Espaces vectoriels normés

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1 Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N : E R + qui vérifie : x E, λ K, N(λx) = λ N(x). x, y E, N(x + y) N(x) + N(y). Si de plus x E, N(x) = 0 x = 0 on dit que N est une norme sur E. Soit N une norme sur E, le couple (E, N) s appelle espace vectoriel normé. Pour x E, N(x) s appelle la norme de x, on le note aussi x. Exemples de normes classiques : Si E = K, les normes sur E sont de la forme N(x) = α x où α R +. Si E est de dimension finie n N : Soit (e 1,..., e n ) une base de E et x = x i e i. On a les 3 normes classiques : N 1 (x) = x 1 = x i 2 et N (x) = x = sup x i. i 1,n Si E = K[X] : Soit P = a i X i. On a les 3 normes classiques : N 1 (P ) = P 1 = x i, N 2 (x) = x 2 =Ì =Ì a i, N 2 (P ) = P 2 i=0 a i 2 et N (P ) = P = sup a i. i 0,n Si E = C([a, b]) avec a b R : Soit f E. On a les 3 normes classiques : N 1 (f) = f 1 =Zb a f(x) dx, N 2 (f) = f 2 =ÊZb a f(x) 2 dx et N (f) = f = sup f(x). x [a,b] f. Si E = B(A, C) l espace des fonctions bornées sur A : On prend la norme N (f) = f = sup A Remarque : Soient (E, N) un espace vectoriel normé et F est un sous-espace de E, alors (F, N F ) est un espace vectoriel normé. Propriété : Soit (E, N) un espace vectoriel normé. Alors x, y E, N(x) N(y) N(x y). Définition : On suppose que E est une K-algèbre. On dit que (E, N) est une algèbre normée ou que N est une norme d algèbre si : (E, N) est un espace vectoriel normé. x, y E, N(xy) N(x)N(y). Définition : (E, N) un espace vectoriel normé. On appelle distance sur E associée à N l application : d : E E R + (x, y) N(x y) Exemples de distances classiques : Si E est de dimension finie n N : Soit (e 1,..., e n ) une base de E et x = x i e i, y = y i e i. On a les 3 distances classiques : d 1 (x, y) = x i y i 2, d (x, y) = sup x i y i. i 1,n x i y i, d 2 (x, y) =Ì 1

2 Si E = C([a, b]) avec a b R : Soit f, g E. On a les 3 distances classiques : d 1 (f, g) =Zb f(x) g(x) dx, f(x) g(x) 2 dx, d (f, g) = sup f(x) g(x). a x [a,b] Si E = K[X] avec n N : Soient P = a i X i, Q = b i X i (On complète par des zéros pour avoir le même degré). i=0 i=0 On a les 3 distances classiques : N 1 (P, Q) = a i b i 2, N (P, Q) = sup a i b i. i 0,n d 2 (f, g) =ÊZb a i b i, N 2 (P, Q) =Ì Propriétés : (E, N) un espace vectoriel normé et d la distance associée. Alors : x, y E, d(x, y) = 0 x = y. x, y E, d(x, y) = d(y, x). x, y, z E, d(x, y) + d(y, z) d(x, z). x, y, z E, A E, d(x, y) d(x, z) d(y, z) Définitions : (E, ) un espace vectoriel normé et d la distance associée. Soient A, B E non vides et a E. On appelle distance de a à A le réel d(a, A) = inf x A On appelle distance de A à B le réel d(a, B) = d(a, x) = inf x A d(x, y) = inf inf x A,y B a x. x y. x A,y B d(a, A) = d({a}, A). a A d(a, A) = 0 alors que d(a, A) = 0 a A. Si A B alors d(a, B) = 0 alors que d(a, B) = 0 A B. inf a A d(a, B) d(a, B). Définitions : (E, ) un espace vectoriel normé. Soit A E. On dit que A est bornée si l ensemble { x /x A} est majoré. Soient a E, r 0. La partie B(a, r) = {x E/ x a < r} s appelle la boule ouverte de centre a et de rayon r. La partie B f (a, r) = {x E/ x a r} s appelle la boule fermée de centre a et de rayon r. La partie S(a, r) = {x E/ x a = r} s appelle la sphère de centre a et de rayon r. A un ensemble. L appliction f : A E est dite bornée si la partie f(a) est bornée. Définition : (E, ) un espace vectoriel normé et A E non vide. On appelle diamètre de A l élément de R : δ(a) = sup x,y A d(x, y) = sup x,y A x y. A bornée ssi a E, r > 0, A B(a, r) ssi δ(a) <. Si A B E alors δ(a) δ(b). Soient A un ensemble non vide et (E, N) un espace vectoriel normé. Alors l ensemble B(A, E) des applications bornées sur A muni de N (f) = sup x A 1.2 Normes équivalentes : N(f(x)) est un espace vectoriel normé. Soient N 1 et N 2 deux normes sur E. Définition : N 1 est dite plus fine que N 2 s il existe α > 0 tel que αn 2 N 1. Elles sont dites équivalentes s il existe α, β > 0 tel que αn 2 N 1 βn 2, dans ce cas on note N 1 N 2. est une relation d équivalence sur l ensemble des normes sur E. N 1 et N 2 sont équivalentes ssi chacune est plus fine que l autre. N 1 et N 2 sont équivalentes ssi il existe c > 0 tel que 1 c N 2 N 1 cn 2. N 1 est dite plus fine que N 2 ssi { N2(x) N 1(x) /x E \ {0}} est majoré. Toutes les normes sont équivalentes sur E = K. Exemples : Si E est de dimension finie n N : On a N N 2 nn 2 nn donc N 1 N 2 N. Si E = C([a, b]) avec a b R : On a N 1 b an 2 (b a)n, donc N est plus fine que N 2 qui est à son role plus fine que N 1. Si E = K n [X] : On N N 2 n + 1N 1 (n + 1)N, donc N 1 N 2 N. a 2/12

