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1 Espaces vectoriels normés MP 27 décembre 2012 Faites des dessins Table des matières 1 Espaces vectoriels normés Normes, espaces normés Normes dans les espaces pré-hilbertiens Notion de limite dans les ev normés, normes équivalentes Topologie dans un espace normé Notion d ouvert, de fermé, de point adhérent Adhérence d une partie de E, notion de partie dense Limites des fonctions dans les evn Fonctions continues Le jeu de lego c des fonctions continues Continuité uniforme Suites de Cauchy dans les evn, espaces complets Suites de Cauchy Espaces complets ou espaces de Banach Théorème du point fixe Espaces vectoriels normés en dimension finie Suites des composantes dans une base, équivalence des normes Théorème de Bolzano-Weierstrass Suites de Cauchy en dimension finie Continuité en dimension finie Connexité par arcs 28 6 Notion de compact En dimension quelconque Compacité en dimension finie Compacité, exercices Exercices divers et variés 34 Document disponible sur mpcezanne.fr ou univenligne.fr sous le nom EspacesNormes.pdf 1

2 8 Continuité des applications linéaires Caractérisation des applications linéaires continues Cas de la dimension finie Continuité des applications bilinéaires Normes subordonnées Normes subordonnées aux normes usuelles de K n : Recettes pratiques Algèbre normée (HP) Exercices : continuité des applications linéaires, topologie et matrices Questions rapides admettant réponses rapides ; le flash-éclair Résumons nous En dimension quelconque Généralités : limites, normes équivalents, topologie Fonctions continues Suites de Cauchy Espaces vectoriels normés en dimension finie Les compacts Applications linéaires dans les evn et continuité Quelques corrigés 58 2

3 1 Espaces vectoriels normés Nous introduisons ici la notion de norme généralisant par là les normes, 1, 2 définies en sup sur les espaces R n ainsi que les normes euclidiennes définies à partir d un produit scalaire. Ces normes nous permettront de définir les limites de suites dans des espaces divers : suites de vecteurs (solutions approchée de systèmes d équations), suites de fonctions (calculs d intégrales, étude des séries de Fourier, solutions approchées des équations différentielles,...), suites de matrices (recherche de solutions approchées de systèmes linéaires, recherche de valeurs propres de matrices...). 1.1 Normes, espaces normés Définition 1 norme dans un espace vectoriel sur R ou C; Une norme sur un K ev E est une application N : E R + telle que : 1. N (x) = 0 x = 0 2. N (x + y) N (x) + N (y) 3. N (λx) = λ N (x). Un espace normé est un couple (E, N ), formé d un ev et d une norme sur E. Remarque les normes généralisent les notions de valeurs absolues et de module. Elles vérifient par exemple la propriété fondamentale (inégalités triangulaires) : N (x) N (y) N (x y) N (x) + N (y). x y x y x + y. Exemples 1. Dans R n ou C n, les normes n x 1 = x k k=1 ( n ) 1/2 x 2 = x k 2 k=1 x = sup x k k On commencera par les exercices 5, 7 pour une première approche de ces normes Dans B(A, K), fonctions bornées de A dans K, la norme f = sup f(x) x A (norme infinie ou norme de la convergence uniforme qui interviendra de façon fondamentale en analyse). 3. Dans C([a, b], K), ensemble des fonctions continues sur [a, b], les normes 3

4 f 1 = b a f(x) dx ( ) 1/2 b f = sup f(x) f 2 = f(x) 2 dx x [a,b] a 4. On peut encore définir sur C 1 ([a, b], K), ensemble des fonctions de classe C 1 sur [a, b], les normes N 1 (f) = f 1 + f 1 N 2 (f) = f 2 + f 2 N (f) = f + f 5. De façon analogue, on considère les sous-espaces vectoriels de suites l 1 espace des suites à valeurs complexes telles que u i converge ; l 2 espace des suites à valeurs complexes telles que u i 2 converge ; l espace des suites bornées à valeurs complexes on définit sur ces espaces les trois normes u 1 = u i i=0 ( ) 1/2 u 2 = u i 2 i=0 u = sup u i i N 6. Sur les espaces de matrices voir le tableau du paragraphe (8.5) et la norme de Schur définie par A = T r(a A). Exercice 1 normes 1. Au kilomètre : démontrer que dans le tableau qui précède nous avons bien défini des normes (pour ce qui est de la colonne centrale et de la norme de Schur, attendez d avoir étudié le paragraphe (1.2) sur les espaces préhilbertiens). 2. Démontrer que N(f) = f(0) + b a f (t) dt définit une norme sur l espace des fonctions de classe C 1 sur [a, b]. 3. Soit E l espace vectoriel des fonctions de classe C 1 sur R. Définit on une norme sur E en posant pour f E, N(f) = f(a) + f? 4. Soient a 0, a 1,..., a p des complexes. La fonction N définie par définit elle une norme sur C p [X]? N(P ) = p P (a k ) k=0 4

5 1.2 Normes dans les espaces pré-hilbertiens Les espaces préhilbertiens sont les espaces munis d un produit scalaire réel ou complexe, normés par N 2 (x) =< x x > 1/2. L inégalité triangulaire est alors une conséquence de l inégalité de Cauchy-Schwarz. Ils interviendront, pour ce qui est de notre programme, en géométrie, en algèbre linéaire (diagonalisation des matrices symétriques...), pour l étude des séries de Fourier... Ils jouent par ailleurs un rôle fondamental dans l étude des équations différentielles ; en physique, ils donnent le cadre modélisant la mécanique quantique, etc... Définition 2 Soit E un K espace vectoriel (K = R ou C). On appelle produit scalaire (réel ou complexe) sur E, une application : φ : E E K telle que : φ est linéaire à gauche : (x, y, z) E 3, λ K, φ(x + λy, z) = φ(x, z) + +λφ(y, z); φ est hermitique : (x, y) E 2, φ(y, x) = φ(x, y); φ est positive : x E, φ(x, x) 0; φ est définie positive : x E, φ(x, x) = 0 x = 0. On dit alors que (E, φ) est un espace préhilbertien (réel ou complexe) ; lorsque E est de dimension finie on parle d espace euclidien pour le cas réel, d espace hermitien pour le cas complexe. On aura remarqué que si K = R, on retrouve la définition usuelle du produit scalaire réel : forme bilinéaire, symétrique et définie positive. Théorème 1 Si E est un espace préhilbertien de produit scalaire φ(x, y) = (x y), alors : Pour tout (x, y) E 2, < x y > < x x > < y y >. L égalité a lieu ssi x et y sont liés. L application x E < x x > R + est une norme sur E; on dit qu elle dérive du produit scalaire (on note souvent x 2 = < x x >). Questions préalables l application λ K (< x + λy x + λy > K est elle un polynôme en λ? l application λ R < x + λy x + λy >? est elle un polynôme en λ? Exprimer < λx y >, < x λy >, < x e iθ y >... Démonstration 1. Remarquons que l inégalité est évidente si y par exemple est nul. 2. Supposons alors y 0 et considérons le polynôme de la variable réelle F (λ) =< x + λy x + λy >= λ 2 < y y > +2 λre(< x y >)+ < x x >. C est un polynôme du second degré (le coefficient de λ 2 est strictement positif) qui est positif sur R. Nous avons donc = 4Re 2 (< x y >) 4 < y y > < x x > 0 soit Re < x y > < x x > < y y >. 5

