Suites et Convergence

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Suites et Convergence"

Transcription

1 Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour parler de la suite I R. Une suite est dite convergente vers R, ce que l on note, ssi > 0,,, Une suite ( ) converge vers + ssi > 0,,, Une suite est dite suite arithmétique s il existe un réel et un réel (raison) tq, par = récurrence, on a = + ou, autrement dit, = + ( ). (domaine de définition : N ) Une suite est dite suite géométrique s il existe un réel et un réel (raison) tq, par = récurrence, on a =. ou, autrement dit, =. () (domaine de définition : N ) Propriétés des valeurs absolues : R = 0 = 0, R,. =., R, + + (inégalité triangulaire) Conséquence :, R, Soit ( ), on appelle le nombre réel (s il existe) tq. Fonction : ( ) lim. Le «domaine» de cette fonction est toutes les suites convergentes. Une suite est dite bornée ssi 0,, Une suite est dite bornée supérieurement ssi 0,, Une suite est dite bornée inférieurement ssi 0,, Une suite est bornée ssi elle est bornée inf et sup. On dit que ( ) est de Cauchy ssi > 0,,,, c à d que les éléments se «rapprochent» les uns les autres pour «n grand».

2 Critères de convergence : Si une suite converge vers a, alors toutes les sous-suites de cette suite convergent vers a. Si une sous-suite ne converge pas au sens large alors la suite de départ ne converge pas non plus. Si 2 sous-suites convergent vers des valeurs différentes, la suite de départ ne converge pas. Si ( ) est de Cauchy alors ( ) est bornée, et ( ) converge. Si ( ) converge alors ( ) est de Cauchy. Si ( ) est une suite croissante et bornée supérieurement alors ( ) est de Cauchy. Si ( ) ( ) ( ) et que, alors ( ) Si et que 0, alors. (convergence dominée) Critères de suites bornées : Si une suite converge, alors elle est bornée. Si ( ) n est pas bornée et que ( ) 0 alors ( ) n est pas bornée. ( ) Le passage à la limite ouvre les inégalités. Une fonction est dite strictement croissante ssi,, > () > () Pour les suites, il suffit de montrer que () < ( + 1). Si x n et y n sont de Cauchy alors leur somme et leur produit le sont également. Topologie : On dit que ( ) «converge» ou «converge au sens stricte» ssi ( ) R On dit que ( ) «converge au sens large» ssi ( ) R, + On dit que ( ) «diverge au sens stricte» ssi ( ) ne converge pas au sens stricte. On dit que ( ) «diverge» ou «diverge au sens large» ssi ( ) ne converge pas au sens large a est le minimum de A ssi ET,. a est le maximum de A ssi ET,. a est l infimum de A ssi,. a est le supremum de A ssi,. a est le supremum d un ensemble R ssi > 0,, et, ( ), et, a est l infimum d un ensemble R ssi > 0,, + et, ( ), et, inf = sup ( ) (ù =

3 Une suite ( ) est dite sous-suite de ( ) ssi il existe une fonction : tq : = () est strictement croissante (, () < ( + 1)) ; On note ( ) ( ). Un espace X est complet ssi, par définition, toute suite de Cauchy ( ) possède une limite dans X. Une suite de vecteurs de R est une fonction : R où = N, pour un N. On note pour () R et ( ) R au lieu de : R. Une suite ( ) converge vers R ssi > 0,,, Normes, produits scalaires et boules. Une norme sur R est une fonction :. R R tq : = 0 = 0, R =., R, R + +,, R Conséquence : + + D où : De manière similaire : = ( 1)( ) = 1. =. est une norme sur R ssi R, R, = Un produit scalaire sur R est une fonction : (.. ) R x R R (, ) ( ) Cette fonction est : Bilinéaire :, (. ) R R et, (. ) : R R sont linéaires. Positive (et non dégénérée) : R, ( ) 0 et R, ( ) = 0 = 0. Symétrique ( commutative) :, R, ( ) = ( ). Théorème de Cauchy-Schwarz : ( ). Si. et. sont deux normes sur R alors,, (et donc également l inverse :,, ). On dit alors que. est dominée par. et. est également dominée par., on dit alors que. et. sont équivalentes. Sur R toutes les normes sont équivalentes.

