1 S Le produit scalaire Exercices. Diverses expressions du produit scalaire et calcul de grandeurs.

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1 S e produit scalaire Eercices Diverses epressions du produit scalaire et calcul de grandeurs. Eercice. est un triangle et I est le milieu de []. Données : I 6, I I et I. alculer : ) (introduire le point I) ) + ) 4) et. I Eercice. est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de []. alculer les produits scalaires suivants : I ) ) I ) I. Eercice. MNPQ est un carré avec MN 6, I est le centre du carré. alculer les produits scalaires suivants : M N ) MN QP I ) MN PN ) IN IP 4) QI NI. Q P Eercice 4. est un triangle direct tel que, et 4. ) Démontrer que le triangle est rectangle en (calculer ) ) alculer puis une mesure des angles et (en degré à près). Eercice 5. D est un parallélogramme avec 4, D 5 et 7. alculer D. En déduire D. Eercice 6. D est un losange de sens direct de centre O. On donne et D 6. ) alculer D. ) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (). alculer P.

2 Eercice 7. D est un rectangle tel que D et 5. E est le milieu de []. D θ ) alculer les longueurs et DE. E ) En eprimant chacun des vecteurs et DE en fonction des vecteurs et D, calculer le produit scalaire DE. ) En déduire la valeur de l angle θ DE, en degrés à, près. Eercice 8. quelles conditions sur les points,,, D a-t-on Justifier avec tous les arguments et calculs nécessaires.? Eercice 9. ) Démontrer que : 4 u v u v u v et u v u v u v. ) Interpréter la deuième égalité à l aide d un parallélogramme. ) Démontrer que : u v u v u v. 4) En déduire une interprétation géométrique. Eercice. est un cercle de centre O, de raon r et est un point fié du plan. P Q O P' e but du problème est d établir la propriété suivante : Quelle que soit la droite d passant par, coupant le cercle en deu points P et Q, le produit scalaire P Q est constant. ) Soit P le point diamétralement opposé à P. Démontrer que P Q P P'. ) Démontrer que P P' O r ². ) onclure.

3 Problèmes d orthogonalité. Eercice. e but de cet eercice est de démontrer, à l aide du produit scalaire, que les hauteurs d un triangle sont concourantes. Soit un triangle. On note, et les projetés orthogonau respectifs de, et sur (), () et (). On note H le point d intersection de ( ) et ( ) (on ne sait pas encore que H ( )). ) Justifier les valeurs des produits scalaires H et H. ) alculer H (indication : décomposer avec le point, puis développer ) ) onclure. 4) En déduire que. ' ' Eercice. D est un tétraèdre régulier (toutes arêtes sont de même longueur) de côté a, I est le milieu du côté [] et J est le milieu du côté [D]. ) alculer (en fonction de a) les produits scalaires suivants : et D. ) alculer et interpréter le produit scalaire suivant : D. ) alculer et interpréter le produit scalaire suivant : IJ [ indication : démontrer d abord que IJ D 4) Que représente le plan (IJD) par rapport au segment []? Justifier. ] Géométrie analtique. Eercice. Eaminer si les équations suivantes sont des équations de cercle, et si c est le cas, préciser le centre et le raon du cercle. ) ) + +. Eercice 4. On considère un triangle dans un repère orthonormal avec ( ; ), ( ; ) et ( ; 4). ) Déterminer une équation de la médiatrice de []. ) Déterminer une équation de la hauteur issue de dans le triangle. Eercice 5. Dans un repère orthonormal O, i, j, on donne un point I ( ; ). ) Déterminer l équation du cercle de centre I et de raon R 5. ) Démontrer que le point ( ; ) est un point du cercle. ) Déterminer une équation cartésienne de la tangente en au cercle. Eercice 6*. Dans un repère orthonormal, on considère les points suivants : ( ; ), (7 ; ) et ( ; 4). Toutes les questions suivantes sont indépendantes. ) alculer les coordonnées du barcentre G de ( ; ), (, ) et (, 4). ) Déterminer une équation de la médiatrice de []. ) alculer. angle est-il droit?

