1 S Le produit scalaire Exercices. Diverses expressions du produit scalaire et calcul de grandeurs.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "1 S Le produit scalaire Exercices. Diverses expressions du produit scalaire et calcul de grandeurs."

Transcription

1 S e produit scalaire Eercices Diverses epressions du produit scalaire et calcul de grandeurs. Eercice. est un triangle et I est le milieu de []. Données : I 6, I I et I. alculer : ) (introduire le point I) ) + ) 4) et. I Eercice. est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de []. alculer les produits scalaires suivants : I ) ) I ) I. Eercice. MNPQ est un carré avec MN 6, I est le centre du carré. alculer les produits scalaires suivants : M N ) MN QP I ) MN PN ) IN IP 4) QI NI. Q P Eercice 4. est un triangle direct tel que, et 4. ) Démontrer que le triangle est rectangle en (calculer ) ) alculer puis une mesure des angles et (en degré à près). Eercice 5. D est un parallélogramme avec 4, D 5 et 7. alculer D. En déduire D. Eercice 6. D est un losange de sens direct de centre O. On donne et D 6. ) alculer D. ) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (). alculer P.

2 Eercice 7. D est un rectangle tel que D et 5. E est le milieu de []. D θ ) alculer les longueurs et DE. E ) En eprimant chacun des vecteurs et DE en fonction des vecteurs et D, calculer le produit scalaire DE. ) En déduire la valeur de l angle θ DE, en degrés à, près. Eercice 8. quelles conditions sur les points,,, D a-t-on Justifier avec tous les arguments et calculs nécessaires.? Eercice 9. ) Démontrer que : 4 u v u v u v et u v u v u v. ) Interpréter la deuième égalité à l aide d un parallélogramme. ) Démontrer que : u v u v u v. 4) En déduire une interprétation géométrique. Eercice. est un cercle de centre O, de raon r et est un point fié du plan. P Q O P' e but du problème est d établir la propriété suivante : Quelle que soit la droite d passant par, coupant le cercle en deu points P et Q, le produit scalaire P Q est constant. ) Soit P le point diamétralement opposé à P. Démontrer que P Q P P'. ) Démontrer que P P' O r ². ) onclure.

3 Problèmes d orthogonalité. Eercice. e but de cet eercice est de démontrer, à l aide du produit scalaire, que les hauteurs d un triangle sont concourantes. Soit un triangle. On note, et les projetés orthogonau respectifs de, et sur (), () et (). On note H le point d intersection de ( ) et ( ) (on ne sait pas encore que H ( )). ) Justifier les valeurs des produits scalaires H et H. ) alculer H (indication : décomposer avec le point, puis développer ) ) onclure. 4) En déduire que. ' ' Eercice. D est un tétraèdre régulier (toutes arêtes sont de même longueur) de côté a, I est le milieu du côté [] et J est le milieu du côté [D]. ) alculer (en fonction de a) les produits scalaires suivants : et D. ) alculer et interpréter le produit scalaire suivant : D. ) alculer et interpréter le produit scalaire suivant : IJ [ indication : démontrer d abord que IJ D 4) Que représente le plan (IJD) par rapport au segment []? Justifier. ] Géométrie analtique. Eercice. Eaminer si les équations suivantes sont des équations de cercle, et si c est le cas, préciser le centre et le raon du cercle. ) ) + +. Eercice 4. On considère un triangle dans un repère orthonormal avec ( ; ), ( ; ) et ( ; 4). ) Déterminer une équation de la médiatrice de []. ) Déterminer une équation de la hauteur issue de dans le triangle. Eercice 5. Dans un repère orthonormal O, i, j, on donne un point I ( ; ). ) Déterminer l équation du cercle de centre I et de raon R 5. ) Démontrer que le point ( ; ) est un point du cercle. ) Déterminer une équation cartésienne de la tangente en au cercle. Eercice 6*. Dans un repère orthonormal, on considère les points suivants : ( ; ), (7 ; ) et ( ; 4). Toutes les questions suivantes sont indépendantes. ) alculer les coordonnées du barcentre G de ( ; ), (, ) et (, 4). ) Déterminer une équation de la médiatrice de []. ) alculer. angle est-il droit?

