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1 1 1 Séancs du 14/ Le rayon spectral Le spectre d un opérateur (ici, élément d une algèbre stellaire) est un compact non vide. La compacité est immédiate, car, pour z > u, u zi peut être inversé par une série entière ; de plus si u zi est inversible, il le reste dans un voisinage de z, toujours par la série entière. La partie non triviale est dûe à Gel fand : Sp(u). Le résultat s appuie sur le théorème de Liouville une fonction entière bornée est constante : si Sp(u) =, z (u zi) 1 est une fonction analytique (à valeurs complexes en la composant avec une forme ϕ) partout définie (entière). Le même argument servait déjà au théorème de d Alembert. Ce théorème a une version effective : le rayon spectral ϱ(u) est égal (et pas seulement ) à la limite des u n 1/n. On voit facilement que Sp(P (u)) = P (Sp(u)) quand P est un polynôme et, plus généralement, une série entière convergente. Le cas P constant est précisément le théorème de Gel fand. Le cas général est basé sur la décomposition d un polynôme Q(u) en (u λ 1 I)... (u λ n I) : Q(u) est inversible ssi u λ 1 I,... u λ n I le sont. On a de même Sp(u ) = Sp(u) et Sp(u 1 ) = Sp(u) 1 si u est inversible. On en déduit que le spectre d un unitaire (uu = u u = I) est inclus dans le cercle T : il est inclus dans la boule unité, car de norme 1 ( uu = u 2 est la propriété qui définit les algèbres stellaires), et son inverse aussi! Un hermitien (auto-adjoint, u = u ) est donc de spectre réel : si u < 1, alors u + i I u 2 (défini par une série entière convergente) est unitaire... On voit par la même occasion que ϱ(u) = u pour un hermitien. Donc, si P est un polynôme, P (u) = sup {P (r); r Sp(u)}, autrement dit P P (u) est isométrique par rapport à la convergence uniforme sur Sp(u). Stone- Weierstraß permet d obtenir un isomorphisme entre les fonctions complexes continues sur le spectre C(Sp(u)) et la sous-algèbre stellaire commutative engendrée par u. u est l image de l inclusion ι Sp(u) de Sp(u) dans C. Le calcul spectral se généralise aux opérateurs normaux, i.e., à ceux vérifiant uu = u u. Il ne s agit pas d une classe naturelle, car elle n est close par aucune opération remarquable, mais plutôt d une façon commode de regrouper les hermitiens (clos par somme) et les unitaires (clos par produit). Quelques exemples de calcul spectral : 1. La racine carrée d un hermitien positif (dont le spectre est positif) est obtenue en appliquant le calcul spectral à x x. 2. L unique décomposition u = u + u d un hermitien en différence d opérateurs positifs tels que u + u = 0 est obtenue en utilisant la fonction x + := sup(x, 0). 3. Ces deux exemples utilisent des fonctions f telles que f(0) = 0, et donc approximables par des polynômes sans terme constant. En particulier, elles restent valables à l intérieur d un idéal bilatère clos I. On en

2 2 conclut que I 2 = I : écrire u I comme combinaison linéaire de quatre positifs et donc de quatre carrés d éléments de I. Corollaire : si I, J sont bilatères clos, alors I J = I J. 4. u hermitien est un projecteur ssi Sp(u) {0, 1} ; en effet, l inclusion ι {0,1} vérifie ι 2 {0,1} = ι {0,1}. La théorie d un seul opérateur hermitien est donc commutative ensembliste, celle d un espace de fonctions. On peut voir cela comme un phénomène subjectif : par rapport à un opérateur, on peut imaginer un ensemble, etc. Pour deux opérateurs, on ne peut plus dire grand chose. Mentionnons cependant la très utile relation : Sp(uv) \ {0} = Sp(vu) \ {0}, basée sur la remarque : si 1 ab est inversible, alors 1 ba l est aussi, avec (1 ba) 1 = 1 + b(1 ab) 1 a. Ainsi, si uu = I, on voit que Sp(u u) {0, 1} : u u est donc un projecteur. Même conclusion si uu est seulement un projecteur ; u est alors une isométrie partielle de source u u et de but uu. 1.2 Sur la norme Contrairement à ce que l on nous apprend (la création du monde en sept jours : ensembles nus que l on habille d algèbre, puis de topologie), la topologie d une algèbre stellaire est donnée algébriquement : il n y a qu une seule norme stellaire, i.e. telle que u = uu 1/2, puisque uu = ϱ(u). Cela a des conséquences pour les -morphismes : j entends par là un morphisme algébrique d algèbres stellaires. En effet, comme un morphisme préserve l inversibilité, ϱ(ϕ(u)) ϱ(u) ; on voit déjà qu un -morphisme est de norme 1, donc continu. Peut-il être non isométrique? Par une factorisation, on est ramené à deux cas : Inclusion : en fait le spectre ne change pas quand on augmente l algèbre. Il est immédiat que, si A B, le spectre diminue : Sp B (u) Sp A (u). Plus subtil, la frontière augmente : Sp A (u) Sp B (u). En particulier, pour un hermitien, le spectre ne change pas, le spectre (réel) est identique à sa frontière (on est dans C). On déduit facilement (en traitant séparément l inversibilité à gauche et à droite : considérer les hermitiens uu et u u) que les éléments de A inversibles dans B le sont déjà dans A. Les inclusions sont donc isométriques. Surjection : si ϕ surjective n est pas isométrique, c est que le spectre change, donc ϕ(u) est inversible (d inverse ϕ(v)) alors que u ne l est pas ; donc ϕ(uv I) = 0, alors que uv I = 0. Et donc ϕ a un noyau. En résumé, ϕ est isométrique ssi elle est injective. Les algèbres simples (i.e., sans idéal bilatère clos) sont importantes, puisqu elles n admettent qu une seule semi-norme stellaire. Parmi les algèbres simples, mentionnons les algèbres de matrices M n (C). Une limite directe (typiquement l algèbre CAR) d algèbres simples est encore simple. En effet,