4 Eercice 7. Soient ( ; ) et ( ; 4). Déterminer l ensemble des points M du plan dont les coordonnées ( ; ) vérifient : ( ) ( + ) + ( ) ( 4). Eercice 8. e plan est rapporté à un repère orthonormal O, i, j. Déterminer l équation du cercle passant par ( ; ) et ( ; ) et dont le centre est situé sur la droite d d équation + + [indication : trouver d abord l équation de la médiatrice de [] ] Eercice 9. es vecteurs u (4 876 ; ) et v (7 9 7 ; 5 59) sont-ils orthogonau? Justifier. Eercice. équation suivante est-elle l équation d une sphère? Si oui, préciser son centre et son raon. + + z + z +. Eercice. Dans un repère orthonormal O, i, j, on donne ( ; ) et ( ; ). ) alculer les coordonnées du milieu I de []. ) Démontrer que pour tout point M du plan, on a : M + M MI +. ) Démontrer que l ensemble E des points M du plan tels que : M + M 4 est un cercle de centre I et de raon 4. 4) Déterminer une équation du cercle. 5) Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d intersection de avec l ae des abscisses. 6) Soit λ un réel négatif. omment choisir λ pour que le point Z ( 7 ; λ ) soit sur? 7) Déterminer une équation de la tangente d à en Z. ieu géométriques (ou lignes de niveau). Eercice. Soit un triangle et K le projeté orthogonal de sur (). On donne 6, K 4 et K 7. ) I est le milieu de [] et G le centre de gravité du triangle. Faire une figure. ) alculer les produits scalaires suivants :,, IG I, ainsi que la somme : G G G. ) Déterminer et représenter l ensemble des points M du plan tel que : M 44. 4) Déterminer et représenter l ensemble des points M du plan tel que : M M M. Eercice. [] est un segment de milieu I et cm. ) Démontrer que, pour tout point M du plan : M M IM. ) Trouver et représenter l ensemble des points M du plan tels que : M M 4.

5 Eercice 4. On considère un segment [] avec cm. Déterminer l ensemble des points M tels que : ) M M. ) M + M 5. Eercice 5. ) Soit D un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrer que : M + M M + MD. ) Soit D un parallélogramme. quelle condition sur le quadrilatère D on t-on MD M M M pour tout point M du plan.

6 Divers. Eercice 6. Distance d un point à une droite.. e point de vue vectoriel. e point et le vecteur n non nul étant donnés, on désigne par D la droite passant par et de vecteur normal n. Soit M un point quelconque et H le projeté orthogonal de M sur D.. Justifier que HM est le projeté orthogonal de M sur n.. En déduire que MH M n n (distance de M à D).. e point de vue analtique. Soit D la droite d équation a + b + c (a et b non nul) et ( α, β ) un point de D. On désigne par n le vecteur de coordonnées (a, b).. Montrer que pour un point quelconque M (, ) : M n a + b + c.. En déduire que la distance à la droite D d équation a + b + c est calculée par : a a b b c.. pplications.. alculs de distances. alculer dans chaque cas, la distance de M à le droite D. a. M (, 4) et D : 6 b. M O et D : c. M ( 5, 7) et D : + d. M (, 4) et D : 5.. Tangente à un cercle. a. Donner l équation du cercle de centre (5, ) et tangent à la droite D d équation + 4. b. chaque réel m, on associe la droite m d équation réduite m + m. Montrer que les droites m (m R) sont tangentes à un cercle de centre O dont on précisera le raon.. issectrices de deu droites. a. Représenter graphiquement les droites D : + 4 et D : b. alculer la distance d un point M (, ) à D puis à D en fonction de et. On note d et d ces distances. c. l aide de la relation d d d d d d, montrer que l ensemble des points M équidistants de D et D est la réunion de deu droites et dont on précisera les équations. d. Montrer, à l aide de leur vecteur normal, que les droites et sont orthogonales. Note : Par définition, les droites et sont les bissectrices de D et D.

