I - Conjecture dans un triangle quelconque II - Démonstration dans un triangle quelconque III - Triangles rectangles IV - Triangles isocèles

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1 Triangles: angles Niveau 5 e H. TOURNEUR 22 avril 2019

2 Objectifs 1 Conjecturer puis démontrer une propriété concernant la somme des mesures des angles dans un triangle quelconque ; 2 Application aux triangles rectangles, isocèles et équilatéraux. vers la diapositive?? (début des annexes)

3 Sommaire I. Conjecture dans un triangle quelconque II. Démonstration dans un triangle quelconque III. Triangles rectangles IV. Triangles isocèles V. Triangles équilatéraux

4 Plan I. Conjecture dans un triangle quelconque II. Démonstration dans un triangle quelconque III. Triangles rectangles IV. Triangles isocèles V. Triangles équilatéraux

5 Conjecture 1/3 Construire un triangle quelconque. En utilisant trois couleurs, colorier chaque angle de ce triangle d'une couleur. Conjecture 2/3 Découper ce triangle en trois morceaux. Chaque morceau constitue un gabarit des chacun des angles du triangles. Assembler ces gabarits an d'obtenir un angle dont la mesure est la somme des trois angles coloriés. Coller sur le cahier les angles ainsi positionnés.

6 Conjecture 3/3 Quel semble être la nature de l'angle obtenu? Avec quel instruments de géométrie peut-on vérier cette conjecture? Faire une conjecture concernant la somme des mesures des angles d'un triangle Conjecture L'angle obtenu semble être plat. On vérie cette conjecture avec une règle ou un rapporteur. Attention : une vérication n'est pas une preuve! La conjecture est que la somme des mesures des angles d'un triangle quelconque semble être égale à 180.

7 Plan I. Conjecture dans un triangle quelconque II. Démonstration dans un triangle quelconque III. Triangles rectangles IV. Triangles isocèles V. Triangles équilatéraux

8 Construire 1 Tracer un triangle ABC. Placer le milieu I du segment [AB]. Construire le symétriques R du point C par rapport au point I. 2 Placer le milieu J du segment [AC]. Construire le symétrique S du point B par rapport au point J. Démontrer 1 Justier que les angles RAI et ĈBI ont la même mesure. 2 Justier que les angle ĴAS et ĴCB ont la même mesure. 3 a) Justier que les droites (AR) et (BC) sont parallèles. b) Justier que les droites (AS) et (BC) sont parallèles. c) En déduire que les points A, R et S sont alignés. d) En déduire la valeur de RAI + ÎAJ + ĴAS e) Justier que ĈBI + ÎAJ + ĴCB = 180

9 Démonstration Etape 1 Ainsi : On sait que I est le milieu due segment [AB] Or d'après la dénition du symétrique central d'un point par rapport à un autre. Donc les points A et B sont symétriques par rapport au point I R = sym I C d'après l'énoncé A = sym I B d'après l'étape 1 I = sym I I d'après une propriété de la symétrie centrale Ce qui permet d'exprimer que RAI = sym I ĈBI

10 Etape 2 On sait que RAI = sym I ĈBI Or si on a une symétrie centrale, alors le symétrique d'un angle est un angle de même mesure. Donc RAI = ĈBI

11 Etape 1 bis Ainsi : On sait que J est le milieu due segment [AC] Or d'après la dénition du symétrique central d'un point par rapport à un autre. Donc les points A et C sont symétriques par rapport au point J S = sym J B d'après l'énoncé A = sym J C d'après l'étape 1 bis J = sym J J d'après une propriété de la symétrie centrale Ce qui permet d'exprimer que ŜAJ = sym J BCJ

12 Etape 2 bis On sait que ŜAJ = sym J BCJ Or si on a une symétrie centrale, alors le symétrique d'un angle est un angle de même mesure. Donc ŜAJ = BCJ

13 Etape 3 On sait que R = sym I C d'après l'énoncé A = sym I B d'après l'étape 1 Or si on a une symétrie centrale alors, le symétrique d'une droite est un droite parallèle. Donc (RA) (CB) Etape 3 bis On sait que S = sym J B d'après l'énoncé A = sym J C d'après l'étape 1 bis Or si on a une symétrie centrale alors, le symétrique d'une droite est un droite parallèle. Donc (SA) (BC)

14 Etape 4 On sait que (RA) (CB) d'après l'étape 3 (SA) (BC) d'après l'étape 3 bis Or si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (RA) (SA) Les droite (RA) et (SA) étant parallèles en ayant le point A en commun,on en déduit qu'elles sont confondues.ainsi les points A, R et S sont alignés. De fait, on obtient : RAI + ÎAJ + ĴAS = 180 Et nalement : ĈBI + ÎAJ + ĴCB = 180

15 Propriété Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180. Propriété Si on a un triangle, alors la somme des mesures de ses angles est égale à 180.

16 Plan I. Conjecture dans un triangle quelconque II. Démonstration dans un triangle quelconque III. Triangles rectangles IV. Triangles isocèles V. Triangles équilatéraux

17 Construire Un triangle ABC rectangle en A Remarques L'angle droit est ĈAB. Les angles aigus sont ÂBC et BCA. Conjecture Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires.

18 Démonstration Etape 1 Etape 2 On sait que ABC est un triangle. Or dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180. Donc ÂBC + BCA + ĈAB = 180 (1) On sait que ABC est un triangle rectangle en A. Or d'après la dénition d'un triangle rectangle. Donc ĈAB = 90 (2)

19 Etape 3 On reporte (2) dans (1) Etape 4 ÂBC + BCA + 90 = 180 ÂBC + BCA = ÂBC + BCA = 90 On sait que ÂBC + BCA = 90 d'après l'étape 3. Or deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90. Donc les angles ÂBC et BCA sont complémentaires.