3 3 si A est la limite des A i (qu on peut voir comme une union filtrante) et si ϕ est un -morphisme défini sur A, sa restriction à A i est isométrique et comme l union des A i est dense... L algèbre B(H) des opérateurs bornés sur un Hilbert de dimension infinie n est pas simple : elle contient un idéal maximal, celui des opérateurs compacts. Un opérateur est compact quand il envoie la boule unité de H sur un ensemble compact (en topologie de la norme). Typiquement, ψ( x n e n ) := x n /n e n est un opérateur compact du genre primitive. Observez que ψ est injectif, mais pas surjectif ; en fait l image de ψ est dense. L inverse de ψ (du genre dérivée ) ψ 1 ( x n e n ) := n x n e n est un opérateur partiel (tout n est pas dérivable), défini sur un sous-espace dense et qui possède un ersatz de continuité : son graphe est clos. C est ce que l on appelle un opérateur non borné. Le théorème du graphe fermé assure qu un opérateur non borné total est borné. Les idéaux bilatères clos d une algèbre stellaire correspondent aux quotients possibles, i.e., aux semi-normes stellaires. Une famille bornée de seminormes a pour sup ponctuel une semi-norme (l inégalité triangulaire passe au sup, pas à l inf) ; si elles sont stellaires ( uu = u 2 ), le sup est aussi stellaire. Ce qui veut dire que, si I, J sont des idéaux bilatères clos, u est inversible modulo I J ssi il est inversible modulo I et modulo J. En fait, si uv I I et uw I J, alors u(vuw v w I) = (uv I)(uw I) I J. 1.3 L algèbre CAR On fabrique des produits tensoriels infinis d algèbres de matrices par limites directe. En effet, si m divise n, alors l application canonique de M m (C) dans M n (C) consiste à envoyer chaque coefficient a ij sur une matrice diagonale de n/m coefficients a ij. Autrement dit, M n (C) M m (C) M n/m (C) ; l application canonique devient alors u u I n/m. Cette application est un morphisme algébrique, donc un isomorphisme, puisque les algèbres de matrices sont simples. Une suite strictement croissante d entiers n 0 n 1... n k... dont chacun divise le suivant détermine un système direct (i.e., inductif filtrant) M n0 (C) M n1 (C)... M nk (C)... (1) d algèbres stellaires. Il admet une limite directe 1 : la limite directe algébrique est naturellement équipée d une norme stellaire, et on la complète. Comme nous l avons observé, il s agit encore d une algèbre simple. Les algèbres obtenues de cette façon peuvent être classées ainsi. On écrit la décomposition de n k en facteurs premiers ; quand on passe de n k à n k+1, les exposants restent les mêmes ou augmentent. À la limite, on obtient un 1 Dans les vn, le système direct (1) n a pas de limite.