7 S e produit scalaire orrection des eercices Diverses epressions du produit scalaire et calcul de grandeurs. Eercice. est un triangle et I est le milieu de []. Données : I 6, I I et I. alculons : ) I I I I I I I I I I I I I I I ) + I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Ou on peut utiliser directement la formule de la médiane : + I ) I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I cos I, π 4 cos 4. 4) D après les questions précédentes,on a : 6. En faisant +, on obtient 4 donc 7 et 7. En faisant, on obtient 8 donc 9 et 9. Eercice. est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de []. alculons les produits scalaires suivants : I π ) cos, 5 5 cos 5,5. ) I I par projection sur (I) donc I I,5 6,5. ) I I I car (I) (). Eercice. MNPQ est un carré avec MN 6, I est le centre du carré. alculons les produits scalaires suivants : M N ) MN QP MN QP cos MN, QP MN QP cos I ) MN PN car (MN) (PN). ) IN IP car (IN) (IP). 4) QI NI QI NI cos QI, NI QI NI cos π 8. Q P

8 Eercice 4. est un triangle direct tel que, et 4. ) omme 4, alors le triangle n est pas rectangle en. Démontrons que le triangle est rectangle en. Pour cela, calculons : omme et que 9 alors +. eci prouve (par le théorème de Pthagore) que le triangle est rectangle en. ) alculons : 5. Or, nous avons insi, on a : Donc : cos cos, 5 cos, 5 cos,. 5 et 5 cos, donc 5 5 cos,., puis, 4 (Faire une figure, le triangle est direct). omme la somme des angles (géométriques) aigus d un triangle rectangle est 9, alors :, 9 4 donc, 48. Eercice 5. D est un parallélogramme avec 4, D 5 et 7. ommencer par faire une figure. alculons D D avec une identité du cours : D D On en déduit D par le calcul suivant : D D D 8 u v u v u v. On obtient : 4. D D D D D + D donc D. Eercice 6. D est un losange de sens direct de centre O. On donne et D 6. Faisons une figure (même approimative). D P O D ) alculons D O O O OD O O O O O O ) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (). alculons P. On calcule d abord avec le théorème de Pthagore, on trouve 4. D après la propriété de projection orthogonale d un vecteur :

9 D P P 4 P. On a donc (avec la question précédente) : Donc P D 6 4 P. Eercice 7. D est un rectangle tel que D et 5. E est le milieu de []. D θ ) alculons les longueurs et DE avec le théorème de Pthagore : D + D et DE D + E +, ,5 5,5. Donc 4 et DE 5, 5. ) En eprimant chacun des vecteurs et DE en fonction des vecteurs et D, calculons le produit scalaire DE. DE D E D D D D D D comme D, alors : DE D 5 5 9,5 9,5. E ) Nous allons en déduire la valeur de l angle θ DE, en degrés à, près. On a : DE,5 et aussi : DE DE cos, DE 4 5, 5 cos, DE. Donc DE,5 4 5, 5 cos, DE et donc cos, DE e qui donne, DE 8,6. 4,5 5,5,57.

10 Eercice 8. herchons les conditions sur les points,, pour que. cos, cos,, [ π ] utre solution, plus rapide mais utilisant la «formule du cosinus» : Puisque u v u v cos u, v alors es points,, sont alignés dans cet ordre ou dans l ordre,,. cos u,v u v. u v cos,, [ π ] es points,, sont alignés dans cet ordre ou dans l ordre,,.

11 Eercice 9. ) Démontrons que : 4 u v u v u v et u v u v u v. Nous avons : u v u v u v u v u u v v u u v v u v u v 4 u v. u v u v u v u v u u v v u u v v u v u v u v u v u v. ) Interprétons l égalité u v u v u v à l aide d un parallélogramme. prenons un parallélogramme D et notons lors u, v D. u v D et u v D D D D. D insi, l égalité u v u v u v signifie que la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés (du parallélogramme). ) Démontrons que : u v u v u v. u v u v u u u v v u v v u u v v u v. 4) On considère encore le parallélogramme D et on prend les mêmes notations que précédemment. lors : u v u v u v. utrement dit, un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires c est un losange il a deu côtés consécutifs de même longueur.

