v n diverge en tant que somme d une série convergente et d une série divergente. 1. On calcule det(a) = 2 0 donc A est inversible.

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1 Exercice (Des applicatios directes du cours - Durée coseillée : 3 mi) Ue série de Riema est ue série de terme gééral, pour α Ue série de Riema coverge si et seulemet si α > Formule de Stirlig :! π e 3 Soit A das M (K) : a, a, a, a, a, a, Det M = = ɛ(σ) σ S a, a, a, 4 Formule d iversio d ue matrice : A M (K), A t Com A = t Com A A = ( Det A)I d c 5 Il s agit de la matrice b a a σ(j),j 6 (a) VRAI : Si A et B sot semblables alors il existe ue matrice P iversible telle que B = P AP O a doc det(b) = det(p AP ) = det(p ) det(a) det(p ) = det A (car det(p )=det(p ) ) (b) FAUX : Cotre-exemple : il suffit de predre A = I et B = det(a) = det(b) = mais e sot pas semblables car rg(a)= et rg(b)= (or deux matrices semblables ot le même rag) (c) FAUX : Cotre-exemple : il suffit de choisir u = + O a alors (u ) qui coverge vers mais u diverge (d) VRAI : u coverge implique que la suite des sommes partielles (S ) défiie par S = (u ) coverge vers l l = j= (u ) coverge vers ue limite l u = S S doc (e) FAUX : Cela est vrai que si o suppose e plus la série positive Cotre-exemple : u = ( ) et v = u O remarque que v = u + o(u ) doc u v u covergete e tat que série alterée v diverge e tat que somme d ue série covergete et d ue série divergete (f) FAUX : Cela est vrai que si o suppose e plus la série positive ( ) Cotre-exemple : est covergete e tat que série alterée mais + est divergete e tat que série de Riema + La série ( ) e coverge doc pas absolumet + Exercice (Des calculs de détermiats - Durée coseillée : 45 mi) O calcule det(a) = doc A est iversible La formule d iversio doe A = t Com A = 3 det A O peut sio résoudre AX = e, AX = e, AX 3 = e 3 avec B = (e, e, e 3 ) base caoique de R 3, das ce cas A = Mat B (X, X, X 3 ) E développat suivat la première lige o trouve : D = ( )D + ( ) ( ) [ ] Puis e développat par rapport à la première coloe : D = D + D O résout l équatio caractéristique r + r = Elle a deux racies r = et r = Doc (α, β) R, N, D = α + β( ) Vu que D = et D = 3, o trouve α = 3 et β = 3 C est à dire N, D = + ( ) 3 3 (a) O utilise la multiliéarité du détermiat pour développer suivat les ère et 3ème coloes : det(k + K 3, K, K 3 K, K 4 ) = det(k, K, K 3, K 4 ) - det(k, K, K, K 4 ) + det(k 3, K, K 3, K 4 ) - det(k 3, K, K, K 4 ) Le détermiat est ue forme -liéaire alterée doc les deux termes Lycée de l Essouriau

