Modélisation et quantification de systèmes vieillissants pour l optimisation de la maintenance

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1 ème édiion du congrès inernaional pluridisciplinaire Du au 20 mars 2009 Modélisaion e quanificaion de sysèmes vieillissans pour l opimisaion de la mainenance LAIR William,2, MERCIER Sophie, ROUSSIGNOL Michel, ZIANI Rachid 2 Universié Paris Es, 5 bd Descares, Marne la Vallée, France, SNCF, 45 rue de Londres, 7500, Paris, France, Mos clés : Processus de Markov déerminise par morceaux, calculs numériques, méhode de volumes finis, mainenance, simulaions de Mone-Carlo.. Inroducion Pour un gesionnaire délégué d infrasrucure ferroviaire comme la SNCF, la mainenance des insallaions de signalisaion es une âche fondamenale, car elle influe direcemen sur les deux noions les plus imporanes d un sysème de ranspor, à savoir la sécurié e la poncualié. La SNCF a donc engagé des recherches dans le bu d'améliorer l efficacié de la mainenance de ses insallaions. L insallaion de signalisaion qui fai l obje de cee éude es le circui de voie qui es un circui élecrique permean de déecer la présence d un rain sur la voie [Anoni]. Il s'agi d'un sysème formé d'une dizaine de composans vieillissans. Nous considérons dans ce aricle les composans comme indépendans, en effe les modèles saisiques que nous avons uilisés pour esimer les dépendances enre composan ne son pas encore ou à fai au poin. Malgré cee hypohèse simplificarice, les processus markoviens de saus, fréquemmen uilisés dans un conexe indusriel, ne conviennen pas pour modéliser le sysème car ils considèren que les aux de ransiion enre les différens éas (aux de panne ou de réparaion par exemple) son consans. Nous avons donc recours à un aure ype de processus : les processus de Markov déerminises par morceaux (PDMP : Piecewise Deerminisic Markov Process en anglais), inroduis par M.H.A. Davis [Davis]. Ces processus son rès uilisés en fiabilié dynamique, où ils permeen de modéliser des ineracions enre le sysème d'inérê e son environnemen. Dans un conexe de fiabilié classique comme le nôre, ils permeen de prendre en compe le vieillissemen des composans, les évenuelles dépendances enre composans, ainsi que le remplacemen de composans lors des mainenances. Dans ce qui sui, nous commençons par rappeler la srucure d'un processus de Markov déerminise par morceaux. En ce qui concerne l'évaluaion numérique des crières fiabilises associés, nous proposons deux méhodes différenes, à savoir les méhodes de simulaions de Mone-Carlo, classiques dans un el conexe, e des méhodes de ype volumes finis, développées dans [Cocozza- Thiven & al, Eymard & al]. Nous monrons ensuie commen on peu modéliser l'évoluion du circui de voie (ou d'un aure sysème formé de composans vieillissans) à l'aide d'un PDMP e nous calculons les différens crières d'inérê (fiabilié, disponibilié, coû moyen, loi du nombre de pannes...). Nous nous inéressons enfin à différenes poliiques de mainenance, pour lesquelles les crières d'inérês son évalués e opimisés. Tous les calculs numériques son effecués à l'aide des deux méhodes proposées, à fin de comparaison. 2. Les processus de Markov déerminises par morceaux Un processus de Markov déerminise par morceaux (PDMP) es un processus hybride (I, X ) 0, où la première composane I =(I ) 0 es discrèe, à valeurs dans un espace fini ou dénombrable, e où la