12 Géométrie analtique. Eercice. Eaminons si les équations suivantes sont des équations de cercle, et si c est le cas, préciser le centre et le raon du cercle. ) ( ) + ( ) 5. eci est bien l équation d un cercle, le cercle de centre (, ) et de raon 5. ) + + ( + 4 ) + ( + 49 ) ( ) + ( ). 4 Donc ce n est pas l équation d un cercle (aucun point n a ces coordonnées vérifiant cette équation). Eercice 4. On considère un triangle dans un repère orthonormal avec ( ; ), ( ; ) et ( ; 4). ) Déterminons une équation de la médiatrice de []. Un point M (, ) appartient à la médiatrice de [] (MI) () avec I milieu de [] MI avec I milieu de [] et avec I (, ), MI (, ( ) 4 + ( 4 4 ) ( ) ) et (4, ) ) Déterminons une équation de la hauteur issue de dans le triangle. Un point M (, ) appartient à la hauteur issue de dans le triangle (M) () M avec M ( +, ) et (, ) ( + ) ( ) + ( ) + 7. Eercice 5. Dans un repère orthonormal O, i, j, on donne un point I ( ; ) ) Déterminons l équation du cercle de centre I et de raon R 5. D après le cours, l équation de ce cercle est ( ) + ( + ) 5. ) Démontrons que le point ( ; ) est un point du cercle. On remplace par et par dans le membre de gauche, on obtient : ( ) + ( + ) , donc le point ( ; ) est un point du cercle. ) Déterminons une équation cartésienne de la tangente en au cercle. On calcule les coordonnées du vecteur I (raon du cercle) : (4, ). Puis M (, ) appartient à la tangente en à (M) (I) I M avec I (4, ) et M (, ) 4 ( )

13 Eercice 6*. Dans un repère orthonormal, on considère les points suivants : ( ; ), (7 ; ) et ( ; 4). Toutes les questions suivantes sont indépendantes. ) alculons les coordonnées du barcentre G de ( ; ), (, ) et (, 4) G G ) Déterminons une équation de la médiatrice de []. Un point M (, ) appartient à la médiatrice de [] (MI) () avec I milieu de [] MI avec I milieu de [] et avec I (5, ), MI (5, ) et ( 4, ) (5 ) ( 4) + ( ) ) alculons. angle est-il droit? (5, ) et (, ) donc Donc n est pas droit. Eercice 7. Soient ( ; ) et ( ; 4). Déterminons l ensemble des points M du plan dont les coordonnées ( ; ) vérifient : ( ) ( + ) + ( ) ( 4). ( ) ( + ) + ( ) ( 4) ( ) ( ) + ( ) ( ) avec,,, 4 M M avec (, ), (, 4) M appartient eu cercle de diamètre [] où (, ), (, 4) onclusion : l ensemble des points M (, ) tel que ( ) ( + ) + ( ) ( 4) est le cercle de diamètre []. utre méthode, développer l epression ( ) ( + ) + ( ) ( 4) puis la mettre sous la forme de l équation d un cercle ( a) + ( b) R. Eercice 8. e plan est rapporté à un repère orthonormal O, i, j. Déterminons l équation du cercle passant par ( ; ) et ( ; ) et dont le centre droite d d équation + +. est situé sur la Trouvons d abord l équation de la médiatrice de []. Un point M (, ) appartient à la médiatrice de [] (MI) () avec I milieu de [] MI avec I (, ) milieu de [] et MI ( ( Ensuite, comme ) ( ) + ( ) ces coordonnées vérifient le sstème :, ) et (, ) (équation de la médiatrice de []). (, ) appartient à la médiatrice de [] et aussi à la d d équation + +, alors