6 3. Considérons alors x et y quelconques. Pour majorer < x y >, notons < x y >= e iθ < x y > et x = e iθ x. La relation précédente devient Re < x y > < x x > < y y > avec Re(< x y >) = Re(e iθ < x y >) = Re( < x y > ) = < x y > et < x x >=< x x > nous obtenons alors la relation de Cauchy-Schwarz : < x y > < x x > < y y >. 4. Le cas d égalité : Supposons que x = λy ou y = λx, il y alors égalité dans la relation précédente ; Supposons que < x y > = < x x > < y y >. Si y 0, pour x quelconque, G(λ) =< x + λy x + λy >= λ 2 < y y > +2 λre(< x y >)+ < x x >. C est un polynôme du second degré réel dont le discriminant est 4 Re < x y > 4 < x x > < y y > 0. En choisissant comme précédemment x = e iθ x, cette inégalité devient une égalité et il existe λ réel tel que x = λy soit x = λe iθ y. Le tableau ci-dessous donne quelques exemples de produits scalaires réels ou complexes et les normes associées : l espace le produit scalaire la norme ( n n ) 1/2 K n (x y) = x k y k x 2 = x k 2 k=1 k=1 C([a, b], C) (f g) = b a ( b f(x)ḡ(x) dx f 2 = f(x) 2 dx a ) 1/2 suites telles que i=0 u i 2 converge M n (K) < u, v >= ( ) 1/2 u i v i u 2 = u i 2 i=0 i=0 (A B) = T r(a t B) A = T r(a t A) Les questions spécifiques aux espaces préhilbertiens : voir les exercices 47, 41, 50,... Exercice 2 normes 6

7 1. Soient a 0, a 1,..., a p des complexes. La fonction N définie par définit elle une norme sur C p [X]? ( p N(P ) = P (a k )P (a k ) k=0 ) 1/2 2. Soit E l ensemble des fonctions continues et de carrés intégrables sur R : E = {f : R C \ f C 0, f 2 intégrable } (a) S agit il d un espace vectoriel? (b) Définit on une norme en posant f 2 = (c) Donner dans cet espace une majoration de R f 2? R e x dx (1 + x 2 ) 1/2 1.3 Notion de limite dans les ev normés, normes équivalentes Définition 3 limite d une suite dans un evn On dit qu une suite d éléments (x n ) n d un espace normé (E, ) est convergente de limite l E, ssi lim x n l = 0, n ou, ce qui est équivalent : ε > 0, n 0, n N, n n 0 x n l ε. Remarque fondamentale : l existence de la limite et la limite elle-même dépendent de la norme choisie (en dimension infinie, comme nous le verrons). L exemple de l exercice 4 est édifiant. Théorème 2 unicité de la limite Une suite d éléments de l evn (E, N) converge vers au plus un élément. Démonstration Exercice 3 fondamental, sera généralisé dans l étude des evn de dimension finie On note X n = t (x n,1, x n,2,..., x n,d ) K d. Montrer que les propositions qui suivent sont équivalentes : (X n ) n converge vers X pour la norme ; (X n ) n converge vers X pour la norme 1 ; (X n ) n converge vers X pour la norme 2 ; lim x n,1 = x i pour 1 i d. 2. Pour une norme de votre choix dans le tableau du paragraphe (8.5), montrer l équivalence (M n ) n converge vers M pour la norme N; les suites de composantes (m n,i,j ) n convergent vers les M i,j. 3. voir l exercice 65 pour une suite de polynômes qui ne converge pas alors que les suites des coordonnées convergent... 7

8 Exercice 4 Soit C l espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1], à valeurs dans C. 1. Dans cet espace, on considère les suites (f n ) n, (g n ) n des fonctions f n : x [0, 1] x n, g n : x [0, 1] n 1/2 x n. (a) Montrer que f n 0 1 a pour limite 0 ; que dire de g n 0 1? (b) Montrer que f n 0 2 a pour limite 0 ; que dire de g n 0 2? (c) Que dire de f n 0? de que dire de g n 0? 2. Montrer que si une suite (f n ) n d éléments de C converge vers g C pour la norme, elle converge aussi pour les normes 1 et 2. Théorème 3 convergence des suites pour des normes différentes Soit E un ev muni de normes N 1 et N 2. Les propriétés suivantes sont équivalentes 1. Toute suite N 1 convergente est N 2 convergente 2. Il existe un réel α > 0 tel que N 2 αn 1 Démonstration (2) (1) : quasi-immédiat ; (1) (2) : raisonner par l absurde Définition 4 normes équivalentes On dit que deux normes sur un ev E, N 1 et N 2 sont équivalentes s il existe des réels strictement positifs α, β, tels que X E, αn 2 N 1 βn 2. Théorème 4 Soit E un espace vectoriel et N 1, N 2, deux normes équivalentes et (x n ) n une suite d éléments de E. Alors (x n ) n converge vers l pour N 1 ssi elle converge vers l pour N 2. (x n ) n est une suite de Cauchy pour N 1 ssi c est une suite de Cauchy pour N 2. Démonstration La première assertion est conséquence du théorème 3. Pour la deuxième assertion, par symétrie des hypothèses, il suffit de montrer qu une suite de Cauchy pour pour N 1 est une suite de Cauchy pour N 2 : pour cela on observe que N 2 (x n+p x n ) 1 α N 1(x n+p x n )... Exercice 5 Exemples des normes usuelles de K n 1. Montrer que les trois normes x 1, x 2, x, définies sur K n, vérifient les inégalités suivantes (préciser les cas d égalité) : x x 1 n x x x 2 n x x 2 x 1 n x 2. On en déduit qu elles sont équivalentes. On montrera en fait que dans un ev de dimension finie toutes les normes sont équivalentes. 8

