Séquence 5. Sommaire. Pré-requis Généralités sur les suites numériques TICE Synthèse du cours Exercices d approfondissement.

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1 Séquence 5 Sommaire Pré-requis Généralités sur les suites numériques TICE Synthèse du cours Exercices d approfondissement 1

2 1 Pré-requis Suite chronologique Exemple 1 Le tableau suivant indique la population estimée, en milliers, de trois départements français entre 000 et 009. Ardèche Ardennes Orne ,4 89,6 9, ,1 89,0 9, ,9 88,5 93, ,0 87,8 93, ,0 87,1 93, ,1 86,4 93, , 85,7 9, ,5 84,7 9, ,5 84, 9, ,7 83, 91,6 (Source : INSEE) Indiquer l évolution de chaque population. Représenter graphiquement les données précédentes. On commencera la graduation de l axe des ordonnées à partir de 80. Solution L évolution de la population en Ardèche est croissante entre 000 et 009. L évolution de la population en Ardennes est décroissante entre 000 et 009. L évolution de la population dans l Orne est croissante puis décroissante. 3

3 Population en Ardèche, Ardennes et Orne de 000 à 009 (en milliers d habitants) Ardennes Orne Ardèche Remarque Ne connaissant pas l évolution de la population entre deux recensements consécutifs, on ne relie pas les points associés aux données précédentes. Plutôt que d indiquer l année sur l axe des abscisses (un peu tassée sur le graphique précédent), on a l habitude de la remplacer par son numéro dans l ordre chronologique (année 0 pour 000, année 1 pour 001 ) ce qui donne : 315 Population en Ardèche, Ardennes et Orne de 000 à 009 (en milliers d habitants) Ardèche Ardennes Orne Exemple Image par une fonction 3n Soit f la fonction définie sur R par f( n) =. n + 1 Calculer l image de 0, de 1, de, de 10 et de 50 par cette fonction. 4

4 Solution f(0)= = L image de 0 par f est + 1 f(1)= = f()= 3 - = + 1 f(10)= = f(50)= = L image de 1 par f est L image de par f est 4 5. L image de 10 par f est L image de 50 par f est Algorithme de calcul Exemple 3 Soit l algorithme suivant : Exécuter cet algorithme à quatre reprises pour un terme initial égal à 0,5 et compléter le tableau suivant : Nombre d exécution de l algorithme Résultat obtenu ,5 (terme initial) Nombre d exécution de l algorithme Résultat obtenu Exécuter cet algorithme à trois reprises pour une liste commençant par le nombre et compléter le tableau suivant : Solution 05, 05, = 05, 05, = 05, 05, + 1= 15, 15, 15, = 5, 5, = 45, 45, + 1= 55, 5, 5 5, 5 = 30, 5 30, 5 = 60, 5 60, 5+ 1= 615, 61, 5 61, 5 = 378, 5 378, 5 = 7564, , 5 + 1= 7565, 5 5

5 Nombre d exécution de l algorithme Résultat obtenu terme initial : 0,5 1,5 5,5 61,5 7565,5 ( ) = 4 4 = = = = = = = = Nombre d exécution de l algorithme Résultat obtenu terme initial :

6 Généralités A Activité 1 sur les suites numériques Activités Réinscriptions Une enquête réalisée sur les lecteurs d une bibliothèque révèle que chaque année : 98 % des lecteurs inscrits l année précédente reprennent un abonnement on compte 00 nouveaux abonnés Cette année, la bibliothèque compte 5000 abonnés. On note u 0 = Quel sera le nombre d abonnés au bout d un an? On note ce nombre u 1. Quel sera le nombre d abonnés au bout de deux ans? On note ce nombre u. On note u n le nombre d abonnés au bout de n années. a) Que représente u n+1? b) Expliquer la formule : un+ 1 = 098, un + 00 On veut prévoir le nombre d inscrits au bout de 5 ans. a) Quels termes doit-on connaître pour pouvoir calculer u 5? b) Calculer u 5 (arrondir à l unité près). La direction de la bibliothèque établit que le nombre d inscrits au bout de n n années est donné par la formule : u n = , 98 a) Vérifier que les valeurs de u 0, u 1 et u correspondent aux valeurs trouvées dans les questions précédentes. b) Calculer u 8. Des calculs intermédiaires ont-ils été nécessaires pour obtenir u 8? Activité Coloriage On effectue un coloriage en plusieurs étapes d un carré de côté de longueur 4 cm. Première étape du coloriage : On partage ce carré en quatre carrés de même aire et on colorie le carré situé en bas à gauche comme indiqué sur la figure ci-après. 7