3 Remarque pratique : Pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes on cherche une suite (x n ) E N telle que N 2 (x n ) lim = + ou n + N 1 (x n ) lim N 1 (x n ) n + N 2 (x n ) = +. On cherche souvent des suites (x n ) telles que N 1 (x n ) = cste et lim N 2(x n ) = + ou N 2 (x n ) = cste et lim N 1(x n ) = n + n + +. Proposition (Caractérisation géométrique de l équivalence ) : N 1 et N 2 sont équivalentes ssi α, β > 0, x E, B N2 (0, α) B N1 (0, 1) B N2 (0, β). Proposition : Si E est de dimension finie alors N est plus fine que toute autre norme. Proposition : En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. 2 Suites dans un espace vectoriel normé : E un K-espace vectoriel normé. 2.1 Suites Convergentes : Soit (u n ) E N. Proposition et définition : On dit que (u n ) converge si l E, ε > 0, N N, n N, u n l ε. Dans ce cas, l est unique et s appelle la limite de (u n ). On note lim u n = l ou u n l. n + Si (u n ) ne converge pas alors on dit qu elle est divergente. Soit l E. u n l u n l 0. u n l u n l. La réciproque est fausse. u n l ε > 0, {n N/ u n l ε} est fini. u n l ε > 0, N N, n N, u n B(l, ε). Toute suite convergente est bornée. La définition de la limite dépend de la norme choisie. Dans K[X] la suite P n = 1 n ( X n ) converge vers 0 pour la norme N et diverge (car non bornée) pour la norme N 1. Pour deux normes équivalentes, une suite ne change pas de nature. En cas de convergence, elle ne change pas la valeur de sa limite. Proposition : (u n ) et (v n ) deux suites de E N convergentes et λ K. Alors : La suite (u n + v n ) converge et on lim (u n + v n ) = lim u n + lim v n. n + n + n + La suite (λu n ) converge et on a lim (λu n) = λ lim u n. n + n + En particulier, l ensemble des suites convergentes sur E est un sous-espace vectoriel de l espace des suites bornées sur E. Sur une algèbre normée (E, ) si u n l et v n l alors (u n v n ) converge vers ll. Donc, l ensemble des suites convergentes sur E est un sous-algèbre de l algèbre des suites bornées sur E. Définition : Soeint E 1,..., E n des espaces vectoriels normés et on pose E = E 1... E n. E muni de x = (x 1,..., x n ) E, x = sup( x 1,..., x n ) est un espace vectoriel normé et cette norme s appelle la norme produit sur E. Proposition : Soeint E 1,..., E p des espaces vectoriels normés et E = E 1... E p muni de la norme produit. Soient (u n ) = (u n 1,..., u n p ) E N et l = (l 1,..., l p ) E p. Alors : u n l i 1, p, u n i l i. Corollaire : Si E est de dimension finie p N alors : (u n ) = (u n 1,..., u n p ) l = (l 1,..., l p ) i 1, p, u n i l i. Exemples : Si (u n ) C N. (u n ) converge ssi (Re u n ) et (Im u n ) convergent. De plus, u n z ssi Re u n Re z et Im u n Im z. Si (A n ) M mn (K) N. (A n ) converge ssi i 1, m, j 1, n, (a n ij ) converge. De plus, A n A ssi i 1, m, j 1, n, a n ij a ij. 2.2 Suites extraites : (u n ) une suite de E. Rappel : Soit ϕ : N N une application strictement croissante, alors n N, ϕ(n) n. Définition : On dit que (v n ) est une suite extraite de (u n ) s il existe une application strictement croissante ϕ : N N telle que n N, v n = u ϕ(n). proposition : (u n ) converge l E ssi toutes les suites extraites de (u n ) convergent vers l. Exercice : 1. Montrer que si (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers une même limite alors (u n ) est convergente. 3/12