4 Une suite de R converge vers le vecteur (,, ) ssi chaque composante de la suite (donc la première, la seconde,, la nième) converge respectivement vers,,,. é La de centre a et de rayon r pour la norme. est l ensemble :, (, ) = R < Forme de la boule de la norme 1 dans R : Forme de la boule de la norme 2 dans R : Forme de la boucle de la norme dans R : Un ensemble est convexe s il contient tous les segments joignant deux de ses points i.e.,, 0,1, (1 ) + Les boules sont convexes. Topologie : Bord de A = ( ) ( ) tq et. = ( ),, = = > 0,, Il s agit en fait de tout sauf le bord. Fonctions, continuité et dérivabilité. Soit : R R, une fonction, R ( ), R, on dit que () lorsque ssi ( ), ( ). on applique la limite sur une partie de l adhérence du domaine de.

5 Soit : R R,, R, s il existe R R et > 0, (, ), () () tq lim () =. Fonctions continues (sur leur domaine) :. x x² Toute application linéaire. Tout polynôme. Fonctions usuelles. lim () = 0 alors : R R,. On dit que est continue en a ssi lim () = () càd que cette limite existe car elle vaut nécessairement () car. Une fonction : R R est continue sur si, quelque soit, est continue en a. Théorème des valeurs intermédiaires : Si :, R est continue et définie sur, alors (), () (, ) i.e. (), (), (, ) c.à.d.,, () Théorème des valeurs intermédiaires («réduit»): Si :, R continue et (). () < 0 i.e. 0 (), () alors,, () = 0 (0 (, )) Utile pour assurer l existence d une racine. Théorème des valeurs intermédiaires («général»): Si :, R continue et (), (), alors,, () = ()() Soit : R R et, est dérivable en a ssi lim. Cette limite est appelée la dérivée de et on la note : (). Le nombre obtenu est également le coefficient angulaire de la tangente au graphe de en a. L équation de cette tangente en a est donnée par : = () + (). ( ). Cette droite, appelée la «tangente» est la droite la plus «proche» de la fonction.

6 () On dit qu une fonction est un petit de ( ) lorsque ssi lim = 0 et que () = 0 si elle existe. Si et sont toutes deux des ( ), alors leur somme et leur produit le sont également. Si () est un ( ) alors () 0,. Si () est bornée au voisinage de a (,, (, ), () ), alors ( ). () = ( ). est dérivable en a, R () ( + ) = ( ), c.à.d. que l on soustrait la meilleure approximation de la fonction, il ne doit donc plus rester de terme linéaire. Si l une de ces 2 propriétés est vérifiées, alors = () et = () ().. Soit, 2 fonctions dérivables en a, + est dérivable et ( + )() = () + (). est dérivable et (. )() = (). () + (). () est dérivable et ().()().() () = ()² Si est dérivable en a et que est dérivable en (), alors ( )() = (). () On a montré que : () = () + ()( ) + ( ). Si,, 2 fonctions inverses l une de l autre sont dérivables, alors () 0, () = ( )( ()) Théorème des bornes atteintes : Si Ω R fermé et borné (c.à.d. Ω = Ω) et : Ω R une fonction continue alors,, Ω, ( ) () ( ). Si :, R R et,, on dit que est un point de : Local : si > 0, (, ), ( ) () Global : si,, ( ) () Si :, R R est dérivable et, est un min ou un max local, alors ( ) = 0.

