Montrer que la fonction

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1 Théorème de convergence dominée. Théorème d inégraion erme à erme. Théorème de coninuié des inégrales à paramère. Caracère k des foncions définies par une inégrale. Monrer que la foncion L : x cos() e x d es définie e coninue sur [ ; + [, e de classe C 2 sur ] ; + [. Calculer L (x) pour ou x >, e en déduire L(x), en admean que L e L enden vers en +. 2 Monrer que pour ou réel a >, Monrer que pour ous a, b ] ; + [, d x + x ( ) n a + n a n xe a x e b x d x n (a + b n) 2 Éablir que arcan() d n ( ) n (2n + ) 2

2 Monrer que la foncion es coninue sur. F : x ( + 2 )( + i x) d. Monrer que f : x ln()e x d es de classe C sur ] ; + [. 2. Monrer que f es soluion d une équaion différenielle du premier ordre, e en déduire une expression de f (x).. Monrer que la foncion es de classe C sur. f : x e 2 cos(x )d 2. Monrer que f adme un développemen en série enière que l on précisera. 3. En déduire une expression explicie de f (x) en jusifian grâce à une inégraion par paries que f es soluion d une équaion différenielle.

3 On pose F(a) π sin(a sin(x))d x.. Démonrer que F défini une foncion de classe C sur. 2. En déduire π lim sin(a sin(x))d x. a a π On veu monrer que e d 2 n n. n. Jusifier l exisence des deux membres de cee égalié. 2. Monrer que pour ou >, e e n. n 3. Calculer, à l aide d un changemen de variable, l inégrale + e n d. (on admera que 4. Conclure. e y2 d y π 2 ).

4 Pour x [ ; + [, on pose : f (x) sin e x d. Jusifier la définiion de f (x). 2. Monrer que f es classe C sur ] ; + [. 3. Calculer f (x) pour ou x ] ; + [. 4. Monrer que f es coninue en. Qu en dédui-on?

5 La foncion φ : cos es coninue sur ] ; + [ comme 2 rappor de deux foncions coninues sur ] ; + [ don le dénominaeur ne s annule pas. On connaî le développemen limié de cos en qui nous donne cos() o( 2 ), φ() 2 + o() 2, donc φ es prolongeable par coninuié en e par conséquen inégrable sur ]; ]. Pour ou >, φ() 2 2, or es inégrable sur [; + [, donc comparaison, φ es inégrable 2 sur [; + [. On peu alors conclure que φ es inégrable sur ]; + [. Soi f définie sur + ]; + [ par f : (x, ) cos 2 e x. Pour ou >, x f (x, ) es coninue sur + (la foncion exponenielle es coninue) Pour ou x +, f (x, ) es coninue par morceaux sur ]; + [ (produi de foncions coninues). Pour (x, ) + ]; + [, x donc e x e f (x, ) φ() où φ : cos. On a vu à la quesion I-.. que 2 φ es coninue par morceaux e inégrable sur ]; + [.

6 En uilisan le héorème de coninuié des inégrales à paramère, on peu conclure que L es définie e coninue sur +. Pour ou >, x f (x, ) es de classe C sur [a ; b], car cos() es un rappor de deux foncions coninues sur 2 ] ; + [ don le dénominaeur ne s annule pas, e la foncion exponenielle es aussi C sur ] ; + [. Pour ou x [a ; b], e f x cos (x, ) e x 2 f x 2 (x, ) ( cos )e x. Pour ou x [a ; b], on sai déjà que f (x, ) es coninue par morceaux e inégrable sur ]; + [. Pour ou x [a ; b], f (x, ) e 2 f (x, ) son coninues x x par morceaux sur 2 ]; + [. Pour x [a ; b], >, e k {, 2}, k f (x, ) k x φ() k e a. La foncion φ() k e a es coninue par morceaux sur ]; + [, prolongeable par coninuié en e négligeable devan φ en + car par croissances comparées, lim k e a. + Comme φ es inégrable sur ]; + [, par comparaison, φ() k e a l es aussi. Le héorème de dérivaion des inégrales à paramère nous perme alors de conclure que L es de classe C 2 sur ou segmen de ] ; + [, donc de classe C 2 sur ]; + [.

7 Pour x >, la foncion e x es inégrable sur [ ; + [, donc la foncion cos()e x aussi qui es majorée par la première, e par la règle de Leibniz : x >, L (x) e L (x) Par linéarié de l inégrale : L (x) ( cos )e x d e x d cos ( ) e x d 2 cos e x d ( cos )e x d. cos e x d + x Re e i e x d + x Re e (x i) d x Re x i () x x 2 +

8 Par inégraion, il exise une consane c elle que, pour x >, Or lim ln x + que x 2 x 2 + L (x) ln x 2 ln x c c + x 2 2 ln. x 2 +, donc lim x + L (x) c. Ainsi, en admean lim x + L (x) c, on obien que c puis, pour ou x >, L (x) ln x ln(x 2 + ). 2 Une primiive de ln sur + es x x ln x x, ainsi par une inégraion par paries classique x ln( 2 + )d [ ln( 2 + )] x x x ln(x 2 + ) ln 2 2 x d d x ln(x 2 + ) ln 2 2(x ) + 2Arcan(x) 2Arcan() Il exise donc une consane c elle que, pour ou x >, D une par, donc x ln L(x) x ln x 2 x ln(x 2 + ) Arcan(x) + c x 2 2 x ln Arcan(x) + c x x ln Arcan(x) + c. x 2 + lim Arcan(x) π, e d aure par, lim x + 2 x 2 + x x + x 2 + x + x 2 + x + x. x +

9 Comme on adme que lim x + L(x), on obien finalemen c π 2. Ainsi, pour ou x >, L(x) x ln x 2 x ln(x 2 + ) Arcan(x) + π 2 Pour ou x [ ; [, x a x a < car a >, donc + x a ( x a ) ( x a ) n ( ) n x na, n n donc d x + x ( ) n x na d x a n e on va prouver qu on peu inégrer erme à erme. On noe pour ou n e ou x [ ; [, f n (x) ( ) n x na e on applique le héorème de convergence dominée pour les séries. Je ne déaille que l inégalié de dominaion : pour ou x [ ; [, e ou N, N ( ) n x na N ( x a ) n n n ( x a ) N+ + x a 2 + x a e x 2 +x a es coninue sur le segmen [ ; ], donc a foriori inégrable sur [ ; [, c.q.f.d.

10 En général, on commence par essayer d appliquer le héorème d inégraion erme à erme (car il es souven compliqué d évaluer les sommes parielles f n (x) pour N pouvoir les majorer) mais ici ce héorème ne s applique pas car : n es pas sommable, donc la suie de erme gé- fn (x) d x ne l es pas non plus. or n néral n n fn (x) d x ( ) n x na d x na + n + an O n + x na d x, n Après vérificaion des aures condiions, on applique le héorème de convergence dominée qui nous perme d inégrer erme à erme : d x + x a n n n n ( ) n x na d x ( ) n x na d x ( ) n x na+ + na ( ) n + na c.q.f.d.

11 . Pour ou x ] ; + [, b > donc bx ] ; + [, d où e bx <, e par conséquen xe a x e b x xe a x e b x xe a x n n n e b x n xe a x e b x n xe (a+b n)x. (a+b n)x 2. On noe pour ou n e ou x [ ; + [, f n (x) xe e on applique le héorème d inégraion erme à erme. Pour celui-ci, il fau remarquer que u : x x e v : x son de classe C sur [ ; + [, e a+b n que leur produi end vers en + par croissances comparées car a + b n >, donc avec une inégraion par paries : e (a+b n)x xe (a+b n)x d x u(x)v (x)d x (u v > sur ] ; + [) x n)x + e (a+b a + b n (a+b n)x e a + b n d x e (a+b n)x (a + b n) 2 (a + b n) 2, + n)x e (a+b a + b n d x

12 donc xe (a+b n)x d x O, (a + b n) 2 n + n 2 ce qui prouve que xe (a+b n)x d x es convergene. Je vous laisse vérifier les aures condiions du héorème d inégraion erme à erme. On applique donc ce héorème qui nous donne : xe a x e b x d x + n xe (a+b n)x d x n (a + b n) 2 on applique le héorème d inégraion erme à erme avec en pariculier [ ; [, arcan() n ( ) n 2n + 2n+ n ( ) n 2n + 2n, e ( ) n 2n + 2n d 2n + donc la série 2n+ 2n d converge. ( )n 2n d (2n + ) 2 n + O n 2

13 On applique le héorème de coninuié des inégrales à paramère avec en pariculier l inégalié de dominaion :, x, ( + 2 )( + i x) ( + 2 ) + i x ) ( + 2 ) e + 2 es inégrable sur, en an que dérivée de arcan qui end vers une limie finie en ±. On rappelle que ln es inégrable sur ] ; ] avec ln()d.. On applique la règle de Leibniz, avec enre aures pour ou segmen [a ; b] ] ; + [, x [a ; b], ] ; + [, f (x, ) x ln()e x ln() e a. e ln() e a es coninue sur ] ; + [, end vers en, e es dominée par en +, donc elle es inégrable. 2

14 2. Pour ou x >, f (x) ln() }{{}}{{} d u() v () e x ln() e x x x x f (x) + x + + ln()e x d + e x ln() + d x x f (x) x 2 e x d L applicaion x es soluion de l équaion homogène y x ln(x) y, e par la variaion de la consane x es une soluion de y y, donc les soluions de y y + son x x x x 2 x x 2 de la forme x ln(x) + C, où C. x Donc il exise un réel C el que pour ou x >, f (x) ln(x) + C, x mais pour l insan je n arrive pas à voir commen rouver la valeur de C correspondane.. Noons u(, x) e 2 cos(x ). En plus de oues les condiions de la règle de Leibniz (dérivaion

15 sous le signe somme), on remarque que (, x) [ ; + [, u(x, ) e 2, u (x, ) x e 2, e les deux foncions de droie son coninues sur [ ; + [ e négligeables par croissances comparées en + devan 2, donc elles son inégrables sur [ ; + [. E je vous laisse rédiger une conclusion accepable. 2. Pour ou réel x, f (x) e 2 sin(x )d. Mais une inégraion par paries (que je ne déaille pas) donne pour ou réel x, f (x) x 2 f (x). Donc il exise un réel C el que f es de la forme x Ce x2 /4. Or f () e 2 d π, d où C π, e pour ou réel x, 2 2 π f (x) /4. 2 e x2. Noons f : (a, x) sin (a sin(x)). Pour ou a, f (a, ) : x sin (a sin(x)) es coninue sur [ ; π], donc en pariculier inégrable sur ce segmen. Pour ou x [ ; π], f (, x) : a sin (a sin(x)) es C sur. Pour ou a, f (a, x) sin(x) cos (a sin(x)), donc a f (a, x) [ ; π], (a, x) a,

16 e x es inégrable sur [ ; π]. On peu donc appliquer la règle de Leibniz (de dérivaion des foncions définies par une inégrale), qui nous perme d affirmer que : la foncion F : a π sin(a sin(x))d x es de classe C sur, Pour ou réel a, F (a) π sin(x) cos (a sin(x)) d x. 2. En pariculier, on peu en déduire que F es dérivable en, auremen di par définiion : e F(a) F() a a F () π π π sin(a sin(x))d x a F () sin(x) cos ( sin(x)) d x sin(x)d x 2.. Je vais limier la rédacion au sric nécessaire, mais pas suffisan. Pour l inégrale : la foncion e + e donc e e e /2, es coninue sur ] ; + [, o, + 2 es inégrable sur ] ; + [.

17 Pour la série, n n n 3/2 es une suie de Riemann sommable. 2. Pour ou >, e e e e n (car >, donc e < ) e 3. Soi n, n n n e n e n. n e (n+) la foncion f n : e n es coninue sur [ ; + [, e, par croissances comparées, négligeable devan en +, donc elle es inégrable sur 2 [ ; + [. On va poser y 2 n, c es-à-dire y n, ou encore n y 2. La foncion y y 2 es C sricemen croissane sur [ ; + [, n e réalise une bijecion de [ ; + [ sur [ ; + [, donc on peu effecuer le changemen de variables y 2, qui donne n n y, e d 2 yd y, d où n e n d 2 n n y 2 e y2 d y, puis en posan u(y) y e v(y) 2 e y2 qui son des foncions de classe C sur [ ; + [,

18 e don le produi end vers, par croissances comparées, en +, on effecue une inégraion par paries qui donne ainsi y 2 e y2 d y u v + 2 π 4, e n d + u v e y2 d y π 2n n u v 4. On consae que la série de erme général fn es convergene, car + fn e n d π 2n n O. n + n 3/2 e je vous laisse vérifier les aures condiions du héorème d inégraion erme à erme, don la simple applicaion donne l égalié voulue. Je vais rédiger cee soluion de façon beaucoup rop lapidaire!. Pour ou x ] ; + [, sin e x es coninue sur ] ; + [, sin e x donc inégrable sur ] ; ],

19 sin e x o + par croissances comparées (grâce à x > ). 2 Donc sin e x es inégrable sur ] ; + [, ce qui prouve la convergence de l inégrale qui défini f (x). Pour x, on sai que l inégrale sin d, qui défini f (), converge, car c es l inégrale de Dirichle, vue maines fois. 2. Pour monrer que f es C sur ] ; + [, on applique la règle de Leibniz, règle de dérivaion des inégrales à paramère, dans sa version «sur ou segmen». Je vous laisse faire la lise des condiions, e ne déaille que l inégalié de dominaion de la dérivée : [a ; b] ] ; + [, (x, ) [a ; b] ] ; + [, g (x, ) x sin()e x e a. 3. On dédui de la règle de Leibniz que f es C sur ] ; + [, e que pour ou x >, f (x) Im sin e x d x 2 + Im e (x i) d e (x i) d Im x i Donc il exise une consane C elle que x ] ; + [, f (x) C + arcan(x).

20 Pour rouver la valeur de C on ne peu pas comper sur la valeur de f (), parce que n es pas dans l inervalle de validié de l égalié, ni sur une aure valeur de f. On va se rabare sur la limie de f en +. Pour cela, on va se servir de la célèbre inégalié sin( ), que l on prouve sur ; π 2 par éude des variaions de sin, sur π 2 ; + parce que sin( ) <, e enfin sur ou par parié. Pour ous x > e >, sachan que sin(), on peu affirmer que sin e x e x, puis par croissance de l inégrale, sachan que e x d converge e vau, on en dédui que x f (x), ce qui prouve par encadremen que lim f (x). x x + Enfin, comme lim arcan(x) π, on peu enfin affirmer que x + 2 x ] ; + [, f (x) arcan(x) π 2 4. Monrons que f es coninue en, c es-à-dire par définiion, que lim x f (x) f (). Pour cela, on va évaluer f (x) f (). Soi x >, f (x) f () sin e x d.

21 Soi u() e x, e v une primiive sur ] ; + [ de la foncion coninue sin(). Alors u e v son de classe C sur ] ; + [. De plus, comme sin() es inégrable sur ] ; + [, on en dédui que la primiive v adme des limies finies en e +, d après la proposiion 7.4. Du coup, oues les primiives éan égales à une consane addiive près, on choisi pour v la primiive don la limie es nulle en +! Ainsi, comme u end vers en e +, on en dédui que u v end aussi vers aux deux bornes. On peu donc effecuer une inégraion par paries : f (x) f () v()xe x d, puis en posan u x, changemen de variable évidemmen licie, Posons f (x) f () (x, u) [ ; + [ ] ; + [, h(x, u) u v e u d u. x v u x e u si x >, si x. La foncion h es coninue sur ] ; + [ par rappor à, e sur [ ; + [ par rappor à x (en pariculier en, lim h(x, u) lim v x + e u h(, u)). De plus v éan coninue sur ] ; + [ avec des limies finies aux bornes, on peu affirmer qu elle es bornée sur ce inervalle, e par conséquen ] ; + [ (x, u) [ ; + [ ] ; + [, h(x, u) v e u, le erme de droie de cee inégalié éan inégrable sur ] ; + [.

22 On peu donc appliquer le héorème de coninuié des inégrales à paramère (la proposiion 6.6) pour affirmer que x h(x, u)d u es coninue en, donc que Ainsi lim x h(x, u)d u lim(f (x) f ()), x h(, u)d u. e c es ce qu on voulai prouver! On peu donc conclure que f es coninue en, donc que c es-à-dire lim f (x) f () x + π lim x + 2 arcan(x) sin d qui nous perme de donner la valeur de l inégrale de Dirichle : sin d π 2