2 cetraux sot uls et det(k 3, K, K, K 4 ) = - det(k, K, K 3, K 4 ) (traspositio etre les coloes et 3) O e déduit que det(k + K 3, K, K 3 K, K 4 ) = (b) det(k + K 3, K, K 3 K, K 4 ) = = + x x x x 3 x 3 + x x x 3 x x + x 3 x x x + x 3 x x 3 x O remarque que l o peut factoriser par (x + ) das la première coloe et par (x ) das la troisième coloe = x x 3 (x + )(x ) x x x x 3 x x x x O effectue les opératios C C C 3 et C C xc 3, puis o permute les liges L et L 3 et o obtiet : = x 3 (x + )(x ) x + x x x x + x 3 x x = x + x 3 x (x + )(x ) x + x x x x 3 x O recoait u détermiat d ue matrice par bloc doc : = (x + )(x ) ( x 4 )(( + x ) x(x 3 + x)) = (x + )(x )( x 4 )( + x )( x ) = (( + x)( x)( + x )) 3 Problème (E3A - Durée coseillée : h5) O remarque ( que (u ) est ue suite positive v = l + ) doc v est positif et v = + O doc u v La série u diverge doc d après la propriété (R) : v = = De plus v est ue somme partielle télescopique et v = l( + ) l = ( l( + ) l car l( + ) = l + l + ) = doc l = (a) Cette fois o pose u = l et v = l(l( + )) l(l()) ( ) Les suites ( (u ) et (v ) ) sot ( positives et : ) l( + ) l( + /) l( + /) v = l = l + l l l v l u De plus par télescopage : v = l(l( + )) l(l ) = La série v diverge doc et l o peut utiliser la propriété (R) (le fait que les séries soiet défiies à partir du rag e chage rie au fait que l o puisse utiliser (R)) ( ) l( + /) l(l( + )) = l(l() + l( +/)) = l(l()) + l + l l(l( + )) = l(l ) o e coclut que : = l() l(l()) (b) La somme des suites partielles de la série w est de limite ifiie doc cette série diverge (c) Il suffit de faire ue comparaiso avec itégrale Soit f la foctio défiie sur [; [ par f(x) = x l x f est cotiue, positive et décroissate sur [; [, d après le théorème de comparaiso série-itégrale, la série w coverge si, et seulemet si, dx admet ue limite fiie e x l x x l x dx = [l(l x))] ifiie e La série w est doc divergete 3 Étude de deux exemples = l(l ) l(l ) qui admet ue limite (a) O pred das cette questio : N, a = O a bie : a =, (a ) borée (par et ), N, a > = doc (a ) diverge = Lycée de l Essouriau

3 La suite (a ) aisi défiie satisfait doc à la propriété (P ) O a A = = doc b = l = = = l doc par quotiet b et lim b = (b) O pred das cette questio : N, a = O a bie : a =, (a ) borée (par et ), N, a > l doc (a ) diverge = La suite (a ) aisi défiie satisfait doc à la propriété (P ) O a A = H doc b = l H H = Posos u = H Les suites (u ) et (w ) (défiie à la questio (a) ) sot strictemet positives à partir du rag 3 Ce sot des suites équivaletes (voir questio ) de séries divergetes (questio (b) ) La propriété (R) idique que : H l Ajouter les termes d idice et e chage rie à l équivalece car les sommes sot de limite ifiies (les costates sot alors égligeables) et avec la questio (a) o a : l(l ) H l Efi l(h ) = l(l )) + l l(l ) (le secod terme, de limite H ulle, est égligeable devat le premier, de limite ifiie) O a doc fialemet : lim b = 4 O reviet au cas gééral (a) O a A = A +a Par ailleurs, A car c est ue suite croissate puisque la suite (a ) est à termes positifs et qu elle est o covergete De plus (a ) est borée doc a = o(a ) et aisi A = A + o(a ) Doc : A A A A A (b) O e déduit que et doc l = a A A A A A a Efi A A doe l A A A (c) O pose u = l qui est le terme gééral ( ) d ue suite A strictemet positive de série divergete car la suite des sommes partielles vaut u = l(a ) l(a ) l(a ) = Comme u obteir : a qui est aussi à termes positifs, o peut utiliser (R) pour A = Ces suites sot de limite ifiie et A l A = (d) L équivalece obteue ci-dessus s écrit : a a A = A diverge a A = l(a ) Ajouter le terme pour = e chage rie car les termes tedet vers Aisi lim b = 5 O va essayer d utiliser le résultat précédet pour costruire (v ) Pour cela, il ous faut ue suite vérifiat (P ) et o distigue deux cas : Si (u ) est borée, o pose a = et, a = v O a alors (a ) qui vérifie (P ) a diverge (questio 4(a)) et a = o(a ) car A A le quotiet vaut et ted vers A La suite de terme gééral v = a coviet doc A Sio, o pose w = mi (u, ) ; o a w > et w diverge (car u est régulièremet plus grade que et ue existe ue suite extraite de (w ) qui est costate égale à ce qui doe la divergece grossière de la série) Le premier cas doe ue suite v = o(u ) à termes positifs et de série divergete O a, à fortiori v = o(u ) (puisque w u ) Lycée de l Essouriau 3