14 Donc a pour coordonnées (, ). e raon du cercle de centre (, ) passant par ( ; ) est : équation du cercle de centre (, ) passant par ( ; ) est : ( + ) + ( ) 5 4. Eercice 9. es vecteurs u (4 876 ; ) et v (7 9 7 ; 5 59) sont-ils orthogonau? Non ils ne sont pas orthogonau, car le dernier chiffre de est un 7 et le dernier chiffre de est un 8. Eercice. équation suivante est-elle l équation d une sphère? + + z + z z + z ( ) + (z + ). 4 est donc l équation de la sphère de centre (,, ) et de raon. Eercice. Dans un repère orthonormal ) alculons les coordonnées du milieu I de []. I ( ; ). O, i, j, on donne ( ; ) et ( ; ). ) Démontrons que pour tout point M du plan, on a : M + M MI + M + M M M MI MI I MI I I MI MI MI MI I I MI I I MI MI MI I I I I I. MI +. ) M + M 4 MI + 4 MI MI MI MI 6 MI 8. Donc l ensemble E des points M du plan tels que : M + M 4 est un cercle de centre I et de raon 4. 4) Déterminons une équation du cercle. M (, ) IM 6 + ( ) 6. 5) Déterminons les coordonnées des (éventuels) points d intersection de avec l ae des abscisses. équation du cercle est + ( ) 6, l équation de l ae des abscisses est. Donc un point M (, ) appartient à et à (O) 6 6

15 4 6 ou. es deu points M (, ) et M (, ) sont les intersection de et (O). 6) Soit λ un réel négatif. e point Z ( 7 ; λ ) est sur λ ou λ λ 5 ou λ. 7 + ( λ ) ( λ ) 6 ( λ ) 9 omme on cherche λ <, il n a qu une solution λ, pour que le point Z ( 7 ; λ ) soit sur. 7) Déterminons une équation de la tangente d à en Z. M (, ) d (MZ) IZ) MZ IZ ieu géométriques (ou lignes de niveau). Eercice. Soit un triangle et K le projeté orthogonal de sur (). On donne 6, K 4 et K 7. ) I est le milieu de [] et G le centre de gravité du triangle. Faisons une figure. G K I ) alculons les produits scalaires suivants : K (par le théorème de projection). Donc K K K K IG I I I IK I IK I,5 5,5,75. G G G G G G.

16 ) Déterminons et représentons l ensemble des points M du plan tel que : M 44. M 44 M M M M M. Donc l ensemble des points M du plan tel que M 44 est la droite (K). 4) Déterminons et représentons l ensemble des points M du plan tel que : M M M. M M M MG MG. Donc l ensemble des points M du plan tel que () passant par G. Eercice. [] est un segment de milieu I et cm. M M M est la droite perpendiculaire à ) Démontrons que, pour tout point M du plan : M M IM. M M M M M M M M MI M M MI IM. ) M M 4 IM 4 IM 7. Soit H le point de [I] situé à,5 cm de I, on a : IH IH,5 7. insi, M M 4 IM 7 IM IH IM IH IM IH IM HI HM. ensemble des points M du plan tels que : M M 4 est la droite perpendiculaire à () passant par H. Eercice 4. On considère un segment [] avec cm. Déterminons l ensemble des points M tels que : ) M M MI I MI I où I est le milieu de []. MI I MI I MI I MI I MI 6 MI 6. Donc l ensemble des points M tel que MI I MI 5 M M est le cercle de centre I et de raon 6. ) M + M 5 MI I MI I 5 MI I MI I 5 où I est le milieu de []. MI MI I I MI MI I I 5 MI MI I I I 5 MI 5 5 Un carré n étant jamais négatif, aucun point M ne vérifie cette condition. Remarque : on peut aussi utiliser la relation de la médiane pour gagner du temps MI 45 IM,5.

17 Eercice 5. ) Soit D un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrons que : M + M M + MD. M + M MI I MI I où i est le milieu de [], c est-à-dire le centre du rectangle MI MI MI MI I I I I MI I MI MI + I. De même, on a : M + MD MI + ID. omme I est le centre du rectangle et que les diagonales d un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu, alors I ID. Donc M + M MI + I MI + ID M + MD. ) D est un parallélogramme et M un point quelconque du plan. Voons à quelle condition MD M M M. MD M I MD M MD M MD M ME MD M où E est le milieu de [D] ME MD M ME D. De même, M M insi : MD M M M I MF où F est le milieu de []. ME D MF ME MF ME MF ME MF ME FM FM ME FE. eci est lorsque () et (EF) sont perpendiculaires, donc lorsque le parallélogramme D est un rectangle.