Université de Cergy-Pontoise Calcul Diff S6 M. Topologie

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie"

Transcription

1 Université de Cergy-Pontoise Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition 1.1 On appelle distance sur E tout application de E E dans R + telle que i) x, y E, d(x, y) = 0 ssi x = y, ii) x, y E, d(x, y) = d(y, x), iii) x, y, z E, d(x, y) d(x, z) + d(z, y). On dit alors que (E, d) est un espace métrique. Exemples : 1) Les espaces vectoriels normés. 2) Les distances sur une sphère. 3) La distance grossière. 4) Définir sur une distance sur les mots d un dictionnaire. sup x,y A Pour tout ensemble non vide A E on appelle le diamètre de A diam(a) = d(x, y) [0, + ]. Pour tous A, B E, deux ensembles non-vides, on appelle distance entre A et B d(a, B) = d(x, y). Attention contrairement à son nom, cette application inf (x,y) A B n est pas une distance mais signalons le résultat suivant, pour tout A, B, C E, 1.2 Topologie métrique d(a, C) d(a, B) + diam(b) + d(b, C). Sur tout espace métrique (E, d) on peut définir une topologie en définissant: 1) Les boules ouvertes (notée B(x, r)) et les boules fermées (notées B(x, r)). 2) Les ensembles ouverts (O est ouvert ssi pour tout x O, il existe r > 0 tel que B(x, r) O). 3) Les ensembles fermés (F est fermé ssi c F est ouvert). 1

2 On remarquera que toute union (infinie ou pas, dénombrable ou pas) d ouverts est un ouvert et que toute intersection de fermés est un fermé. Toute intersection finie d ouverts est un ouvert, toute union finie de fermés est un fermé. On peut alors définir l intérieur et l adhérence d un ensemble: Pour tout ensemble A de E, on définit l intérieur de A comme le plus grand ouvert contenu dans A, on le note A (On montre son existence en prenant l union de tous les ouverts contenus dans A). Pour tout ensemble A de E, on définit l adhérence de A comme le plus petit fermé contenant A, on le note A (On montre son existence en prenant l intersection de tous les fermés contenant A). Signalons que x A ssi d(x, A) = 0. On peut définir la notion de suite convergente dans (E, d). Il est alors facile de montrer qu un ensemble A est fermé ssi toute suite d éléments de A, (x n ) convergente, a sa limite dans A. 1.3 Continuité Enfin si (E, d) et (F, d ) sont deux espaces métriques, on peut définir les notions de limites ou de continuité d une fonction f : E F en un point x E: f est continue en x ssi ε > 0, η > 0, f(b E (x, η)) B F (f(x), ε) Proposition 1.2 Soit f : (E, d) (F, d ). Les propositions suivantes sont équivalentes: i) f est continue en tout point de E. ii) L image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E. iii) L image réciproque de tout fermé de F est un fermé de E. On montre que i) et ii) sont équivalentes dans cette propriété en notant que la définition de la continuité en un point x 0 peut se traduire par: ε > 0, x 0 { }} { f 1 (B F (f(x 0 ), ε)). Enfin on montre que ii) et iii) sont équivalentes en notant que pour tout ensemble B F, f 1 (F \ B) = E \ f 1 (B). 1.4 Compacts Dans toute cette partie (E, d) est un espace métrique. 2