7 Quel est le nombre de carré colorié? On note A 1 le nombre de carrés coloriés à la 1 ère étape. Deuxième étape du coloriage : On partage chaque carré non encore colorié en quatre carrés de même aire et on colorie dans chacun le carré situé en bas à gauche, comme indiqué sur la figure ci-contre. Quel est le nombre de carrés coloriés? On note A le nombre de carrés coloriés à la ème étape. On poursuit les étapes du coloriage en continuant le même procédé. Pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, on désigne par A n le nombre de carrés coloriés après n coloriages. Réaliser la figure obtenue après 3 coloriages. Que vaut A 3? Compléter le tableau suivant : Nombre n de coloriages Nombre de carrés coloriés A n a) Entre le premier et le deuxième coloriage, combien de carrés coloriés rajoute-t-on? On peut en déduire la formule : A= A1+ 3. b) Entre le deuxième et le troisième coloriage, combien de carrés coloriés rajoute-t-on? Etablir une égalité liant A et A 3. c) Entre le troisième et le quatrième coloriage, combien de carrés coloriés rajoute-t-on? Etablir une égalité liant A 3 et A 4. d) Entre le n ième coloriage et le coloriage suivant -c est-à-dire le (n+1) ième coloriage-, conjecturer le nombre de carrés coloriés rajoutés? En déduire une égalité liant A n et A n+1. B Cours Définition Une suite de nombres réels est une fonction définie sur N (ou une partie de N ) à valeurs dans R. 8

8 Remarque N désigne l ensemble des entiers naturels c est-à-dire l ensemble { 0 ; 1 ; ; } Intuitivement, une suite est une liste de nombres qui est numérotée par des entiers naturels. Remarque Notation et vocabulaire Il ne faut pas confondre le terme u n avec la suite (u n ). Il faut distinguer l écriture u n+1 de u n +1. Seuls les entiers naturels peuvent admettre une image par une suite. Par exemple, «u 5» et «u 13,» ne sont pas définis pour une suite. u ou (u n ) désigne la suite (avec n un entier naturel). Le nombre u n (on lit «u ène» ou «u indice ène») est le terme de rang n de la suite u. C est l image du nombre n par la suite u. D ailleurs, on trouve parfois l écriture un ( ). Par exemple, u est le terme de rang de la suite u. C est l image de par u. Le premier terme de la suite est appelé terme initial. C est le plus souvent le terme de rang 0 : u 0 ou le terme de rang 1 : u 1. Le terme qui précède u n est le terme u n 1 (pour n 1) et le terme qui suit u n est le terme u n+1. Exemple 4 Dans l activité, ( u n ) est la suite qui donne le nombre d abonnés à la bibliothèque. u n désigne le nombre d abonnés au bout de n années. Par exemple, u désigne le nombre d abonnés au bout de ans. Deux modes de construction d une suite Définitions Une suite u est quand le terme u n est exprimé en fonction de n. Exemple 5 Solution Soit (u n ) la suite définie pour tout n 1 par un = n (u n ) est définie explicitement. Calculer u 1, u 5 et u 100. u = = u = = 1, u = = 101,. 9

