La Transformation de Laplace. Résolution d équations différentielles particulières IRIS 2 OCTOBRE 2010

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1 IRIS OCTOBRE 00 La Transformation d Lalac Résolution d équations différntills articulièrs. Présntation d la résolution ar Lalac.... Exml très siml d résolution ar Lalac Un xml traité n détail Exml classiqu (Rédigé comm à l xamn) Exml classiqu (rédigé comm à l xamn) Exml classiqu 3 (rédigé comm à l xamn)... 3 TRAVAIL A FAIRE... 4 Réonss n vrac du travail à fair... 5 La Transformé d Lalac du signal s st noté ( s(t) ) L ou L [ s(t) ]. Vocabulair Un élémnt siml st un fonction F() dont on connaît facilmnt l original, xmls :, sont ds élémnts simls: lurs originaux sont : t u(t), t t u(t).

2 . Présntation d la résolution ar Lalac Si l on vut trouvr la solution x : t x(t) d l équation différntill x ' x (t) tll qu: x(t) 0 si t < 0 t x(0 ) 0 t (t) 0 si t < (t) si t < (t) 0 si t on n ut as utilisr la méthod classiqu d résolution d un équation différntill du r ordr à cofficints constants. On utilis alors la Transformation d Lalac avc l rogramm suivant :. On transform l équation à l aid d la Transformation d Lalac.. On isol la Transformé d Lalac d la fonction inconnu. 3. On ffctu si nécssair un décomosition n élémnts simls. 4. On trouv ls originaux ds élémnts simls. 5. On résnt la solution dmandé d l équation.

3 3. Exml très siml d résolution ar Lalac Trouvr la solution x : t x(t) tll qu x(t) 0 si t < 0 t x(0 ) 0 d l équation x ' x u(t).où u st l échlon unité. Rmarqu La fonction inconnu x : t x(t) st suosé causal, on ut lui aliqur la Transformation d Lalac L[ x(t) ]: L[ x(t) ]().. On transform l équation à l aid d la Transformation d Lalac. [ ]() x(0 ) L[ x(t) ]() uisqu L[ u(t) ] L x(t) comm x(0 ) 0 on obtint : [ ]() L[ x(t) ] L x(t) () (). On isol la Transformé d Lalac d la fonction inconnu. ( )L[ x(t) ]() donc : X() ( ) 3. On ffctu si nécssair un décomosition n élémnts simls. A B Cla vut dir : trouvr A t B tls qu X(). ( ) Pour cla on réduit au mêm dénominatur t on idntifi ls numératurs : A B (A B) A X() : A B 0,A,B ;X() ( ) ( ) 4. On trouv ls originaux ds élémnts simls. L original d st u (t), l original d st t ). u(t 5. On résnt la solution dmandé d l équation. La fonction x (t) st l original d X () qui st u(t) t u(t). Solution : x (t) t u(t) 0

4 4 3. Un xml traité n détail Résoudr (t) 0 si t <, (t) si t < x : t x(t) x ' x (t) vérifi: x(t) Etudir la fonction t avc: 0 si t 0. x(t) obtnu., (t) 0 si t Solution La fonction inconnu qu l on chrch st noté x : t x(t). La fonction : t (t) st un fonction connu. Posons [ ]() t E() L[ (t) ]() X() L x(t). Transformons l équation X() x(0 ) X() E() donc: X() X() E() ( uisqu x(0 ) 0).. Isolons X () ( ) X() E() X() E() Vocabulair H() La fonction H : H() st souvnt désigné ar ls hysicins sous l nom d fonction d transfrt : X() H() E().

5 Exrssion d la Transformé d Lalac E() du signal (t) (t) 5 (t) 0 0 si t < si t < si t 0 t L signal (t) s xrim à artir d l échlon unité u : u (t ) u(t ) (t) Pruv Si t < alors t < 0 t t < 0 donc u(t ) 0, u(t ) 0: u(t ) u(t ) 0 (t). Si t < alors 0 t t t < 0 donc u(t ) u(t ) (t). u(t ), u(t ) 0: Si t alors 0 t t 0 t donc u(t ), u(t ) : u(t ) u(t ) 0 (t). On rtrouv bin l xrssion du signal (t). En utilisant la roriété 4 d la Transformation d Lalac (Théorèm du rtard) on obtint : L[ u(t ) ](), L[ u(t ) ]() E() [ ]() L[ u(t ) u(t ) ]() L[ u(t ) ]() L[ u(t ) ]() L (t) On obtint : E().

6 6 Exrssion d X () X() E() X() ( ) ( ) Il rst maintnant à trouvr l original d X () : c st la solution x (t) d l équation différntill Nous connaissons ls originaux suivants : Original f (t) u (t) Fonction F () u(t) t 3. Faisons aaraîtr cs donnés n décomosant n élémnts simls la fraction : ( ) trouvons ls valursds réls A t B tlls qu A ( ) A B 0,B,A B A B( ) (A B) B : ( ) ( ) ( ) ( )

7 4. Trouvons ls originaux ds élémnts simls 7 L'original d ( ) st : t u(t) u(t) ( ) u(t) t t En utilisant l théorèm du rtard: f (t)u(t) F () f (t τ)u(t τ) F() τ L'original d X() st : x : t ( ) ( ) x(t) (t ) u(t ) (t ) u(t ) La solution d l équation La solution d l'équation x ' x (t) lll qu x(t) 0 si t 0 st la fonction : x : t x(t) (t ) u(t ) (t ) u(t )

8 8 Etud d la fonction x obtnu x : t x(t) (t ) u(t ) (t ) u(t ) Exrssion d la fonction x sur ls intrvalls ], [, [, [, [, [. si si si ],[ :x(t) 0 si ],[ [, [ [, [ : x(t) : x(t) (t) (t) (t) Etud d la continuité our ls valurs t t t d la variabl Continuité n t Lim x(t) x( ) 0 t<, t Lim x(t) x( (t ) t, t ) Lim t, t > > x( ) x( ):la fonction st continu n. 0 Continuité n t Lim x(t) x( ) Lim (t ) t, t t, t < < Lim x(t) x( ) Lim (t ) (t ) t, t t t > > x( ) x( ):la fonction st continu n.

9 si si si 9 Etud d la dérivabilité our ls valurs t d la variabl ],[ : x(t) 0 donc: x '(t) 0 si ],[ ], [ ], [ : x(t) (t) donc x '(t) (t) : x(t) (t) (t) donc x '(t) (t) (t) Etud d la dérivabilité our la valur d la variabl Lim t<, t x '(t) 0 Lim x '(t) Lim (t ) t, t t, t > > Lim t<, t x '(t) Lim t>, t x '(t) : La fonction n'st as dérivabl n. Etud d la dérivabilité our la valur d la variabl Lim x '(t) Lim (t ) t, t t, t < < Lim x '(t) Lim (t ) (t ) t, t t, t > > Lim t<, t x '(t) Lim t>, t x '(t) : La fonction n'st as dérivabl n.

10 0 si si si Rrésntation grahiqu d la solution :x(t) 0 si, ],[ ] [ [, [ [, [ : x(t) : x(t) (t) (t) (t) Points articulirs t x (t) 0 Cofficint dirctur d la tangnt à gauch 0 Cofficint dirctur d la tangnt à droit Limit à l'infini lim (t ) (t ) t x(t) lim t 0 x(t) 0 t

11 v : t 4. Exml classiqu (Rédigé comm à l xamn) Résoudr x(t) RCv ' v (t) avc (t) 0 si t < 0 t (t) E si 0 t. st un fonction tll qu: v(t) Solution Posons : L [ v(t) ]() V() t L[ (t) ]() E(). 0 si t 0. Aliquons la transformation d Lalac à l équation : uisqu v(0 ) 0. RCV() V() E() Isolons V () : E() E donc: V() E() RC E V() RC qui s'écrit : V() E RC Décomosons n élémnts simls : RC A P RC B P RC En réduisant au mêm dénominatur on obtint ar idntification ds numératurs : ARC, B RC, d où : V () E RC t L original d V () st v (t): v(t) E RCu(t). L équation st résolu..

12 x : t 5. Exml classiqu (rédigé comm à l xamn) Trouvr la solution d x(t) st tll qu: x(t) x '' 4x u(t)cos(3t) avc u(t) 0 si t < 0, u(t) si 0 t. 0 si t < 0, x(0 ), x '(0) 0. Posons : [ x(t) ] Solution L () X(). Aliquons la transformation d Lalac à l équation : uisqu x(0 ) Isolons X () : t x(0) 0 X() 4X() 9 X() 4 ( 9)( 4) Décomosons n élémnts simls : A B C D ( 9)( 4) 9 4 On obtint arès réduction au mêm dénominatur t idntification ds numératurs : A,C,B 0,D 0 donc: 5 5 ( 9)( 4) X() 4 ( 9)( 4) X() L original d X () st x (t): 6 x (t) ( cost cos3t) u(t) 5 5 L équation st résolu.

13 6. Exml classiqu 3 (rédigé comm à l xamn) Résoudr l systèm différntil suivant n utilisant la Transformation d Lalac : x' 3x y y' 4x 6y Avc ls conditions initials : x (0), y (0) ; x (t)0 t y (t)0 si t<0. Solution Notons X () t Y () ls transformés d Lalac ds fonctions x (t) t y (t). Aliquons la transformation d Lalac au systèm d équation l équation : 3 X() 3X() Y() Y() 4X() 6Y() uisqu x(0 ) t y(0 ). Isolons X() t Y() n résolvant l systèm : L systàm s'écrit : ( 3) X() 4 X() La solution d c systèm s écrit : 8 8 X() 9 4 ( )( 7) 0 Y() ( ) 7) Décomosons n élémnts simls : 6 X() 5 7 Y() ( 6)Y() 6 4 Y() 5 7 Ls originaux d X () t Y() sont x (t) t y(t): x(t) 6 t 7t, y(t) 6 t 4 7t. 5 5 L équation st résolu : la solution st l coul d fonctions x (t) 6 t 7t, y(t) 6 t 4 7t 5 5

14 4 TRAVAIL A FAIRE A Résoudr i (t) i (t) (t) avc i (t)0 si t<0 i (0)i (0)0. L signal st grahiqumnt ar : (t) π 0 π π t Indication On ut calculr dirctmnt (t) 0 t dt mais l calcul st long ; On ut vérifir (ctt indication st donné n général dans l sujt) : (t) tu(t) (t π)u(t π) (t π)u(t π). Résoudr x' x y y' x y B Avc x (0 ), y(0 ) 0, x(t) 0 t y(t) 0 si t < 0. Résoudr x' x 5y y' x 4y C On suos: x (0 ), y(0 ) 0, x(t) 0 t y(t) 0 si t < 0.

15 5 Réonss n vrac du travail à fair i (t) t t π 0: t sin t :0 4sin t : < 0 3sin t : t < π π t < π π t < x(t) ( y(t) (?? t t cos t)u(t) sin t)u(t)