4 Eercice 7. Soient ( ; ) et ( ; 4). Déterminer l ensemble des points M du plan dont les coordonnées ( ; ) vérifient : ( ) ( + ) + ( ) ( 4). Eercice 8. e plan est rapporté à un repère orthonormal O, i, j. Déterminer l équation du cercle passant par ( ; ) et ( ; ) et dont le centre est situé sur la droite d d équation + + [indication : trouver d abord l équation de la médiatrice de [] ] Eercice 9. es vecteurs u (4 876 ; ) et v (7 9 7 ; 5 59) sont-ils orthogonau? Justifier. Eercice. équation suivante est-elle l équation d une sphère? Si oui, préciser son centre et son raon. + + z + z +. Eercice. Dans un repère orthonormal O, i, j, on donne ( ; ) et ( ; ). ) alculer les coordonnées du milieu I de []. ) Démontrer que pour tout point M du plan, on a : M + M MI +. ) Démontrer que l ensemble E des points M du plan tels que : M + M 4 est un cercle de centre I et de raon 4. 4) Déterminer une équation du cercle. 5) Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d intersection de avec l ae des abscisses. 6) Soit λ un réel négatif. omment choisir λ pour que le point Z ( 7 ; λ ) soit sur? 7) Déterminer une équation de la tangente d à en Z. ieu géométriques (ou lignes de niveau). Eercice. Soit un triangle et K le projeté orthogonal de sur (). On donne 6, K 4 et K 7. ) I est le milieu de [] et G le centre de gravité du triangle. Faire une figure. ) alculer les produits scalaires suivants :,, IG I, ainsi que la somme : G G G. ) Déterminer et représenter l ensemble des points M du plan tel que : M 44. 4) Déterminer et représenter l ensemble des points M du plan tel que : M M M. Eercice. [] est un segment de milieu I et cm. ) Démontrer que, pour tout point M du plan : M M IM. ) Trouver et représenter l ensemble des points M du plan tels que : M M 4.

5 Eercice 4. On considère un segment [] avec cm. Déterminer l ensemble des points M tels que : ) M M. ) M + M 5. Eercice 5. ) Soit D un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrer que : M + M M + MD. ) Soit D un parallélogramme. quelle condition sur le quadrilatère D on t-on MD M M M pour tout point M du plan.

6 Divers. Eercice 6. Distance d un point à une droite.. e point de vue vectoriel. e point et le vecteur n non nul étant donnés, on désigne par D la droite passant par et de vecteur normal n. Soit M un point quelconque et H le projeté orthogonal de M sur D.. Justifier que HM est le projeté orthogonal de M sur n.. En déduire que MH M n n (distance de M à D).. e point de vue analtique. Soit D la droite d équation a + b + c (a et b non nul) et ( α, β ) un point de D. On désigne par n le vecteur de coordonnées (a, b).. Montrer que pour un point quelconque M (, ) : M n a + b + c.. En déduire que la distance à la droite D d équation a + b + c est calculée par : a a b b c.. pplications.. alculs de distances. alculer dans chaque cas, la distance de M à le droite D. a. M (, 4) et D : 6 b. M O et D : c. M ( 5, 7) et D : + d. M (, 4) et D : 5.. Tangente à un cercle. a. Donner l équation du cercle de centre (5, ) et tangent à la droite D d équation + 4. b. chaque réel m, on associe la droite m d équation réduite m + m. Montrer que les droites m (m R) sont tangentes à un cercle de centre O dont on précisera le raon.. issectrices de deu droites. a. Représenter graphiquement les droites D : + 4 et D : b. alculer la distance d un point M (, ) à D puis à D en fonction de et. On note d et d ces distances. c. l aide de la relation d d d d d d, montrer que l ensemble des points M équidistants de D et D est la réunion de deu droites et dont on précisera les équations. d. Montrer, à l aide de leur vecteur normal, que les droites et sont orthogonales. Note : Par définition, les droites et sont les bissectrices de D et D.

7 S e produit scalaire orrection des eercices Diverses epressions du produit scalaire et calcul de grandeurs. Eercice. est un triangle et I est le milieu de []. Données : I 6, I I et I. alculons : ) I I I I I I I I I I I I I I I ) + I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Ou on peut utiliser directement la formule de la médiane : + I ) I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I cos I, π 4 cos 4. 4) D après les questions précédentes,on a : 6. En faisant +, on obtient 4 donc 7 et 7. En faisant, on obtient 8 donc 9 et 9. Eercice. est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de []. alculons les produits scalaires suivants : I π ) cos, 5 5 cos 5,5. ) I I par projection sur (I) donc I I,5 6,5. ) I I I car (I) (). Eercice. MNPQ est un carré avec MN 6, I est le centre du carré. alculons les produits scalaires suivants : M N ) MN QP MN QP cos MN, QP MN QP cos I ) MN PN car (MN) (PN). ) IN IP car (IN) (IP). 4) QI NI QI NI cos QI, NI QI NI cos π 8. Q P

8 Eercice 4. est un triangle direct tel que, et 4. ) omme 4, alors le triangle n est pas rectangle en. Démontrons que le triangle est rectangle en. Pour cela, calculons : omme et que 9 alors +. eci prouve (par le théorème de Pthagore) que le triangle est rectangle en. ) alculons : 5. Or, nous avons insi, on a : Donc : cos cos, 5 cos, 5 cos,. 5 et 5 cos, donc 5 5 cos,., puis, 4 (Faire une figure, le triangle est direct). omme la somme des angles (géométriques) aigus d un triangle rectangle est 9, alors :, 9 4 donc, 48. Eercice 5. D est un parallélogramme avec 4, D 5 et 7. ommencer par faire une figure. alculons D D avec une identité du cours : D D On en déduit D par le calcul suivant : D D D 8 u v u v u v. On obtient : 4. D D D D D + D donc D. Eercice 6. D est un losange de sens direct de centre O. On donne et D 6. Faisons une figure (même approimative). D P O D ) alculons D O O O OD O O O O O O ) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (). alculons P. On calcule d abord avec le théorème de Pthagore, on trouve 4. D après la propriété de projection orthogonale d un vecteur :