7 Si :, R, continue sur, et dérivable sur, tq () = (), alors,, ( ) = 0 Théorème de la moyenne : Si :, R continue sur, et dérivable sur,, alors, tq () () = ( )( ). Ca revient à dire que, par exemple si un objet a une vitesse moyenne de 90km/h, alors il a dû rouler au moins un instant à 90 km/h. Soit :, R et, min ou max local et ( ) existe, alors on a ( ) = 0. Théorème de ROLLE ( = Théorème de la moyenne avec f(a) = f(b) ): Si :, R est continue sur, et dérivable sur, et () = () alors,, () = 0 Lien entre théorème de la moyenne et théorème de Rolle, voir feuille. est de classe sur si est fois dérivable sur et R ()est continue. On note (, R).

8 Le développement de Taylor de d ordre 0 est un polynôme P tq : () () = ( ),. Soit p le DT d ordre m de en a et q le DT d ordre m de en a, on a : + est le DT d ordre m de + en a.. est le DT d ordre m de. en a. (restreint au bon ordre) est le DT d ordre m de en a. (restreint au bon ordre) Formule du reste : Soit intervalle ouvert de R, soit : R et (, R) avec N, alors,, tq () = Le DT est donné par : () = ()! DT ( ) () ( ).! Quelques développements de Taylor en 0 : = ²! + ³! + +! + ( ) sin = 1! +!! + + ( ) cos = !!! ( ) = ( ) = ( ) ln = = ( ) = 1 +! +! +! + + ( ) = +! +! +! + + ( ) + () ( ) ()! erreur entre DT et f(x) Les séries. Une série est une écriture symbolique du type où ( ) est une suite de R. Une série converge ssi la suite des sommes partielles ( ) converge. Si converge, alors 0 et donc, si 0, diverge. On dit qu une série converge absolument ssi converge. Si converge absolument, alors elle converge. Soient ( ) R et ( ) R tq alors, si converge, converge absolument et donc converge.

9 converge ssi < 1 ; converge ssi > 1. Equations différentielles. Forme générale. () + () + + () = (). Avec les C, = 1,, Linéaire signifie : () + () + + () est une application linéaire. Technique de résolution. Résultat du cours : Si je connais une solution particulière de l équation de départ () = ()., notée et si je résous l équation homogène (() = ), alors toutes les solutions de l équation de départ sont données par = + où sont les solutions de l équation homogène. La résolution se fait alors en 3 parties, I. Résoudre l équation homogène () = 0, pour avoir les solutions. II. Trouver une solution particulière de l équation de départ. III. Les solutions de l équation initiale sont données par : = +. I. Résoudre () = 0. () + () + + () = 0 On cherche le polynôme caractéristique de cette application, pour ce faire il suffit de remplacer par. Le polynôme caractéristique est donc () = On le factorise et on regarde les racines distinctes,,,. On considère également les multiplicités de ces racines :,, ( ) + + =. Les solutions de l équation homogène sont données par () = (). + + (). où deg <,, <

10 II. Trouver une solution particulière de l équation initiale. = (). Au cours, on a vu qu il existe une solution particulière notée () à cette équation, cette solution est de la forme : () =. ().. Où () () et est la multiplicité de comme racine du polynôme caractéristique. (Si il n est pas dans ces solutions, = 0) III. Solutions de l équation initiale. Les solutions de = () sont () = () + (). Remarques sur les exercices. a. = () + () Poser = + I. = 0 II. = = III. () = () + () + () b. = cos cos = = + = cos + sin cos = é = () = et les solutions de = cos sont () I. Résoudre : = 0 Exemples. =. Polynôme caractéristique : ² = ( 1)( + 1) = 0 Racines : = 1 = 1, 2 é 1. () = ().. + (). () = + où, C

11 II. Solution particulière de : =. Il existe une solution particulière de la forme : (). () = ( + ) il faut encore trouver les valeurs de a et b. Pour ce faire, on remplace dans l équation de départ, et pour cela, on a besoin de la dérivée seconde de (). ( + ) = + ( + ). 2 = ( + 2) + 2. ( + ) = 2( + 2) (( + ) ) ( + ) =. (2 + 4) ( + ) =. On simplifie par = (4 + 3) + 3 = On résout le système suivant : = 0 = 3 = 1 = Donc, () = III. Solutions de l équation initiale. () = ù, C Cette réponse est valable, C!