9 2. Montrer (si ce n est déjà fait) que dans K 3, pour toute suite (X n ) n, les relations suivantes sont équivalentes : (X n ) n converge vers X pour la norme ; (X n ) n converge vers X pour la norme 1 ; (X n ) n converge vers X pour la norme 2 ; lim x n = x, lim y n = y, lim z n = z. Les notations sont évidentes. 3. Montrer que si l une quelconque des propositions précédentes est vérifiée, alors pour toute norme N sur K n, lim N (X X n ) = 0. Exercice 6 le cas de la dimension infinie 1. Montrer que la suite de fonctions x x n est convergente dans C 0 ([0, 1], C) muni de la norme f 1 = 1 0 f(t) dt et que ce n est pas une suite de Cauchy (même définition que dans R) dans ce même espace normé par. En déduire que les normes f 1, f, ne sont pas équivalentes. Comparer les. 2. Montrer que les normes f 1, f 2, définies dans C([a, b], K), ne sont pas équivalentes. Rechercher les relations entre elles. 9

10 2 Topologie dans un espace normé Pensez à faire des dessins! 2.1 Notion d ouvert, de fermé, de point adhérent Définition 5 notion de boule, d ouvert, de fermé... Soit (E, ), un espace normé. 1. On appelle boule fermée de centre Ω, de rayon r > 0, l ensemble B(Ω, r) = {x E; x Ω r}. 2. De la même façon, la boule ouverte de centre Ω, de rayon r > 0, est l ensemble B(ω, r) = {x E; x Ω < r}. 3. Si D une partie de E, a E, on dit que a est un point adhérent à D ssi : ε > 0, B(a, ε) D. Lorsque E = R, on dit aussi que + est adhérent à D ssi M > 0, D ]M, + [. On pourra noter D ou adh(d), l ensemble des points adhérents à D (adhérence de D). 4. Soit D, une partie de E, et a E; on dit que a est un point intérieur à D ssi : r > 0, B(a, r) D. On note de façon analogue D o l intérieur de D. 5. Une partie D de E est un ouvert de (E, ) ssi pour tout a D, il existe δ > 0 tel que la boule B(a, δ) soit contenue dans D. 6. Une partie F de E est un fermé de (E, ) ssi son complémentaire est un ouvert. 7. Soit a E, un voisinage de a dans E est une partie de E qui contient une boule ouverte de centre a; 8. la frontière d un ensemble A est l ensemble des points adhérents qui ne sont pas des points intérieurs, elle est parfois notée A. Remarque : E et sont des parties à la fois ouvertes et fermées de (E, ). Il existe également des parties qui ne sont ni ouvertes ni fermées. Proposition 5 Dans un espace normé (E, ), 1. une boule ouverte est un ouvert, 2. une boule fermée est un fermé, 3. une réunion quelconque, une intersection finie d ouverts sont des ouverts, 4. une intersection quelconque, une réunion finie de fermés sont des fermés, 5. un ensemble est ouvert ssi il est voisinage de chacun des ses points. Démonstrations : 1. Dessiner et utiliser l inégalité triangulaire pour montrer que si x B(a, r), il existe ρ tel que B(x, ρ) B(a, r); 10

11 2. Analogue, en raisonnant sur le complémentaire d un boule fermée ; 3. ensembliste ; 4. ensembliste, en justifiant les formules : i A i = i A i, i A i = i A i,. 5. Qu y a-t-il à montrer? Théorème 6 caractérisation séquentielle des points adhérents, des fermés Dans un espace normé (E, ), 1. un point a de E est adhérent à A ssi il existe une suite de points de A qui converge vers a. 2. un ensemble A E est fermé ssi pour toute suite convergente, (x n ) n, formée d éléments de A, lim x n A. Démonstration 1. : considérer des boules de rayons 1/n... : 2. : : Théorème 7 Soit E un espace vectoriel et N 1, N 2, deux normes équivalentes, U une partie de E. U est un ouvert (respectivement un fermé) de E pour la norme N 1 ssi c est un ouvert (respectivement un fermé) de E pour N 2. Ū est l adhérence de U dans (E, N 1) ssi c est l adhérence de U dans (E, N 2 ); Démonstration : facile, avec la définition ou les caractérisation séquentielles ; on observera que les boules, a contrario dépendent des normes! Exercice 7 les boules usuelles. 1. Dessiner les boules unités de R 2 muni des normes 1, 2,. 2. En utilisant les encadrements obtenus dans l exercice 5 déterminer r de telle sorte que lorsque N et N sont les normes usuelles. B N (O, r) B N (0, 1) 3. Montrer que deux normes sont équivalentes ssi toute boule (de rayon > 0) pour l une contient une boule pour l autre (de rayon > 0). 11

12 corrigé en 11 Exercice 8 définition séquentielle des fermés Montrer que les ensembles suivants sont fermés ou ouverts : 1. Dans R n muni de l une des trois normes usuelles, montrer qu un demi-espace d équation a 1 x 1 + a 2 x a n x n + d n 0 est fermé, que a 1 x 1 + a 2 x a n x n + d n > 0 est ouvert. 2. Dans R 2, montrer que l hyperbole xy = 1 est un fermé, de même que xy Dans M 2 (K) muni de la norme N (M) = sup{ m i,j }, montrer que l ensemble des matrices singulières est fermé, que l ensemble des matrices inversibles est un ouvert. 4. Dans l ensemble des fonctions continues sur [0, 1] muni de la norme de votre choix, {f; f(1/2) = 0} est-il fermé? Exercice 9 faire joujou avec les boules et dessiner Soit (E, ), un espace normé, a E, r > 0. Quel est l ensemble des points adhérents à la boule ouverte B(a, r)? Exercice 10 faire joujou avec les boules et dessiner Soit (E, ), un espace normé et F un sev de E. Montrer que si F contient une boule ouverte, alors F = E. Exercice 11 faire joujou avec les boules et dessiner Soit (E, ), un espace normé, a et b deux points de E, r > 0, ρ > 0. Montrer que si les boules fermées B(a, r) et B(b, ρ) sont égales alors a = b et r = ρ. Indication : commencer par montrer que r = ρ en introduisant, pour x a, x 1 = a ± 2.2 Adhérence d une partie de E, notion de partie dense Définition 6 Soit (E, N ) un espace normé, A une partie non vide de E. r (x a)... x a 1. L adhérence de A dans E notée Ā ou adh(a) est l ensemble des points adhérents de A. 12