3 Définition 1.3 On dit que K E est compact si et seulement de recouvrement de K par des ouverts, il existe un sous-recouvrement fini. On montre facilement que si F K, avec K compact et F fermé, alors F est compact (On complète les recouvrements de F par c F pour construire un recouvrement de K). On montre aussi facilement que si K est compact alors K est fermé (on montre que son complémentaire est ouvert, en prenant x / K, on note que K c B(x, 1 )) et que son diamètre est fini (on écrit que pour x K, n K n N n N B(x, n)). Proposition 1.4 Si K est un compact de E, alors (K, d) est complet. Preuve : Soit (x n ) une suite de cauchy de K, on peut extraire une sous-suite (x ϕ(n) ) telle que B n = B(x ϕ(n), 1 ) soit une suite emboitée de fermée. On étudie B n n. Cet n N ensemble a un diamètre nul, soit il est vide, soit il est restreint à un point. S il est restreint à un point x alors (x n ) converge vers x de manière immédiate. Si il est vide alors on peut recouvrir K par c B n. K étant compact, on peut en extraire un sous-recouvrement fini. La suite (B n ) étant emboitée on aurait donc il existe n 0 tel que K c B n0, ce qui est absurde puisque pour tout n n 0, x n K B n0. Proposition 1.5 Si f est une application continue de E dans F deux espaces métriques, alors pour tout K compact de E, f(k) est un compact de F Si on recouvre f(k) par une famille d ouverts (O i ), alors on a un recouvrement de K par les ouverts (f 1 (O i )). En extrayant un sous-recouvrement fini de K, on obtient un sous-recouvrement fini de F (K). Si (E 1, d 1 ) et (E 2, d 2 ) sont des espaces mètriques, on peut munir E 1 E 2 de la mètrique définie par d((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = min{d 1 (x 1, y 1 ), d 2 (x 2, y 2 )} (on parle de mètrique (topologie) produit). Proposition 1.6 Si K 1 est un compact de (E 1, d 1 ) et K 2 est un compact de (E 2, d 2 ), alors K 1 K 2 est un compact de (E 1 E 2, d). Il suffit de remarquer qu un ouvert de E 1 E 2 s écrit comme le produit O 1 O 2 de deux ouverts de E 1 et E 2. Donc tout recouvrement de K = K 1 K 2 par des ouverts peut s crire comme le recouvrement par des ouverts du type (O 1 i O 2 j ). On conclut en notant que (O k i ) forme un recouvrement de K k. Proposition 1.7 Un ensemble K est compact si et seulement si de toute suite de K on peut en extraire une sous-suite convergente. 3

4 Preuve : Soit K un compact de E, soit (x k ) une suite de K, on note X l adhérence de {x k, k N}. Pour tout n, on remarque que B(x k, 1 ) forment un recouvrement n de X qui est compact, on en déduit que pour tout n, il existe k n et une sous-suite (x ϕn(k)) qui soit dans B(x kn, 1 ). On conclut en utilisant un procédé itératif et n diagonal. On suppose que de toute suite de K on peut extraire une sous-suite convergente. Soit (O i ) une famille d ouverts recouvrants K. On va raisonner par l absurde, on suppose donc qu aucune réunion finie par des ouverts O i ne contienne K. Il existe x 0 K tel que d 0 = sup{d(x 0, c O i ), i I} > 0, on se fixe alors i 0 tel que d(x 0, c O i0 ) d 0 2. Par récurrence on construit alors une suite (x n) tel que x n+1 K et x n+1 / k n O ik, d n+1 = sup{d(x n+1, c O i ), i I} et on se fixe alors i n+1 tel que d(x n+1, c O in+1 ) d n+1 2. La suite (x n) admet donc une sous-suite convergente vers une limite x. On conclut en considérant un ouvert O j contenant x, en notant que d = sup{d(x, c O i ), i I} > d(x, c O j ) > 0. Proposition 1.8 Si f est une application continue de K un compact dans F un espace métrique, alors f est uniformément continue sur K. En raisonnant par l absurde, on peut construire deux suites de K, (x n ) et (y n ) telles que (d(x n y n )) converge vers 0 mais (d(f(x n ), f(y n ))) est minorée par une constante strictement positive. On conclut en extrayant des sous-suites de (x n ) et (y n ) communes et convergentes. 2 Espaces vectoriels normés Définition 2.1 Soit E un espace vectoriel. On appelle norme sur E toute application N de E dans R + qui vérifie les trois points suivants: 1) N(x) = 0 ssi x = 0 E. 2) Pour tout λ R et pour tout x E, N(λx) = λ N(x). 3) Pour tous x, y E, N(x + y) N(x) + N(y). On dit que (E, N) un espace vectoriel normé. Lemme 2.2 (Lemme de Riesz) Soit M un s.e.v fermé de E distinct de E. Il existe une suite (u n ) telle que u n = 1 et ( d(u n, M) ) tend vers 1. On note que si d(v, M) = 0 alors v M car M est fermé. Soit v / M alors d(v, M) = d > 0. Pour tout n > 0, il existe x n M tel que (n + 1)d d v x n <. On pose u n = v x n n v x n. Pour tout m M, u n m = v (x n + v x n m), v x n 4