4 4 nombre du genre ou ou encore 7.43 qui caractérise la limite à isomorphisme près. Cela revient à la décomposer en produit tensoriel d algèbres M p (C) (p premier) en tenant compte des multiplicités. La vocation de ces algèbres de matrices généralisées est d être complétées en vn. Cette complétion (non unique, voir note 1) gomme les différences entre elles, ce qui explique l importance du cas 2, i.e., de la limite M 1 (C) M 2 (C)... M 2 n(c)... (2) appelée algèbre CAR canonical anticommutation relations. Si I est un ensemble discret, on écrit les relations CAR entre les C i (créateurs) et les A i := Ci (annihilateurs) (i I). C i C j + C j C i = 0 (3) C i A j + A j C i = δ ij.i (4) engendrent une algèbre stellaire CAR(I). En fait, (4) permet de se restreindre aux monômes C... CA... A et (3) permet d éviter les répétitions. Il y a 2 (I) 2 (I) monômes indépendants, ce qui est la dimension de M 2 n(c). En résumé, le cas I fini correspond aux algèbres de matrices M 2 n(c), le cas I dénombrable correspond à l algèbre CAR proprement dite. Une version légèrement différente de l algèbre CAR : C est maintenant indicé par un Hilbert H, et : C x C y + C y C x = 0 (5) C x A y + A y C x = x y I (6) Si H l 2 (I), alors CAR(I) CAR(H). Si x = 1, (C x A x ) 2 = C x A x C x A x + C x C x A x A x = C x IA x = C x A x : C x A x est un projecteur, idem pour A x C x ; C x est donc une isométrie partielle de source A x C x et de but C x A x. C est l occasion d introduire la représentation de Fock : ΛH est défini comme la somme directe des Hilberts Λ n H engendrés par les tenseurs formels x 1... x n et complétés par rapport à : x 1... x n y 1... y n := det( x i y j (7) Le créateur C x se représente par C x (x 1... x n ) := x x 1... x n, d adjoint A x (x 1... x n ) = ( 1) i+1 x x i x 1... ˆx i... x n. Pour x = 1, C x est donc une isométrie de l espace des produits sans x sur l espace des produits avec x. La représentation de Fock nous assure que les relations CAR engendrent bien une algèbre stellaire : puisque CAR(n) agit sur ΛC n C 2n. En fait CAR(n) est une sous-algèbre de dimension 2 n 2 n de M 2 n(c), donc pleine, ce qui établit un isomorphisme CAR(n) M 2 n(c).

5 5 1.4 Etats Les états sont les mesures non commutatives. Un état sur une algèbre stellaire est une forme positive : ρ(uu ) 0 (puisque uu est la forme générique d un positif) et normalisée : ρ(i) = 1. Tout hermitien étant différence de deux positifs, ρ(u) R pour u hermitien ; en général, ρ(u) = ρ(u). Sur M n (C), toute forme linéaire s écrit ρ(u) = Tr(ud) ; les états correspondent au cas où d est positif, de trace 1. Par exemple, d = 1/n ( I n correspond à la trace normalisée tr(u) := 1/n Tr(u). Sur M 2 (C), d := ) λ λ fournit (pour 0 λ 1) toute une famille d états 2. L algèbre CAR (= M 2 (C) M 2 (C)...) peut être munie d un état produit : il suffit de se donner, pour chaque composante n, un λ n [0, 1/2]. En fonction de la suite, on obtiendra tout un éventail d algèbres de vn, les facteurs d Araki-Powers. Par exemple, λ n 0 donne le facteur de type I (il n y en n a qu un, isomorphe à B(H)), λ n 1/2 (la trace de CAR) donne le facteur hyperfini de type II 1. λ n λ, avec 0 < λ < 1/2 donne un facteur de type III µ, avec µ := λ/1 λ. En alternant les valeurs, on obtient des produits tensoriels, par exemple λ 2n 1/2, λ 2n+1 0 donne un facteur de type II (= II 1 I ) ; λ 2n λ, λ 2n+1 λ (0 < λ λ < 1/2) donne un facteur de type III 1 (= III µ III µ ). Tous ces facteurs sont hyperfinis et donc seuls de leur type à isomorphisme près 3. Plus généralement, si 0 d I est un hermitien positif de H, on peut définir un état ρ d sur CAR(H) qui s annule sur les monômes non homogènes et tel que : ρ d (C x1... C xn A yn... A y1 ) := det( x i y j ) (8) L état correspondant à la suite (λ n ) correspond à d( e n ) := λ n e n. 2 Dans la pratique, on suppose souvent, par symétrie, 0 λ 1/2 3 Chaque type I n, I, II 1, II, III λ (λ ]0, 1]) abrite un unique facteur hyperfini. Le type III 0 fait exception : il en admet une floppée.

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