13 2. On dit qu un partie de E est dense dans E ssi Ā = E. 0n observe que A est dense dans E ssi tout élément de E est limite d une suite d éléments de A; Proposition 8 Soit A une partie non vide de l evn E. Un élément y E est adhérent à A ssi il est limite d une suite d éléments de A. (rappel) L adhérence de A dans E, est le plus petit fermé contenant A. Démonstration Exercice 12 exemples 1. Justifier que Q est dense dans R, sachant que vous avez admis en L 1 qu entre deux réels il existe un rationnel ; en va-t-il de même pour les décimaux? 2. Soit (G, +), un sous-groupe de (R, +). Montrer que deux cas sont possibles : soit il existe a R tel que G = az; soit G est dense dans R. Voir une application dans l exercice Démontrer le théorème 9 4. On suppose que A est une partie dense de l evn (E, N), que f est une fonction continue sur A, valeurs dans (F, ). Donner des conditions pour que f soit prolongeable en une fonction continue de E dans F. Donner aussi des contre-exemples. Théorème 9 Soient f et g deux fonctions continues sur un evn (E, N) à valeurs dans (F, ). S il existe une partie A, dense dans E sur laquelle f et g coïncident, alors f et g sont égales sur E. Démonstration Nous verrons en analyse l importance de cette notion, quelques exemples ci-dessous : Exercice 13 Démonstrations par densité 1. Existe-t-il une application continue de R dans lui-même même telle que sur les rationnels, f(x) = x 2, f(x) = 0 ailleurs? 2. Soit f une fonction continue sur R telle que f(x + y) = f(x) + f(y). On note a = f(1). Calculer f sur Q. Que vaut elle sur R? Exercice 14 les suites ( e in) n Z, (cos n) n et (sin n) n On se propose de prouver que ces suites sont denses dans U et [ 1, 1]. 1. Montrer que l ensemble des réels m + 2kπ forme, lorsque (m, k) décrit Z 2, un sous-groupe de (R, +). 2. En déduire la densité de {e in ; n Z}. dans U (on admettra que π est irrationnel, ce qui est proposé en exercice dans la chapitre topologie de R). 3. Montrer que l ensemble des sin n, n N est dense dans [ 1, 1]. Exercice 15 Soit (E, ), un evn ; 13

14 1. Une intersection d espaces denses est elle dense? 2. Démontrer qu un intersection de deux ouverts denses est dense. 3. * Que dire d un intersection quelconque d ouverts denses? La suite du paragraphe est plus difficile, deuxième lecture Exercice 16 lemme de Riemann, première approche On se propose d établir, pour certaines classes de fonctions numériques définies sur [a, b], la propriété lim n + b a f(t)e int dt = 0, 1. Montrer cette relation lorsque f est de classe C 1 sur [a,b]. 2. On s intéresse maintenant aux fonctions continues. On introduit pour cela l espace E = (C([a, b], K) des fonctions numériques continues sur [a, b], muni de la norme. (a) Montrer que les fonctions affines par intervalles forment une partie dense de E; indication : penser à la continuité uniforme d un élément f de E; (b) Soit f affine par intervalles sur [a, b], montrer que corrigé en 11 b lim n + b f(t)e int dt = 0. (c) En déduire la relation pour toute fonction continue. Exercice 17 mines, planches diverses 1. Montrer la densité dans [ 1, 1] de la famille (cos ln n) n N Indications : On se donne α = cos θ [ 1, 1] et à tout p N, on associe n p tel que n p e θ+2pπ < n p + 1; Exercice 18 Soient f et g deux endomorphismes de E evn de dimension finie. 1. On suppose f inversible, montrer que f g et g f ont le même polynôme caractéristique. 2. Généraliser. 2.3 Limites des fonctions dans les evn Définition 7 limite d une fonction de E dans F Soient (E, N ) et (F, ), deux espaces normés, f une application de D E dans F et a un point adhérent à D. On dit que f admet le point L F pour limite en a, et on note lim x a f(x) = L, ssi ε > 0, δ > 0, x D, N (x a) δ f(x) L ε. 2. Lorsque E = R et a = + est adhérent à D, on dit que lim x + f(x) = L ssi ε > 0, M > 0, x D, x > Ml f(x) L ε. 3. Lorsque F = R et a est adhérent à D, on dit que lim x a f(x) = + ssi A > 0, δ > 0, x D, N (x a) δ f(x) > A. 14

15 Théorème 10 limite et composées Soient (E, ), (F, ) (G, ) trois espaces normés (on note par commodité les trois normes de la même façon), et deux applications :f : D E F, g : D F G, telles que g f soit définie sur D. Alors, pour tout a point adhérent à D, pour tout b F, lim f(x) = b b D x a lim f(x) = b et lim g(y) = L lim g f(x) = L x a y b x a 2.4 Fonctions continues Définition 8 Soient (E, N ) et (F, ) deux espaces normés et f : D E F, une application. 1. On dit que f est continue en a D ssi lim x a f(x) = f(a). 2. On dit que f est uniformément continue sur D ssi : ε > 0, δ > 0, (x, y) D 2, N (x y) δ f(x) f(y) ε. 3. On dit que f est lipschitzienne sur D s il existe K > 0 tel que (x, y) D 2, f(x) f(y) KN (x y). Théorème 11 caractérisation séquentielle Une fonction f : D E F est continue en a D ssi pour toute suite (x n ) n d éléments de D convergeant vers a on a lim n f(x n ) = f(a). Démonstration La partie est conséquence du théorème précédent (composition des limites). Pour la réciproque raisonnons par l absurde en supposant f non continue en l. Il existe alors ε > 0 tel que pour tout α > 0 il existe x D f tel que x l α et f(x) f(l) > ε. En faisant successivement α = 1, α = 1/2,...,α = 1/n, on construit une suite (x n ) n d éléments de D f de limite l D f, tel que pour tout n N on ait f(x n ) f(l) F > ε. Exercice 19 Les applications suivantes sont elles continues? uniformément continues, lipschitziennes? 1. Les applications coordonnées X K n x k K, l espace de départ étant muni d une quelconque des normes usuelles ; 2. Si M est une matrice de M n (K), l application linéaire associée : X K n MX K n, lorsque les espaces de départ et d arrivée sont munis de l une quelconque des trois normes usuelles (ce qui fait 9 cas, pour une seule preuve!). 3. Le déterminant ; 15

16 4. Montrer que l ouvert des matrices inversibles GL n (K) est dense dans M n (K) pour la norme de votre choix. Indication : le déterminant det(m + λi n ) est un polynôme en λ; 5. On note C = C([0, 1], K). Étudier la continuité des applications Exercice δ : f C f(0) K, I : f C lorsque C est muni de la norme, de la norme à propos de fonctions lipschitziennes 1. Une fonction lipschitzienne est continue ; 1 0 f(t) dt K, 2. Une fonction f, de classe C 1 sur un intervalle [a, b] de R, à valeur dans R est lipschitzienne. En effet, f est continue est bornée sur [a, b] et pour tout couple (x, y) [a, b] 2, il existe t compris entre x et y tel que f(y) f(x) = f (t) y x f est donc M lipschitzienne avec M = sup u [a,b] f (u). sup f (u) y x u [a,b] 3. l ensemble des fonctions lipschitziennes sur A E à valeur dans F est un sev de C 0 (A, F ). 4. le produit d une fonction lipschitzienne et d une fonction lipschitzienne bornée est une fonction lipschitzienne. 5. Voir problème Centrale PSI , partie 2 (après étude des espaces préhilbertiens). Exercice 21 quelques notions ensemblistes avant la suite Soit f une application de E dans F, et A, B deux parties de F. Vérifier les formules (triviales?) : f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f 1 ( F A) = E f 1 (A) Puis pour les suivantes, prouvez les ou donner des contre-exemples : f(a B) = f(a) f(b) f(a B) = f(a) f(b) f( E A) = F f(a) Théorème 12 images réciproques des ouverts, des fermés par les applications continues définies sur E tout entier Soit f une application continue de l espace normé (E, N ) à valeurs dans (F, ). Pour toute partie Ω de F on note f 1 (Ω) = {x E; f(x) Ω}. 1. Si Ω est un ouvert de F, f 1 (Ω) est un ouvert de E. 2. Si Ω est un fermé de F, f 1 (Ω) est un fermé de E. Théorème 13 images réciproques des ouverts, des fermés par les applications continues sur une partie de E Soit f une application continue sur une partie D de l espace normé (E, N ) à valeurs dans (F, ). Pour toute partie Ω de F on note f 1 (Ω) = {x E; f(x) Ω}. 16