2 ème édiion du congrès inernaional pluridisciplinaire Du au 20 mars 2009 deuxième composane X =(X ) 0, es coninue, à valeurs dans R d. La première composane représene l éa du sysème (marche, panne, éas des composans), la deuxième représene des variables physiques qui influen sur le sysème, comme par exemple la empéraure, la pression ou encore l âge des différens composans. Les deux composanes d'un PDMP son en muuelle ineracion : le aux de ransiion de I vers I es une foncion a( I, I, X ) qui dépend de la composane coninue ; enre deux saus de I, sachan que I =i, la rajecoire de X es déerminise, soluion d'une équaion différenielle ordinaire de la d x forme = v ( i, x ), qui dépend de l'éa discre i. Lors d un sau de I à l insan, la variable «coninue» d X peu aussi sauer e es disribuée selon une loi µ ( I, I, X ) ( d y ) qui dépend de la composane discrèe. Sous des condiions echniques, on peu monrer qu'un PDMP es un processus markovien [Davis], ce qui perme d'écrire les équaions de Chapman-Kolmogorov (CK) associées. Si π ( i, dx) désigne la loi du processus (I, X ) 0 à l'insan e π 0 ( i, dx) sa loi iniiale e si on s inéresse à une quanié E [ ϕ ( I, X ) ] pour une foncion ϕ du processus, ces équaions se meen sous la forme : ( i, j, x) ϕ ( j, y) µ ( ) ( dy) ϕ ( i, x) π ( i, dx) ds + v( i, x). ϕ ( i, x) π ( i dx) a i j, x s i E d R j E i 0 G j, s, 0 E d R ( x) π ( i, dx) + ϕ ( i, x) π ( i, dx ) ϕ i E d i R i = 0, 0 E d R Les méhodes de volumes finis proposées dans [Cocozza-Thiven & al, Eymard & al] fournissen une valeur approchée de π ( i, dx) e reposen sur une discréisaion des équaions CK, à la fois en emps () e en espace (x). La plupar des crières fiabilises d'inérê s'écrivan à l'aide de la loi π ( i, dx ), ces méhodes nous permeen donc de les calculer. Ainsi comme nous l'avons di dans l'inroducion, nous uilisons aussi des simulaions de Mone- Carlo, qui ne posen pas de difficulés pariculières. 3. Le circui de voie Pour des raisons de confidenialié, oues les données e ous les résulas fournis dans ce papier son ficifs. 3.. Descripion Le circui de voie es un sysème série d une dizaine de composans, que nous supposons indépendans. Pour la modélisaion, nous ne nous inéressons qu'à hui d enre eux. Ceux que l on ne modélise pas on une durée de vie rès grande par rappor à celles des aures e n'enraînen que rès raremen la panne du sysème. Lorsqu'un composan es en panne, il es remplacé par un composan idenique neuf. Les composans pris en compe son les suivans : un émeeur, un récepeur, quare blocs d accord (BA), e deux ransformaeurs d adapaion (TAD). Les données liées à ces composans son décries dans le ableau. Dans ce ableau, Weibull (a ; b) correspond à une loi de Weibull de paramère de forme a e de paramère d échelle b. Berholon (a ; b ; c ; d) correspond à une loi de durée de vie à risques concurrens : la durée de vie associée es le minimum enre une durée de vie de loi exponenielle de paramère a e une durée de vie de loi de Weibull décalée de b, de paramère d échelle c e de paramère de forme d. Ce ype de loi a éé proposé e éudié dans [Berholon]. ds Composan Coû du composan () Loi de durée de vie 2

