Exercices 2 nde 3. Exercices 2nde 3 Géométrie analytique. Exercice 1

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1 Exercices nde 3 Géométrie analytique Exercice 1 Lespoints Aet Bsont tels que A( ; 1) et B(5 ; 3). 1. Calculerles coordonnées du point M tel que Asoit le milieu du segment [BM].. Calculerles coordonnées du point N,symétrique de AparrapportàB. 3. Démontrer que [AB] et [MN] ont même milieu. Exercice Lespoints Aet Bsont tels que A( 5 ; ) et B( 1 ; ). 1. Calculerles coordonnées du point M tel que Asoit le milieu du segment [BM].. Calculerles coordonnées du point N,symétrique de AparrapportàB. 3. Démontrer que [AB] et [MN] ont même milieu. Exercice 3 (O; i, j ) estunrepèreorthonormal. 1. Placerles points E(5 ; 1), F(3 ; ) et G( ; 1).. Calculer les distances EF, EG et FG. 3. Quelle est la naturedu triangle EFG? Exercice 4 (O; i, j ) est unrepèreorthonormal. 1. Placerles points E( ; 1), F(4 ; 1) et G( 1 ; 6).. Calculer les distances EF, EG et FG. 3. Quelle est la naturedu triangle EFG? Exercice 5 Placer les points suivants : A(5 ; 1) B(4 ; 1) C( ; ) D( 1 ; 4). Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. Exercice 6 Ontravailledansunrepèreorthonormal (O; i, j ). Letriangle RST est défini parlespoints R(1 ; ), S(6 ; 0) et T( ; 5).. Placerle point Gcentrede gravitédutriangle RST. 3. Calculer les coordonnées du point G. Page1sur6

2 Exercice 7 Placer les points suivants : A(5 ; 1) B( 4 ; 4) C( 3 ; ) D(0 ; 3). Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze. Exercice 8 1. Placerdans unrepèreorthonormal les points A( ; 0), B(0 ; 5), C(5 ; 0) et D(0 ; ).. Donner une équationde lamédiane ( ) issue de O dans le triangle OAB. 3. Donner une équation de la droite (CD). 4. A l aide d un système, déterminer les coordonnés du point H intersection des droites ( ) et (CD). 5. Montrer que la médiane issue de O dans le triangle OAB est la hauteur issue de O dans le triangle OCD. Exercice 9 Dans unrepère (O ; i, j ),ondonne : A( 3 ; ), B(1 ; 3), C(3 ; 1) et D( 1 ; ).. Montrer que ABCD est un parallélogramme. 3. Donner une équation réduite de la droite (AC). Exercice 10 Dans unrepère (O ; i, j ),ondonne : K( 3 ; ), L( ; 1) et M(1 ; 4). E est le milieu de [KL] et F estle milieu de [LM].. Déterminer par un calcul les coordonnées des points E et F. 3. Déterminer les équations cartésiennes des droites (EM) et (KF). 4. Déterminer les coordonnées du centre de gravité G du triangle KLM. Exercice Placerles points A(4 ; ), B( 1 ; 3,5) et I(3 ; ).. Construire les points C et Dtels que ABCDsoit unparallélogrammedecentre I. 3. Aprèsavoir observéque AI= IC, calculerlescoordonnées de C. 4. Aprèsavoir noté que I estle milieu de [BD], calculerles coordonnées de D. 5. ABCD est-il un rectangle? Exercice 1 Dans un repère (O ; i, j ),ondonne les points : E(5 ; 1), F(1 ; 3) et C( 3 ; 5). 1. Déterminer les coordonnées du point A milieu du segment [EF] ainsi que les coordonnées du point Bmilieu de [EC]. Pagesur6

3 . Vérifier les résultats précédents en faisant un dessin que l on complètera. 3. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AC). 4. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BF). 5. On appelle Gle centredegravitédu triangle EFC. Déterminer les coordonnées de G. Exercice 13 ABC est untrianglequelconque : A, B et C sont les milieux respectifsde [BC], [CA] et [AB]. Mest le milieu de [BC ] et Lest lesymétrique de A parrapportàb.. Déterminer les coordonnées detous les points de lafiguredans lerepère (A ; AB, AC). 3. Montrerque les points B, M et L sont alignés. Exercice 14 Dans unrepère (O ; i, j ),ondonne A( 4 ; 3), B(1 ; 1) et C( 1 ; 3). 1. Faire une figure que l on complètera par la suite.. Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. 3. Calculer les coordonnées du point I centre du parallélogramme ABCD. (On pourra le faire de deux faà ons pour vérifier la question précédente.) 4. Soit le point E( ; 1). Déterminer les coordonnées du point K intersection des droites (AB) et (CE). Vérifier sur le dessin. 5. Soit Fle point telque AF= 3 AE. a) Calculer les coordonnées de F. b) Lespoints D, Fet Bsont-ils alignés?justifier. Exercice Dans un repèreorthonormal (O; i, j ),placerles points E( 3 ; ) et F(6 ; 4).. Donner une équation réduite de la droite (EF) que l on tracera. 3. Calculer les coordonnées du milieu H du segment [EF]. 4. Montrerque le point K(9 ; 6) est sur ladroite (EF) a) en utilisant l équation réduite de (EF); b) en utilisant les vecteurs. Exercice 16 Dans unrepèreorthonormal (O; i, j ),on donne les points A( 4 ; 1), B(3 ; ) et C(5 ; 4). 1. Construire le triangle ABC.. Tracer le point G, centre de gravité du triangle ABC. 3. Calculer les coordonnées du point G. Page3sur6