5 et m x n + v x n m définit une bijection de M dans M. On en déduit immédiatement que d(u n, M) = converge vers 1. d v x n et on a bien (d(u n, M)) n N Théorème 2.3 (Riesz) La boule unité fermée de E est compacte si et seulement si E est de dimension finie. Attention, cela ne veut pas dire que tout compact est inclus dans un espace vectoriel de dimension fini. On montre l implication avec une construction par récurrence. On admet la réciproque pour l instant qui nécessite l équivalence des normes en dimension finie ce qui sera démontré ultérieurement. Proposition 2.4 Soit E un espace vectoriel normé de dimension infinie et K un compact de E, alors E \ K est connexe par arc. Soit x / K. On sait que E \ K est ouvert donc il existe r > 0 tel que B(x, r) K =. Si pour tout y B(0, 1), il existe λ > 0, x + λy K alors de toute suite de (y n ) de B(0, 1), on peut associer une suite (z n ) de K telle que z n = x + λ n y n avec λ n > r. K étant compact (z n ) admet une sous-suite convergente, or ( 1 λ n ) est bornée, on peut donc extraire une sous-suite convergente de toute suite de B(0, 1) ce qui est absurde. Donc il existe y B(0, 1) tel que pour tout λ > 0 x + λy / K. Pour tout x 1, x 2 E \ K, il existe donc y 1 et y 2 des vecteurs de E tels que pour tout λ > 0, x i + λy i / K. De plus K étant compact, il existe R > 0 tel que K B(0, R). Si x i < R on peut alors construire le point z i = x i + λy i tel que z i = R, si x i R alors on pose z i = R x i x i et les segments [x i, z i ] sont dans E \ K. On conclut en rejoignant z 1 et z 2 sur la sphère. Définition 2.5 Soit E un espace vectoriel muni de deux normes N 1 et N 2. On dit que N 1 et N 2 sont équivalentes si et seulement si il existe deux constantes β > α > 0 telles que x E, αn 1 (x) N 2 (x) βn 1 (x). Proposition 2.6 La relation précédente est une relation d équivalence sur les normes. Si N 1 et N 2 sont équivalentes, alors elles définissent une même topologie, i.e que les ouverts et les fermés sont les mêmes (les convergences sont les mêmes). 5

6 3 Espaces de Banach Définition 3.1 Soit (E,. ) un espace vectoriel normé. On dit que (E,. ) est un espace de Banach si et seulement si il est complet. Proposition 3.2 Soit (E,. ), un espace de Banach. Si B n est une suite de boule emboitée, alors n N B n est non-vide. Si on note (x n ) et (r n ) les suites des centres et des rayons des boules B n, alors par décroissance des boules la suite (r n ) est décroissante et donc convergente. De plus par emboitement des boules pour tout n, m on vérifie x n x m r n r m. On en déduit immédiatement que la suite (x n ) est de Cauchy. Pour conclure il suffit de noter que pour tout n 0, la suite (x n ) n n0 est une suite de B n0. Proposition 3.3 Soient E, F deux espaces vectoriels normés et f une fonction de E dans F. On dit que f vérifie le critère de Cauchy au voisinage de x 0 E ssi ε > 0, η > 0, x, y B E (x 0, η), f(x) f(y) < ε. Si F est un espace de Banach, alors f admet une limite au point x 0 ssi elle vérifie le critère de Cauchy au voisinage de x 0. Théorème 3.4 Théorème du point fixe Soit (E,. ) un espace de Banach. Soit F un fermé de E et f une application de F dans F contractante alors f admet un unique point fixe dans F. De plus pour tout x 0 F, la suite (f n (x 0 )) converge vers ce point fixe. On montre l unicité dans un premier temps puis on montre que les suites définies par x 0 F et (f n (x 0 )) sont de Cauchy. Corollaire 3.5 Soit E un espace de Banach et f une application de E dans E. On suppose qu il existe un entier n > 0 tel que f n = f.. f est contractante. Alors f admet un unique point fixe. On remarque que tout point fixe de f est forcément un point fixe de f n. On en déduit l unicité en appliquant le théorème précédent à f n qui admet un unique point fixe x 0. Pour montrer que x 0 est un point fixe de f, on remarque que f(x 0 ) est aussi un point fixe de f n. 6