3 3.2. Modélisaion ème édiion du congrès inernaional pluridisciplinaire Du au 20 mars 2009 Emeeur 000 Berholon (30; 2 ; 0 ; 6) Récepeur 2000 Weibull (3 ; 20) TAD 500 Berholon (40 ; 4 ; 5 ; 2) BA 700 Berholon (00 ; 5 ; 20 ; 3) Tableau : Descripion des composans Le circui de voie éan un sysème série, il es en panne dès que l'un de ses composans es en panne. Par ailleurs, les durées de remplacemen d'un composan défaillan éan rès peies devan les durées de foncionnemen, nous considérons que, lors du remplacemen d'un composan défaillan, aucun aure composan ne peu omber en panne pendan ce emps. Ceci nous amène à 9 éas possibles pour le sysème : l'éa de marche, noé, e les éas de panne, noés 0 i pour i dans E={,,}, correspondans au cas où ous les composans foncionnen sauf un. Les composans éan vieillissans, nous considérons variables physiques X, X 2,...,X qui, pour chaque composan, indiquen la durée écoulée à l'insan depuis son dernier changemen d'éa (marche ou panne) : lorsque le composan es en marche, il s'agi de l'âge du composan depuis sa mise en roue ; lorsqu'il es en panne, il s'agi de la durée écoulée depuis le débu de son remplacemen (pas insanané). On noe X =(X,X 2,..., X ). d x L'évoluion déerminise de X enre les saus es ici rès simple e vérifie d =(,...,) =. En d'aures ermes, sachan que I = i pour a b e X a = x, on a X = x + (-a) pour a b. Le aux de ransiion de l éa vers l éa 0 i es le aux de panne du composan i, celui de 0 i vers es son aux de réparaion. Lors d une panne ou d une réparaion, la variable physique représenan l âge du composan qui es ombé en panne ou qui es réparé es réiniialisé à 0 e l âge des aures composans n es pas changé. Cee modélisaion du circui de voie à l'aide d'un PDMP nous perme d'uiliser les méhodes de volumes finis décries au paragraphe précéden. A ire d'exemple, x n+ + δ ( k,..., k, ) = δ + λ ( k,..., k ) x ( k,..., k, ) + ( x ( k,..., k, ) x ( k,..., k, ) ) i= avec λ ki = 0 L a i h ( l ) x ( l,..., l,0 ) i n i n δ h n le aux de panne moyen du sysème sur un pas de discréisaion, δ le pas de discréisaion du emps, a i le aux de panne du composan i, h le pas de discréisaion de l espace des variables physiques R e xn + ( K, i) = P[ nδ,( n+ ) δ [ ( K, i) la probabilié que pendan l inervalle de emps [ nδ, ( n + ) δ [, les variables physiques se rouven dans la maille K e que le sysème se rouve dans l éa i. Dans les paragraphes consacrés à la mainenance prévenive, nous considérons en fai un modèle simplifié où les remplacemens son considérés comme insananés. Ceci perme d'avoir un algorihme de volumes finis plus simple e ainsi d accélérer les calculs. Ceci facilie largemen la recherche de la poliique de mainenance opimale Les quaniés d inérê Nous cherchons à calculer la foncion fiabilié, la foncion disponibilié e le coû moyen d enreien du circui de voie sur une période de 20 ans ainsi que les quaniles à 95% du nombre de pannes. n 3

4 4. Résulas ème édiion du congrès inernaional pluridisciplinaire Du au 20 mars Sysème avec mainenance correcive Nous allons calculer les quaniés d inérê dans le cas où il n y a que des mainenances correcives. Dans ce cas la panne du circui de voie enraîne l inerrupion du rafic e le déplacemen d agen afin d effecuer une mainenance correcive. Dans ou ce qui sui le pas de discréisaion de l espace des variables physiques d âge es fixé à /2 ans ( mois). Le nombre de simulaions pour la méhode MC es fixé à Fiabilié Il es facile d avoir la fiabilié d un circui de voie neuf sans avoir recours ni à la simulaion ni à l algorihme de volumes finis. En effe, le circui de voie es un sysème série donc il suffi de faire le produi des fiabiliés de chaque composan. Nous allons quand même chercher la fiabilié du sysème à l aide de l algorihme de volumes finis afin de valider la méhode (figure ). Le pas de discréisaion du emps es années. Le emps de calcul pour obenir la fiabilié es de 0.73 secondes. Figure. Fiabilié d'un circui de voie neuf Indisponibilié De même que pour la fiabilié, nous calculons l indisponibilié de ous les composans puis nous les muliplions pour rouver l indisponibilié du circui de voie. /365. Il es considéré, dans ce paragraphe, que la loi de réparaion es une loi exponenielle de paramère Dans la figure 2, la courbe segmenée représene l indisponibilié d un circui de voie don ous les composans son neufs, sur une période de 20 ans, calculée par simulaions de MC e la courbe lisse représene la même quanié mais calculée par une méhode de VF. Les deux courbes éan rès proches l une de l aure, on peu supposer que la méhode par volumes finis es valide. 4