4 2. Montrer que si (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u 3n ) convergent alors (u n ) est convergente. Remarques pratiques : Pour montrer qu une suite diverge on peut : Ou bien montrer qu elle admet une suite extraite divergente. Ou bien montrer qu elle admet deux suites extraites qui convergent vers deux limites différentes. Définition : On dit que l E est une valeur d adhérence de (u n ) si l est limite de l une de ces suites extraites. Exemple : -1 et 1 sont deux valeurs d adhérences de la suite u n = ( 1) n. Remarque : Si (u n ) converge alors elle admet sa limite comme seule valeur d adhérence. Si (u n ) admet une seule valeur d adhérence alors ça n implique pas que (u n ) converge. En effet, u 2n = 0 et u 2n+1 = 2n + 1 est un exemple d une suite divergente qui admet 0 comme seule valeur d adhérence. 2.3 Comparaison des suites : Soient (u n ), (v n ) E N, (α n ), (β n ) (R + ) N et λ K. Définition : On dit que (u n ) est : dominée par (α n ) si M 0, n N, u n Mα n et on note u n = O(α n ). négligeable devant (α n ) si ε > 0, N N, n N, u n εα n et on note u n = o(α n ). équivalente à (v n ) si u n v n = o( v n ) et on note u n v n. est une relation d équivalence sur E N. Soit l E \ {0}.u n l u n l. u n 0 u n = o(1). Propriétés : n = o(α n ) u u n + λv n = o(α n ). v n = o(α n ) u n = O(α n ) v n = O(α n ) u n = o(α n ) α n = O(β n ) u n = O(α n ) α n = o(β n ) u n + λv n = O(α n ). u n = o(β n ). u n = o(β n ). u n v n u n = O( v n ) v n = O( u n ) n = O( v n ) Remarque : u v n = O( u n ) pourtant u n v n. 3 Topologie des espaces vectoriels normés : E un K-espace vectoriel normé. 3.1 Ouverts, fermés et voisinages :. u n v n. En effet, pour u n = 1 et v n = 2 on a u n = O( v n ) et v n = O( u n ) et Définition : O E, on dit que O est un ouvert de E si x O, ε > 0, B(a, ε) O. Propriétés : φ et E sont des ouverts de E. Un réunion quelconque d ouverts de E est un ouvert. Une intersection finie d ouverts est un ouvert. \ Dans R, les intervalles ouverts sont des ouverts. ] 1 n, 1 n [Šn N est une famille infinie d ouverts de R et ] 1 n, 1 [= {0} n est pas ouverts dans R. n n N Théorème : Une boule ouverte de E est un ouvert de E. Les ouverts de E sont les unions de boules ouvertes. Remarque : Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés et E F l espace vectoriel normé produit. On a (x, y) E F, ε > 0, B((x, y), ε) = B(x, ε) B(y, ε). 4/12

5 Généralement, si E 1,..., E n sont des K-espaces vectoriels normés et E = E 1 E n l espace vectoriel normé produit alors x = (x 1,..., x n ) E, ε > 0, B(x, ε) = B(x 1, ε) B(x n, ε). Proposition : Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés, A E et B F. Si A est ouvert dans E et B est ouvert dans F alors A B est ouvert dans l espace vectoriel normé produit E F. Généralement, soient E 1,... E n des K-espaces vectoriels normés et i 1, n, U i E i. Si i 1, n, U i est un ouvert de E i alors U 1 U n est un ouvert de l espace vectoriel normé produit E = E 1 E n. Définition : F E, on dit que F est un fermé de E si le complémentaire CE F de F dans E est un ouvert de E. Propriétés : φ et E sont des fermés de E. Un intersection quelconque de fermés de E est un fermé. Une réunion finie de fermés est un fermé. [ Dans R, les intervalles fermés sont des fermés. [ 1 n, 1 1 n ]Šn N est une famille infinie de fermés de R et 1 n, 1 n =]0, 1 1[ n est pas fermé dans R. n N Théorème : Les singletons, les parties finies de E sont des fermés dans E Une boule fermée sur E est un fermé de E. Les sphères de E sont fermées dans E. Caractérisation séquentielle : L ensemble A E est fermé ssi toute suite convergente d éléments de A converge dans A. Proposition : Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés, A E et B F. Si A est fermé dans E et B un fermé dans F alors A B est fermé dans l espace vectoriel normé produit E F. Généralement, soient E 1,... E n des K-espaces vectoriels normés et i 1, n A i E i. Si A 1,..., A n sont respectivement des fermés dans E 1,..., E n alors A 1 A n est fermé dans l espace vectoriel normé produit E = E 1 E n. Définition : a E et V E, on dit que V est un voisinage de a s il existe un ouvert O de E tel que a O V. L ensemble des voisinages de a est noté V(a). a E et V E. Si V V(a) alors a V. V V(a) ssi ε > 0, B(a, ε) V. Une réunion quelconque de voisinages de a est un voisinage de a. Une intersection finie de voisinages de a est un voisinage de a. Propriétés : V E est un ouvert ssi V est voisinage de tous ses points. Définition : On dit que V E est un voisinage de l infini si M > 0, x E, x M x V. L ensemble des voisinages de l infini est noté V( ). Les relations sur les voisinages restent valables pour les voisinages à l infini. Proposition : N 1, N 2 deux normes équivalentes sur E, alors les ouverts, les fermés et les voisinages de E pour la norme N 1 sont respectivement les ouverts, les fermés et les voisinages de E pour la norme N 2. On dit que deux normes équivalentes définissent la même topologie. 