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Formulaire de maths - Analyse dans R n

Formulaire de maths - Analyse dans R n Formulaire de maths - Analyse dans R n Nom Théorème ou formule Espaces vectoriels normés Norme sur E Application qui vérifie les propriétés de : séparation : homogénéité : inégalité triangulaire : Normes

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique 08. Nombre dérivé Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d intervalles,

Plus en détail

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0 cours 13, le lundi 7 mars 2011 IV. spaces L p IV.1. Convexité Quand deux points x 0, x 1 R sont donnés, on peut parcourir le segment [x 0, x 1 ] qui les joint en posant pour tout t [0, 1] x t = (1 t)x

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense.

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense. 1 Feuille d exercices n o 1 1. Deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach Soient A E et B E deux convexes, non vides, disjoints (E est une espace vectoriel normé). On suppose que A est fermé

Plus en détail

Intégrales curvilignes.

Intégrales curvilignes. Chapitre 1 Intégrales curvilignes. 1.1 Généralités 1.1.1 Courbes paramétrées dans le plan. Motivations, exemples. L exemple basique de courbe est la trajectoire décrite par un objet assimilée à un point

Plus en détail

Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 1/10 Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maima. Les commandes

Plus en détail

Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes

Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes Chp. 9. Convexité Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction numérique partout définie sur C. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes Définition

Plus en détail

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle Chapitre 01 : Intégrales généralisées Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné de Dans ce chapitre, on va étudier le cas d

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Université Lille I 2010-2011. Feuille 1

Université Lille I 2010-2011. Feuille 1 Université Lille I 00-0 Feuille Dans la suite D est un domaine de C, muni d une pseudo-métrique infinitésimale définie par un poids ρ. On note d la pseudo-distance induite. Exercice. On suppose ici que

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/200 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 6 : PRIMITIVES ET INTEGRATION - COURS + ENONCE EXERCICE - 39 . Tableau

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Dérivation Dérivabilité Eercice [ 0354 ] [Correction] Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : a) 2 3 b) 2 ) arccos 2 ) Eercice 2

Plus en détail

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R TOPOLOGIE 1) DISTANCE, ESPACES MÉTRIQUES a : distances : d'après le cours de M. Nicolas Tosel professeur en MP* au Lycée du Parc, Lyon Année 2004 2005 une distance est une application d de E dans R + telle

Plus en détail

Chapitre 5 Le logarithme néperien

Chapitre 5 Le logarithme néperien A) La fonction ln(x) Chapitre 5 Le logarithme néperien ) Définition Nous avons vu que nous ne savions pas exprimer la primitive de la fonction inverse avec des fonctions connues. Alors inventons cette

Plus en détail

RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES

RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES ENSEMBLES DE NOMBRES ENSEMBLES,,,ET: On rappelle que : désigne l ensembleprivé de 0 idem pour, et, + désigne l ensemble des réels positifs ou nuls et l ensemble des

Plus en détail

Définition d une norme

Définition d une norme Définition d une norme Définition E est un K-ev. L application N : E R + est une norme sur E ssi 1. x E, N(x) = 0 x = 0. 2. k K, x E, N(k.x) = k N(x). 3. x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) Notation N,. Propriété

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples.

Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Introduction : On suppose connues les notions d injectivité, surjectivité,

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES CHAPITRE SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Les suites sont un objet fondamental à la fois en mathématiques et dans l application des mathématiques aux autres sciences. Nous verrons dans ce cours et les travaux

Plus en détail

Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005. Leçons d Algèbre et de Géométrie

Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005. Leçons d Algèbre et de Géométrie http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/agreg.htm Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005 Légende : En italique : leçons dont le libellé a changé ou évolué par rapport

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Chapitre : Fonctions convexes

Chapitre : Fonctions convexes Chapitre : Fonctions convexes I Définition Définition 1 Soit f : I R une fonction continue où I un intervalle de R On dit que f est une fonction convexe si (x, y I 2, λ [0, 1], f(λx + (1 λy λf(x + (1 λf(y

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Synthèse d analyse Avril 2011

Synthèse d analyse Avril 2011 Snthèse d analse Avril 20 Cette snthèse d analse a été rédigée suite à une suggestion de M le Professeur E Delhez Elle est destinée à aider les étudiants à préparer l eamen d admission au études d ingénieur

Plus en détail

Équations différentielles en physique

Équations différentielles en physique Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012 Équations différentielles en physique On ne considère en physique en prépa (quasiment) que des

Plus en détail

Dérivées et applications. Equation

Dérivées et applications. Equation Dérivées et applications. Equation I) Dérivée d une fonction strictement monotone 1) Exemples graphiques Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout I, (x) est le coefficient directeur de

Plus en détail

Espaces vectoriel normés

Espaces vectoriel normés Espaces vectoriel normés 1) Normes a) Dé nition : K R ou C. Une norme sur un K-ev E est une application E! R x 7! kxk véri ant : i) 8 x 2 E; kxk 0 et kxk 0, x 0 (vecteur nul). ii) 8 x 2 E; 8 2 K kxk jj

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006 MODÈLES DE DYNAMIQUE DES POPULATIONS N désigne l effectif d une population isolée. dn(t) dt MODÈLE DE MALTHUS (1766-1834) dn(t)

Plus en détail

Variations des fonctions

Variations des fonctions CH2-1er S Variations des fonctions Rédacteur : Yann BANC Le mot du prof : Ce chapitre vous permet de revoir les fonctions usuelles et de découvrir de nouvelles fonctions usuelles : valeur absolue et racine

Plus en détail

Cours. 1 ) Fonction affine Déf. Fonctions affines, polynômes. I FONCTIONS AFFINES Fonctions affines par morceaux. x x

Cours. 1 ) Fonction affine Déf. Fonctions affines, polynômes. I FONCTIONS AFFINES Fonctions affines par morceaux. x x Cours FONCTIONS USUELLES Fonctions affines, polynômes F1 I FONCTIONS AFFINES Fonctions affines par morceaux 1 ) Fonction affine a et b sont deux réels donnés. La fonction f définie sur R par f (x) = ax

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal Cours d Analyse Semestre 1 Stéphane Attal 2 Contents 1 Les nombres réels 5 1.1 Les ensembles usuels de nombres................ 5 1.2 Ensembles ordonnés........................ 6 1.3 Le corps des nombres

Plus en détail

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < +

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Chapitre 6 Les espaces L p 6.1 Définitions et premières propriétés 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Soient (E, T,m) un espace mesuré, 1 p < + et f M = M(E, T) (c est-à-dire f : E R, mesurable). On remarque

Plus en détail

PC* Espaces préhilbertiens réels

PC* Espaces préhilbertiens réels I. Espace préhilbertien réel................................... 3 I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel................... 3 I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski..................

Plus en détail

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour L / Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire USTV M Analyse numérique G FACCANONI Dernière mise-à-jour Jeudi mai Avertissement : ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées, ne vous étonnez

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Auteur : Alain Ladureau DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS TI-Nspire CAS 1. Objectifs Découvrir la notion de développement limité. Utiliser des développements limités dans l étude locale des fonctions. Les appliquer

Plus en détail

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE 2015-2016, Automne N. Débit & J. Bastien Document compilé le 13 novembre 2015 Liste des Travaux Dirigés Avant-propos iii Travaux

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Cours d Analyse Réelle 4M003

Cours d Analyse Réelle 4M003 Cours d Analyse Réelle 4M003 Jean SAINT RAYMOND Université Pierre et Marie Curie Avant-propos Ce texte a été rédigé pour servir de support écrit à un cours de Master 1 de l Université Pierre-et-Marie Curie.