9 D P P 4 P. On a donc (avec la question précédente) : Donc P D 6 4 P. Eercice 7. D est un rectangle tel que D et 5. E est le milieu de []. D θ ) alculons les longueurs et DE avec le théorème de Pthagore : D + D et DE D + E +, ,5 5,5. Donc 4 et DE 5, 5. ) En eprimant chacun des vecteurs et DE en fonction des vecteurs et D, calculons le produit scalaire DE. DE D E D D D D D D comme D, alors : DE D 5 5 9,5 9,5. E ) Nous allons en déduire la valeur de l angle θ DE, en degrés à, près. On a : DE,5 et aussi : DE DE cos, DE 4 5, 5 cos, DE. Donc DE,5 4 5, 5 cos, DE et donc cos, DE e qui donne, DE 8,6. 4,5 5,5,57.

10 Eercice 8. herchons les conditions sur les points,, pour que. cos, cos,, [ π ] utre solution, plus rapide mais utilisant la «formule du cosinus» : Puisque u v u v cos u, v alors es points,, sont alignés dans cet ordre ou dans l ordre,,. cos u,v u v. u v cos,, [ π ] es points,, sont alignés dans cet ordre ou dans l ordre,,.

11 Eercice 9. ) Démontrons que : 4 u v u v u v et u v u v u v. Nous avons : u v u v u v u v u u v v u u v v u v u v 4 u v. u v u v u v u v u u v v u u v v u v u v u v u v u v. ) Interprétons l égalité u v u v u v à l aide d un parallélogramme. prenons un parallélogramme D et notons lors u, v D. u v D et u v D D D D. D insi, l égalité u v u v u v signifie que la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés (du parallélogramme). ) Démontrons que : u v u v u v. u v u v u u u v v u v v u u v v u v. 4) On considère encore le parallélogramme D et on prend les mêmes notations que précédemment. lors : u v u v u v. utrement dit, un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires c est un losange il a deu côtés consécutifs de même longueur.

12 Géométrie analtique. Eercice. Eaminons si les équations suivantes sont des équations de cercle, et si c est le cas, préciser le centre et le raon du cercle. ) ( ) + ( ) 5. eci est bien l équation d un cercle, le cercle de centre (, ) et de raon 5. ) + + ( + 4 ) + ( + 49 ) ( ) + ( ). 4 Donc ce n est pas l équation d un cercle (aucun point n a ces coordonnées vérifiant cette équation). Eercice 4. On considère un triangle dans un repère orthonormal avec ( ; ), ( ; ) et ( ; 4). ) Déterminons une équation de la médiatrice de []. Un point M (, ) appartient à la médiatrice de [] (MI) () avec I milieu de [] MI avec I milieu de [] et avec I (, ), MI (, ( ) 4 + ( 4 4 ) ( ) ) et (4, ) ) Déterminons une équation de la hauteur issue de dans le triangle. Un point M (, ) appartient à la hauteur issue de dans le triangle (M) () M avec M ( +, ) et (, ) ( + ) ( ) + ( ) + 7. Eercice 5. Dans un repère orthonormal O, i, j, on donne un point I ( ; ) ) Déterminons l équation du cercle de centre I et de raon R 5. D après le cours, l équation de ce cercle est ( ) + ( + ) 5. ) Démontrons que le point ( ; ) est un point du cercle. On remplace par et par dans le membre de gauche, on obtient : ( ) + ( + ) , donc le point ( ; ) est un point du cercle. ) Déterminons une équation cartésienne de la tangente en au cercle. On calcule les coordonnées du vecteur I (raon du cercle) : (4, ). Puis M (, ) appartient à la tangente en à (M) (I) I M avec I (4, ) et M (, ) 4 ( )

13 Eercice 6*. Dans un repère orthonormal, on considère les points suivants : ( ; ), (7 ; ) et ( ; 4). Toutes les questions suivantes sont indépendantes. ) alculons les coordonnées du barcentre G de ( ; ), (, ) et (, 4) G G ) Déterminons une équation de la médiatrice de []. Un point M (, ) appartient à la médiatrice de [] (MI) () avec I milieu de [] MI avec I milieu de [] et avec I (5, ), MI (5, ) et ( 4, ) (5 ) ( 4) + ( ) ) alculons. angle est-il droit? (5, ) et (, ) donc Donc n est pas droit. Eercice 7. Soient ( ; ) et ( ; 4). Déterminons l ensemble des points M du plan dont les coordonnées ( ; ) vérifient : ( ) ( + ) + ( ) ( 4). ( ) ( + ) + ( ) ( 4) ( ) ( ) + ( ) ( ) avec,,, 4 M M avec (, ), (, 4) M appartient eu cercle de diamètre [] où (, ), (, 4) onclusion : l ensemble des points M (, ) tel que ( ) ( + ) + ( ) ( 4) est le cercle de diamètre []. utre méthode, développer l epression ( ) ( + ) + ( ) ( 4) puis la mettre sous la forme de l équation d un cercle ( a) + ( b) R. Eercice 8. e plan est rapporté à un repère orthonormal O, i, j. Déterminons l équation du cercle passant par ( ; ) et ( ; ) et dont le centre droite d d équation + +. est situé sur la Trouvons d abord l équation de la médiatrice de []. Un point M (, ) appartient à la médiatrice de [] (MI) () avec I milieu de [] MI avec I (, ) milieu de [] et MI ( ( Ensuite, comme ) ( ) + ( ) ces coordonnées vérifient le sstème :, ) et (, ) (équation de la médiatrice de []). (, ) appartient à la médiatrice de [] et aussi à la d d équation + +, alors

