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1 Les premières consaaions sur l inapiude des produis indusriels à assurer les foncions qu ils éaien censés remplir pendan un emps suffisan remonen à la seconde guerre mondiale. En France cee prise de conscience se siue vers Raisons echniques : L évoluion echnique rapide, complexié des produis, durée de développemen rop cour, complexié des organisaions, arai des echniques de poine. - Raisons économiques : Imporance accordée au profi immédia, compression des budges d éude, réducion des coûs de fabricaion. 1. Terminologie e Définiion des paramères nécessaires à la mesure de la Fiabilié 1-1 Terminologie. - : caracérisique d un disposiif exprimée par la probabilié que ce disposiif accomplisse une foncion requise dans des condiions d uilisaion données e pour une période de emps déerminée. La noion de emps peu prendre la forme : de nombre de cycles effecués machine auomaique de disance parcourue maériel roulan de onnage produi équipemen de producion Son esimaion s éabli généralemen : - à parir d un inervalle de emps avec exrapolaion sur la période de foncionnemen ou durée de vie (pour une enié) - à parir d un échanillon avec exrapolaion à l ensemble de la populaion (pour un composan) - SYSTEME REPARABLE : caracérisé par la possibilié de remplacer un ou plusieurs consiuans défaillans, sans échange de ceux non défaillans (équipemens indusriels) - SYSTEME NON REPARABLE : composan ou ensemble de pièces don la défaillance enraîne le remplacemen de oues, donc de l ensemble. 1-2 Définiion des paramères nécessaires à la mesure de la Fiabilié. - PROBABILITE : c es le rappor (Nbr de cas favorable/nbr de cas possible). C es un nombre compris enre 0 e 1. - DENSITE DE PROBABILITE f() : représene la probabilié de défaillance juse au emps - FONCTION DE REPARTITION F() ou Probabilié de défaillance : c es la probabilié de subir une défaillance à l insan T compris enre [0, ]. - FONCTION DE R() ou Probabilié de non défaillance : c es la probabilié de non défaillance à l insan T compris enre [0,] (probabilié de défaillance au-delà du emps () F()+R()=1. Le symbole R provien de l anglais Reliabiliy (Fiabilié) STS M I ~ U62 ~ Sraégie de Mainenance 02 02_Fiabilie.doc Dernière modificaion le 17/12/2007 Page 1 / 8 Elémens de cours

2 - FONCTION TAUX DE DEFAILLANCE λ() : (lambda) c es la probabilié de subir une défaillance à l insan pour un disposiif ayan vécu jusqu à l insan. Exprimé en défaillance par unié d usage (généralemen pannes / heure nombre de défaillans sur un inervalle de emps λ ()= λ () = f()/r() nombre de survivans au débu de la période x inervalle de emps La variaion de λ() représene l évoluion du cycle de vie de l équipemen (courbe en baignoire) Période 1 : Jeunesse -soumis à des défaillances précoces mainenance préconisée : correcif correspond au rodage (méca) ou déverminage (élec) Période 2 : Maurié - λ() consan soumis à des défaillances aléaoires mainenance préconisée : correcif + visies prévenives Période 3 : Obsolescence (vieillesse) soumis à des défaillances d usure mainenance préconisée : prévenif sysémaique Calcul de λ() avec N S () N 0 nombre iniial de disposiif N S () nombre de survivans à l insan C( ) nombre de défaillans pendan soi N S () N S (+ ) N S (+ ) Temps de service Si défaillans remplacés :.. Si défaillans non remplacés :. Applicaions : Cas N 1 : les défecueux son remplacés. Une éude a éé menée sur 70 véhicules pendan une période allan de 80000km à 90000km. 41 défaillances on éé réparées. Déerminer le aux de défaillance pour cee période. Cas N 2 : les défecueux ne son pas remplacés. On ese un lo de 50 élecrovannes soumises en coninu à 8 impulsions par minue. A la 50 ème heure, il en rese 33. A la 60 ème heure, il en rese 27. Déerminer le aux de défaillance sur cee classe, par heure e par impulsion. - M.T.B.F. «Mean Time Beween Failure» La MTBF ou moyenne des emps de bon foncionnemen es la valeur moyenne enre défaillances consécuives, pour une période donnée de la vie d un disposiif. avec n : nombre de défaillance TBF : emps de bon foncionnemen F(), R(), λ() e la MTBF seron des indicaeurs uilisés en fiabilié. Les procédés de calcul des indicaeurs varien suivan le nombre de données que l on possède, ces données son généralemen soi des emps de bon foncionnemen ou des défaillances. 02_Fiabilie.doc 02- Page 2 / 8 Elémens de cours