3.2 Topologie relative à une partie : Soient A E et a A. Définition : On appelle voisinage de a dans A tout ensemble de la forme A V où V est un voisinage de a dans E. L ensemble des voisinage de a dans A est noté V A (a). V A (a) = {V A/V V(a)}. V V A (a) ε > 0, B A V. Les propriétés des voisinage de a dans E restent valables pour les voisinage de a dans A. Si A est un voisinage de a alors V A (a) est l ensemble des voisinages de a dans E contenus dans A. Définition : On appelle ouvert dans A tout ensemble de la forme A O où O est un ouvert de E. Si A est un ouvert de E alors les ouverts relatifs à A sont les ouverts de E contenus dans A. U est un ouvert relatif à A ssi x U, ε > 0, B(x, ε) A U. Les propriétés des ouverts de E restent valables pour les ouverts relatifs à A. Définition : On appelle fermé relatif à A tout ensemble de la forme A F où F est un fermé de E. Le complémentaire dans A d un fermé relatif à A est un ouvert relatif à A. Si A est un fermé de E alors les fermés relatifs à A sont les fermés de E contenus dans A. Les propriétés des fermés de E restent valables pour les fermés relatifs à A. 5/12

6 3.3 Intérieur, adhérence et frontière : a E et A E. Définition : On dit que a adhère à A ou que a est une valeur d adhérence de A ou encore que a est adhérent à A si ε > 0, A B(a, ε) φ. Si a A alors a est adhérent à A. La réciproque est fausse, En effet 0 est adhérent à ]0, 1] mais 0 ]0, 1]. Définition : On appelle adhérence de A l ensemble des valeurs d adhérences de A. On le not Ā. Caractérisation séquentielle : a Ā ssi a est limite d une suite d éléments de A. Propriétés : A Ā. A B Ā B. Ā est un fermé de E. A est un fermé de E ssi Ā = A. Ā = Ā. Ā est le plus petit fermé contenant A, c est l intersection de tous les fermés contenant A. B(a, r) = B f (a, r). Remarque pratique : Soit B E. Pour montrer que B = Ā on vérifie d abord que B est fermé et que pour tout fermé F tel que A F on a B F. Définition : On dit que A est dense dans E si Ā = E. Soit B E. On dit que A est dense dans B si B Ā. Conséquence : A est dense dans B ssi ε > 0, x B, y A, d(x, y) < ε. Caractérisation séquentielle : A est dense dans B E ssi tout élément de B est limite d une suite d éléments de A. Définition : On dit que a est intérieur à A si r > 0, B(a, r) A. a est intérieur à A ssi A est voisinage de a. si a est intérieur à A alors a A mais la réciproque est fausse. En effet 0 {0} mais 0 n est pas un points intérieur de {0}. Proposition : A est un ouvert de E ssi tous ses points sont intérieur. Définition : On appelle intérieur de A l ensemble des points intérieurs de A. On le not Å. Proposition : Pour X E on désigne par CX le complémentaire de X dans E : CA = CÅ. CA = CĀ. Propriétés : Å A. A B Å B. Å = Å. Å est un ouvert de E. A est un ouvert de E ssi Å = A. Å z est } la { réunion de tous les ouverts contenus dans A, En particulier Å est le plus grand ouvert contenu dans A. Si O A et O est un ouvert de E alors O Å. B f (a, r) = B(a, r). Remarque pratique :Soit B E. Pour montrer que B = Å on vérifie d abord que B est ouvert et que pour tout ouvert O A on a O B. Définition : On appelle frontière de A l ensemble Ā \ Å. On le note F r(a) ou A. remarques : φ = φ; E = φ. A = Ā CA. En particulier, A est fermé dans E. B f (a, r) = B(a, r) = S(a, r). 4 Limite et continuité : E, F deux K-espaces vectoriels normés, A E, f : E F, a Ā. 4.1 Limite : Proposition et définition : On dit que f admet une limite en a si l F, ε > 0, η > 0, x A, x a η f(x) l ε. 6/12