17 1. Si Ω est un ouvert de F, f 1 (Ω) est un ouvert relatif de D (ie : l intersection de D et d un ouvert de E). 2. Si Ω est un fermé de F, f 1 (Ω) est un fermé relatif de D (ie : l intersection de D et d un fermé de E). Exercice 22 continuité et images réciproques Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés plus rapidement que dans l exercice 8. On précisera pour quelles normes ; 1. un hyperbole, une branche d hyperbole, un cercle, un disque (lequel), une ellipse, la partie délimitée par l ellipse (laquelle?), une courbe d équation f(x, y) = 0 lorsque f est continue ; 2. l ensemble des matrices inversibles ; Exercice 23 bassin d attraction Soit f une fonction de classe C 1 sur R, a un point fixe de f. On suppose que ce point fixe est attractif, ie : f (a) < 1. On note J le plus grand intervalle contenant a et tel que pour tout x 0 J, la suite de premier terme x 0 telle que x n+1 = f(x n ) pour tout n N, converge vers a (bassin d attraction de a). 1. Montrer que J contient un voisinage ]a ε, a + ε[ de a. 2. Montrer que J est un intervalle ouvert. voir commentaire?? 2.5 Le jeu de lego c des fonctions continues Comme pour les fonctions numériques, c est un jeu de lego : on montre que certaines fonctions sont continues, les autres s obtiennent par addition, multiplication, projection, duplication, composition... Pour parler de sommes et produits nous avons besoin de la Définition 9 espaces produits Soient (E 1, N 1 ),...(E n, N n ) une famille d evn sur le corps K. On définit une norme sur l ev produit n i=1 E i, en posant : n x = (x 1,...x n ) E i, N(x) = N i (x i ). i=1 On appelle espace produit des (E i, N i ) i l evn ainsi défini. Exercice 24 Vérifier que sur l espace produit n i=1 E i, les normes sont équivalentes N(x) = N i (x i ) et N (x) = sup N i (x i ) i Théorème 14 Soit (E, ), un espace normé, on munit les espaces produits E E, K E et F G des normes définies par (x, y) E E = x E + y E (λ, x) K E = λ + x E (y, z) F G = y F + y G 17

18 l application norme x E x R, est continue ; l addition (x, y) E E x + y E, est continue ; la multiplication externe (λ, x) K E λx E, est continue ; la projection (x, y) E F x E est continue ; la remontée x E (x, y) E F est continue pour tout y F ; si f et g sont des applications continues de E dans F et G respectivement, alors est également continue. x E (f(x), g(x)) F G Théorème 15 continuité des coordonnées Lorsque E est de dimension finie, les fonctions coordonnées dans une base (e i ) i quelconque, n x = x i e i E x i K, sont des fonctions continues quelque soit la norme sur E. i=1 Commentaires : ce dernier résultat est fondamental, d un usage constant : voir l étude des evn de dimension finie en (4) pour sa preuve ; les normes, sommes, produits, produits par un scalaire, par une fonction scalaire continue, quotients par une fonction scalaire continue, produits scalaires, produits vectoriels, composées, de fonctions continues lorsqu ils sont définis, sont des fonctions continues. Exercice 25 Expliquer pourquoi les applications suivantes sont continues : 1. (x, y) K 2 x y K; 2. x E f(x) x E, lorsque f est continue sur E à valeurs dans K; 3. (x, y) R 2 \{(0, 0)} ln(x 2 + xy + y 2 ) R; Pour bien comprendre de quoi il s agit, dessiner l arbre syntaxique et identifier chaque sousarbre une application linéaire d un evn de dimension finie dans un autre ; 5. Un produit scalaire sur E euclidien muni de la norme euclidienne : 2.6 Continuité uniforme (x, y) E 2 (x y) R; On a vu que f est uniformément continue sur D ssi : ε > 0, δ > 0, (x, y) D 2, N (x y) δ f(x) f(y) ε. On observera que la différence entre les caractérisations de la continuité sur I et de la continuité uniforme su I tiennent à la position du quantificateur x. En effet, f est continue sur I ssi : x I, ε > 0, α > 0, y I, x y α f(x) f(y) ε. Dans ce dernier cas, α dépend de x et de ε, dans le cas d une continuité uniforme il ne dépend plus que de ε. 18

19 Exercice Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue ; 2. Montrer directement que x x est uniformément continue et qu elle n est pas lipschitzienne sur [0, + [. 3. Montrer que ln x n est pas uniformément continue sur ]0, 1] mais qu elle l est sur [1, + [. Théorème 16 théorème de Heine (voir aussi la généralisation aux compacts dans un normé : théorème??) Soit f une fonction définie sur une partie compacte I de R. Si f est continue sur I, elle est aussi uniformément continue. Démonstration procéder de la façon suivante : On suppose que f est CONTINUE sur le COMPACT I, et on raisonne par l absurde. 1. Exprimer que f n est pas uniformément continue ; 2. Montrer que si f n est pas uniformément continue, il existe a > 0 et une suite double (x n, y n ) telle que x n y n < 1/n et f(x n ) f(y n ) a. 3. Conclure avec le théorème de Bolzano-Weierstrass. Interventions de la notion de continuité uniforme : nous en ferons surtout usage dans l étude des suites de fonctions (théorèmes de Weierstrass par exemple...) 19