20 Propriété Si on a un triangle rectangle, alors ses angles aigus sont complémentaires. Démontrée Utilité Pour calculer des angles dans un triangle rectangle. Propriété [réciproque] Si deux angles d'un triangle sont complémentaires, alors ce triangle est rectangle. Admise Utilité Pour montrer qu'un triangle est rectangle à partir de la mesure de deux de ses angles.

21 Plan I. Conjecture dans un triangle quelconque II. Démonstration dans un triangle quelconque III. Triangles rectangles IV. Triangles isocèles V. Triangles équilatéraux

22 Construire Un triangle ABC isocèle en A. Placer I le milieu de [BC] Remarques On dit que A est le sommet principal du triangle isocèle. Le segment [BC] est la base du triangle isocèle. Si un triangle est isocèle, alors la droite qui passe par le sommet principal et par le milieu de la base du triangle est axe de symétrie du triangle. Dans le triangle ABC isocèle en A, les angles ÂBC et ÂCB sont les angles à la base. Conjecture Les angles à la base ont même mesure.

23 Démonstration Etape 1 Ainsi : On sait que ABC est un triangle isocèle de sommet principal A. I est le milieu de la base [BC]. Or si un triangle est isocèle, alors la droite qui passe par le sommet principal et par le milieu de la base du triangle est axe de symétrie du triangle. Donc la droite (AI ) est axe de symétrie du triangle. A = sym (AI ) A C = sym (AI ) B B = sym (AI ) C Ce qui permet d'exprimer que ÂCB = sym H. TOURNEUR (AI Triangles: )ÂBC angles

24 Etape 2 On sait que ÂCB = sym (AI )ÂBC Or si on a une symétrie axiale, alors le symétrique d'un angle Propriété est un angle de même mesure. Donc ÂCB = ÂBC Si on a un triangle isocèle, alors ses angles à la bases ont même mesure. Démontrée Propriété [réciproque] Si deux angles d'un triangle ont même mesure, alors ce triangle est isocèle. Le sommet principal est ainsi le sommet du troisième angle. Admise

25 Plan I. Conjecture dans un triangle quelconque II. Démonstration dans un triangle quelconque III. Triangles rectangles IV. Triangles isocèles V. Triangles équilatéraux

26 Construire Un triangle ABC équilatéral. Remarques Un triangle équilatéral est isocèle en chacun de ses sommets : tous les sommet du triangle sont principaux ; tous les côtés du triangle sont des bases. Conjecture Chaque angle du triangle équilatéral mesure 60.

27 Démonstration Etape 1 On sait que Le triangle ABC étant isocèle en chacun de ses sommets. Or d'après la propriété démontrée au paragraphe précédent. Donc on a simultanément : Etape 2 ÂBC = ÂCB BCA = BAC ĈAB = ĈBA d'où ÂBC = BCA = ĈAB (1) On sait que ABC est un triangle. Or si on a un triangle, alors la somme des mesures de ses angles est égale à 180. Donc ÂBC + BCA + ĈAB = 180 (2)

28 Etape 3 On combine (1) et (2) pour obtenir successivement : 3 ÂBC = 180 d'où ÂBC = BCA = 180 d'où BCA = ĈAB = 180 d'où ĈAB = = 60 = 60 = 60

29 Propriété Si on a un triangle équilatéral, alors chaque angle mesure 60. Démontrée Propriété [réciproque] Si chaque angle d'un triangle mesure 60, alors ce triangle est équilatéral. Admise

30 Démontrons la première conjecture. Etape 1 On sait que le point I est le milieu du segment [AB]. Or d'après la dénition de la symétrie centrale, Donc le point I est centre de symétrie. Pour les droites (d) et (d ) parallèles. Dans la symétrie centrale de centre I : Etape 2 le point A a pour symétrique le point B, la demi-droite [AC) a pour symétrique la demi-droite [BF ), la demi-droite [AI ) a pour symétrique la demi-droite [BI ). Ainsi on a ÎBF = sym I (ÎAC), Or la symétrie centrale conserve les mesures d'angles, Donc ÎBF = ÎAC La conjecture C 1 est ainsi démontrée. (1)

31 Démontrons la seconde conjecture. Etape 3 Etape 4 Etape 5 On sait que les points C, A, E sont alignés dans cet ordre, les points B, A, P sont alignés dans cet ordre. Or d'après la dénition de deux angles opposés par le sommet, Donc ÎAC et PAE sont opposés par le sommet. On sait que les angles ÎAC et PAE sont opposés par le sommet. Or d'après la propriété : si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure. Donc ÎAC = PAE (2) En combinant les égalités (1) et (2), on obtient : ÎBF = PAE

32 Propriété Si on a une droite sécante à deux autres droites parallèles, alors les angles alternes-internes ainsi formés ont la même mesure. Propriété Si on a une droite sécante à deux autres droites parallèles, alors les angles correspondants ainsi formés ont la même mesure. Illustration avec GeoGebra. Application Ces deux propriété permettent de montrer que des angles sont égaux.

33 On admet sans démonstration les propriétés réciproques des deux propriétés précédentes : Propriété [réciproque] Si on a une droite sécante à deux autres droites telle que les angles alternes-internes ainsi formés ont la même mesure, alors ces deux dernières droites sont parallèles. Propriété [réciproque] Si on a une droite sécante à deux autres droites telle que les angles correspondants ainsi formés ont la même mesure, alors ces deux dernières droites sont parallèles. Application Ces deux propriétés permettent de montrer que deux droites sont parallèles.