Plus en détail

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner...

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... I Savoir reconnaître un produit scalaire Les applications ci-dessous sont-elles des formes bilinéaires? Si oui sont-elles symétriques? Définies?

Plus en détail

Série n 5 : Optimisation non linéaire

Série n 5 : Optimisation non linéaire Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France Option: M2AO 2007-2008 Série n 5 : Optimisation

Plus en détail

Espaces vectoriels normés MP

Espaces vectoriels normés MP Espaces vectoriels normés MP 27 décembre 2012 Faites des dessins Table des matières 1 Espaces vectoriels normés 3 1.1 Normes, espaces normés................................. 3 1.2 Normes dans les espaces

Plus en détail

Chapitre 7. Les fonctions de références

Chapitre 7. Les fonctions de références Chapitre 7 Les fonctions de références I Rappels sur les fonctions I1 Domaine de définition I2 Les variations I3 Parité II Les fonctions de référence II1 Fonctions affines II2 Fonction carré II3 Fonction

Plus en détail

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples.

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. 208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. Pierre Lissy May 29, 2010 Dans totue la suite, E désigne un espace vectoriel sur R ou C. 1 Norme. Espace vectoriel normé 1.1

Plus en détail

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Développements ités Corrections d Arnaud Bodin. Calculs Exercice Donner le développement ité en 0 des fonctions :. cosx expx à l ordre 2. ln + x)) 2 à l ordre 4 shx x. x à l ordre 6 4. exp sinx) )

Plus en détail

3D Compléments de cours. Guy GREISEN

3D Compléments de cours. Guy GREISEN 3D Compléments de cours Guy GREISEN 14 septembre 2009 3D 3 Table des matières 1 SECOND DEGRÉ 6 1.1 Introduction................................................ 6 1.2 Formule générale.............................................

Plus en détail

COURS OPTIMISATION. Cours en Master M1 SITN. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS OPTIMISATION. Cours en Master M1 SITN. Ionel Sorin CIUPERCA COURS OPTIMISATION Cours en Master M1 SITN Ionel Sorin CIUPERCA 1 Table des matières 1 Introduction 4 2 Quelques rappels de calcul différentiel, analyse convexe et extremum 5 2.1 Rappel calcul différentiel............................

Plus en détail

COURS DICTE ou rétroprojeté (TNI)! (mots de vocabulaire et formules écrites au tableau bien sûr)

COURS DICTE ou rétroprojeté (TNI)! (mots de vocabulaire et formules écrites au tableau bien sûr) Date J 03/09 Séquences Pédagogiques et Travail personnel Prise de contact. Fiche «administrative» et fiche «informations et règles de fonctionnement». A remplir et faire signer pour LUNDI 07. Programme

Plus en détail

Distributions, analyse de Fourier, EDP Amphi no. 1. Distributions, Fourier, EDP

Distributions, analyse de Fourier, EDP Amphi no. 1. Distributions, Fourier, EDP Distributions, analyse de Fourier, EDP Amphi no. 1 Organisation du cours/ressources Un problème à rendre en petite classe avant les vacances de Noël Contrôle classant le lundi 20 janvier 2014 Documents

Plus en détail

Techniques fondamentales de calcul

Techniques fondamentales de calcul Chapitre Techniques fondamentales de calcul. Inégalités dans R On rappelle que (R, +,, ) est un corps totalement ordonné, d où : x, y R, x y ou y x, x, y, z R, x y = x + z y + z, x, y R, x 0ety 0 = xy

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

3 Equations de Laplace et de Poisson

3 Equations de Laplace et de Poisson 3 Equations de Laplace et de Poisson 3. Formule d intégration par parties Soit un domaine borné à bord régulier de classe C. On note ν = ν(x) le vecteur normal extérieur au point x. Pour toutes fonctions