7 Dans ce cas, l est unique. On dit que l est la limite de f en a et on la note lim f(x) ou lim f(x). a Proposition : Les assertions suivantes sont équivalentes : lim f(x) = l ε > 0, η > 0, f(b(a, η) A) B(l, ε). V V(l), U V(a), f(u A) V. V V(l), U V A (a), f(u) V. V V(l), f 1 (V ) V A (a). Si f admet une limite en a alors f est bornée qu voisinage de a. L existence et la valeur de la limite ne varient pas si on remplac les normes de E ou F par des normes équivalentes. Si E = R alors cette définition coincide avec celle des fonction à une variable réelle. Si E = R et A =]b, a[ ou A =]a, b[ avec b R alors on obtient la définition de la limite à gauche et la limite à droite. Proposition et définition : On dit que f admet une limite l à l infini si ε > 0, M > 0, x A, x M f(x) l ε. Dans ce cas la limite l est unique et on la note lim x + f(x). Proposition : Les assertions suivantes sont équivalentes : lim f(x) = l x + V V(l), U V(+ ), f(u A) V. V V(l), U V A ( ), f(u) V. V V(l), f 1 (V ) V A (+ ). Caracrtérisation séquentielle : lim f(x) = l (x n) A N, (x n a f(x n ) l). lim f(x) = l (x n) A N, ( x n + f(x n ) l). x a Proposition : Soient λ K et f, g : A F tels que lim f(x) = l et lim g(x) = l. Alors : f + g admet une limite en a et on a lim (f + g)(x) = l + l. λf admet une limite en a et on a lim λf(x) = λ l. Si de plus F est une algèbre normée alors fg admet une limite en a et on a lim (fg)(x) = l l. Proposition : Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels normés. A E, B F, f : A F, g : B G, a Ā et l G. On suppose que f(a) B. Si lim f(x) = b alors b B. Si de plus lim g(x) = l alors lim (g f)(x) = l. x b Proposition : Soient F 1,..., F n des K-espaces vectoeiels normés et f : A F 1 F n tel que f = (f 1,..., f n ). f admet une limite en a ssi ses composantes f 1,..., f n ont des limites en a. Dans ce cas lim f(x) = ( lim f 1 (x),..., lim f n (x)). Corollaire : Si F est de dimenstion finie n N, alors f admet une limite en a ssi ses composantes ont des limites en a. Dans ce cas lim f(x) = ( lim f 1 (x),..., lim f n (x)). Définition : Soient f, g : A F, a Ā et ϕ : A R+. On dit que : f est dominée par ϕ au voisinage de a si M > 0, V V A (a), x V, f(x) Mϕ(x). On note f = O a (ϕ). f est négligeable devant ϕ au voisinage de a si ε > 0, V V A (a), x V, f(x) εϕ(x). On note f = o a (ϕ). f et g sont équivalentes au voisinage de a si f g = o a ( g ). 4.2 Continuité : Dans cette partie on suppose que a A. Définition : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a). On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A. Propossition : Si f admet une limite en a ssi f est continue en a. Définition : Soit b Ā et on suppose que f admet une limite l en b. L application f(x) si x A = f(x) est continue en b. On l appelle le prolongement par continuité de f en b. l si x = b Caractérisation séquentielle : f est continue en a ssi (x n ) A N, (x n a f(x n ) f(a)). Notations : C(A, F ) : L ensemble des applications continues sur A à valeurs dans F. C(A, K) ou C(A) : L ensemble des applications continues sur A à valeurs dans K (fonctions numériques). Proposition : 7/12

8 C(A, F ) est un sous-espace vectoriel de F(A, F ). Si F est une algèbre normée alors C(A, F ) est un sous-algèbre de F(A, F ). En particulier, C(A) est une sous-algèbre de F(A, K). Proposition : Soient F 1,..., F n des K-espaces vectoeiels normés et f : A F 1 F n tel que f = (f 1,..., f n ). f est continue en a ssi i 1, n, f i est continue en a. Corollaire : On suppose que F est de dimension finie. f est continue en a ssi ses composantes sont continues en a. Proposition : Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels normés. A E, B F, f : A F, g : B G. On suppose que f(a) B. Si f est continue en a et g continue en f(a) alors g f est continue en a. Si f est continue sur A et g continue sur B alors g f est continue sur A. Proposition : Soient B A, g = f B et b B. Si f est continue en b alors g est continue en b. Si f est continue sur B alors g est continue sur B. Proposition : Soient f, g C(B, F ) et A B E tels que A est dense dans B. Si f = g sur A alors f = g sur B. Soient f, g C(E, F ) et A E tel que A est dense dans E. Si f = g sur A alors f = g sur E. Proposition : Les assertions suivantes sont équivalentes : f continue sur A. L image réciproque de tout ouvert de F est un ouvert relatif à A. L image réciproque de tout fermé de F est un fermé relatif à A. Applications : Soit f : x x a. On a f C(E) : On a B(a, r) = f 1 (], r[) et ], r[ est un ouvert de R donc B(a, r) est un ouvert de E. On a B f (a, r) = f 1 (], r]) et ], r[ est un fermé de R donc B(a, r) est un fermé de E. On a S(a, r) = f 1 ({r}) et {r} est un fermé de R donc B(a, r) est un fermé de E. Exercice : Montrer que = {(x, x)/x E} est un fermé de E 2. Définition : On dit que f est uniformément continue sur A si ε 0, η 0, x, y A, ( x y η f(x) f(y) ε). Remarque : Si f est uniformément continue sur A alors f est continue en A. La réciproque est fausse. Caractérisation séquentielle : f est uniformément continue sur A ssi (x n ), (y n ) A N, x n y n 0 f(x n ) f(y n ) 0. Remarque : Pour montrer que f n est pas uniformément continue sur A on cherche deux suites (x n ), (y n ) A N tels que x n y n 0 et f(x n ) f(y n ) 0. Exemple : Pour montrer que f : x x 2 n est pas uniformément continue sur R on peut prendre les suites x n = n et y n = n + 1. Définition : On dit que f est Lipschitzienne sur A s il existe k 0 tel que x, y A, f(x) f(y) k x y. On dit dans ce cas que f est k-lipschitzienne. Si de plus k < 1 on dit que f est contractante. Proposition : Si f est Lipschitzienne sur A alors f est uniformément continue sur A. Remarque : La réciproque est fausse. L application f : x x est pas uniformément continue sur [0, + [ mais n est pas Lipschitzienne sur [0, + [. Exemples de fonctions continues : x x est 1-Lipschitzienne sur E, donc uniformément continue sur E et par suite continue sur E. x d(x, A) est 1-Lipschitzienne sur E, donc uniformément continue sur E et par suite continue sur E. Si F est de dimension finie alors tout polynôme, fraction ou fonction usuelle en les coordonnées de la variable est continue sur son domaine de définition. 5 Parties compactes, parties complètes, parties connexes par arc : 5.1 Parties compactes d un espace vectoriel normé : E, F deux K-espaces vectoriels normés, A E et B F. Définition : On dit que A est compact dans E si de toute suite d éléments de A on peut extraire une suite convergente dans A. Les segments de R (i.e {x R/a x b} avec a < b R) sont des compactes dans R. Les disque D(0, r) = {z C/ z r} où r 0 sont des compacts dans C. Une partie finie est compacte. Si N 1 et N 2 sont deux normes équivalents sur E. Alors tout compact dans E pour N 1 est compact pour N 2. Théorème : Si A est compact alors A est fermé. Les intervalles ouverts et semi-ouverts ne sont pas compacts dans R. Les boules ouvertes de E ne sont pas compactes dans E. Si A est compact de E alors les fermés de A sont les fermés de E inclus dans A. 8/12

9 Théorème : Si A est compact alors tout fermé de A est compact dans E. Théorème : Si si A est compact dans E et B compact dans F alors A B est compact de E F. Théorème : Si A est compact dans E alors A est borné. On suppose que E {0}. Tout sous-espace vectoriel non nul de E n est pas compact. En particulier, E n est pas compact. Toute partie non bornée de E n est pas compacte. Théorème de Heine : Soit f : A F continue. Si A est compact dans E alors f est uniformément continue sur A. Proposition : Soit f : A F continue. Si A est compact dans E alors f(a) est compact dans F. Remarque : L image réciproque d un compact par une application continue n est pas forcément un compact. En effet, pour f : x sin x on a [ 1, 1] est compact dans R alors que f 1 ([ 1, 1]) = R n est pas compact dans R. Corollaire : On suppose que A est compact et f : A F continue sur A alors : f(a) est borné et il existe a A tel que f(a) = sup x A Si de plus F = R alors f(a) est borné et il existe a, b A, f(a) = sup x A f(x). (On dit que f atteint la borne supérieur de sa norme). f(x) et f(b) = inf f(x) (On dit que f atteint ses x A bornes) Proposition : Soit n N. Les compacts de (K n, ) sont les fermés bornées de K n. Corollaire : On suppose que E est de dimension finie n N. Les compacts de (E, ) sont les fermés bornés. En particulier, B(0, 1) et S(0, 1) sont des compactes dans (E, ). Proposition : Dans un espace vectoriel normé de dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Toutes les normes de R n et C n sont équivalentes. Dans un espace vectoriel de dimension finie on n a pas besoin de préciser la norme avec laquelle on travaille. Proposition : Dans un espace vectoriel normé de dimension finie les compacts sont les fermés bornées. Remarque : En dimension quelconque, les fermés bornés ne sont pas forcément compacts. En effet, pour E = C([ 1, 1], C) muni de la norme la boule unité fermée n est pas compacte. Il suffit de voir que pour la suite e n (t) = e int on a n p N, e n = 1 et e n e p = 2. Proposition : Soit (x n ) une suite de E convergente. Alors {x n ; n N} {lim x n } est compact. Théorème de Bolzano - weierstrass : On suppose que E est de dimension finie. De toute suite bornée de E on peut extraire une suite convergente. 