14 Donc a pour coordonnées (, ). e raon du cercle de centre (, ) passant par ( ; ) est : équation du cercle de centre (, ) passant par ( ; ) est : ( + ) + ( ) 5 4. Eercice 9. es vecteurs u (4 876 ; ) et v (7 9 7 ; 5 59) sont-ils orthogonau? Non ils ne sont pas orthogonau, car le dernier chiffre de est un 7 et le dernier chiffre de est un 8. Eercice. équation suivante est-elle l équation d une sphère? + + z + z z + z ( ) + (z + ). 4 est donc l équation de la sphère de centre (,, ) et de raon. Eercice. Dans un repère orthonormal ) alculons les coordonnées du milieu I de []. I ( ; ). O, i, j, on donne ( ; ) et ( ; ). ) Démontrons que pour tout point M du plan, on a : M + M MI + M + M M M MI MI I MI I I MI MI MI MI I I MI I I MI MI MI I I I I I. MI +. ) M + M 4 MI + 4 MI MI MI MI 6 MI 8. Donc l ensemble E des points M du plan tels que : M + M 4 est un cercle de centre I et de raon 4. 4) Déterminons une équation du cercle. M (, ) IM 6 + ( ) 6. 5) Déterminons les coordonnées des (éventuels) points d intersection de avec l ae des abscisses. équation du cercle est + ( ) 6, l équation de l ae des abscisses est. Donc un point M (, ) appartient à et à (O) 6 6

15 4 6 ou. es deu points M (, ) et M (, ) sont les intersection de et (O). 6) Soit λ un réel négatif. e point Z ( 7 ; λ ) est sur λ ou λ λ 5 ou λ. 7 + ( λ ) ( λ ) 6 ( λ ) 9 omme on cherche λ <, il n a qu une solution λ, pour que le point Z ( 7 ; λ ) soit sur. 7) Déterminons une équation de la tangente d à en Z. M (, ) d (MZ) IZ) MZ IZ ieu géométriques (ou lignes de niveau). Eercice. Soit un triangle et K le projeté orthogonal de sur (). On donne 6, K 4 et K 7. ) I est le milieu de [] et G le centre de gravité du triangle. Faisons une figure. G K I ) alculons les produits scalaires suivants : K (par le théorème de projection). Donc K K K K IG I I I IK I IK I,5 5,5,75. G G G G G G.

16 ) Déterminons et représentons l ensemble des points M du plan tel que : M 44. M 44 M M M M M. Donc l ensemble des points M du plan tel que M 44 est la droite (K). 4) Déterminons et représentons l ensemble des points M du plan tel que : M M M. M M M MG MG. Donc l ensemble des points M du plan tel que () passant par G. Eercice. [] est un segment de milieu I et cm. M M M est la droite perpendiculaire à ) Démontrons que, pour tout point M du plan : M M IM. M M M M M M M M MI M M MI IM. ) M M 4 IM 4 IM 7. Soit H le point de [I] situé à,5 cm de I, on a : IH IH,5 7. insi, M M 4 IM 7 IM IH IM IH IM IH IM HI HM. ensemble des points M du plan tels que : M M 4 est la droite perpendiculaire à () passant par H. Eercice 4. On considère un segment [] avec cm. Déterminons l ensemble des points M tels que : ) M M MI I MI I où I est le milieu de []. MI I MI I MI I MI I MI 6 MI 6. Donc l ensemble des points M tel que MI I MI 5 M M est le cercle de centre I et de raon 6. ) M + M 5 MI I MI I 5 MI I MI I 5 où I est le milieu de []. MI MI I I MI MI I I 5 MI MI I I I 5 MI 5 5 Un carré n étant jamais négatif, aucun point M ne vérifie cette condition. Remarque : on peut aussi utiliser la relation de la médiane pour gagner du temps MI 45 IM,5.

17 Eercice 5. ) Soit D un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrons que : M + M M + MD. M + M MI I MI I où i est le milieu de [], c est-à-dire le centre du rectangle MI MI MI MI I I I I MI I MI MI + I. De même, on a : M + MD MI + ID. omme I est le centre du rectangle et que les diagonales d un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu, alors I ID. Donc M + M MI + I MI + ID M + MD. ) D est un parallélogramme et M un point quelconque du plan. Voons à quelle condition MD M M M. MD M I MD M MD M MD M ME MD M où E est le milieu de [D] ME MD M ME D. De même, M M insi : MD M M M I MF où F est le milieu de []. ME D MF ME MF ME MF ME MF ME FM FM ME FE. eci est lorsque () et (EF) sont perpendiculaires, donc lorsque le parallélogramme D est un rectangle.