Plus en détail

EMLyon 2011 - Corrigé

EMLyon 2011 - Corrigé EMLyon - Corrigé Partie I. Soit X une variable aléatoire suivant la loi E() ; une densité de X est : f(x) = { si x < e x si x et E(X) = et V (X) =.. (a) Soit n N ; n E(S n ) = E(X k ) = n par linéarité

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51 Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech Paris-UPMC - p. /5 Rappels mathématiques s Propriétés - p. 2/5 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques

Plus en détail

1 Séancs du 14/21.11.08

1 Séancs du 14/21.11.08 1 1 Séancs du 14/21.11.08 1.1 Le rayon spectral Le spectre d un opérateur (ici, élément d une algèbre stellaire) est un compact non vide. La compacité est immédiate, car, pour z > u, u zi peut être inversé

Plus en détail

Remerciements. Partie 1 Algèbre linéaire 1

Remerciements. Partie 1 Algèbre linéaire 1 Table des matières Préface Remerciements xix xxi Partie 1 Algèbre linéaire 1 1 Compléments d algèbre linéaire 3 I Rappels du cours de première année.......................... 3 I.1 Famille dans un espace

Plus en détail

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé Exercice Commun à tous les candidats Baccalauréat Blanc février 25 Corrigé. Réponse d. : e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e 5,4. 2. Réponse b. : positif

Plus en détail

Un peu de topologie. Espaces métriques. Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo. Enseignants :

Un peu de topologie. Espaces métriques. Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo. Enseignants : Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo Un peu de topologie Enseignants : F. Golse (golse@math.polytechnique.fr), Y. Laszlo (laszlo@math.polytechnique.fr), C. Viterbo (viterbo@math.polytechnique.fr)

Plus en détail

Fonctions circulaires et applications réciproques

Fonctions circulaires et applications réciproques Chapitre II Fonctions circulaires et applications réciproques A Fonctions circulaires A Rappels de trigonométrie Radians et cercle trigonométrique Le radian est une unité de mesure d angle (orienté) définie

Plus en détail

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions 1) f (x) = 7x+3 TD Dérivation n : étude des variations de fonctions Étude de variations f est une fonction affine, de coefficient directeur négatif, on sait donc qu elle est décroissante surê. Le calcul

Plus en détail

208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples

208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples On se xe un corps K = R ou C. Tous les espaces vectoriels considérés auront K comme corps de base. 1 Généralités Remarque. Tout

Plus en détail

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercice VI. Ch6-Exercice Montrer par récurrence que En déduire que puis que k =,,..., n, d k dx k xn = n(n ) (n + k)x n k, d n dx n xn = n! d k dx k xn =

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Ó Ø Ó Ö ¾¼½ PSI Aurélien Monteillet ii Ce document contient les notes d un cours de mathématiques pour la classe de PSI. Les démonstrations non exigibles ou hors programme sont explicitement

Plus en détail

Suites de Cauchy et théorème du point fixe de Banach

Suites de Cauchy et théorème du point fixe de Banach ACCUEIL Suites de Cauchy et théorème du point fixe de Banach Frédéric Élie, novembre 2012 La reproduction des articles, images ou graphiques de ce site, pour usage collectif, y compris dans le cadre des

Plus en détail

CONCOURS EXTERNE POUR L ACCÈS AU GRADE D INSPECTEUR DES FINANCES PUBLIQUES

CONCOURS EXTERNE POUR L ACCÈS AU GRADE D INSPECTEUR DES FINANCES PUBLIQUES J. 13 1381 CONCOURS EXTERNE POUR L ACCÈS AU GRADE D INSPECTEUR DES FINANCES PUBLIQUES ANNÉE 2014 ÉPREUVE ÉCRITE D ADMISSIBILITÉ N 2 Durée : 3 heures - Coefficient : 5 Mathématiques Toute note inférieure