5.2 Espaces complets : Soit A E. Définition : Soit (x n ) une suite de E. On dit que (x n ) est une suite de Cauchy si ε > 0, N N, m, n N, x n x m ε. Propriétés : Toute suite convergente est de Cauchy. Toute suite de Cauchy est bornée. Si une suite de Cauchy admet une valeur d adhérence l alors elle est convergente vers l. Une suite extraite d une suite de Cauchy est de Cauchy. Remarque : Une suite de Cauchy n est pas forcément convergente. Si f est uniformément continue sur A alors pour toute suite de Cauchy (x n ) sur A on a (f(x n )) est une suite de Cauchy sur F. Définition : On dit que A est complet si toute suite de Cauchy à élément dans A est converge dans A. Si E est complet alors on dit que E est un espace de Banach. Propriété : Toute partie compacte de E est complète. Proposition : Si A est complet alors A est fermé. Proposition : Dans un Banach, les parties complètes sont les parties fermées. Proposition : Soient E et F deux K-espaces vectoriels normés. Si A est complet dans E et B complet dans F alors A B est complet dans E F. Proposition : Tout K-espace vectoriel de dimension finie est un Banach. Corollaire : R, C, R n et C n sont complets. Corollaire : Dans un espace vectoriel normé, non nécessairement de dimension finie, tout sous-espace vectoriel de dimension finie est complet. En particulier, il est fermé. Proposition : Soit f : A E F uniformément continue avec F Banach, alors f se prolonge de façon unique sur Ā en une fonction uniformément continue. Proposition : Soit f : A E F k-lipschitzienne avec F Banach, alors f se prolonge de façon unique sur Ā en une fonction Lipschitzienne. De plus, ce prolongement est k-lipschitzien. 9/12

10 5.3 Parties connexes par arc : Définition : Soient A E et a, b A. On appelle chemin de a à b dans A toute application continue γ : [0, 1] A telle que γ(0) = a et γ(1) = b. On dit que A est connexe par arc si pour tous x, y A il existe un chemin de x à y dans A. S il existe une application continue γ : [α, β] A telle que γ(α) = a et γ(β) = b alors il existe un chemin de a à b dans A. En effet, l application f : [0, 1] A définie par f(t) = γ((1 t)α + tβ) est continue et vérifie f(0) = a et f(1) = b. a, b, c A. S il y a un chemin γ 1 de a à b dans A et un chemin γ 2 de b à c dans A alors l application γ : [0, 1] A définie par ( 2t) si 0 t γ(t) = γ 1 2 γ 2 (2t 1) si 1 Donc il existe un chemin de a à c dans A. 2 t 1. La relation a b il existe un chemin de a à b dans A est une relation d équivalence sur A. Proposition : Soit A E et f : A F continue. Si A est connexe par arc alors f(a) est connexe par arc. Remarque : Si A convexe alors A est connexe par arc. En particulier, Tout espace vectoriel normé est connexe par arc. Les intervalles de R sont connexes par arc. Un connexe par arc n est pas forcément convexe. En effet, le cercle unité du plan n est pas convexe mais il est connexe comme image de l intervalle [0, 2π] par l application continue t (cos t, sin t). Proposition : Soient A E et B F. Si A et B sont connexes par arc alors A B est connexes par arc. Proposition : Les connexes par arc de R sont les intervalles. Corollaire : On suppose que f C(A, R) et A connexe par arc, alors f(a) est un intervalle. Théorème des valeurs intermédiares : Soient A connexe par arc, f C(A, R) et (a, b) A 2. Alors m entre f(a) et f(b) il existe c A tel que f(c) = m. Définition : Soit a A. On appelle composante connexe par arc de a dans A l ensemble des points de A joignable par un chemin de A. On la note C(a). Une composante connexe par arc est connexe par arc. La classe d équivalence de a par la relation d équivalence est C(a). a, b A alors C(a) = C(b) ou C(a) C(b) = φ. A est union de composantes connexes deux à deux disjointes. Proposition : Tout ouvert de E est union de composantes connexes par arc. De plus chaque composante par arc est ouverte. Corollaire : Tout ouvert de R est union d intervalles ouverts deux à deux disjoints. 6 Applications linéaires continues : Dans cette partie E, F et G sont trois K-espaces vectoriels normés et f L(E, F ). 