TS1 - Contrôle n 6 de mathématiques

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1 TS1 - Conrôle n 6 de mahémaiques Eercice 1 Le plan es rapporé à un repère orhogonal (O ; i ; j ). 1) Eude d'une foncion f On considère la foncion f définie sur l'inervalle ]0 ; + [ par f() = ln ( ) i ; On noe c f la courbe représenaive de la foncion f dans le repère (O ; La courbe c f es représenée en annee 1. a) Déerminer les limies de la foncion f en 0 e en +. b) Eudier les variaions de la foncion f sur ]0 ; + [ e dresser son ableau de variaion. ) Eude d'une foncion g On considère la foncion g définie sur l'inervalle ]0 ; + [ par g() = On noe c g la courbe représenaive de la foncion g dans le repère (O ; a) Déerminer la limie de g en 0. ( ( )) ln ( ) ln j ). ( ln ( ) ) i ; b) Jusifier l'égalié: = 4 c) En déduire la limie de g en +. ln ( ) ln ( ) d) Monrer que g'() = pour ou ]0 ; + [ e) Eudier le signe de g'() e dresser le ableau de variaion de la foncion g sur ]0 ; + [ 3) a) Démonrer que les courbes c f e c g possèden deu poins communs don on précisera les coordonnées. b) Tracer la courbe c g sur le graphique de l'annee 1. Eercice L'espace es rapporé à un repère orhonormé (O ; i ; j ; k ). On considère la droie D passan par le poin A de coordonnées (3; 4; 1) e don un veceur direceur es u (1; 3; 1). = 1 On considère la droie D' don une représenaion paramérique es: y = + ( Y) z = 1 On adme qu'il eise une unique droie perpendiculaire au droies D e D'. On se propose de déerminer une représenaion paramérique de cee droie e de calculer la disance enre les droies D e D', disance qui sera définie à la quesion 5). On noe H le poin d'inersecion des droies D e, H' le poin d'inersecion des droies D' e. On appelle P le plan conenan la droie D e la droie. On adme que le plan P e la droie D' son sécans en H'. Une figure es donnée en annee. j ).

2 1) On considère le veceur w de coordonnées (1; 0; 1). Démonrer que w es un veceur direceur de la droie. ) Soi n le veceur de coordonnées (3; ; 3). a) Démonrer que le veceur n es normal au plan P. b) Déerminer une équaion carésienne du plan P. 3) a) Démonrer que le poin H' a pour coordonnées ( 1; ; 1). b) En déduire une représenaion paramérique de la droie. 4) a) Déerminer les coordonnées du poin H. b) Calculer la longueur HH'. 5) L'objecif de cee quesion es de monrer que, pour ou poin M apparenan à D e ou poin M' apparenan à D', MM' HH'. a) Soi v = MH + H'M'. Monrer que v es orhogonal à HH' b) Jusifier que MM' = HH' + v. c) En déduire que MM ' HH ' e conclure. La longueur HH' réalise donc le minimum des disances enre un poin de D e un poin de D'. On l'appelle disance enre les droies D e D'. Eercice 3 Résoudre dans Y l'inéquaion suivane: ln( 3) + ln( 5) ln(30) ln() Annee

3 Annee 1 c f

4 Eercice 1 TS1 - Correcion du conrôle n 6 de mahémaiques 1) a) Limie en 0 lim ln() = e > 0 0 lim > 0 0 Limie en + D'après le cours, on sai que = 0 + donc, par quoien, lim f() = 0 + lim > 0 0 f() = b) On pose: u() = ln() u'() = 1 v() = v'() = 1 f es de la forme u v donc f es de la forme u 'v uv' v 1 1 ln ( ) d'où f () = 1 ln ( ) = > 0 pour ou > 0 donc f () es du même signe que son numéraeur. On résou l'inéquaion: 1 ln() 0 ln() 1 ln() 1 e D'où le ableau suivan: 0 e + signe de f () + 0 variaion de f 1 e ) a) On a démonré dans la quesion précédene que De plus, on sai que b) g() = g() = lim > 0 0 ( ln ( ln )) ( ) ( ( )) ( ) 0 lim ln ( ) > 0 0 ln() = donc, par produi, ( ) = car > 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ln 4 ln = = ln 4 ( ) lim > 0 0 = g() = + On a bien jusifié l'égalié: g() = ln 4 ( )

5 c) lim + = + e lim + De plus, la foncion ln ( ) = 0 donc, par composiion, es coninue en 0 donc Finalemen, par produi, on en dédui que lim + lim g() = 0 + ln lim + ( ) d) On pose: u() = ( ln ( )) u'() = 1 ln() ln ( ) = 0 = 0 = 0 v() = v'() = 1 g es de la forme u v donc g es de la forme u 'v uv' v ln ( ) 1 ( ln ( ) ) ln ( ) ( ln ( ) ) ln ( ) ln ( ) d'où g'() = = = ln ( ) ln ( ) On a bien monré que g'() = e) > 0 pour ou > 0 donc g'() es du signe de son numéraeur: On résou l'inéquaion: ln() 0 ln() ln() e On en dédui le ableau suivan: 0 1 e signe de ln() signe de ln() signe de g'() variaion de g 4 + e ) a) On résou l'équaion f() = g() sur ]0 ; + [. Cee équaion équivau à: ( ) ( ) ln ( ) ln = ln() = ( ln ( )) car 0 ln() ( ln ( )) = 0 ln ( ) 1 ln ( ) ln() = 0 ou 1 ln() = 0 = 1 ou ln() = 1 = 1 ou = e L'équaion f() = g() a deu soluions, cela signifie que les courbes c f e c g on deu poins d'inersecion A e B d'abscisses respecives 1 e e.