Plus en détail

Suites numériques. Sommaire :

Suites numériques. Sommaire : Suites numériques I Activité n o 2 page 295 Sommaire : II Généralités sur les suites numériques III Variations et bornes IV Suites arithmétiques V Suites géométriques VI Suites convergentes VII Représentation

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES

LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES Topologie Générale Philippe Charpentier Université Bordeaux I Année universitaire 2000-01 PHILIPPE CHARPENTIER UNIVERSITÉ BORDEAUX I LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES PURES 351,

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières La fonction logarithme népérien 2. Définition Courbe représentative................................... 2.2

Plus en détail

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET MATHEMATIQUES 3 PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN SERIE 7 ANNEE 2010-2011 1 Sommaire et accès aux chapitres/sous-chapitres Cliquez sur le

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Master de Sciences & Technologies. Année universitaire 2013 2014 Travaux dirigés et télé-enseignement : C. Audiard. Travaux pratiques Scilab N 2

Master de Sciences & Technologies. Année universitaire 2013 2014 Travaux dirigés et télé-enseignement : C. Audiard. Travaux pratiques Scilab N 2 Université Pierre et Marie Curie Bases des méthodes numériques Master de Sciences & Technologies MM006 Mention Mathématiques & Applications Cours : L. Boudin et E. Trélat Année universitaire 013 014 Travaux

Plus en détail

DERIVATION. PLAN I : Dérivée

DERIVATION. PLAN I : Dérivée 203 - Gérard Lavau - http://lavau.pagesperso-orange.fr/index.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou

Plus en détail

L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3. Alexandre VIDAL

L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3. Alexandre VIDAL L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3 Alexandre VIDAL Dernière modification : 11 janvier 2011 Table des matières I Généralités et rappels sur les fonctions 1 I.1 Définition....................................

Plus en détail

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités Sujet Métropole 01 EXERIE 1. [4 pts] Probabilités Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 5% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 5% de l horticulteur

Plus en détail

Introduction à l Optimisation Numérique

Introduction à l Optimisation Numérique DÉPARTEMENT STPI 3ÈME ANNÉE MIC Introduction à l Optimisation Numérique Frédéric de Gournay & Aude Rondepierre Table des matières Introduction 5 Rappels de topologie dans R n 7 0.1 Ouverts et fermés de

Plus en détail

Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes.

Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes. www.mathsenligne.com 2N3 - FONCTION CARRE ET SECOND DEGRE COURS (1/6) CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Expressions algébriques Transformations d expressions algébriques en vue d une résolution

Plus en détail

Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes.

Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes. FONCTIONS DE REFERENCE Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes. I. LES FONCTIONS ELEMENTAIRES ce sont les touches «fct» de la calculatrice

Plus en détail

Généralités sur les fonctions ( En seconde )

Généralités sur les fonctions ( En seconde ) Généralités sur les fonctions ( En seconde ) Dernière mise à jour : Dimanche 31 Octobre 2010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2010-2011) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document

Plus en détail

2 Fonctions affines : définitions et propriétés fondamentales

2 Fonctions affines : définitions et propriétés fondamentales Chapitre 3 : Fonctions affines Dans tout ce chapitre, le plan est muni d un repère. 1 Rappels sur les équations de droite Une droite qui n est pas verticale a une unique équation du type y = ax + b, qu

Plus en détail

1 Espaces vectoriels normés

1 Espaces vectoriels normés Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS MI4 1 Espaces vectoriels normés 1.1 Définitions Soit E un espace vectoriel sur R. Topologie des espaces vectoriels de dimension finie Définition

Plus en détail

Épreuve de Mathématiques 8

Épreuve de Mathématiques 8 Lycée La Prat s Vendredi 10 avril 2015 Classe de PT Épreuve de Mathématiques 8 Durée 4 h L usage des calculatrices est interdit. La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction

Plus en détail