(ln(t)) n dt. 2. En effectuant un changement de variable, montrer que. x n e x dx
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- Jean-Sébastien Normandin
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1 MT9 - Printemps 25 - Final Durée : 2 heures Barème indicatif : Aucun document - alculatrices et téléphones portables interdits La rédaction est très importante, rédigez et justifiez clairement vos réponses RENDEZ UNE OPIE PAR EXERIE (même si elle est blanche). EXERIE HANGEZ DE OPIE Pour tout n N on considère la suite (u n ) définie par u n = e (ln(t)) n dt. Justifier u n est bien défini pour tout n N. La fonction x ln(x) est continue sur R +, par conséquent elle est intégrable sur [,e]. 2. En effectuant un changement de variable, montrer que Posons t = lnx e t = x; = e t dt = dx quand x = alors t = quand x = e alors t = ; u n = x n e x dx L utilisation de la formule de changement de variable est possible car x ln(x) est continûment dérivable sur R + et la fonction t t n est continue sur R. e u n = (ln(x)) n dx = t n e t dt 3. Déterminer les valeurs de u et u. u = e t dt = [e t ] = e Pour le calcul de u, nous allons effectuer une intégration par parties (IPP) en posant y = t et z = e t ce qui assure que l IPP est possible puisque x x et x e t sont continuement dérivables sur R : u = te t dt = [te t ] e t dt = e u =
2 4. Montrer que lim n + u n =. Indication : on pourra utiliser le Deuxième Théorème de la moyenne Pour tout n N, les fonctions x e x et x x n sont continues sur R + et x x n est de signe constant sur R +, et appartiennent à R + et sont distincts, alors d après le Deuxième Thérorème de la Moyenne, il existe c ],[ tel que u n = t n e t dt = e c t n dt = e c [ n + tn+ ] = e c, quand n + () n + Par ailleurs, comme < et que t t n e t est une fonction positive sur [,] n + alors u n = u n, qui combiné avec () implique u n. 5. Exprimer u n en fonction de u n pour n. Pour tout entier n N, nous effectuons une IPP en posant y = t n et z = e t ce qui assure que l IPP est possible puisque x x n et x e t sont continuement dérivables sur R u n = t n e t dt = [t n e t ] n t n e t dt = e nu n (2) 6. En déduire un équivalent de u n quand n +. Dans (2), le terme à gauche du signe égalité tend vers, et par conséquent il en est de même pour le teme situé à droite du signe égalité ; donc la limite est lim(e nu n ) = e limnu n = = limnu n = e avec u n ; par conséquent u n n + e n + EXERIE 2. HANGEZ DE OPIE Soit P le polynôme de R[X] [X] défini par P = (X 2 X + ) 2 +. FATORISATION. (a) Montrer que i est racine complexe de P. On vérifie aisément que i est racine P(i) = ( i + ) 2 + = ( i) 2 + = (b) Sans calcul, en déduire une racine de P qui soit distincte de i.
3 P est un polynôme à coefficients réels, par conséquent si P admet r comme racine complexe, alors r son conjugué est aussi racine complexe de P. Ainsi, i est aussi racine complexe de P. (c) Décomposer P en produits de facteurs irréductibles dans R[X]. Décomposition dans R[X]. i et i sont racines complexes de P si et seulement si P = (X i)(x +i)q = (X 2 + )Q, avec Q un polynôme de R[X] de degré 2. Pour déterminer Q, soit on effectue la division Euclidienne de P par (X 2 + ), soit par identification (deux polynômes sont égaux ssi leurs coefficients sont égaux) Ici par identification, on détermine les valeurs réeles de a, b et c tels que Q = ax 2 + bx + c et (X 2 X + ) 2 + = (X 2 + )(ax 2 + bx + c) X 4 2X 3 + 3X 2 2X + 2 = ax 4 + bx 3 + (a + c)x 2 + bx + c; ce qui conduit à a =, b = 2 ; c = 2. On en déduit la décomposition de P dans R[X] : P = (X 2 + )(X 2 2X + 2), puisque le polynôme de degré 2, Q a un discriminant négatif ; en effet = 4 = (i2) 2, ce qui donne les deux racines complexes de Q : r = +i et son conjugué. La décomposition de P dans [X] est donc : P = (X + i)(x i)( r )(X r ). 2. ELEMENTS SIMPLES. Soit la fraction rationnelle F = 8X 9 P Décomposer F en éléments simples dans R[X]. Vous donnerez dans un premier temps la forme de cette décompositon. Le degré de 8X 9 étant strictement inférieur à celui de P, la décomposition formelle de F dans R[X] s écrit : 8X 9 (X 2 + )(X 2 2X + 2) = ax + b X cx + d X 2 2X + 2, avec a, b, c et d à identifier. Dans l équation précédente, en metant au même dénominateur et en identifiant les polynômes au numérateur, nous obtenons, nous obtenons a = 2, b = 5, c = 2, d = 3. PRIMITIVE. (a) Déterminer une primitive de x 2 2x + 2.