9 Exemple 6 Solution Soit f( x)= x. Soit (v n ) la suite définie pour tout n 0 par vn = f ( n ). Calculer v 1, v 5 et v 100. Pour calculer le terme v 1, on calcule l image de 1 par la fonction f '. 1 5 = f( 5) = 5 = = f( 100) = 100 = v = f() 1 = 1 = 1 v v Définitions Une suite est quand l on en donne le(s) terme(s) initial(aux) et une relation qui définit chaque terme à partir du(des) terme(s) précédent(s). On dit alors que la suite est définie par une. Exemple 7 Solution Exemple 8 Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 05, et, pour tout n 0, par un+ 1 = 3un + 7. (u n ) est définie par récurrence car le terme u n+1 est défini en fonction du terme qui le précède u n. Faire une phrase pour traduire l égalité un+ 1 = 3un + 7. Calculer u 1, u et u 3. Calculer u 5. N importe quel terme de la suite u est égal au triple du précédent augmenté de 7. Ainsi u 1 est égal au triple de u 0 augmenté de 7 : u1= 3 u0+ 7= 3 0, 5+ 7= 8, 5 De la même façon, u= 3 u1+ 7= 3 8, 5+ 7= 3, 5 et u3 = 3 u+ 7 = 3 3, = 104, 5 Pour calculer u 5, on doit d abord calculer la valeur de u 4 : u4 = 3 u3+ 7 = 3 104, = 30, 5 u5 = 3 u4 + 7 = 3 30, = 968, 5. Soit ( a n ) la suite définie par : a 0 = 3 et, pour tout n 0, par an+ = 1 ( an) 5. Faire une phrase pour traduire l égalité an+ = 1 ( an) 5. Calculer a 1, a. Calculer a 4. 10

10 Remarque Solution Pour calculer un terme donné d une suite définie par récurrence, il faut avoir calculer tous les termes précédents. Par exemple, pour calculer a 0, on doit d abord calculer a 19 qui nécessite le calcul de a 18 etc. N importe quel terme de la suite a est égal au terme précédent élevé au carré diminué de 5. Ainsi a 1 est égal à a 0 élevé au carré diminué de 5 : a1= a0 5= ( 3) 5= 4 De la même façon, a= a1 5= 4 5= 11 Pour calculer a 4,on doit d abord calculer la valeur de a 3 : a3 = a 5 = 11 5 = 116 a4 = a3 5 = = Représentation graphique Définition Dans repère ( Oi ;, j), la représentation graphique d une suite u est l ensemble des nu ; n ). Exemple 9 Solution Soit u la suite définie par un = n 5 pour tout entier naturel n. Calculer u 0,u 1, u, u 3, u 4 et u 5. Représenter dans un repère les 6 premiers points associés à la suite u. u 0 = 0 5= 5 u 3 = 3 5= 4 u 1 = 1 5= 4 u4 = 4 5= 11 u = 5= 1 u 5 = 5 5= 0 0 Remarque 15 Dans la représentation d une suite, on ne rejoint pas les points entre eux. Si on rejoignait les points entre eux cela signifierait que tous les réels de l intervalle [0 ; 5] admettent une image par la suite u. Ceci est contraire à la définition d une suite (par exemple, «u» n existe pas). 1,

11 Exemple 10 Solution Soit v la suite définie par récurrence : v 0 = 05, et vn+ 1 = vn 1 pour tout entier naturel n. Calculer v 1, v, v 3 et v 4. Représenter dans un repère les 5 premiers points associés à la suite v. v1= v0 1= 0, 5 1= 0 v3 = v 1= ( 1) 1= 3 v= v1 1= 0 1= 1 v4 = v3 1= ( 3) 1= Sens de variation Définitions Soit une suite u définie sur N. u est une suite croissante (resp. strictement croissante) si, pour tout entier n, un un +1 (resp. un < un +1 ). u est une (resp. strictement décroissante) si, pour tout entier n, un un +1 (resp. un > un +1 ). u est une suite constante si, pour tout entier n, un = un+1. On étudie le signe de la différence un+ 1 un de deux termes consécutifs. Si, pour tout entier n, 0 un+ 1 un alors u n u n +1 et donc u est une suite croissante. Si, pour tout entier n, 0 un+ 1 un alors u n u n +1 et donc u est une suite décroissante. Lorsque, pour tout entier naturel n, une suite u est définie explicitement à l aide d une fonction f par un = f( n), on étudie le sens de variation de la fonction f sur [ 0 ; + [. Si f est croissante sur [ 0 ; + [, alors u est croissante. Si f est décroissante sur [ 0 ; + [, alors u est décroissante.