Volume RESUME DE COURS DE MATHEMATIQUES. Copyright Ben. Troisième. Programme 1999

Volume RESUME DE COURS DE MATHEMATIQUES. Copyright Ben. Troisième. Programme 1999 Volume 2 RESUME DE OURS DE MTHEMTIQUES. opyright en. Troisième Programme 1999 introduction : e résumé, second du nom, a été conçu en tant qu'assistant pour les élèves de quatrième et de troisième. Il regroupe

Plus en détail

EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE. Dans toute cette série d'exercices, les repères considérés sont tous orthonormaux.

EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE. Dans toute cette série d'exercices, les repères considérés sont tous orthonormaux. EXERIES SUR LE PRODUIT SLIRE Dans toute cette série d'exercices, les repères considérés sont tous orthonormaux. Exercice 1 Soit un carré D. On construit un rectangle PQR tel que : P et R sont sur les côtés

Plus en détail

Envoi no. 6 : géométrie

Envoi no. 6 : géométrie Envoi no. 6 : géométrie Exercice 1. Soit un triangle rectangle isocèle en. Soit un point de l arc du cercle de centre passant par et, H son projeté orthogonal sur (). On note I le centre du cercle inscrit

Plus en détail

Correction du brevet blanc. Partie 1 : Activités numériques (12 points)

Correction du brevet blanc. Partie 1 : Activités numériques (12 points) Correction du brevet blanc Eercice 1 (5 points) 3 Quelle est l'epression 1 5 développée de (5 3)? ( )( ) L'équation + 5 0 a pour solutions : Quelle est la valeur eacte de : 0+ 80? Quelle est la forme factorisée

Plus en détail

a) Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous la forme de fractions irréductibles : C = 7 36 R = 36 4 (2 5)²

a) Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous la forme de fractions irréductibles : C = 7 36 R = 36 4 (2 5)² ème Fiches Révisions revet lanc 1/8 Puissances, Fractions : Effectuer les calculs suivants (donner l écriture scientifique de et écrire sous forme d un entier ou d une fraction). 1 = 15 x 10- x (10 ) 4

Plus en détail

C(x) = 5 9. et h = 160

C(x) = 5 9. et h = 160 Chapitre Fonctions affines. Définition Définition. La fonction définie par f : R R = m+h où m et h sont des nombres réels, est appelée fonction affine. Eemple La fonction C() qui permet de convertir des

Plus en détail

RAPPELS DE GÉOMETRIE (sans didactique)

RAPPELS DE GÉOMETRIE (sans didactique) RPPELS DE GÉOMETRIE (sans didactique) Des animations avec applets java illustrant différentes parties de ce document sont disponibles à cette adresse : http://dpernoux.free.fr/expe1/anim.htm Les constructions

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 004 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Section : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L'usage des calculatrices de poche est autorisé (conformément au directives

Plus en détail

Thème N 12: EQUATION (2) TRIANGLE RECTANGLE (2) ( le cosinus ) - ESPACE (2) ( le cône )

Thème N 12: EQUATION (2) TRIANGLE RECTANGLE (2) ( le cosinus ) - ESPACE (2) ( le cône ) - 1 9 1 126 9 10 10 0, 0, 1 1 12 1 728 12 3 3 0,25 0,75 0,25-25 25 5 5 5 72 72 8 9 8 1 1 12 12 12 36 36 9 Thème N 12: EQUTION (2) TRINGLE RETNGLE (2) ( le cosinus ) - EPE (2) ( le cône ) Résoudre des équations

Plus en détail

Repérage et configurations du plan

Repérage et configurations du plan I Repères et coordonnées a) Repères Définition : (O ;I,J) est un repère du plan. Il est constitué d un triplet de points non alignés. O est appelé origine du repère La droite graduée (O ;I) est l axe des

Plus en détail

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités Sujet Métropole 01 EXERIE 1. [4 pts] Probabilités Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 5% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 5% de l horticulteur

Plus en détail

Application du produit scalaire: Géométrie analytique

Application du produit scalaire: Géométrie analytique Application du produit scalaire: Géométrie analytique I) Vecteur normal et équation de droite 1) Vecteur normal à une droite Dire que est un vecteur non nul normal à une droite (d) de vecteur directeur

Plus en détail

dans le plan Soit ABC un triangle et H le projeté orthogonal de C sur (AB). 1. Faire une figure dans chacun des cas : H [ AB] --- est appelé produit

dans le plan Soit ABC un triangle et H le projeté orthogonal de C sur (AB). 1. Faire une figure dans chacun des cas : H [ AB] --- est appelé produit hapitre 13 Produit scalaire dans le plan y Le produit scalaire, introduit au XIX e siècle par Grassman et ellavitis, a de nombreuses applications en mécanique et en électromagnétisme En mathématiques,

Plus en détail

Résistance des Matériaux.