4 6 O utilise pas ce qui précède pour coclure La suite (a ) vérifie la propriété (P ) doc pour x =, a diverge O e déduit que R De plus, z C, z <, o a a z M z où M est u majorat de a (M existe car la suite est borée) M z coverge e tat que série géométrique de raiso iférieure strictemet à, doc d après les critères de comparaiso de séries positives, o e déduit que la série a z coverge absolumet, doc qu elle coverge lorsque z < O e déduit que R et par coséquet que R = Problème (Extrait CCP - Durée coseillée : h3) Exemple PARTIE A - DES EXEMPLES O suppose que u (x) = ( ) x où x R (a) O recoait la série géométrique de raiso x et doc : I =] ; [ et pour x I, u = ( x)+ et doc u = + x + x (b) Soit x I, das ce cas, R (x) est bie défii e tat que reste d ue série covergete et : R (x) ( x) + = ( x) + u = ( x)+ + x Exemple =+ La série R (x) est e fait la série u (x) qui coverge si, et seulemet si, x I + x Sa somme est doc S(x) = ( ) séries alterées car alterées) + x [ ] + x u (x) = x ( + x) est la série harmoique alterée qui coverge par le critère spéciale des décroit vers (ou par le critère les séries de Riema 3 Ue expressio itégrale de R (a) Majoros I x x I = dx ( car x [, ], + x ) + x Doc I + D après le théorème des gedarmes, o e déduit que lim I = (b) O rappelle que ( ) x = ( x) (questio ) + x E itégrat cette égalité etre et, o obtiet : ( ) x dx = + x dx ( x) + x dx + x dx = [l( + ( x) x)] = l et + x dx = I O e déduit que : ( ) x dx = l I O remarque que ( ) x dx = Aisi : I = l + ( ) x dx = ( ) + ( ) = ( ) + = p= et doc : ( ) p ( ) p = p p p= (p = + ) (c) O passe à la limite quad das l égalité précédete et l o obtiet : ( ) = l + c est à dire = N : ( ) ( ) R = = 4 Coclusio =+ = = = ( ) = l ( ) = l (I l ) = I (a) Itégratio par partie : o pose u(x) = + x et v (x) = x : [ I = ( ) x + ] + ( ) x + ( + x)( + ) + ( + x) dx Lycée de l Essouriau 4

5 x + I = ( ) ( + ) + ( ) + ( + x) dx Puis ( ) x + + ( + x) dx x + dx car sur [, ], + ( + x) Doc, ( ) x + + ( + x) dx ( + )( + ) D où ( ) x + + ( + x) dx ( + )( + ) = o et alors : I = ( ) ( + ) + o soit α = et a = (b) la série R est doc covergete e tat que somme d ue série alterée covergete (car elle vérifie le critère ( spécial ) des séries alterées) et d ue série de Riema covergete (car o ) PARTIE B - UNE ÉGALITÉ SUR LES RESTES - UNE APPLICATION Égalité sur les restes Soit u ue série covergete, o a u = R R qui doe ; u = = = R = = R = Doc R u = ( + )R (+) R Applicatio à ue suite Choisissos u = ( )+ ( ) ( )+ ( ) + = u = = ( = ) ( ) ( )+ ( ) + = R = = ( ) ( )+ = R R u = = = u = R = R + La formule précédete doe R ( )+ = ( + )R, doc : = ( ) ( )+ = R R + ( + )R R = = R R ( ) ( )+ = = R 3 Applicatio à ue série à termes positifs O suppose de plus que u pour tout N (a) Si l o suppose la covergece de la série R : u = = R ( + )R R = l + o() ( α = l et β = ) R Aisi la suite des sommes partielles de la série à termes positifs u est majorée Cette série est doc covergete (b) Réciproquemet, supposos la covergece de la série u O a : ( + )R = ( + ) =+ u = =+ R ( + )u = =+ u e tat que reste d ue série covergete Doc ( + )R (c) D après B3), si R coverge alors coverge u Réciproquemet, si u coverge alors ( + )R doc : R = u + ( + )R u + = = Coclusio : R coverge si et seulemet si u coverge et das ce cas elles ot même somme R = u 4 Applicatio à la série x (x) coverge si, et seulemet si, R coverge ce qui équivaut à la coditio x > Doc D =]; x [ De plus si x D, alors R (x) = = = ξ(x ) x Lycée de l Essouriau 5