20 3 Suites de Cauchy dans les evn, espaces complets 3.1 Suites de Cauchy Définition 10 suites de Cauchy Soit (X n ) n une suite d éléments d un evn, (E, N ). On dit que c est une suite de Cauchy pour la norme N lorsqu elle vérifie : ε > 0, N N, p N, q 0, N (x p x p+q ) ε. Proposition 17 propriétés générales des suites de Cauchy 1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy. 2. Toute suite de Cauchy est bornée 3. Si une suite de Cauchy (X n ) admet une sous-suite convergente de N limite L, (X n ) est elle-même convergente et de limite L. Exercice 27 Comment prouver qu une suite est une suite de Cauchy? 1. Soit (x n ) n une suite de (E, ) un espace normé. On suppose qu il existe une fonction φ : N R, de limite 0 en +, telle que Montrer que (x n ) n est une suite de Cauchy. (n, p) N 2, x n+p x n φ(n). 2. Exemples : sont elles des suites de Cauchy? lorsque z C, la suite des complexes définie par s n = la suite (f) n, lorsque f n est la fonction x x n élément de C([0, 1], R) muni de l une des normes, 1, ou 2? n k=0 z k k! ; 20

21 3.2 Espaces complets ou espaces de Banach Définition 11 On appelle espace complet ou espace de Banach, un evn dans lequel les suites de Cauchy sont convergentes. On dit encore que c est un espace de Hilbert s il s agit d un préhilbertien réel ou complexe complet. Nous verrons que tous les evn de dimension finie sont des espaces complets. Les exercices qui suivent donnent des exemples et contre-exemples en dimension infinie : Exercice 28 un espace non complet... On considère l espace C([ 1, 1], R) muni de la norme 1. On définit une suite de fonctions (f n ) n en posant : f n (x) = 2n+1 x 1. Montrer que c est une suite de Cauchy. 2. Représenter quelques unes de ces fonctions. 3. On suppose qu il existe une fonction f telle que (f n ) n f pour la norme 1. On considère a ]0, 1[ et on veut montrer que f(a) = 1 et f( a) = 1. (a) On suppose que f(a) > 1. Dessiner, puis montrer qu il existe un intervalle ]a α, a+α[ ] 1, 1[ sur lequel f(x) > 1 + f(a). Minorer f f n 1. En déduire une contradiction. 2 (b) On suppose maintenant que f(a) < 1. Dessiner, puis montrer qu il existe un intervalle ]a α, a + α[ ] 1, 1[ sur lequel f(x) < 1 + f(a). 2 Dessiner encore, puis justifier qu à partir d un rang que vous préciserez au mieux, En déduire une contradiction. f n f 1 > f n (a α) 1 + f(a). 2 (c) Dessiner la fonction f et répondre à la question : C([ 1, 1], R) muni de la norme 1 est il complet? Exemples fondamentaux d espaces de Banach : Exercice 29 espace de fonctions bornées On considère ici l ensemble B des fonctions bornées f : A K (K = R ou C). On le munit de la norme f = sup x A f(x). 1. Pourquoi est elle une norme sur B? 2. Ecrire que (f n ) n est un suite de Cauchy dans (B, ). 3. Montrer que si (f n ) n est un suite de Cauchy dans (B, ), pour tout élément x A, (f n (x)) n est une suite de Cauchy de réels. 4. Justifier qu il existe une fonction f telle que pour tout a A lim f n (x) = f(x). Pourquoi est elle bornée sur A? 5. Montrer enfin que (B, ) est complet. Ce résultat est à associer au cours sur les suites de fonctions et la convergence uniforme que nous retrouverons bientôt. Exercice 30 convergence des suites de fonctions On considère les ev B = B([0, 1], R) formé des fonctions bornées sur [0,1], C = C([0, 1], R) formé des fonctions continues et C 1 = C 1 ([0, 1], R) formé des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] à valeurs réelles. On les munit de la norme f = sup f(x). 21

22 1. Montrer que si (f n ) converge vers f dans un de ces trois espaces, alors x [0, 1], lim f n (x) = f(x). 2. Un evn non complet ( (a) On pose u n (x) = x 1 ) pour x [0, 1]. Montrer que cette suite converge 2 n dans (B, ) mais pas dans (C 1, ). (b) En déduire que dans l evn (C 1, ) il existe des suites de Cauchy qui ne convergent pas. 3. On admet ici que (B, ) est complet (ce qui est détaillé dans l exercice 29). (a) ** Montrer que C est fermé dans (B, ). Indication : on montrera que si fn f 0, alors f est aussi continue, en utilisant la relation suivante : f(x) f(x 0 ) = f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) (b) En déduire que (C, )est complet. Ce dernier résultat fait partie du cours sur les suites de fonctions et la convergence uniforme. Exercice 31 espaces de suites complets 1. Espace l (N) : (a) Donner des exemples d éléments de l ; (b) Donner un exemple de suite de Cauchy d éléments de l ; (c) Montrer que l est complet. 2. Espace l 2 (N) : même questions ** Espace l 1 (N) : (a) Donner des exemples d éléments de l 1 ; (b) Donner un exemple de suite de Cauchy d éléments de l 1 ; (c) Montrer que l 1 est complet. 3.3 Théorème du point fixe Théorème 18 point fixe dans les espaces normés Soit (E, ), un espace normé dans lequel les suites de Cauchy sont convergentes. Si f est une application de E dans lui-même, lipschitzienne pour une constante k < 1, (on dit que f est contractante), alors 1. f admet un point fixe et un seul (notons le a); 2. pour tout choix de x 0 E, la suite récurrente x n+1 = f(x n ) converge vers a; 3. de plus, x n a kn 1 k x 0 a. Démonstration : en tout point identique à la démonstration proposée pour les suites numériques. Ce théorème n est pas explicitement au programme. Sachez refaire la démonstration qui intervient dans tous les problèmes de point fixe et les études de suites récurrentes - voir le chapitre précédent (topologie de R). Il est à la base de résultats fondamentaux en analyse et géométrie : voir par exemple la démonstration du théorème des fonctions implicites proposée en mini-problème à la fin du chapitre Topologie de R. 22

23 Exercice 32 Un algorithme de point fixe On considère deux droites D 1 et D 2 non parallèles. On souhaite prouver l existence et l unicité des points M et N appartenant respectivement à D 1 et D 2 tels que MN réalise le minimum de {XY/(X, Y ) D 1 D 2 } et calculer une approximation de leurs coordonnées et de la distance MN. Description d un algorithme : - On se donne A 0 D 1. - Pour A n D 1, on considère B n le projeté orthogonal de A n sur D 2 et A n+1 le projeté orthogonal de B n sur D On rappelle que la projection vectorielle orthogonale de l espace euclidien E sur une droite vectorielle D de vecteur directeur u vérifie : π : w E < w u > < u u > u. Donner une expression de π 1 π 2 où π i est la projection vectorielle orthogonale de E sur D i. 2. Montrer qu il existe une application ψ de D 1 dans elle même telle que pour tout n N, A n+1 = ψ(a n ). Démontrer que ψ est strictement contractante. 3. Justifier que les suites (A n ) n et (B n ) n convergent et que leurs limites respectives M et N vérifient - (MN) est perpendiculaire à D 1 et D 2 - MN = inf{xy/x D 1, Y D 2 }. 4. Un programme MAPLE qui réalise la figure ci-dessus : (a) Justifier que la fonction P(A,U,M) calcule le projeté affine orthogonal de M sur la droite passant par A, de vecteur directeur U : (b) voir corrigé en 11 ps:=(u,v)->sum(u[i]*v[i],i=1..3); P:=(A,U,M)->evalm(A+ps(evalm(M-A),U)*U/ps(U,U)); Écrire une fonction Phi :=proc(a,u,b,v,m,n) qui prend en arguments des triplets A, U, B, V, M et un entier n et retourne les listes [A 0, A 1,..., A n ] et [B 0, B 1,..., Bn 1] lorsque A 0 est le projeté orthogonal de M sur D 1. Exemples de sujets dans lesquels intervient le théorème de point fixe de Banach : CPP 2000-MP ; CPP 2001-MP (équation intégrale de Fredholm) ; CCP 2009-MP (systèmes dans R 2 ) 23

24 4 Espaces vectoriels normés en dimension finie Dans cette section E est un espace vectoriel de dimension finie sur K = R ou C. La plupart des résultats obtenus sont faux dans le cas générique ou n ont pas de sens en dimension infinie. 4.1 Suites des composantes dans une base, équivalence des normes On suppose ici que E est de dimension N et qu il admet pour base la famille (e i ) 1 i N. On note (X n ) n une suite d éléments de E avec X n = N i=1 x (i) n e i. Proposition 19 des suites de composantes aux suites de vecteurs Si les N suites de composantes (x (i) n ) n sont convergentes, de limites respectives l i, alors pour toute norme N sur l ev E, la suite (X n ) est N convergente de limite : L = l i e i. Démonstration Application facile de l inégalité triangulaire. Proposition 20 réciproque de la proposition précédente ; des suites de vecteurs aux suites des composantes Si la suite (X n ) n d éléments de E, evn de dimension finie, converge vers L pour la norme N, alors les suites des composantes (x (i) n ), convergent dans K vers les coordonnées correspondantes L i de L. Démonstration Résultat plus difficile. L exercice qui suit propose une démonstration dans un espace réel de dimension 2, comme une belle application du théorème de Bolzano-Weierstrass dans R ou C; on l adapte à une démonstration par récurrence en considérant l espace produit (E, N) = (E K, N) la norme produit étant définie par N(X) = X(X, x) = sum(n(x), x ). Exercice 33 Soit (X n ) n une suite dans un K evn, (E, N), de dimension 2, de base (e 1, e 2 ). Posons X n = x n e 1 + y n e Justifier que N(X n ) x n N(e 1 ) y n N(e 2 ). 2. On suppose que lim N(X n ) = 0. (a) Montrer que si (x n ) n ne converge pas vers 0, il existe une suite extraite (x np ) p telle que (b) En déduire que la suite z p = y n p x np m > 0, p N, x np m. est bornée. (c) A l aide d une suite extraite de z p, ainsi que de vos neurones, concluez. 24

25 3. Montrer que si lim N(X n X) = 0, alors les suites de coordonnées vérifient : lim x n = x, lim y n = y. voir correction en Une fois ce dernier résultat établi, on démontre facilement le théorème fondamental suivant : Théorème 21 équivalence des normes en dimension finie Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Démonstration Si une suite (X n ) est N 1 convergente, les suites de ses composantes convergent, elle est alors convergente pour une norme N 2 quelconque. On sait qu il existe dans ce cas un réel α > 0 tel que N 2 αn 1. Par symétrie les normes sont équivalentes. Remarque : En dimension finie, les suites convergentes, les fonctions continues, les ouverts, les parties bornées, les fermés, les parties denses, la continuité, les limites... ne dépendent pas de la norme. On n a donc pas à préciser pour quelle norme une suite converge et la locution espace vectoriel normé de dimension finie sur K a un sens. Par contre les boules sont attachées à la norme qui les définit. Attention, ce résultat est toujours faux en dimension infinie. 4.2 Théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème 22 de Bolzano Weierstrass Dans un espace de dimension finie, de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente. Démonstration On le démontre par récurrence sur la dimension de l espace en raisonnant comme en dimension 2 (preuve de BW dans C chapitre Topologie de R et C ). Exercice 34 On considère une suite de matrices symétriques réelles convergente : (S n ) n M k (R) N. 1. La limite est elle symétrique? 2. On sait que pour chaque entier n, S n est orthogonalement semblable à une matrice diagonale D n = diag(λ n 1, λ n 2,..., λ n k ), c est à dire une matrice P n O n (R) telle que Pn 1 S n P n = D n. Justifier qu il existe une sous-suite de (P n ) n qui converge dans M n (R). 3. Que peut on dire des suites de valeurs propres? 4.3 Suites de Cauchy en dimension finie Une conséquence de la propriété de Bolzano-Weierstrass est qu en dimension finie les suites de Cauchy sont convergentes. Ceci nous fournit un critère de convergence dont il faut savoir se servir à l occasion. 25

26 Théorème 23 les evn de dimension finie sont complets Dans un evn de dimension finie une suite converge ssi c est une suite de Cauchy. On dit que les evn de dimension finie sont complets. Démonstration conséquence directe de la propriété de B-W et des propriétés générales des suites de Cauchy. La démonstration est la même que dans le chapitre topologie de R. Exercice 35 Soit (E, ), un espace normé, 1. Montrer que tout sous- espace vectoriel de dimension finie de E est fermé. 2. On se propose de démontrer que si F est un sev fermé de E et G un sev de dimension finie de E, alors F + G est fermé dans E : (a) Justifier l existence d un sev G de E tel que F + G = F G? (b) On considère une suite (x n ) n d éléments de F + G qui converge vers un élément l E. i. Montrer que l on peut écrire x n = a n + b n avec a n F et b n G. ii. Montrer que si (b n ) n est bornée, l F G. iii. Que faire lorsque (b n ) n n est pas bornée? (c) Conclure. corrigé en Continuité en dimension finie Cette section est fondamentale. On rappelle le théorème : Théorème 24 continuité des coordonnées Lorsque E est de dimension finie, les fonctions coordonnées dans une base (e i ) i quelconque, x = sont des fonctions continues. n x i e i E x i K, i=1 Théorème 25 Soit f une application de E normé (de dimension qque) dans F normé et de dimension finie, a un point de E.. Les propositions suivantes sont équivalentes : f est continue en a il existe une base (e j ) j de F dans laquelle les fonctions composantes de f sont continues en a; dans toute base de F, les fonctions composantes de f sont continues en a. Rappelons que les fonctions composantes de f dans (e j ) j, sont les fonction f j définies par f(x) = n f j (x)e j. j=1 Exemples d applications continues dans les e.v.n. : Comme les applications coordonnées (x 1, x 2,..., x n ) K 3 x i K ou A M n (K) a i,j K, sont continues, il s ensuit que : 26