3 2. Principales lois mahémaiques uilisées 2-1 Les lois de survie Pour évaluer la fiabilié d un produi, il es nécessaire de savoir commen il devien défaillan dans le emps : la loi de survie le précise Echanillonnage des données si N >50 : - Regrouper les données en K classes. L inervalle de classe es égal à e K =, - n i ( 1 représene l effecif de la classe i Déerminaion des Indicaeurs de Fiabilié : - =somme des effecifs des classes enre 0 e (fin de classe i) = somme des effecifs des classes enre 0 e (débu de classe i). -. i = valeur cenrale de la classe i Représenaion graphique : F e R son représenées par le polygone des fréquences cumulées λ es représené par un hisogramme λ() Fiabilié R() en foncion de la durée de l essai, ou loi de survie Applicaion : Eude de Fiabilié réalisée sur un moeur de camion. Enreprise GENERAL-TRUCK 2-2 La loi Exponenielle. Cee loi es uilisée pour les périodes où le aux de défaillance es consan Déerminaion des Indicaeurs de Fiabilié : ( ). 0 ( ) λ u du e comme λ( ) R = e u = ce= λ λ. du 0 λ. u λ. R () = e = e = e 0 - R =. - F = 1 R - MTBF = Durée de vie associée à un seuil de fiabilié : Il es inéressan de savoir à quel insan la fiabilié aeindra un seuil déerminé. λ R( ) = e ln R( ) = λ. =.ln R( ) =.ln λ λ R( ) 02_Fiabilie.doc 02- Page 3 / 8 Elémens de cours

4 Applicaion : Un composan a une MTBF de 2000 heures. A quelle dae «j» ce composan aura une fiabilié de 90%? Ajusemen d un échanillon : L échanillon éudié compore N données Méhode pariculièremen adapée aux lois Exponenielle e Weibull. On éabli un ableau comporan les correspondances suivanes : - i : valeur de la donnée, en général des TBF, - R = 1-F : valeur de la foncion fiabilié correspondane (approximée couvran le nombre de données que l on possède) Rang i R i 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 i L esimaion de F i dépend du nombre de données e es calculée par : Nbr de données N Prise en charge des données Données i classées par ordre croissan (un rang i es affecé à chaque données) Esimaion de F i 0,3 0,4 méhode des rangs médians 1 méhode des rangs moyens Données rangées par classe i ni : effecif de la classe i Si R () Représenaion graphique :. = e λ, alors ln R ( ) λ. = en logarihmes népériens e - λ. logr()= en logarihmes décimaux. 2,3 Porer les couples de poins (i ; R) sur un papier semi logarihmique (i sur l axe des abscisse en échelle arihméique e Ri sur l axe des ordonnées en échelle logarihmique. Si les couples de poins son sensiblemen alignés alors le modèle es Exponeniel e l hypohèse aux de défaillance consan es vérifié. 1 Loi exponenielle sur échelle linéaire R() 1/e=0,368 m=1/λ MTBF λ ou R % 100% 36,8% Loi exponenielle sur papier semi logarihmique 02_Fiabilie.doc 02- Page 4 / 8 MTBF Elémens de cours