7 Proposition 3.6 Soient E un espace vectoriel normé et F un espace de Banach. Soit A une partie dense de E. On considère f : A F une application uniformément continue. Il existe une unique application g : E F continue telle que g A = f. De plus g est uniformément continue. Soit x E \A. Par densité, x Ā. Comme f est uniformément continue (il suffit en fait qu il existe r > 0 tel que f soit uniformément continue sur B(x, r) A), f vérifie le critère de Cauchy au voisinage de x, donc f(y) admet une limite quand y tend vers x. On pose alors g(x) = f(x) si x A et g(x) = lim f(y). Pour conclure il reste à y x montrer la continuité de g qui se déduit immédiatement de l uniforme continuité de f. 4 Applications linéaires Dans toute cette partie E et F désigneront des espaces vectoriels normés. 4.1 Continuité Proposition 4.1 Soit f une application linéaire de E dans F. f est continue sur E si et seulement elle vérifie l une des conditions suivantes i) f est lipschitzienne sur E. ii) f est uniformément continue sur E. iii) f est continue en un point. iv) f est continue en O E. v) f est bornée sur la boule unité. vi) Il existe une constante k telle que pour tout x E, f(x) F k x E. Par la linéarité, le seul point difficile est de montrer que le point iv) implique le point v). On peut raisonner par contraposée. Si le point v) n est pas vérifié, alors il existe une suite (x n ) bornée (par 1) de E, telle que ( f(x n ) ) soit une suite strictement ( croissante ) qui diverge vers +, on constate alors que la suite 1 (y n ) = f(x n ) x n converge vers 0 E alors que (f(y n )) (qui est de norme 1) ne converge pas vers f(0 E ) = 0 F. Proposition 4.2 Pour toute application linéaire f continue de E dans F on vérifie que sup{ f(x) F, x B(0, 1)} = inf{k, x E, f(x) F k x E } = f Si on note L(E, F ) (à ne pas confondre avec L(E, F )) l ensemble des applications linéaires continues, alors l application f f est une norme. 7

8 Proposition 4.3 Si F est un espace de Banach alors L(E, F ) est un espace de Banach. On montre que si (f n ) est une suite de Cauchy pour la norme de L(E, F ) alors on vérifie un critère de Cauchy uniforme sur tout borné de E. Remarques: En dimension infinie 1) La continuité d une application linéaire dépend du choix des normes. 2) Une application peut-être continue bijective sans que sa réciproque ne soit continue. 3) Une application peut-être injective sans être surjective. 4) Une application peut-être surjective sans être injective. 5) Une application linéaire de E dans E peut-être une isométrie sans être bijective. Théorème 4.4 Soient E un espace de Banach et u L(E, E). Si u < 1 alors Id E u est un isomorphisme. On prouvera ce théorème en utilisant la série u k. On en déduit alors des résultats similaires à la dimension finie. Si on note Isom(E) l ensemble des isomorphismes de E dans E, on peut énoncer: Théorème 4.5 L ensemble Isom(E) est un ouvert de L(E, E), de plus l application u u 1 est une application continue de L(E) dans lui-même. Pour la première partie, on montrera que pour u 0 un isomorphisme, si u u 0 < 1 alors u est encore un isomorphisme (plus précisément u 1 0 u = Id E v est u 1 0 un isomorphisme). On démontre la deuxième partie en utilisant v = Id E u 1 0 u. On peut alors facilement généraliser ce dernier théorème aux cas de deux espaces E et F de Banach. 4.2 Cas de la dimension finie Théorème 4.6 Sur un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On se donne (e i ) une base de E et on définit pour tout x E, x = sup{ λ i, 1 i n} où x = i = 1 n λ i e i. On va montrer que toutes les normes sur E sont équivalentes à.. On pourra conclure puisqu il s agit d une relation d équivalence. 8