5 ème édiion du congrès inernaional pluridisciplinaire Du au 20 mars 2009 Figure 2. Indisponibilié d'un circui de voie neuf Le pas de discréisaion du emps es années. Le emps de calcul pour obenir l indisponibilié es de 20 secondes par l algorihme de volumes finis e 653 secondes (plus de 2 heures) par MC. Nous pouvons déjà observer deux avanages à la méhode par volumes finis : le emps de calcul es rès faible (presque 300 fois inférieur à celui de la simulaion), la courbe obenue es lisse, conrairemen à celle obenue par simulaion. Il es possible d avoir une courbe lisse avec MC mais il faudrai augmener le nombre d iéraions e donc accroîre le emps de calcul Disribuion du nombre de pannes, coû moyen sur 20 ans e quaniles à 95% Figure 3. Disribuion du Nombre de pannes d'un circui de voie sur 20 ans A parir de ce chapire, les durées de réparaion son négligées devan la durée de vie des composans qui se chiffre en années. 5

6 ème édiion du congrès inernaional pluridisciplinaire Du au 20 mars 2009 Dans cee parie, nous cherchons à calculer le nombre moyen de pannes sur 20 ans ainsi que la variance. Pour, cela nous calculons la disribuion du nombre de pannes sur une période de 20 ans à l aide du schéma de volumes finis (figure 3). Nous en déduisons la moyenne e la variance : E [ N ] = 6.6 ( N ) = 6.5 Var. Afin de mere au poin une sraégie de mainenance opimale, il es nécessaire de calculer le coû moyen d enreien du circui de voie sur 20 ans. Pour cela, nous calculons le nombre moyen de pannes de chaque composan que nous muliplions par le coû de la panne plus le coû du composan. Pour un coû de panne de 3000, nous rouvons : E [ C] = par VF e E [ C] = par MC. De plus, il es inéressan de connaîre le quanile à 95%, pour chaque composan e pour chaque période de 6 mois. En effe, ces quaniés nous permerons de prévoir la quanié d appareils à avoir en sock. Par exemple, la figure 4 nous donne les quaniles à 95% du nombre de défaillances de chaque appareil sur chaque période de 6 mois pour un parc de 3000 circuis de voies. émeeurs BA TAD récepeurs Figure 4. Quaniles à 95% du nombre de défaillances de chaque appareil sur chaque période de 6 mois pendan 20 ans pour un parc de 3000 circuis de voie. Dans ous les calculs précédens le pas de discréisaion du emps es de années. Le emps de calcul pour obenir ous les résulas de cee parie es de 3.5 secondes. Par MC, le calcul du coû moyen a duré 500 secondes Sraégie de mainenance prévenive de ype opporunise Nous allons éudier la sraégie de mainenance de ype opporunise qui consise, lors d une mainenance correcive, à remplacer non seulemen le composan défaillan, mais aussi les composans rop vieux. En fai, nous faisons une mainenance correcive e une mainenance prévenive au même momen. Il fau choisir pour chaque composan à parir de quel âge limie on le remplace prévenivemen à l occasion d une mainenance correcive. Nous avons opimisé ces âges pour obenir le coû moyen sur 20 ans minimum. Nous avons compé dans le coû d une elle mainenance le coû du emps de remplacemen d un composan non défaillan à 60 par heure en supposan qu un émeeur e un récepeur son changés chacun en 2 heures, qu un TAD es changé en 3 heures e qu un BA es changé en 4 heures. Nous avons rouvé qu il es inéressan, lors d une panne, de changer les émeeurs de plus de 5 ans, les blocs d accord de plus de 9 ans, les récepeurs de plus de 0 ans e les TAD de plus de ans. Dans ce cas le coû moyen es de Ce qui représene une économie de 95 par circui de voie 6