6 1 1 Les coordonnées de A son donc = f ( 1 ) 0 b) voir annee 1 Eercice e les coordonnées de B son e e = 1 f ( e) e 1) w. u = ( 3) + ( 1) 1 = 1 1 = 0 On en dédui que w e u son deu veceurs orhogonau. Soi u' un veceur direceur de la droie D'. 1 u' 1 1 w. u' = 1 ( 1) ( 1) ( 1) = = 0 On en dédui que w e u' son deu veceurs orhogonau. w es donc orhogonal au veceurs direceurs des droies D e D': Comme il eise une unique droie perpendiculaire au droies D e D', on peu donc conclure que w es bien un veceur direceur de la droie. ) a) P conien la droie D e la droie donc les veceurs (ces deu veceurs son orhogonau donc non colinéaires). n. u = ( 3) = = 0 n. w = ( 1) = 3 3 = 0 n es orhogonal à deu veceurs direceurs du plan P donc u e w son des veceurs direceurs du plan P n es un veceur normal au plan P. b) n es un veceur normal au plan P donc une équaion de P es 3 + y + 3z + d = 0 P conien la droie D e le poin A apparien à la droie D donc le poin A apparien à P: Ses coordonnées vérifien donc l'équaion de P Par conséquen, 3 A + y A + 3 z A + d = ( 4) d = d = 0 d = 4 Une équaion carésienne du plan P es: 3 + y + 3z 4 = 0 3) a) Méhode 1: P e D' son sécans en H' donc on résou le sysème suivan pour calculer les coordonnées de H': 3 + y + 3z 4 = 0 3( 1 ) + ( + ) + 3( 1 ) 4 = 0 = 1 = 1 y = + y = + z = 1 z = 1

7 = 0 = 1 y = + z = 1 4 = 0 = 1 y = + z = 1 = 0 = 1 y = z = 1 1 Les coordonnées de H' son donc 1 Méhode : 3 ( 1) = = 0 Les coordonnées ( 1; ; 1) vérifien l'équaion de P. = 1 Une représenaion paramérique de la droie D' es y = + donc la droie D' passe par le poin de z = 1 1 coordonnées (en prenan = 0) 1 Par conséquen, comme H' es l'inersecion du plan P e de la droie D', on en dédui que les coordonnées ( 1; ; 1) son bien celles du poin H'. b) H' de coordonnées ( 1; ; 1) apparien à la droie de veceur direceur w(1; 0; 1). = 1+ ' On en dédui donc une représenaion paramérique de la droie : y = ' Y z = 1 ' 4) a) D es la droie qui passe par le poin A(3; 4; 1) e de veceur direceur = 3 + k représenaion paramérique de la droie D es: y = 4 3k k Y z = 1 + k u (1; 3; 1) donc une H es le poin d'inersecion de la droie D e de la droie donc on résou le sysème suivan: 1+ ' = 3 + k ' = 4 + k ' = = 4 3k k = k = 1 ' = 1 + k ' = k ' = En remplaçan ' par dans les équaions paramériques de la droie, on obien les coordonnées de H qui 1 son égales à b) HH' = 0 1 ( 1 ) donc HH' = ( ) = 8 =

8 5) a) v. HH' = ( MH + H'M'). HH' = MH. HH' + H'M'. HH' (MH) es la droie D (HH') es la droie Ces deu droies son perpendiculaires donc MH. HH' = 0 De même, (H'M') es la droie D' D' e son perpendiculaires donc H'M'. HH' = 0 Par conséquen, v. HH' = 0, ce qui prouve bien que les veceurs v e HH' son orhogonau. b) MM' = MH + HH' + H'M' = On a bien jusifié que v + HH' MM' = v + HH' MM ' = MM ' = HH ' + v = HH ' + HH '.v + v c) ( ) car HH'. v = 0 ( HH' e v éan orhogonau) Par conséquen, comme v 0, on en dédui que = HH ' v = HH ' + v MM ' HH ' comme MM' e HH' son deu nombres posiifs, on en dédui finalemen que MM' HH'. Eercice 3 Soi (E) l'inéquaion: ln( 3) + ln( 5) ln(30) ln() L'inéquaion (E) n'a de sens que si: 3 > 0 e 5 > 0 > 3 e > 5 Donc, pour ]5 ; + [, l'inéquaion (E) équivau à: 30 ln ( 3)( 5) ln ( )( ) ( ) ln 3 5 ln 15 ( 3)( 5) ( 8) 0 D'où le ableau suivan: s = [8 ; + [ signe de ( 8) 0 +, c'es à dire MM' HH' e

9 Annee 1 c g B c f A