9 Soit donc. une norme sur E. On montre que. : (E,. ) R est une application lipschitzienne. En effet pour tout x, y E, un simple calcul nous donne n x y x y x y e i. En remarquant que K = {x, x = 1} est un compact de (E,. ), par continuité on en déduit que. atteint ses bornes sur K ce qui achève la démonstration. i=1 Corollaire 4.7 Si E est un espace vectoriel normé de dimension finie alors toutes les applications linéaires définies de E dans un espace vectoriel normé F sont continues. 4.3 Applications multilinéaires Définition 4.8 Soit (E i ) 1 i n une famille d espaces vectoriels. On dit qu une application f de E 1.. E n dans F est n-linéaire (ou multilinéaire) si et seulement si pour tout i fixé et tout (x j ) j i fixé, x i f(x 1,.., x n ) est linéaire sut E i. On dit que f est linéaire par rapport à chacune de ses variables. Remarque: On peut identifier l ensemble des applications multilinéaires à L(E 1, L(E 2, L(E 3,..L(E n, F ))..)). Il suffit juste d identifier F(E 1.. E n, F ) avec F(E 1, F(E 2, F(E 3,..F(E n, F ))..)). Proposition 4.9 Une application multilinéaire est continue si et seulement si il existe une constante k telle que (x i ) 1 i n E 1.. E n, f(x 1,.., x n ) k x x n n. 9

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

ANALYSE MATHEMATIQUE. Jean SCHMETS

ANALYSE MATHEMATIQUE. Jean SCHMETS UNIVERSITE DE LIEGE Faculté des Sciences Institut de Mathématique ANALYSE MATHEMATIQUE Introduction aux espaces fonctionnels Notes du cours de la seconde candidature en sciences mathématiques ou en sciences

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Cours de Topologie L3-math

Cours de Topologie L3-math Cours de Topologie L3-math Renaud Leplaideur Année 2014-2015 UBO 2 Table des matières 1 Rappels, préliminaires 5 1.1 Rappels sur les ensembles........................... 5 1.1.1 Formalisme ensembliste.........................

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Preuve.

Plus en détail

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009 Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur Sup Galilée - année 2008-2009 Benoît Merlet Ces notes de cours s adressent aux élèves ayant suivi le cours. Elles contiennent peu d explications. Elles pourront

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. := {x} := {A X x A} est un

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. := {x} := {A X x A} est un TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Exercice

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

Opérateurs non-bornés

Opérateurs non-bornés Master Mathématiques Analyse spectrale Chapitre 4. Opérateurs non-bornés 1 Domaine, graphe et fermeture Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que H H est l espace de Hilbert H H muni du produit scalaire

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

M42. Compléments d analyse (résumé).

M42. Compléments d analyse (résumé). Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

Analyse - Résumés et exercices

Analyse - Résumés et exercices Analyse - Résumés et exercices Georges Skandalis Université Paris Diderot (Paris 7) - IREM Préparation à l Agrégation Interne 6 mars 205 Table des matières Suites de nombres réels. Développement décimal

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Introduction à l Optimisation Numérique

Introduction à l Optimisation Numérique DÉPARTEMENT STPI 3ÈME ANNÉE MIC Introduction à l Optimisation Numérique Frédéric de Gournay & Aude Rondepierre Table des matières Introduction 5 Rappels de topologie dans R n 7 0.1 Ouverts et fermés de

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

EXERCICES MATHEMATIQUE. UNIVERSITE DE LIEGE Faculté des Sciences F.BASTIN J.-P. SCHNEIDERS. Septembre 1992 EDITION PROVISOIRE

EXERCICES MATHEMATIQUE. UNIVERSITE DE LIEGE Faculté des Sciences F.BASTIN J.-P. SCHNEIDERS. Septembre 1992 EDITION PROVISOIRE UNIVERSITE DE LIEGE Faculté des Sciences EXERCICES d ANALYSE MATHEMATIQUE Notes du cours de la seconde candidature en sciences mathématiques et en sciences physiques F.BASTIN J.-P. SCHNEIDERS Septembre

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable

Plus en détail

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES I. Logique. II. Ensemble. III. Relation, fonction, application. IV. Composition, réciprocité. V. Relation d

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

4 Espaces topologiques vectoriels

4 Espaces topologiques vectoriels 4 Espaces topologiques vectoriels Il existe des exemples importants d espaces vectoriels pour lesquels la notion naturelle de convergence n est pas engendrée par une norme. C est le cas, par exemple, de

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Table des matières. 4 Espaces de Hilbert 88 4.1 Généralités... 88 4.2 Le Théorème des bases hilbertiennes... 99 4.3 Exemples...