12 Exemple 11 Solution Soit v la suite définie par vn = n + n 1pour tout entier naturel n. Etudier le sens de variation de cette suite en utilisant chacune des deux méthodes précédentes. vn+ 1 vn : Ecrivons ce que vaut v n+1. Pour cela, on remplace n par (n+1) dans l expression de v n : vn+ 1 = ( n + 1) + ( n + 1) 1 = ( n + n+ 1) + ( n+ ) 1 vn+ vn = n + n + + n + 1 ( 1) ( ) 1 ( n + n 1) = n + 3 Comme n 0, vn+ 1 vn 0 et ainsi v est une suite croissante. On remarque que vn = f ( n ) avec f( x)= x + x 1. f est une fonction polynôme de degré ayant pour tableau de variation le tableau suivant : x 1 + variations de f Ainsi f est une fonction croissante sur [ 0 ; + [ et donc v est une suite croissante. C Exercices d apprentissage Exercice 1 n On considère la suite (u n ) définie par un = ( n+ 3) La suite u est elle définie explicitement ou par récurrence? Calculer u 0, u 1, u 5 et u 1. Exercice u0 = 7 On considère la suite (u n ) définie pour tout entier n par un + 1 = un 8 La suite u est-elle définie explicitement ou par récurrence? Ecrire une phrase pour traduire l égalité un+ 1 = un 8 Calculer u 1, u, u 3 et u 6. Exercice 3 On considère la suite (u n ) définie pour tout entier n par un = ( n + )( n 1) Calculer u 0, u 1, u, u 3 et u 4. Représenter les points associés au cinq premiers termes de la suite ( u n ) dans un repère. 13

13 Conjecturer le sens de variation de cette suite. Prouver cette conjecture. Exercice 4 On considère la suite (u n ) définie pour tout entier n par Calculer u 0, u 1, u, u 3 et u 4. u0 = 6 un + 1 = un + 5 Représenter les points associés au cinq premiers termes de la suite ( u n ) dans un repère. Conjecturer le sens de variation de cette suite. Prouver cette conjecture. Exercice 5 Exercice 6 On considère la suite ( u n ) définie pour tout entier n par un = n + 3n 1. Donner l expression de u n+1, u n 1 et u n. v définie pour tout entier n par vn = n ( n + 5). n w définie pour tout entier n par wn = n + 1. On considère la suite ( a n ) définie pour tout entier n par an = n ( n + 3) Donner l expression de a n+1 en fonction de n. Calculer an+ 1 an. En déduire le sens de variation de la suite a. Exercice 7 Exercice 8 n On considère la suite (v n ) définie pour tout entier n par vn = + 1 n +. Déterminer le sens de variation de cette suite. Soit f une fonction définie sur 0;+ et dont la représentation graphique est donnée ci-dessous Soit la suite u définie pour tout n par un = f ( n ). Lire les valeurs des 6 premiers termes de cette suite. Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite?

14 Exercice 9 A partir des exemples ci-dessous, définir une suite de la façon suivante : - indiquer ce que représente le terme général - indiquer le terme initial - donner la formule (explicite ou par récurrence) qui définit la suite. Pierre place 500 sur un compte rémunéré au taux annuel de 3 %. Chaque année, la largeur d une dune diminue de 5 m sous l effet de l érosion. Sa largeur en 010 est de 50 m. Le prix d une course de taxi est défini de la façon suivante : prise en charge ; prix du kilomètre 1,48 Un laboratoire met en culture 100 bactéries d une souche donnée. Chaque heure le nombre de bactéries double. Exercice 10 Au début d une épidémie de grippe, un organisme réalise une étude sur le nombre de personnes malades dans une ville. Le premier jour, on recense personnes malades. Chaque jour, on constate que 10 % des personnes guérissent mais que 600 nouveaux cas de maladie sont déclarés. On note n le nombre de malades le n ième jour de l étude. Ainsi 1 = Que valent et 3? Donner l expression de n+1 en fonction de n. n L organisme établit que, pour tout entier n 1, n = , 9 1. Retrouver les valeurs de et 3. Calculer 15. L organisme estime que le seuil épidémique est atteint lorsque le nombre de malades une même journée dépasse cas. A partir du combientième jour de l étude dépasse-t-on le seuil épidémique? 15