Résistance des Matériaux. Résistance des Matériau / L2-SI L2-SI Résistance des Matériau. Michel SUDRE http://www.mecaero.ups-tlse.fr/alcul.html Notes de ours. Eercices. a L D E Juin 213 1 Résistance des Matériau / L2-SI hap: Statique

Plus en détail

Mathématiques Complément et synthèse I

Mathématiques Complément et synthèse I Définition du domaine d'examen MAT-4- Mathématiques Complément et synthèse I Mise à jour novembre 004 Définition du domaine d'examen MAT-4- Mathématiques Complément et synthèse I Mise à jour novembre 004

Plus en détail

LEÇON N 40 : Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle (dans l ordre que l on voudra).

LEÇON N 40 : Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle (dans l ordre que l on voudra). EÇN N 40 : Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle (dans l ordre que l on voudra) Pré-requis : Notions de groupes, groupes finis (table, ordre

Plus en détail

4. Géométrie analytique du plan

4. Géométrie analytique du plan GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DU PLAN 35 4. Géométrie analytique du plan 4.1. Un peu d'histoire René Descartes (La Haye en Touraine, 31/3/1596 - Stockholm, 11/2/1650) La géométrie analytique est une approche de

Plus en détail

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme

Plus en détail

Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2016

Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2016 Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 0 A. P. M. E. P. EXERCICE Commun à tous les candidats points Partie A Une boite contient 00 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées.

Plus en détail

Thème : Application affines en terminale

Thème : Application affines en terminale 6 ième ASSEMBLEE GENERALE de l Association des Professeurs de Mathématiques de la Région de Sikasso et Sympathisants Thème : Application affines en terminale BOUGOUNI 2010-2011 Présenté par : APROMARS/

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des nombres complexes 1.1 Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes + et de la manière suivante. Pour (a, b, c, d) R 4, on pose (a, b) + (c, d) =

Plus en détail

11 Géométrie. dans l espace. Chapitre

11 Géométrie. dans l espace. Chapitre hapitre éométrie dans l espace e chapitre reprend prolonge le travail fait en collège en géométrie dans l espace Les activités de conjecture de démonstration de construction de figures sont poursuivies

Plus en détail

Exercice 6 : Brevet des Collèges - Orléans-Tours - 94 L unité est le cm. Exercice 7 : Brevet des Collèges - Antilles-Guyane - 92

Exercice 6 : Brevet des Collèges - Orléans-Tours - 94 L unité est le cm. Exercice 7 : Brevet des Collèges - Antilles-Guyane - 92 THM : THLS T S RIPROQU XRIS xercice n 1 : revet des ollèges - ix-marseille - 1993 On considère la figure ci-après telle que les droites () et () sont parallèles, et telle que : = 3 = 7 = 4 = 4 L'unité

Plus en détail

LES TICE EN GEOMETRIE DE L ESPACE : LOGICIELS 3D OU LOGICIELS 2D?

LES TICE EN GEOMETRIE DE L ESPACE : LOGICIELS 3D OU LOGICIELS 2D? François LMEZ Irem de Paris 7, équipe DIDIREM Résumé : u moment où se met en place l épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat en section S, il est légitime de comparer l apport des logiciels 2D

Plus en détail

Travail d une force Correction

Travail d une force Correction Travail d une force Exercice 1 : Deux jumeaux de même masse m=75,0 kg montent au 5ème étage d'un immeuble en partant du rez-de-chaussée. Le jumeau A emprunte l'ascenseur et le jumeau B l'escalier. La distance

Plus en détail

Une année de Mathématiques en classe de Première S

Une année de Mathématiques en classe de Première S Une année de Mathématiques en classe de Première S Freddy Mérit Année scolaire 2012-2013 Ce manuel, à destination des élèves de Première S, a été en partie réalisé à partir de la consultation des ouvrages

Plus en détail

Une axiomatisation du plan euclidien

Une axiomatisation du plan euclidien Nicole opp Strasbourg, avril 2007 Une axiomatisation du plan euclidien Le but de ce texte est de montrer comment on peut axiomatiser le plan euclidien d une manière qui se rapproche, autant que faire se

Plus en détail

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP)

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) SESSION DE 2005 concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) section : mathématiques deuxième composition de mathématiques (épreuve de remplacement)

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Dérivation Dérivabilité Eercice [ 0354 ] [Correction] Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : a) 2 3 b) 2 ) arccos 2 ) Eercice 2

Plus en détail

ACTIVITÉS. Droites remarquables du triangle. 1 Carte d identité CHAPITRE

ACTIVITÉS. Droites remarquables du triangle. 1 Carte d identité CHAPITRE HPTRE 10 Droites remarquables du triangle TVTÉS 1 arte d identité À partir d un même triangle, et à l aide d un logiciel de géométrie, Philippe a réalisé ces quatre constructions. Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Plus en détail

COURS : LA SYMÉTRIE AXIALE

COURS : LA SYMÉTRIE AXIALE HPTRE 7 OURS : L SYMÉTRE XLE Extrait du programme de la classe de Sixième : ONTENU Symétrie orthogonale par rapport à une droite (symétrie axiale) OMPÉTENES EXGLES -onstruire le symétrique d un point,

Plus en détail

Métropole juin 2009 Brevet Corrigés Page 1 sur 7

Métropole juin 2009 Brevet Corrigés Page 1 sur 7 Métropole juin 2009 Brevet Corrigés Page 1 sur 7 Exercice 1 : sur 2 points 1. (1 pt) A = 8 + 3 4 1 + 2 1, A = 8 + 12 1 + 3 A = 20 4 A = 4 4 1 A = Activité numérique 2. (1 pt) En l absence de parenthèses,