4 Exercice 17 Soit (O ; i, j ) un repère du plan. On fera une figure que l on complètera au fur et à mesure de l exercice. Soit A( 3 ; 1), B(1 ; ) et C(0 ; 7). 1. Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.. Déterminer une équation de la droite (AC). 3. Déterminer les coordonnées du point E, symétrique du point D par rapport à C. 4. Déterminer les coordonnées du point F de la droite (AC) d abscisse Donner les coordonnées de I, le milieu du segment [AE]. 6. Montrerque les points D, Fet Isont alignés. Que représentelepoint Fpour letriangle ADE? 7. Donner l équation de la droite (DF). 8. La droite (DF) est-elle sécante à l axe des abscisses? Si oui, donner alors les coordonnées de G le point d intersection. Exercice 18 Dansleplanrapportéàunrepèreorthonormé (E ; i, j ),onplacelepoint Adecoordonnées (5;6), le point B de coordonnées ( 3 ; ); le point C de coordonnées (10 ; 4), puis on trace le triangle ABC.(Faire un dessin qui sera complété au cours du problème). 1. Calculerles coordonnées du point D telque BD= CA.. Prouverque lepoint M,milieu dusegment [AB]appartientàla droite (CD). 3. Trouver une équation de la droite (BC) et en déduire les coordonnées du point P, intersection de la drotie (BC) avec l axe des abscisses. 4. Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. 5. Calculer les coordonnées du centre R du cercle passant par les trois points A, B, C (ou cercle circonscrit au triangle ABC). Le point A de coordonnées ( ; 8) est-il élément de ce cercle? Pourquoi? 6. Encadrerpardeuxnaturelsconsécutifs lamesureendegrésde l angle ABC dutriangle ABC en utilisant le sinus, ou le cosinus, ou latangente decetangle. Exercice 19 Onconsidèreles points A( ; 7), B( 1 ; 1) et C(0 ; 3). Lespoints A, B et C sont-ils alignés? Exercice 0 ( 3 On considèreles points A( ; 3), B(5 ; 4), C(0 ; 1) et D ; 5 ). 1. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.. Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles? Exercice 1 Onconsidèreuntriangle ABC et les points I et J tels que : AI= 1 3 AB et AJ=3 AC. Page4sur6

5 1. Montrer, à l aide de la relation de Chasles que BJ=3 IC. Que peut-onendéduirepour les droites (BJ)et (IC)?. On seplacedans le repère (A ; AB, AC). a) Déterminer les coordonnées de l ensemble des points. b) Calculerles coordonnées desvecteurs BJ et IC. c) Retrouver les résultats de la question 1). Exercice Onconsidèrele rectangle ABCDformé despoints A( ; 1), B(5 ; 1), C(5 ; 3) et D( ; 3). Onplaceles points Met M tels que DM= DC et BM = 3 BC Déterminer les coordonnées des vecteurs AB, BC, DM et BM.. Endéduirelescoordonnées de AD, AMet AM. 3. Les points A, M et M sont-ils alignés? Exercice 3 Soit A( 1 ; 0), B( ; 1) et D(0 ; 4). 1. Déterminer une équation de la droite (AD).. Déterminer les coordonnées de I milieu de [AB]. 3. Donner une équationde ladroite (d) passantpar Bet parallèleà ladroite (DI). 4. Déterminer les coordonnées du point d intersection C des droites (d) et (AD). 5. Montrerque D estle milieu de [AC]. Exercice 4 Leplanestmuni d unrepère (O ; i, j )orthonormal. Soient les points A( 1 ; 1), B(3 ; ) et C(0 ; 5). 1. Placerles points A, Bet C dansle repèredonné.. Lireles coordonnées desvecteurs AB, AC et BC. 3. Calculer les longueurs AB, AC et BC. Déterminer la nature du triangle ABC. 4. Placerles points Det E tels que : BD= AB+ 1 1 AC et AE= AB+ AC. 5. Montrerparle calculque BD 4,5 et AE 3 3 4,5. 6. Calculer les coordonnées de D et E. 7. Placerle point F(14 ; 1) 8. Montrerque les vecteurs BF et ED sont colinéaires. Exercice 5 Leplanestmuni d unrepère (O ; i, j )orthonormal. Page5sur6

6 1. Déterminer l équation réduite de la droite ( ) passant par G(3 ; 1) et de vecteur directeur u Le point H(5 ; 4) appartient-ilàla droite ( )?Justifier. Exercice 6 Soient les points A( ; 3), B( 3 ; ) et C(4 ; ). Lebut del exerciceconsiste àplacerle point M tel que : MA+ MB= CA. 1. Placer A, Bet C.. Calculer les coordonnées du milieu I de [CB]. 3. Déterminer les coordonnées du vecteur CA. 4. On note M(x ; y),les coordonnées de M. a) Exprimerenfonctionde x et y les coordonnées de MApuis celles de MB. b) Endéduireque les coordonnées de MA+ MB sont 1 x. 5 y c) Endéduireles coordonnées de M. 5. Placer M. Répond-il à la condition posée? 6. Vérifier que lepoint M est lemilieu de [CB]. Exercice 7 Soit A(1 ; ), B( ; 3) et C(7 ; ). 1. Calculer les coordonnées du milieu I de [BC].. Soit G le centredegravitédu triangle ABC. a) Recopier et compléter : AG= AI. b) Calculer les coordonnées du point G. c) Calculerles coordonnées duvecteur GA+ GB+ GC. NB:cerésultatest vrai,pour tout triangle ABC. Page6sur6