27 1. Toute aplication linéaire de (E, E ) de dimension finie, dans F normé, de dimension quelconque, est continue 2. Les fonctions polynômes de plusieurs variables P (x 1, x 2,..., x n ) = α a αx α1 1 xα2 2...xαn n, sont des fonctions continues. 3. Des parties de R 2 de la forme {xy = 1}, {xy 1}, sont fermées alors que {xy < 1}, {xy < 1}, sont ouvertes La fonction déterminant définie sur M 2 (K), à valeurs scalaires, a 1,1 a 1,1 a 1,1 a 1,1 = a 1,1a 2,2 a 2,1 a 1,2 est une fonction continue : écrire l arbre syntaxique, vérifier que toutes les opérations conservent la continuité. 5. La fonction déterminant définie sur M n (K), est également continue (récurrence ou formule explicite det(a) = ( σ ε(σ) i a i,σ(i)) ); 6. Pour n 2, l ensemble des matrices inversibles GL n (K) = {M; det(m) 0} est un ouvert de l espace normé de dimension finie M n (K). Théorème 26 continuité des applications linéaires en dim finie Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur le même corps. Si E est de dimension finie, les applications linéaires de E dans F sont des fonctions continues. 27

28 5 Connexité par arcs Définition 12 connexité par arcs Une partie X d un evn (E, N) est connexe par arcs ssi pour tout couple (a, b) X, il existe une courbe paramétrée continue, γ : t [0, 1] γ(t) X telle que γ(0) = a et γ(1) = b. Théorème 27 généralités 1. Les parties connexes par arcs de R sont les intervalles ; 2. Un convexe de E est connexe par arcs ; 3. Soit f : D E F une application continue, l image par f d un connexe par arcs de D est un connexe par arcs dans F ; 4. Soit f : D E R une application continue, l image par f d un connexe par arcs de D est un intervalle dans R et f satisfait à la propriété de la valeur intermédiaire ; Démonstration on fait usage du TVI Exercice Montrer que le plan privé d une droite n est pas connexe par arcs. 2. Une hyperbole, une ellipse, une parabole sont elles connexes par arcs? 3. Montrer qu une intersection de connexes par arcs est connexe par arcs ; que dire d une réunion? 4. R est il connexe par arcs dans R? 5. R ou C sont ils connexes par arcs dans C? 6. Les matrices inversibles constituent elles une partie connexe par arcs dans M n (K)? On distinguera avec soin les cas réels et complexes. 7. Un ensemble étoilé par rapport à un de ses points A, est il connexe par arcs?

29 Exercice 37 Les hyperboloïdes suivants sont ils connexes par arcs? Equation réduite nom f igure représ. paramétrique x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0 cône(sommet à l orig.) x = am cos θ y = bm sin θ z = cm x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 ellipsoϊde x = a cos φ cos θ y = b cos φ sin θ z = c sin φ x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 hyperboloϊde à une nappe x = a chφ cos θ y = b chφ sin θ z = c shφ x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 hyperboloϊde à deux nappes x = a shφ cos θ y = b shφ sin θ z = ±c chφ 29

30 6 Notion de compact 6.1 En dimension quelconque Définition 13 partie compacte On dit qu une partie X de E, ev normé est compacte si et seulement si toute suite d éléments de X admet une sous-suite convergente dont la limite est dans X (ou bien toute suite d éléments de X admet une valeur d adhérence dans X). Théorème Une partie compacte est fermée et bornée (la réciproque est fausse en général, vraie en dimension finie) ; 2. Dans un compact, toute suite de Cauchy converge ; Démonstration 1. deux implications : les contraposées sont faciles à établir ; 2. c est la propriété de BW qui permet de conclure, comme dans R, que les suites de Cauchy d un compact convergent. Théorème 29 Si (x n ) n est une suite convergente d un evn (E, N), la partie X = {x n ; n} lim x n est compacte ; Démonstration Théorème 30 image d un compact par une application continue Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f une application continue de D E dans F. L image par f de toute partie X compacte de E, est une partie compacte de F. Démonstration analogue à celle du théorème correspondant sur R. Théorème 31 continuité uniforme Une fonction continue sur un compact est uniformément continue. Démonstration analogue à celle du théorème de Heine sur R. Exercice 38 compacts en dim quelconque Donner des exemples de compacts en dimension quelconque (penser aux résultats qui précèdent). Exercice 39 brèves à connaître (rappels du cours topologie de R ou C) 30

31 1. Montrer que si f est une fonction (à valeurs réelles ou complexes) de classe C 1 sur R, alors f est lipschitzienne sur tout intervalle [a, b] R. Est-elle aussi lipschitziennne sur R? 2. Montrer que pour toute fonction sur C telle que f atteint son minimum. M > 0, r > 0, z C z r f(z) M 3. (a) Montrer que toute fonction sur C telle que est bornée et atteint son maximum. M > 0, r > 0, z C z r f(z) M. (b) Montrer que pour tout polynôme P, la fonction x P (x)e x2 est bornée sur R. Atteint elle ses bornes? 4. (a) Rappeler la définition d un fonction continue par morceaux sur [a, b]. (b) Justifier que si f est continue par morceaux sur [a, b], il existe des réels m et M tels que x [a, b], m f(x) M. Exercice 40 Soit (E, ), un evn et K un compact de E. Montrer qu il existe un élément x 0 K (respectivement x 1 K) tel que x 0 = inf x K x, (respectivement x 1 = sup x K x ). Exercice 41 boule unité en dimension infinie, un exemple... On considère l espace des fonctions continues sur [0, 2π], à valeurs dans C, muni du produit scalaire complexe : (f g) = 1 2π f(t)g(t) dt. 2π 0 1. Vérifier que la famille des fonctions f n := x cos nx est orthogonale ; est elle orthonormale? 2. Calculer f n f m 2 ;. 3. Les boules fermées sont elles des compacts dans cet espace? 6.2 Compacité en dimension finie Théorème 32 signification de la compacité en dim finie Une partie X de E, ev normé de dimension finie, est compacte ssi elle est fermée et bornée. Démonstration : c est une conséquence du théorème de Bolzano-Weierstrass. 6.3 Compacité, exercices Exercice 42 classique, A SAVOIR Soit (E, ) un evn de dimension finie. Soit f une fonction continue sur E telle que M > 0, α > 0, x E, x α f(x) M, alors f admet un minimum global sur E. Indication : saisir f(0) par exemple, puis M > f(0)... Voir aussi l exercice 44 où l on reprend la même idée, l exercice 66 ( l algorithme du gradient)... 31

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