4 avec K une constante. (b) Déterminer une primitive de F. x 2 2x + 2 dx = (x ) 2 + dx = arctan(x ) + K 2x + 5 F(x)dx = x 2 + dx + 2x + x 2 2x + 2 dx 5 x 2 + dx + 2x = x 2 + dx 2x 2 x 2 2x + 2 dx + = ln( x 2 + ) 5arctan(x) + ln( x 2 2x + 2 ) x 2 2x + 2 dx (x ) 2 + dx + K = ln(x 2 + ) 5arctan(x) + ln(x 2 2x + 2) + 3arctan(x ) + K avec K une constante ; les polynômes X 2 + et X 2 2X + 2 sont toujours à valeurs positives. EXERIE 3. HANGEZ DE OPIE. Soit l équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants y (x) 6y (x) + 9y(x) = xe 3x, x R (3) (a) Résoudre l équation différentielle homogène associée à (3). Equation caractéristique : r 2 6r + 9 = de discriminant = =. L équation caractéristique a une racine double r = 3. Tout solution de l équation différentielle homogène associée à (3) a la forme : y h (x) = e r x ( + x 2 ), avec, 2 constantes réelles (b) La fonction ỹ(x) = Kxe 3x, avec K R est-elle une solution particulière de l équation différentielle du second ordre avec second membre (3)? Justifier votre réponse. Non, ỹ n est pas une solution particulière de (3) puisque c est une solution de l équation différentielle homogène associée à (3). (c) En effectuant le changement de variable y(x) = u(x)e 3x, déterminer l équation différentielle de second ordre que vérifie u. Notons (E ) cette équation différentielle d ordre 2. Déterminer une solution particulière de (E ).
5 omme e 3x ne s annule jamais alors la fonction u vérifie alors l équation (E ) xe 3x = u (x)e 3x + 6u (x)e 3x + 9u(x)e 3x 6(u (x)e 3x + 3u(x)e 3x ) + 9u(x)e 3x = (E ) u (x) = x u vérifie (E ) implique u (x) = x u (x) = x 2 /2 u(x) = x 3 /6 (d) En déduire l ensemble des solutions de (3). 3x x3 On en déduit que y p (x) = e et que les solutions de (3) s écrivent 6 x R, y(x) = e rx 3x x3 ( + x 2 ) + e 6, avec, 2 R. 2. Soit l équation différentielle du premier ordre linéaire y (x) = sin(x) y(x) + 2sin(x), x R (4) (a) PRÉLIMINAIRES. Aprés avoir justifié l existence d une primitive F sur R de la fonction f : x sin(x), montrer que F(x) = ln() + K, x R avec K R Les fonctions x sin(x) et x sont des fonctions continues sur R et x ne s annule pas sur R, par conséquent le quotient de ces deux fonctions f est continue sur R, ce qui implique l intégrabilité de x sin(x) sur tout intervalle [a,b] de R et ce qui assure l existence de primitives F de f. On va faire le changement de variable t = cos(x) qui est continuûment dérivable sur R ; par ailleurs x 2 t est continue sur [, ], l ensemble des valeurs de cos(x). ela implque que nous pouvons utiliser la formule du changement de variables ; nous avons dt = sin(x)dt ; ainsi sin(x) dx = 2 t dt = ln( 2 t ) + K = ln( ) + K = ln() + K (b) Résoudre l équation (4) et montrer que tout solution y de l équation (4) a la forme y(x) = + (), x R
6 Nous savons d après le cours que tout solution y de (4) a la forme y = y h + y p, où y h est solution de l équation homogène associée à (4) et y p est une solution particulière de (4). i. SOLUTION DE L ÉQUATION HOMOGÈNE. y h (x) = e ln(2 cos(x)) =, x R ii. SOLUTION PARTIULIÈRE. Méthode de la variation de la constante : prenons y p de la forme y p (x) = et déterminons (x) 2 cos(x) la fonction. Remarquons que y p(x) = (x)(2 cos(x)) sin(x)(x) et (2 cos(x)) 2 ) comme y p vérifie (4), on obtient : (x)(2 cos(x)) sin(x)(x) sin(x) (2 cos(x)) 2 = (x) + 2sin(x) (2 cos(x)) 2 (x)(2 cos(x)) (2 cos(x)) 2 = 2sin(x) (x) = 2sin(x)() = (x) = () 2 { (c) Déterminer l unique solution y y vérifie (4) du problème de auchy y () = On cherche y telle que y () =, c est à dire + (2 cos()) = = 2 cos() On a donc y (x) = 2 cos(x) + () pour tout x R. (d) Déterminer un développement limité de y en à l ordre 3 et en déduire l ordre de l infiniment petit y en. () = 2 + x2 2 + x3 ε(x) = + x2 2 + x3 ε(x) = = x2 2 + x3 ε(x) = y G(x) = 2 x2 2 + x3 ε(x) L ordre de l infiniment petit y en est 2.
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