Plus en détail

Solutions. Exercice 470-1 (Corol aire n 41) Démontrer que, pour tout ensemble {x, y, z} de trois nombres réels quelconques, on a :

Solutions. Exercice 470-1 (Corol aire n 41) Démontrer que, pour tout ensemble {x, y, z} de trois nombres réels quelconques, on a : 888 Pour chercher et approfondir PEP Exercice 473-4 (ichel Lafond - ijon) ans le plan, un triangle a une aire de 344 m Un point P du plan vérifie P = 5 m, P = 33 et P = 39 m alculer les côtés de Solutions

Plus en détail

BREVET BLANC DES 5 et 6 février 2004 Corrigé MATHEMATIQUES

BREVET BLANC DES 5 et 6 février 2004 Corrigé MATHEMATIQUES Collège LANGEVIN WALLON BREVET BLANC DES et 6 février 004 Corrigé MATHEMATIQUES PARTIE I : ACTIVITES NUMERIQUES (1 points) Exercice I :1 1. En faisant apparaître les différentes étapes de calcul, écrire

Plus en détail

Exercices de 6 ème Chapitre 6 Périmètres et aires Énoncés

Exercices de 6 ème Chapitre 6 Périmètres et aires Énoncés Énoncés Exercice 1 Nommer tous les rectangles, les losanges et les carrés de la figure ci-contre dont les noms sont constitués uniquement de consonnes. J I B M A O E L K U Y Exercice onner la nature précise

Plus en détail

2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE

2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE 2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES Exercice 1 : (4 points) 1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous. Elèves vaccinés Elèves non vaccinés Total Elèves ayant eu la grippe 14 133 147

Plus en détail

CORRECTION DU BREVET BLANC ---- MAI 2010 1 PARTIE : ACTIVITES NUMERIQUES

CORRECTION DU BREVET BLANC ---- MAI 2010 1 PARTIE : ACTIVITES NUMERIQUES CORRECTION DU BREVET BLANC ---- MAI 010 4 points sont attribués pour la qualité de la rédaction, le soin et la présentation. points correspondent au soin et à la propreté, ils sont proportionnels à la

Plus en détail

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET PONDICHÉRY - SESSION 2007

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET PONDICHÉRY - SESSION 2007 1 sur 7 http://www.ilemaths.net/maths_3-sujet-brevet-07-01-correction.php#c... DIPLÔME NATIONAL DU BREVET PONDICHÉRY - SESSION 2007 L'emploi de la calculatrice est autorisé. La rédaction et la présentation

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S. Savoir-Faire par chapitre avec corrigé

Cours de mathématiques pour la Terminale S. Savoir-Faire par chapitre avec corrigé Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre avec corrigé Florent Girod Année scolaire 205 / 206. Eternat Notre Dame - Grenoble Table des matières I Savoir-Faire 2 ) Suites numériques.................................

Plus en détail

Domaine : Géométrie Auteur : Pierre-Antoine Guihéneuf Niveau : Débutants Stage : Montpellier 2014 Contenu : Cours et exercices.

Domaine : Géométrie Auteur : Pierre-Antoine Guihéneuf Niveau : Débutants Stage : Montpellier 2014 Contenu : Cours et exercices. omaine : Géométrie uteur : Pierre-ntoine Guihéneuf Niveau : ébutants Stage : Montpellier 2014 ontenu : ours et exercices ires L'aire est une quantité qui mesure la taille d'un domaine du plan. Elle vérie

Plus en détail

I) Activités numériques

I) Activités numériques revet 99 : ordeau I) ctivités numériques ercice : alculer les valeurs eactes des nombres suivants (on donnera les résultats sous forme fractionnaire irréductible) 8 Écrire les nombres suivants sous la

Plus en détail

17. ISOMÉTRIES LINÉAIRES

17. ISOMÉTRIES LINÉAIRES 17 ISOMÉTRIES LINÉAIRES 171 Isométries linéaires dans un espace vectoriel euclidien Soit E un espace vectoriel euclidien Une application linéaire f dans E est appelée isométrie linéaire ssi, quel que soit

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

D = 5 2 4 0,5. 4 points. D = 5 2 2 D = 5 donc D est un nombre entier. 0,5

D = 5 2 4 0,5. 4 points. D = 5 2 2 D = 5 donc D est un nombre entier. 0,5 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 s) Montrer que D est un nombre entier. Ê D = 5 12 2 D = 5 2 Exercice n 1 : Toutes les étapes de calcul devront figurer sur la copie. 1. On donne A = + 1 + 2. Calculer et donner

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7

Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7 Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7 Exercice 1 : ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) 1. (3x + 5)² = (3x) 2 + 2 3x 5 + 5 2 = 9x² + 30x + 25 2. 4(4 + 1) = 20 (4 + 1)(4 2) = 10 (4 + 1)² =

Plus en détail

Institut de Biologie Fondamentale et Appliquée. M A T H E M A T I Q U E S pour SV 105

