Université Hassan II, Casablanca 2015/2016 Faculté des Sciences Ain Chock, Département de Mathématiques et Informatique. SERIE 2 (Correction)

Transcription

1 Université Hassan II Casablanca 05/06 Faculté des Sciences Ain Chock SMPC Département de Mathématiques Algèbre I et Informatique SERIE (Correction Exercice Deux vecteurs u (x y et v (x y sont colinéaires k 0 tel que u k v det( u v 0 a u ( et v ( alors u i j et v i + j u ( i + j v Donc u (x y et v (x y sont colinéaires Autre méthode: On a det( u v ( ( 0 Donc u (x y et v (x y sont colinéaires b u ( et v ( 5 : det( u v Donc u (x y et v (x y ne sont pas colinéaire Les bases suivantes sont-elles orthogonales? orthonormales? a u ( v ( : On a < u v > + 0 donc u v} n'est pas une famille orthogonale b u ( v ( : < u v > + 0 donc u v} est orthogonale u v u v} est orthonormale Exercice Soient les points A( B(7 C( et D(0 dans un repère (0 i j Deux droites (AB et (CD sont parallèles si et seulement si les vecteurs ( ( ( AB et CD sont colinéaires Les coordonnées de x B x A 7 ( 8 AB : y B y A ( ( ( Les coordonnées de x D x C 0 CD : y D y C Calculons le déterminant des vecteurs AB et CD det( 8 AB CD 8 ( ( 0 Donc les vecteurs AB et CD sont colinéaires il en résulte que les droites (AB et (CD sont parallèles Rq: On peut remarquer que AB CD

2 Soit u ( v ( On sait que et donc ( u v arccos π 6 cos( u v < u v > u v La surface S du parallélogramme formée sur u et v est : S u v sin π 6 ou S det( u v ( Exercice La droite D passant par A( et derigée par u ( est l'ensemble: donc D M IR AM et u sont colinéaires} M(x y D α IR tel que AM α u ( ( x α IR tel que α y + x + α y + α C'est l'équation paramétrique de la droite D On a x + α et y + α donc ce qui implique que et donc x α et y + x y + x y 0 n'est autre que l'équation cartésienne de la droite D La droite D passant par A( et ayant comme vecteur normal n ( est l'ensemble: α D M IR < AM u > 0} donc M(x y D < ( x y + ( (x + (y + 0 x + y 0 > 0 C'est l'équation cartésienne de la droite D n ( est le vecteur normal donc u ( est le vecteur qui dérige la droite D Donc D M IR AM et u sont colinéaires}

3 donc M(x y D α IR tel que AM α u ( ( x α IR tel que α y + x α y + α C'est l'équation paramétrique de la droite D Exercice La deuxième équation nous donne t y en remplaç dans la première on trouve x + y Une équation cartésienne est donc On a (x y D x + y 5 0 x y + y y Une représentation paramétrique de D est donc x t + y t Si (x y désignent les coordonnées cartésiennes et (r θ désignent les coordonnées polaire on a x r cos θ et y r sin θ donc l'équation cartésienne devient en polaire r cos θ r sin θ r cos θ sin θ La droite a pour équation r cos θ + r sin θ soit x + y Un vecteur directeur est donc le vecteur u ( on a cos( u i < u i > u i L'angle cherché est donc arccos π 6 mod π Exercice 5 On commence par déterminer l'équation de la droite (AB Le point M(x y est élément de (AB ssi det( AB AM 0 (y + (x + 0 x + y 0 On détermine ensuite l'équation de la perpendiculaire à (AB passant par C Le point M(x y appartient à cette droite ssi < AB CM > 0 (x (y 0

4 x y + 0 Le point H est le point d'intersection de ces deux droites On résoud le système x + y 0 x y + 0 et on trouve H( 5 5 Exercice 6 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal on considère les points A( et B( Soit M(x y un point du plan Il appartient à la droite (AB si et seulement si det( AM AB 0 ce qui donne une équation cartésienne de la droite (AB : (AB : 5x + y + 0 Avec la formule du cours d(c (AB Comme n (5 est normal à (AB il dirige (CH et une équation paramétrique de (CH est (CH : x + 5t y + t Les coordonnées de H sont solutions du système : x + 5t y + t 5x + y + 0 On trouve t 9/ x / et y 7/ Donc H( 7 Il sut de calculer la norme de CH ( 5 7 on trouve CH 8 9 Exercice 7 On a e ( et e ( on applique les formules de changement de repère Si (x y sont les coordonnées de M dans le repère R on a ( ( Ainsi Exercice 8 x y M H ( 0 + x y 0 + x + y x y ( x + y (x y (x + y x y y x Si T A est une tangente à C de centre Ω passant par A et si M est le point de contact alors (ΩM (AM ainsi M est sur le cercle de diamètre [ΩA]

5 a Le centre de C à pour coordonnés Ω( 0 Le centre de diamtre [ΩA] a pour équation ( ( < ΩM AM > 0 < > 0 x y x y x + y x y + 0 Les points de contacts des tangentes issues de A ont pour coordonnées les solutions du système x + y x x + y x y + 0 x + y x x y ( y y ( y x y y 6 5 y 5 0 x y On obtient deux solutions M ( 5 5 et M ( qui donnent deux tangentes: x T M : 5 y 5 5 x y T M : x 6 5 y 5 T M : x y 77 5 x + 5 y T M : x y 6 b Le centre de C à pour coordonnés Ω( L'équation du cercle de diamtre [A Ω] est donc ( ( < ΩM AM > 0 < > 0 x y x y x + y x y 0 Les points de contacts des tangentes issues de A ont pour coordonnées les solutions du système x + y x y 0 x + y x y 0 x + y x y 0 x + y + 0 ( y + y ( y 0 x y y + y x y n'a pas de solution (l'équation y + y + 0 a pour racines ± i Rq: Le point A est à l'intérieur de C il n'y a pas de tangente à C issue de A 5

6 Exercice 9 On considère le cercle d'équation C : x + y + x 6y 7 0 et la droite d'équation D : 5x + y 0 Le cercle C a pour centre Ω( et pour rayon R 0 Le diamètre passe par Ω et celui recherché ne peut être verticale car il est perpendiculaire à D Il a donc pour équation cartésienne y m(x + c'est-à-dire D m : mx y + ( + m 0 Un vecteur normal à D m est n m (m et un vecteur normal à D est n (5 Pour que les deux droites soient perpendiculaires il faut et il sut que < n m n > 0 c'est-à-dire m 5 l'équation du diamètre : x 5y On trouve donc Exercice 0 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé on considère deux points A( et B( On trouve D : x + y 0 L'équation cartésienne réduite du cercle est (x + (y 5 C'est donc le cercle de centre Ω( 5 et de rayon La distance du centre Ω à la droite (AB est donnée par : d(ω D La distance du cercle à la droite est donc d(d C d(ω D R 7 6