de c Le membre de droite est alors égal à la puissance des forces. La puissance d une force de moment M est donc P ( F ) = M ω On peut aussi introduire la notion d énergie potentielle pour un solide en rotation. 10

11 Plan du cours I Moment cinétique d un point matériel I.1 Moment cinétique d un point matériel par rapport à un point I.2 Moment cinétique d un point matériel par rapport à un axe orienté II Moment d une force II.1 Moment d une force par rapport à un point II.2 Moment d une force par rapport à un axe orienté II.3 Cas particuliers III Théorème du moment cinétique (TMC) III.1 Théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe III.2 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe orienté III.3 Exemple : le pendule simple IV Moment cinétique des solides en rotation IV.1 Moment d inertie IV.2 Moment des forces s exerçant sur un solide IV.3 Théorème du moment cinétique par rapport à IV.4 Étude du pendule pesant IV.5 Aspect énergétique 11