Année Scolaire

Transcription

1 Année Scolire MATHÉMATIQUES MPSI,2,3 DS N 3 Jeudi 9//27 (h Les cndids son inviés à composer vec une encre suffismmen visible (en bleu foncé ou en noir pr exemple, le bleu pâle es à proscrire. Les cndids son églemen inviés à porer une enion priculière à l qulié de leurs risonnemens insi qu à l rédcion (les copies illisibles ou ml présenées seron pénlisées. L référence des quesions doi obligoiremen êre menionnée e les résuls doiven êre encdrés. Les différens problèmes doiven êre rédigés sur des copies séprées. L clculrice, les formulires e les éléphones son inerdis. Problème : Anlyse Soien e b deux réels els que < < b. On considère dns ce problème une foncion f de clsse C sur l inervlle [,b] (c es-à-dire que l foncion f es dérivble sur [,b] e que l foncion f es coninue sur [,b] e elle que x [,b], f (x >. L objecif du problème es de démonrer, puis uiliser l formule suivne : f (d + f ( f (d = b f (b f (. ( Prie I Dns cee prie, on vérifie l formule ( sur un cs priculier. Soi p un réel sricemen posiif. On défini, dns cee prie seulemen, l foncion f pr : f : x x p. Q Jusifier que f es bien de clsse C sur [,b] vec x [,b], f (x >. Q2 Vérifier que f indui une bijecion de l inervlle [, b] sur un inervlle I à préciser, e explicier l expression sur I de s foncion réciproque f. Q3 Clculer les inégrles f (d e f ( f (d.

2 Q En déduire que l formule ( es vrie sur ce exemple. Prie II Dns cee prie, on prouve pr deux méhodes l formule (. On considère donc ici une foncion f de clsse C sur [,b] elle que x [,b], f (x >. Q5 Jusifier que f indui une bijecion de l inervlle [,b] sur un inervlle I à préciser, e que s réciproque f es de clsse C sur I. Q6 Première méhode On pose F : x f (d e G : x f (d. f ( Monrer que les foncions F e G son dérivbles, respecivemen sur les inervlles [,b] e I, e préciser leurs dérivées. b Pour ou x I, on pose f (x ϕ : x f (d + f (d x f (x. f ( Vérifier que l foncion ϕ es dérivble sur l inervlle [,b], e que x [,b], ϕ (x =. c En déduire l formule (. Q7 Deuxième méhode En uilisn un chngemen de vrible, monrer que f ( f (d = u f (udu. b En déduire l formule (. Le bu de cee prie es de clculer l inégrle Prie III Q8 Soien e b deux réels els que < < b < π 2. n( d. Après voir jusifié son uilision, écrire l formule ( obenue pour l foncion f : x n(x. (On préciser ici, en l jusifin, l expression de f. 2

3 Q9 En déduire que Q Conclure que n( d = π n( d = 2 Q Déerminer qure réels u,u 2,u 3,u els que b Prouver, sns clculer ces inégrles, que rcn( 2 d. 2 + d. 2 + = u + u u 3 + u d = d. c Exprimer lors l inégrle en foncion de l inégrle Q2 Clculer l inégrle n( d d d. Q3 Éblir que x R +, rcn(x + rcn( x = π 2. b En déduire l vleur de rcn( rcn( 2. Q Déduire des quesions précédenes une formule de l forme : où α e β son deux réels à préciser. n( d = α[ln(β + π] Problème 2 : Clcul de sommes Prie I : Puissnces descendnes Définiion : pour x réel e m enier nurel, x à l puissnce m descendne es : si m = x m = m (x i si m > i= Pr exemple, x 3 = x(x (x 2. Q Préliminires. 3

4 Soien m, N, vérifier que si m > lors m =. b Soien m, N, monrer que ( m = m m!. On rppelle que si m > lors ( m = pr convenion. c Soi m N, exprimer ( m en foncion de m!. Q2 Soi x R e m N. Monrer que x m+ = x (x m = x m (x m. b En déduire l relion (R : (m + x m = (x + m+ x m+. c Soi n,m N, simplifier l somme n m. Q3 Applicions. = En uilisn Q2c, rerouver l expression des sommes n m pour m {,2}. b Une somme sur l colonne p du ringle de Pscl. = Soien n, p N vec p n, en uilisn Q2c, simplifier l somme sous l forme d un coefficien binomil. Q Puissnces descendnes négives. Soi x R e m N, on pose : x m = m (x+i i=. Pr exemple, x 3 = Pour quelles vleurs de x l expression x m - elle un sens? n =p (x+(x+2(x+3. ( p. On donner le résul b Démonrer que l relion (R éblie en Q2b, rese vlble pour m Z, en précisn pour Q5 Applicions. quels réels x on peu l écrire. Soi m N el que m 2. i Simplifier pour n N, S n = n fcorielles. ii Déerminer lim S n. n + b i Monrer que pour n m, ii En déduire que lim n n + =m (+(+2 (+m = n =m ( m ( m = m m. n m = m! = m. (on exprimer le résul finl vec des Prie II : Un ure binôme Q6 Soien x, y R e m N. Dns cee quesion, on démonre pr récurrence sur m, l formule suivne : ( m (x + y m m = x y m Vérifier cee formule u rng m =. On suppose minenn l formule éblie pour un enier m. b Monrer que : = = ( ( m (x + y m+ m m = x y m m (x + x y m (y m + = (B

5 c En déduire l formule u rng m +. Conclure. Q7 Coefficiens binomiux générlisés. Pour x R e m N, on pose ( x m = x m m!. Lorsque x es un enier nurel, on rerouve les coefficiens binomiux clssiques. Vérifier pour x réel que ( x ( =. Vérifier pour m nurel que m = ( m. b Monrer pour ou x R e m N, que ( x ( m + x ( m+ = x+ m+. Quelle formule rerouve--on qund x es un enier nurel? c Formule de Chu-Vndermonde. Soien x, y R e m N, à l ide de l relion (B éblie en Q6, monrer que : ( ( ( m x y x + y = m m Q8 Applicions. Soi x R e m N. Monrer que m ( ( x = ( m ( x m. = = b Une propriéé des coefficiens binomiux cenrux. i Soi N, monrer que ( 2 = ( ( 2. ii En déduire, grâce à l formule de Chu-Vndermonde, que : ( ( m 2 2(m = m m = On commencer pr expliquer brièvemen pourquoi on ne peu ps ppliquer direcemen l formule de Chu-Vndermonde. FIN 5