15 3 TICE A Calcul de termes d une suite et représentation graphique avec le tableur Suite définie explicitement Exemple 1 Suite définie explicitement On considère la suite (u n ) définie pour tout entier n par un = n 5. Le but cet exemple est d obtenir une page de calculs du tableur «OpenOffice.org Calc» affichant les valeurs des termes u 0, u 1, u et la représentation graphique des termes de la suite. Afficher une colonne indiquant le rang d un terme de la suite. Recopier la capture d écran ci-dessous. Sélectionner la plage indiquée ci-dessous. A l aide de la poignée de recopie, effectuer un «copier-glisser» de la plage A-A3 dans la colonne A (jusqu à A7 par exemple) comme ci-dessous : 16

16 Afficher une colonne indiquant les termes successifs de la suite. Recopier la capture d écran ci-dessous. Dans la cellule B, rentrer la formule suivante «=A^ 5». Cette formule correspond à la formule un = n 5 qui définit la suite u : en effet, u 0 = 0 5. Sélectionner la cellule B : Comme précédemment, à l aide de la poignée de recopie, effectuer un «copierglisser» de la cellule B dans la colonne B (jusqu à B7 par exemple) comme ci-dessous : 17

17 Représenter graphiquement les premiers termes. Sélectionner la plage de données A1 : B7 et cliquer sur l icône diagramme Une boîte de dialogue s affiche. Sélectionner le type de diagramme «Ligne» puis «Points seuls» puis «suivant». Sélectionner «Série en colonnes» puis cocher «Première ligne comme étiquette» et «Première colonne comme étiquette» puis «Suivant». Cliquer à nouveau sur «Suivant» puis sur «Terminer». On obtient la représentation graphique ci-dessous un

18 Suite définie par récurrence Exemple 13 Suite définie par récurrence On considère la suite (u n ) pour tout entier n>0 par Reproduire la feuille de calcul suivante : u0 = 05, un + 1 = un 1 Dans la cellule B3, rentrer la formule suivante «=*B 1». Cette formule correspond à la formule de récurrence un+ 1 = un 1 qui définit la suite u : en effet, u1= u0 1. A l aide de la poignée de recopie, effectuer un «copierglisser» de la cellule B3 dans la colonne B (jusqu à B16 par exemple) comme ci-dessous : 19

19 B Algorithmique et calculatrice pour les suites définies par récurrence Langage «naturel» Exemple 14 Solution Pour une suite définie par récurrence et dont le terme initial est u 0, écrire un algorithme qui permet de calculer un terme de rang donné. Calculer le terme u 5 pour la suite définie pour tout entier n>0 par u0 = 05, un + 1 = un 1 Entrées : u 0, k (rang du terme à calculer), f (fonction associée à la formule de récurrence) et A (variable qui sert à stocker les calculs) Initialisation : A = u 0 ; i = 0 Traitement : Pour i allant de 1à k Fin du Pour Sortie : Afficher «u k =» A Fin de l algorithme La fonction f associée à cette suite est f( x)= x 1 Présentons les résultats dans un tableau : f( A) A i Initialisation 0,5 0 Etape 1 0, 5 1= Etape 0 1= 1 1 Etape 3 ( 1) 1= Etape 4 ( 3) 1= Etape 5 ( 7) 1= Sortie 15 0

20 Langage «calculatrice» Casio A Avant de faire fonctionner l algorithme, il faut rentrer l expression de la fonction f associée à la formule de récurrence dans le menu «f(x)» dans Y 1 Avant de faire fonctionner l algorithme, il faut rentrer l expression de la fonction f associée à la formule de récurrence dans le menu «Graph Func» Remarque Cet algorithme permet le calcul de termes d une suite dont le terme initial est u 0. - Certaines calculatrices ont un menu «suite» qui permet d obtenir directement les termes d une suite définie par récurrence. - Pour les suites définies explicitement, procéder de la même façon que pour étudier une fonction. La table de valeurs commencera à 0 si le terme initial est u 0, à 1 si le terme initial est u 1 et le pas sera réglé à 1. C Exercice 11 Exercices d apprentissage n Soit la suite (u n ) définie pour tout entier n par un = 8. n + 3 Afficher sur la feuille de calcul d un tableur les valeurs des termes u 0, u 1, u,, u 50 et la représentation graphique des termes de la suite. 1

21 Exercice 1 v1 = 4 Soit la suite (v n ) définie pour tout entier n > 0 par. vn + 1 = 15, vn 10 Afficher sur la feuille de calcul d un tableur les valeurs des termes v 1, v,, v 10 et la représentation graphique des termes de la suite. consécutifs de la suite v1+ v v10. Exercice 13 Pour une suite définie par récurrence et dont le terme initial est u 1, écrire un algorithme qui permet : - de calculer le terme de rang N donné. - d effectuer la somme des termes consécutifs de la suite du terme initial au terme de rang N. Programmer cet algorithme sur une calculatrice. Exécuter cet algorithme pour la suite (v n ) de l exercice : calculer le terme v 10 et la somme des termes consécutifs de la suite : v1+ v v10. Exercice 14 pas de l argent nécessaire à cet achat, il contracte un prêt sur 0 ans auprès de sa banque. Le remboursement de ce prêt se fait de la façon suivante : - la première année, l annuité est de chaque année, l annuité augmente de 3 % par rapport à l année précédente. On note a n l annuité remboursée la n ième année. Ainsi, a 1 = 4000 Calculer a et a 3. Etablir une formule de récurrence liant a n+1 et a n. Sur la feuille de calculs d un tableur, afficher la suite des annuités. En utilisant la fonction «Somme» du tableur, déterminer le montant total du prêt. Exercice 15 Le césium 137 est un élément radioactif. On appelle «période» la durée nécessaire pour que la moitié des éléments du césium se désintègre. Une centrale nucléaire enterre g (soit 10 kg) de césium 137. On note c 0 = cette masse initiale et c n la masse restante après n périodes. Calculer c 1. Etablir une formule de récurrence liant c n+1 et c n. Utiliser un tableur pour afficher les termes de la suite (c n ). Combien de périodes sont nécessaires pour que la masse de césium 137 soit inférieure à 5 g? Sachant que la période du césium est de 30,15 ans, combien cela représentet-il d années?

22 4 Synthèse du cours Définition Définition Une suite de nombres réels est une fonction définie sur N (ou une partie de N ) à valeurs dans R. Notation et vocabulaire u ou (u n ) désigne la suite (avec n un entier naturel). Le nombre u n (on lit «u ène» ou «u indice ène») est le terme de rang n de la suite u. Le premier terme de la suite est appelé terme initial. Deux modes de construction d une suite Une suite peut être définie de façon ou par récurrence. Représentation graphique Dans un repère ( Oi ;, j), la représentation graphique d une suite u est l ensemble des nu ; n ). Sens de variation Soit une suite u définie sur N. u est une suite croissante (resp. strictement croissante) si, pour tout entier n, un un +1 (resp. un < un +1 ). u est une (resp. strictement décroissante) si, pour tout entier n, un un +1 (resp. un > un +1 ). u est une suite constante si, pour tout entier n, un = un+1. Pour étudier le sens de variation d une suite, on peut : étudier le signe de la différence un+ 1 un de deux termes consécutifs. lorsqu une suite u est définie explicitement à l aide d une fonction f par un = f( n), étudier le sens de variation de la fonction f sur [ 0 ; + [. TICE L utilisation des TICE (tableur, calculatrices ) permet d automatiser les calculs des termes d une suite. 3