Table des matières. 4 Espaces de Hilbert 88 4.1 Généralités... 88 4.2 Le Théorème des bases hilbertiennes... 99 4.3 Exemples... Table des matières 1 Espaces linéaires à semi norme 3 1.1 Parties remarquables d un espace linéaire.................. 3 1.2 Sémi-normes sur un espace linéaire...................... 7 1.3 Espace linéaire

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève 30-1- 2013 J.F.C. p. 1 F 1 F 2 F 3 Assez simple ou proche du cours. Demande du travail. Délicat. EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005 Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 X est une variable aléatoire de

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Cours Intégration MA62. Université de Reims

Cours Intégration MA62. Université de Reims Cours Intégration MA62 Frédéric Hérau Université de Reims mai 2006 Table des matières Introduction 2 1 Préliminaires et Rappels 3 1.1 La droite achevée R............................... 3 1.2 Rappels sur

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques Années 2004-2005-2006 LM 363 THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Cours de P. MAZET Edition 2004-2005-2006 Table des matières Table des matières

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques

Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques Vandana BHANDARI Marc-Olivier CZARNECKI P R E P AMA TH Collection dirigée par Éric MAURETTE Sommaire Algèbre Notionsdebase... 1,2 Arithmétique...

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels.

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. Lycée Louis le grand Année scolaire 2007/2008 Mathématiques Supérieure MPSI Semaine 12 11 mai 2009 1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. On note K le corps R ou C. 1.1 Axiomes d espace vectoriel.

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de maths spé MP

Résumé du cours d analyse de maths spé MP 1 TOPOLOGE Résumé du cours d nlyse de mths spé MP 1 Topologie 1) Normes, normes équivlentes Une norme sur l espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x). x E, (N(x) = x = ) (xiome

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option Economique

MATHEMATIQUES Option Economique Concours EDHEC 9 Classes Préparatoires MATHEMATIQUES Option Economique La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

Plus en détail

Probabilités Approfondies

Probabilités Approfondies Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématique 2005-2006 Probabilités Approfondies Polycopié: J. Lacroix & P. Priouret, Cours: J. Lacroix 1 Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématiques

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR MAM 3, Polytech Lyon Ionel Sorin CIUPERCA Le cours s adresse en principal à des élèves des écoles d ingénieurs, filière modélisation mathématique. Une partie

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

UNIFORMITÉ DE LA DISTORTION DE ŚWIA TEK POUR LES FAMILLES COMPACTES DE PRODUITS DE BLASCHKE M.R. HERMAN

UNIFORMITÉ DE LA DISTORTION DE ŚWIA TEK POUR LES FAMILLES COMPACTES DE PRODUITS DE BLASCHKE M.R. HERMAN UNIFORMITÉ DE LA DISTORTION DE ŚWIA TEK POUR LES FAMILLES COMPACTES DE PRODUITS DE BLASCHKE M.R. HERMAN Note du transcripteur : ce document fait suite à Conugaison quasi symétrique des homéomorphismes

Plus en détail

Rapport sur l oral de mathématiques 2009

Rapport sur l oral de mathématiques 2009 Rapport sur l oral de mathématiques 2009 Oral spécifique E.N.S. Paris : Thomas Duquesne Oral commun Paris-Lyon-Cachan : Romain Abraham, Sorin Dumitrescu, Philippe Gille. 1 Remarques générales sur la session

Plus en détail

Théorie de la mesure. S. Nicolay

Théorie de la mesure. S. Nicolay Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C. 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie 14.1.1 Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM365 Intégration 2 Année 2011 12 Théorie de la Mesure et Intégration Amaury Lambert 1 1. Responsable de l UE. Mél : amaury.lambert@upmc.fr

Plus en détail

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

B03. Ensembles, applications, relations, groupes

B03. Ensembles, applications, relations, groupes B03. Ensembles, applications, relations, groupes Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 6 janvier 2006 Table des matières 1 Calcul propositionnel 2 2 Ensembles 5 3 Relations 7 4 Fonctions, applications

Plus en détail

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries Chapitre 4 Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries I. Adjoint : Cas général d une forme { bilinéaire symétrique sesquilinéaire hermitienne On suppose dans tout I que E est un espace vectoriel de

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail