Rapport de stage Mise à plat d'un polygone

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1 Rapport de stage Mise à plat d'un polygone Stagiaire : Sejjil Olfa Tuteurs de stage: Luc BIARD et Bernard LACOLLE Laboratoire: Jean Kuntzmann (LJK) Equipe: Modélisation Géométrique & Multirésolution pour l'image (MGMI)

2 Table des matières 1-Ressentis sur le stage: Généralité sur le laboratoire: Sujet su stage et Motivation: Préliminaires: Stratégie de mise à plat: Implémentation et exemples: Le plan: Saisie: Traitement: Résultats et commentaires : Le cône : Définition d'un cône: Géodésique sur le cône Traitement Résultats et commentaires Conclusion: Bibliographie:...13

3 1-Ressentis sur le stage: Le stage d'excellence est, à mes yeux, une expérience assez riche, qui permet de découvrir le monde de la recherche et de se préparer pour les futurs stages obligatoires, il m'a aussi donné l'opportunité de voir le domaine de mes études d'un point plus haut ce qui est intéressant pour m'assurer des choix d'orientation que j'ai déjà fait et avoir une idée assez précise sur mes choix d'avenir. Il s'agit là de la seconde fois que je bénéficie de ce dispositif et malgrè le fait que j'ai fait mon stage dans le même laboratoire que l'année dernière, j'ai appris énormément de nouvelles connaissances sur le domaine de la recherche scientifique. C'est pour cela que je pense qu'il serait intéressant d'étendre le nombre d'étudiants concernés. 2-Généralité sur le laboratoire: Le laboratoire Jean Kuntzmann (ljk) est un laboratoire de recherche en mathématiques appliquées et informatiques, structuré essentiellement en trois départements: 1- Géométrie-Image 2- Le département Modèles et Algorithmes Déterministes 3- Le département Probabilités/Statistiques J'ai été acceuillie par l'équipe MGMI du département 1, qui comme son nom l'indique, est une équipe qui travaille essentiellement sur l'imagerie et la modélisation géometrique. 3-Sujet su stage et Motivation: La mise à plat d'un polygone est un problème assez classique, retrouvé à plusieurs occasions, comme par exemple pour la représentation planaire d'une carte géométrique initialement sur une surface sphérique. En effet ce problème de carte peut être assimilé à une mise à plat d'un polygone en considérant que la carte est délimitée par n cotés équivalentes chacune à un segment de droite sur le plan. Au cours de mon stage j'ai travaillé sur la mise à plat des polygones tracés sur un cône qui est un problème plus simple que celui des polygones sur une sphère parce que le cône appartient à une catégorie de surface dite développable qui est plus ou moins facile à manipuler. 4-Préliminaires: Surface développable: c'est une surface régulière isometrique à un plan et donc qui conserve les longueurs des courbes. Intuitivement, c'est une surface dont on peut obtenir un patron sur un plan sans déformation, déchirure ou boursouflure. Il s'agit là d'un travail réalisé sur des surfaces développables C 2. Ce sont des surfaces dont la courbure est identiquement nulle. Exemple : un cône, un cylindre. Exemple de surface non développable: une sphère

4 Surface quasi-développable: une surface est dite quasi-développable C 2 s'il existe un ε proche de 0 tel que max k, où k est une courbure de Gauss. Courbe géodésique: une courbe géodésique est l'équivalent d'une droite sur le plan, elle représente le plus court chemin entre deux points de la surface. 5-Stratégie de mise à plat: Pour être assimilé à la mise à plat d'un polygone, on suppose qu'on ne dispose pas d'information au milieu mais seulement d'informations sur le contour, celui-ci est constitué de n courbes géodésiques de longueurs (L i ) 0<i<n+1 et d'angles de croisement (α i ) 0<i<n+1. Dans le cadre de ce stage, nous avons choisi de travailler sur le modèle des surfaces développables et quasi-développables pour pouvoir, à partir du contour, déduire des informations sur le milieu. En utilisant la relation de Gauss-Bonnet on peut déduire que : Σ n i=1 α i = (n-2) π Dans la suite, on notera P i les points de croisement du polygone initial, P i ceux du polygone résultat avec i = 1..n+1 et P 1 =P n+1. Le programme qui sera implementé devra retrouver les P i en suivant la stratégie de conservation des angles tout en minimisant l'erreur sur les longueurs, on supposera que le vecteur P np 1 soit orienté dans le sens positif. Le polygone résultat vérifie donc: P 1 est un point fixé sur le plan. P i+1 = P i + L i ' U i (*) Où U i est defini comme suit: U i =( cos α i, sin α i ) avec α 1 = π - α 1 α i +1 = α i + π - α i +1 L i ' représente les longueurs des cotés du nouveau polygone et vérifie L i ' = L i + δ i : ici les δ i représentent les erreurs sur les longueurs

5 en faisant la somme sur les n équations (*) on obtiendra : Σ n i=1 (L i +δ i ) = P 1 -P 2 +P 2 -P P n -P n+1 = P 1 - P n+1 = 0 si on note δ = [δ 1...δ n ] T, U = [U i..u n ] et V = - Σ n i=1 L i U i, le problème reviendra à résoudre un système linéaire de la forme U δ = V. d'autre part on cherche à minimiser les erreurs δ i il faut donc résoudre un systeme sous contraintes linéaires: Min Σ n i=1 ( δ i / L i )² U δ = V <=> Min x T I x U L x=v avec U L = [L n U n,, L n U n ] et x = [δ 1 / L 1,, δ n / L n ] T on utlilise la méthode de multiplicateurs de Lagrange, cela revient donc à résoudre le système linéaire : 2I U ' L U L 0 x = 0 V où est le coefficient de Lagrange. il existe une solution explicite pour ce système qui est: x = U LT ( U L U LT ) -1 V En conclusion, le programme calculera la solution x à partir des P i donnés et en se basant sur des suppositions faites concernants les propriétés de la surface, puis, il déduira les nouveaux points P i. 6-Implémentation et exemples: pour l'implementation, j'avais commencé par le cas le plus simple pour vérifier les formules obtenues 6.1-Le plan: en effet, si on applique un algorithme de mise à plat sur un polygone dans le plan, on devra retrouver le même polygone à une translation et à une rotation près Saisie: Pour cette partie, j'ai fait en sorte que la saisie d'un polygone se fasse à l'aide de la souris en choisissant les points de croisement Traitement: pour trouver le polygone resultat, il faut calculer: -les longueurs L i : ici il suffit d'utiliser la norme classique puisque l'on travaille sur le plan. -les angles de croisement α i : on sait qu'un angle est défini par le cosinus et le sinus, on utilise le produit scalaire pour retrouver les sin α i et le determinant pour les cos α i. De plus, afin de mieux voir le resultat par rapport au polygone initiale, j'avais initialisé P 1 = P 1 et j'avais ajouté l'angle de décalage par rapport à l'horizontale aux angles α i, avec ceci on devrait trouver des P i égaux aux P i.

6 Résultats et commentaires : Polygone initial 1 Polygone resultat 1

7 Polygone initial 2 Polygone resultat 2

8 On voit ici que les polygones dans le deux exemples sont confondus, et c'est bien le résultat attendu. La différence entre les deux exemples, c'est que le deuxième polygone contient un angle supérieur à π. En effet, au début j'avais utilisé seulement le produit scalaire pour calculer les angles, or cela ne marche pas avec des angles supérieurs à π puisque le produit scalaire nous precise le sinus, et la fonction arcsin de scilab ne donne que le resultat entre 0 et π. Le cas des autres angles doit etre traitée manuellement, c'est la raison pour laquelle j'ai eu besoin de déterminer le cosinus à partir du determinant Le cône : Définition d'un cône: un cône est une surface régulière généré par la rotation d'une droite passant par un point fixe autour d'un axe. Il peut etre défini par une équation cartésienne de la forme: x²+y²= (z tan θ)² ( quitte à changer l'origine du repère). Pour l'implémentation, j'avais choisi une definition paramétrique du cône: C(u,v) = ( u cos v, u sin v, Au) pour 0 v 2 et u 0 et A = cot a avec a est l'angle entre la droite génératrice et la verticale Géodésique sur le cône Il existe une expression paramétrique explicite d'une courbe géodesique sur le cône en fonction du vecteur v défini dans la section précédente: r(v) = u 0 cos v v 0 sin a cos v sin v A où u 0 et v 0 définissent le point du cône tel que la géodésique est tangente au cercle de latitude de rayon u 0 en ce point. Etant donnés deux points précis du cône définis par (u 1, v 1 ) et (u 2,v 2 ) on peut déduire de l'équation suivante les couples (v 0, u 0 ) definissant des géodésiques qui passent par ces deux mêmes points :

9 u 0 r v i = cos v i v 0 sin a cos v i sin v i A cos = ui vi u i sin v i Au i i = 1, 2 donc u 0 = u 1 cos ( v 1 sin a v 0 sin a ) = u 2 cos ( v 2 sin a v 0 sin a ) tan (v 0 sin a) = Saisie u 1 cos v 1 sin a u 2 cos v 2 sin a u 2 sin v 2 sin a u 1 sin v 1 sin a Pour cette partie, j'ai choisi une méthode manuelle pour la saisie des points, sachant qu'un point sur le cône est défini par deux paramètres v et u Traitement Pour trouver le polygone resultat, il faut calculer: -les longueurs L i : on connait l'expression de la courbe géodesique, donc pour trouver les longeurs il suffit d'appliquer: L = r v 2 pour implémenter cela, j'avais utlilisé la méthode de l'intégration numérique qui ne calcule pas l'intégrale exacte mais l'approche par une somme de Riemann. On peut aussi calculer directement une valeur d'une longueur en subdivisant la courbe en très petits morceaux approchables par des segments de droite et on aura seulement à faire la somme: c'est le même principe que la somme de Riemann! -les angles de croisement α i : sur un cône, un angle entre deux courbes est défini par les deux tangentes à ces deux courbes en leur point de croisement, donc pour calculer les angles il faut calculer les deux tangantes pour chaque point du polygone, cela se fait facilement en dérivant l'expression de la géodesique on obtient alors: u 0 sin v cosv cos v v 0 sin a sin asin v v 0 sin 0 a cos v sin v A pour rendre le résultat plus claire pour l'observateur on calcule le décalage par rapport à «l'horizontale», dans le cas du cône c'est une tangente à un cercle de latitude, puis on l'ajoute aux angles α i, et finalement on choisit d'initialiser P 1 au point de coordonnées (0,0) Résultats et commentaires On réalise 3 exemples de polygones et on calcule à chaque fois les écarts relatifs des longueurs: Er= L L ' L

10 Polygone initial 1 Polygone résultat 1 Er = [ ]

11 Polygone initial 2 Polygone résultat 2 Er= [ ]

12 Polygone initial 3 Polygone résultat 3 Er=[ ]

13 Pour le cône il y a eu deux problemes majeurs, le calcul des angles en considérant ceux supérieurs à π c'est le même problème que l'on trouve sur le plan sauf qu'ici pour calculer un déterminant il faudra trois vecteurs et non seulement 2, en effet le troisième c'est le vecteur normal au cône au point de croisement, le signe de ce déterminant nous permet de savoir si l'angle est supérieur ou inférieur à π. Le deuxième problème se produit lorsque deux points successifs du polygone ont la même coordonnée v, c'est à dire qu'il existe une droite appartenant au cône et passant par ces deux mêmes points, dans ce cas le chemin le plus court n'est plus la géodésique mais tout simplement le segment de droite reliant les deux points. Nous remarquons que les écarts relatifs qui reflètent les erreurs δ i sont pratiquement nuls, et en considérant les approximations faites sur le calcul des longueurs on peut les supposer nuls, cela est un résultat tout à fait normal puisque nous avons travailler sur une surface developpable, donc qui conserve les longueurs des courbes. 7-Conclusion: Au cour de ce stage, nous avons réussi à mettre à plat des polygones initialement sur une surface conique, en manipulant plusieurs notions de minimisation, de résolution de systèmes linéaires.. et en faisant des suppositions bien précises sur les proprietés des surfaces. Ce qui serait interessant c'est de réaliser la même chose avec une surface quasi-développable comme la sphère puis, de voir l'évolution des écarts relatifs, qui ne seront pas nuls cette fois, en fonction du rayon de la sphère par exemple. 8-Bibliographie: M.HUARD, N.SPRYNSKI, N.SZAFRAN, L.BIARD ; Reconstruction of quasi developable surfaces from ribbon curves ; ljk, ujf, Grenoble, France

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