23 5 Exercices d approfondissement Exercice I Le premier janvier 010, Pierre disposait de 1 00 d économies. Il plaça cet argent sur un compte rémunéré à intérêts composés à 4 % par an. Le premier janvier 011, Pierre ajoute sur son compte ses économies de 010 à savoir 600. Il compte procéder ainsi tous les ans. On note c n le capital disponible sur le compte le premier janvier (010+n). Ainsi, c 0 = 100. Que représente c 1? Calculer c 1. Etablir une formule de récurrence entre c n+1 et c n Combien d années devra-t-il attendre pour pouvoir payer sa voiture comptant? Exercice II L exercice suivant propose une méthode pour représenter graphiquement des points associés à une suite définie par récurrence. Un exemple Soit (u n ) une suite définie pour tout n par u 0 = 6. Nous un 1= 05un un + +, allons représenter sur l axe des abscisses les points 0, 1,, 3 et 4 d abscisse respective u 0, u 1, u, u 3 et u 4. 1ère étape ème étape 3ème étape 4ème étape 5ème étape Soit f la fonction définie par f( x) = 05, x x + associée à la suite (u n ). Pour tout n, on a un+ 1 = f( un). Représenter dans un même repère la courbe C représentant la fonction f et la droite d d équation y = x Placer le point 0 ( 0 ; 0)et le point A 0 de la courbe C d abscisse u 0. A 0 a pour ordonnée u 1 car f( u0) = u1. Ainsi, A 0 a pour coordonnées A0( u0 ; u1). Placer le point B 0 situé sur la droite d et ayant la même ordonnée que A 0. Comme la droite d a pour équation y = x, l abscisse de B 0 est égale à son ordonnée. Ainsi, B 0 a pour coordonnées B0( u1; u1). Tracer la parallèle à l axe des ordonnées passant par B 0. On obtient ainsi le point de l axe des abscisses d abscisse u 1 : c est le point 1 ( 1 ; 0). On procède de la même façon pour obtenir le point puis 3 puis 4. 4

24 7 6 5 B 0 B 1 A 1 A 0 C 4 3 B A B 3 A 3 1 d M 4 3 M 3 4 5M 6M 1 M Soit la suite v définie pour tout n par v 0 = 8. Représenter sur vn 1= 15vn 1 +, l axe des abscisses les points 0, 1,, 3 et 4 d abscisse respective v 0, v 1, v, v 3 et v 4. Exercice III On considère les suites suivantes définies sur N par : n v n = 6+ 0, 5 wn = n + 4 x n n = 10 + ( 1) Compléter le tableau suivant : n v n w n x n Quand «n devient très grand», que peut-on conjecturer sur les valeurs des termes de chacune de ces suites? 5

25 Exercice IV Exercice V Le problème suivant a été posé par Leonardo de Pisano dit Fibonacci dans le livre sur l arithmétique intitulé Liber abbaci qu il rédigea en 10. Supposons qu un couple (mâle-femelle) de lapins immatures soit mis dans un champ, que la maturité sexuelle du lapin soit atteinte après un mois qui est aussi la durée de gestation, que chaque portée comporte exactement deux lapereaux, un mâle et une femelle et que les lapins ne meurent pas. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans le champ après deux ans? Une pyramide de Ponzi désigne une escroquerie qui consiste à rémunérer les investissements effectués par des clients essentiellement par les fonds procurés quand les sommes provenant des nouveaux entrants ne suffisent plus à couvrir le capital et les intérêts promis à ceux qui quittent le système. Prenons un exemple : L escroc propose un rendement annuel de 0 % alors que les autres banques proposent des placements à 5 % sous la condition de ne retirer cet argent qu après 3 ans. L escroc recrute chaque année de nouveaux clients qui placent, à eux tous, L escroc place les sommes perçues dans une banque au taux annuel de 5 %. On désigne par ( a n ) la somme versées aux clients qui se retirent après n ans. Ainsi a 1 = 0 a) Expliquer pourquoi a vaut 0. b) Que vaut a 3? c) Que vaut a 4? On désigne par ( b n ) la somme dues aux clients dans le système après n ans. Ainsi b 1 = a) Expliquer pourquoi b vaut b) Que valent b 3 et b 4? On désigne par ( c n ) la somme disponible dans le pyramide (après rémunération des clients sortants) après n ans. Ainsi c 1 = a) Expliquer pourquoi c vaut b) Que valent c 3 et c 4? Compléter le tableau suivant : somme versées aux clients qui se retirent somme dues aux clients dans le système somme disponible dans le pyramide 1 6

26 Sous ces conditions, en combien d années la pyramide ne peut plus rémunérer les clients se retirant? Remarque La pyramide de Ponzi tient son nom de Charles Ponzi qui est devenu célèbre après avoir mis en place une opération basée sur ce principe à Boston dans les années 190. L escroquerie pour laquelle Bernard Madoff a été condamné en juin 009 à 150 ans de prison repose également sur ce type de mécanisme. Pour assurer le fonctionnement d une pyramide de Ponzi, l escroc doit recruter sans cesse de plus en plus de nouveaux clients. 7