6.1 Applications linéaires continues : Caractérisation des applications linéaires continues : Les assertions suivantes sont équivalentes : f continue sur E. f continue en 0. f est bornée sur la boule unité fermée B(0, 1). k > 0, x E, f(x) k x. On peut remplacer dans la proposition la continuité en 0 par un la continuité en un autre point de E. Pour montrer que f n est pas continue sur E on cherche une suite de E telle que n N, x n 1 et f(x n ). Proposition : f continue sur E ssi f uniformément continue sur E ssi f Lipschitzienne sur E. Proposition : L ensemble des applications linéaires continues sur E est un sous-espace vectoriel de L(E, F ). On le note L c (E, F ). Proposition : Si E est de dimension finie alors toute application linéaire de E vers F est continue. En conséquence, L(E, F ) = L c (E, F ). 6.2 Norme subordonnée : Proposition et définition : f = sup f(x) est une norme sur L c (E, F ). On l appelle la norme subordonnée aux normes x 1 de E et F. En particulier, L c (E, F ) est un espace vectoriel normé. 10/12

11 Théorème : f L c (E, F ) : f(x) f = sup f(x) = sup f(x) = sup = inf{k R; f(x) k x } x 1 x =1 x =0 x Corollaire : f L c (E, F ), x E, f(x) f x. f L c (E, F ), k R; f(x) k x f k. Proposition : Soient f L c (E, F ) et g L c (F, G) alors g f L c (E, G) et g f g f. En particulier, L c (E) muni de la norme subordonnée est une K-algèbre normée. 6.3 Caractérisation des normes équivalentes : Soient N et N deux normes sur E. Proposition : N est plus fine que N ssi Id : (E, N ) (E, N) est continue. Corollaire : N est plus fine que N ssi toute suite de E convergente vers 0 au sens de N converge vers 0 au sens de N. Définition : On dit que f : E F est bicontinue ou homéomorphisme si f est bijective et f et f 1 sont continues. Proposition : N et N sont équivalentes ssi Id : (E, N ) (E, N) est un homéomorphisme. Corollaire : N et N sont équivalentes ssi toute suite de E convergente pour l une des normes converge vers la même limite pour l autre norme. 6.4 Normes matricielles X : =Ê X Soient m, n N. Rappel : A 1 = a i,j, A 2 a i,j 2 et A = sup a i,j sont des normes sur 1 i m;1 j n 1 i m;1 j n 1 i m;1 j n M mn (K). Proposition : Les normes 1 et 2 sont des normes d algèbre sur M n (K). 1 La norme n est pas une norme d algèbre sur M n (K). En effet, pour A = 1 a A 1 1 on = 1 et A 2 = 2, en particulier AA A A. Définition : Soit A M 1n (K) = (K n ). On appelle norme de A subordonnée à la norme sur M n1 (K) la norme subordonnée de la forme linéaire sur M n1 (K) : u(x) = AX. On la note A. A M 1n (K), B M n1 (K), AB A B. AX A M 1n (K), A = X. sup X M n1(k)\{0} Proposition : Soit A M 1n (K) Alors : A 1 = A, A 2 = A 2, A = A 1. Définition : Soit A M n (K) = L(K n ). On appelle norme de A subordonnée à la norme sur K n la norme de l endomorphisme sur K n : u(x) = AX. On la note A. est une norme d algèbre sur M n (K). A M n (K), X K n, AX A X. A, B M n (K), AB A B. A M n (K), A = sup X K n \{0} AX X. Proposition : Soit A M n (K) Alors : A 1 = max 1 j n a ij, A = max 1 i n j=1 a ij Proposition : A M n (K) A 2 A 2. Remarque : Linclusion peut être stricte. En effet, pour A = I 2 on a A 2 = 2 et A 2 = 1 < 2. Définition : Soit A M n (K). On appelle matrice adjointe de A la matrice A = t Ā. Notation : On note X, Y K n, < X, Y >= t XY. Soit X, Y K n. Alors : < X, Y > K. < Y, X >= < X, Y >. sup AX 2 = X 2=1 sup X 2 = X 2=1 11/12

12 < X, X >= X < X, Y > X 2 Y 2. Proposition : Soit A M n (K). AlotrsÈ A A 2 = A 2 = A Application bilinéaires continues : Soit B : E F G bilinéaire. Proposition : B est continue sur E F k R, x E, y F, B(x, y) k x y. Corollaire : (λ, x) λx de K E E est continue. E préhilbertien. (x, y) < x, y > de E 2 K est continue. E une algèbre normée. (x, y) xy de E 2 E est continue. (u, v) u v de L c (E) L c (E) L c (E) est continue. Proposition : Si E et F sont de dimensions finies alors Toutes application bilinéaire de E F vers G est continue. Remarque : Généralisation sur les applications multilinéaires Soient E 1,..., E n, F des espaces vectoriels normés et M : E 1 E n F une application multilinéaire. M est continue sur E 1 E n ssi k R, x = (x 1,..., x n ) E 1 E n, M(x 1,..., x n ) k x 1 x n. Si de plus E 1,..., E n sont de dimensions finies alors toute application multilinéaire de E 1 E n vers G est continue. 12/12

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