7 ème édiion du congrès inernaional pluridisciplinaire Du au 20 mars 2009 sur 20 ans. Avec cee sraégie, nous obenons un nombre moyen de pannes de 4.45 sur 20 ans. La fiabilié associée à une elle sraégie es la même que celle du circui de voie sans mainenance car elle ne reardera pas la première panne Sraégie de mainenance prévenive de ype périodique Nous éudions mainenan une sraégie de mainenance périodique elle que pendan une mainenance, l agen changera prévenivemen les composans jugés rop vieux. La mainenance opimale rouvée minimisera le coû d enreien du circui de voie sur 20 ans. De même que dans le chapire précéden, nous enons compe des emps de remplacemen d un composan dans le calcul du coû moyen. De plus, nous compons ici le emps que va mere l agen pour arriver sur son lieu de ravail que l on considère égal à une heure. Considérons le fai que si l agen, lors d un déplacemen, remplace n appareils, il économise n- heures de ravail (ce qui correspond au emps de déplacemen que l agen économise). Par exemple, si lors d un déplacemen, l agen remplace l émeeur (2 heures) e un bloc d accord (4 heures), on considère qu il passe sep heures à ravailler c'esà-dire qu il économise une heure de déplacemen. Nous calculons pour oues les périodes de mainenance e ous les âges limies possibles, le coû moyen d enreien de chaque composan du circui de voie puis nous choisissons la sraégie de mainenance qui minimise le coû d enreien du circui de voie. La meilleure sraégie rouvée (ableau 2) consise à faire une mainenance prévenive ous les 7 ans pendan laquelle on change les émeeurs de plus de 3 ans e une aure mainenance prévenive dans ans pendan laquelle on change les TAD de plus de 3 ans, les blocs d accord de plus de 9 ans e les récepeurs de plus de 9 ans. Avec cee sraégie le coû moyen d enreien du circui de voie sur 20 ans es de Nous réalisons une économie moyenne de 4342 par circui de voie sur 20 ans. Donc cee sraégie revien à faire sur les 20 prochaines années, rois mainenances : une dans 7 ans, une dans ans e une dernière dans 4 ans. Cee sraégie perme de diviser le nombre moyen de pannes sur 20 ans par deux. Emeeur TAD Bloc d accord Récepeur Age limie (année) 3 9 Période (année) 7 Nombre de pannes 3.54 Coû () 2592 Tableau 2: Meilleure sraégie de mainenance prévenive périodique La figure 5 perme de comparer la fiabilié e le aux de panne du circui de voie sans mainenance prévenive e avec mainenance prévenive. On remarque que la fiabilié es améliorée, en effe sans mainenance prévenive, près de 00% des circuis de voie subissen au moins une panne en 4 ans andis qu avec mainenance prévenive, il en rese approximaivemen 0% qui n auron pas subi de panne au bou de 4 ans. Le aux de panne es aussi amélioré avec cee sraégie de mainenance, en effe, sans mainenance prévenive, le aux de panne mone rapidemen après 0 ans, pour aeindre 5 au bou de 20 ans, andis qu avec cee sraégie de mainenance le aux de panne rese inférieur à 0.5 pendan 20 ans. 7

8 ème édiion du congrès inernaional pluridisciplinaire Du au 20 mars 2009 Figure 5: Fiabilié e aux de panne d un circui de voie avec e sans mainenance En 40 secondes, l algorihme de volumes finis es capable de donner ous les coûs nécessaires à l opimisaion andis qu il fau 2500 secondes à la simulaion de Mone-Carlo pour obenir un seul résula. 5. Conclusion La méhode de volumes finis perme d exploier pleinemen la modélisaion par PDMP en calculan oues les quaniés recherchées en un emps rès cour, conrairemen à la simulaion de Mone- Carlo qui nécessie de longs emps de calcul qui renden l opimisaion de la mainenance difficile. Mainenan il serai inéressan de complexifier le sysème en rajouan des dépendances enre composans. Il serai égalemen inéressan de raier des sysèmes plus complexes noammen des sysèmes avec des redondances e avec un nombre de composans plus imporan. La méhodologie expliquée dans ce documen a éé appliquée pour le milieu ferroviaire mais il es sûremen possible de l appliquer à d aures domaines. Références [Cocozza-Thiven & al] C. Cocozza-Thiven, R. Eymard, S. Mercier (2006) A finie volume scheme for dynamic reliabiliy models, IMA Journal of Numerical Analysis, 26(3), pp [Eymard & al] R. Eymard, S. Mercier, Alain Prigne (200) An implici finie volume scheme for a scalar hyperbolic problem wih measure daa relaed o piecewise deerminisic Markov processes, Journal of Compuaional and Applied Mahemaics, available online Nov [Davis] M. H. A. Davis (993). Markov models and opimizaion, volume 49 de Monographs on Saisics and Applied Probabiliy. Chapman & Hall, London. [Berholon] H. Berholon, Une modélisaion du vieillissemen, hèse 200. [Anoni] M. Anoni, Opimisaion e modélisaion des circuis de voie pour le TGV nord, mémoire 99

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