5 2-2.4 Esimaion du aux de défaillance : - Porer sur papier semi logarihmique les N poins formés des couples (i, Ri) - Tracer la courbe de régression des N poins - Si les N poins son sensiblemen alignés, alors la loi de fiabilié es exponenielle - Déerminer λ par la pene de la courbe - En déduire MTBF = 1/ λ. - En déduire R () = e λ 2-3 La loi de Weibull. C es une loi de fiabilié à 3 paramères qui perme de prendre en compe les périodes où le aux de défaillance n es pas consan (jeunesse e vieillesse). Cee loi perme : Une esimaion de la MTBF Les calculs de λ() e de R() e leurs représenaions graphiques Grâce au paramère de forme d oriener un diagnosic, car peu êre caracérisique de cerains modes de défaillance : Paramère de forme >0 sans dimension: Si >1, le aux de défaillance es croissan, caracérisique de la zone de vieillesse o 1,5 < < 2,5 : faigue o 3 < < 4 : usure, corrosion Si =1, le aux de défaillance es consan, caracérisique de la zone de maurié Si <1, le aux de défaillance es décroissan, caracérisique de la zone de jeunesse f() 1 0,5 =3 =1 R() 1 =3 =1 =0,5 λ() =3 =1 =0,5 Remarque : pour γ=0 e =1, on rerouve la disribuion exponenielle, cas pariculier de la loi de Weibüll : 1 1 λ = = η MTBF f() η 1 avec η 2 < η 1 η : Paramère d échelle >0 qui s exprime dans l unié de emps γ : paramère de posiion, - < γ < +, qui s exprime dans l unié de emps : γ>0 : survie oale sur l inervalle de emps [0, γ] γ=0 : les défaillances débuen à l origine des emps γ<0 : les défaillances on débué avan l origine des emps ; ce qui monre que la mise en service de l équipemen éudié a précédé la mise en hisorique des TBF 02_Fiabilie.doc 02- Page 5 / 8 γ < 0 η 2 f() γ = 0 γ > 0 Elémens de cours

6 Relaions fondamenales : Densié de probabilié : Foncion de répariion : F () = 1 e Loi de fiabilié : R () = 1 F () = e Taux de défaillance : 1 f ( ) =.. e avec γ η 1 1 λ f () f () 1 γ λ() = = =.. e. () =. R () 1 F () η η e MTBF e écar ype : E () = MTBF= Aη + γ σ = Bη Où A e B son des paramères issus de ables. Ex : pour =1,2, γ=0 e η=550 heures. MTBF = 0,9407x heures. 02_Fiabilie.doc 02- Page 6 / 8 Elémens de cours

7 Durée de vie associée à un seuil de fiabilié : Il es inéressan de savoir à quel insan la fiabilié aeindra un seuil déerminé, en pariculier les roulemens à billes R( ) = e ln R( ) = ln = = ln = η. ln + γ R() η R() R() Papier Weibüll ou graphique d Allen Plai : C es un papier log / log qui compore 4 axes : AXE a AXE b AXE A AXE B AXE A Axe A : axe des emps sur lequel on pore les valeurs i des TBF Axe B : valeurs des probabiliés de défaillance Fi calculées par la méhode des rangs moyens ou des rangs médians. On esime R() par R() = 1 F() Axe a : axe des emps en logarihmes népériens : ln() Axe b : axe qui perme l évaluaion de Déerminaion graphique des paramères de la loi : 1. Préparaion des données : déerminaion des couples (i, Fi) par les rangs moyens ou les rangs médians 2. Tracé du nuage de poins 3. Tracé de la droie de Weibüll 4. Déerminaion de, η, γ 5. Déerminaion des équaions de la loi de Weibüll 6. Calcul de la MTBF 7. Exploiaion des données issues de la loi 02_Fiabilie.doc 02- Page 7 / 8 Elémens de cours

8 Exemple d applicaion : Préparaion des données : Tracé du nuage de poins : Ordre i TBF Fi , , , , , ,89 η=770 =1, D2 D1 Tracé de la droie de Weibüll D1 : le racé se fai sans difficulé «au jugé». Déerminaion des paramères de la loi : Le fai d obenir direcemen une droie D1 sans faire de redressemens indique que γ=0 (paramère de posiion) La droie D2 // à D1, passan par l origine coupe l axe «b» en un poin =1,4. C es la valeur du paramère de forme La droie D1 coupe l axe des emps à =η=770 heures. C es le paramère de la loi de Weibüll Equaions de la loi : 0,4 770 R () = e Déerminaion de la MTBF : Les ables annexes donnen les valeurs de A e B pour =1,4 : A=0,911 e B=0,660. On en dédui MTBF = Aη + γ = 0,911x770 = 700 heures e σ = Bη = 0,660x770 = 508 heures. 02_Fiabilie.doc 02- Page 8 / 8 Elémens de cours

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