Institut de Biologie Fondamentale et Appliquée. M A T H E M A T I Q U E S pour SV 105 U N I V E R S I T E de C A E N Institut de Biologie Fondamentale et Appliquée M A T H E M A T I Q U E S pour SV 05 0 - Présentation - Bibliographie. - Trigonométrie - Fonctions réciproques - Nombres complees

Plus en détail

Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147

Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147 Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147 14 Janvier 2015 2 Il est impossible d envisager l étude des méthodes

Plus en détail

Séquence 7. 1 ère partie : 2 e partie : Problèmes. Produit scalaire (2) : applications. Séquence 7 MA12. Cned - Académie en ligne

Séquence 7. 1 ère partie : 2 e partie : Problèmes. Produit scalaire (2) : applications. Séquence 7 MA12. Cned - Académie en ligne Séquence 7 1 ère partie : Produit scalaire () : applications e partie : Problèmes Séquence 7 MA1 1 1ère partie Produit scalaire () : applications Sommaire 1/ Pré-requis Calculs de distances, d angles 3

Plus en détail

- Rappels sur la résolution d une équation de la forme. " oeuil "

- Rappels sur la résolution d une équation de la forme.  oeuil - EE Thème N 6 : TRIGONOETRIE Equation () e que je dois savoir à la fin du thème : - Rappels sur la résolution d une équation de la forme a ou b b a - onnaître et utiliser dans le triangle rectangle des

Plus en détail

Chapitre 4 : Géométrie plane

Chapitre 4 : Géométrie plane hapitre 4 : Géométrie plane I Rappels et compléments sur les vecteurs I Vecteurs et géométrie Égalité de deux vecteurs : = D ssi D est un parallélogramme (éventuellement aplati) D ddition de vecteurs :

Plus en détail

Bissectrices. Daniel Perrin

Bissectrices. Daniel Perrin Bissectrices Daniel Perrin Introduction Le but de ce texte est d essayer de donner une référence fiable sur la question des bissectrices, pour traiter notamment l exposé de CAPES intitulé Droites remarquables

Plus en détail

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire Université de Paris X Nanterre UFR Segmi Année 7-8 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II Chapitre Algèbre linéaire Table des matières Espaces vectoriels Espaces et sous-espaces

Plus en détail

QUADRILATÈRES PARTICULIERS

QUADRILATÈRES PARTICULIERS hapitre 8 QURLTÈRES PRTULERS - REOMMNTONS. NTROUTON l s'agit de consolider les connaissances acquises en 6e sur les parallélogrammes particuliers (rectangle, losange, carré) et le trapèze, et de les approfondir

Plus en détail

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014 Baccalauréat Série S Métropole, juin 4 Sujet et Corrigé Stéphane PASQUET Disponible sur http://www.mathweb.fr juin 4 Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Partie A Dans le plan muni d un repère

Plus en détail

Test de sélection du 4 juin 2013

Test de sélection du 4 juin 2013 Test de sélection du 4 juin 2013 Vous étiez 270 candidat-e-s à ce test de sélection, et 62 d entre vous (23%) participeront au stage olympique de Montpellier, du 19 au 29 août 2013, dont 12 filles : la

Plus en détail

3 Droite. Vecteur directeur, vecteur normal. Positions relatives de deux droites. GA2D-Cours.nb 2. Vecteur directeur

3 Droite. Vecteur directeur, vecteur normal. Positions relatives de deux droites. GA2D-Cours.nb 2. Vecteur directeur GAD-Cours.nb 1 Géométrie métrique -ème année niveau avancé Edition 007-008 3-ème année niveau standard DELM 3 et 4 Géométrie analytique D Liens hypertextes Exercices de géométrie analytique D: http://www.deleze.name/marcel/sec/cours/geomanalytiqued/gad-exercices.pdf

Plus en détail

(a) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné.

(a) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné. Eercice / 5 points Une boîte de chocolats contient 50 % de chocolats au lait, 30 % de chocolats noirs et 0 % de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d emballage identique.

Plus en détail

Diplôme National du Brevet. Épreuve blanche Proposition de corrigé. Externat Notre Dame

Diplôme National du Brevet. Épreuve blanche Proposition de corrigé. Externat Notre Dame Diplôme National du Brevet Épreuve blanche Proposition de corrigé Externat Notre Dame Vendredi 9 décembre 2011 durée de l'épreuve : 2 h I - Activités numériques II - Activités géométriques III Problème

Plus en détail

Séquence 2. Fonctions numériques Continuité. Sommaire. 1. Pré-requis. 2. Étude de fonctions (révisions 1 re ES)

Séquence 2. Fonctions numériques Continuité. Sommaire. 1. Pré-requis. 2. Étude de fonctions (révisions 1 re ES) Séquence Fonctions numériques Continuité Objectifs de la séquence Revoir les fonctions dérivables et découvrir les fonctions continues. Étudier le sens de variation d une fonction pour résoudre un problème

Plus en détail

Théorème de Thalès et sa réciproque Rappel : signification de «réciproque»

Théorème de Thalès et sa réciproque Rappel : signification de «réciproque» Théorème de Thalès et sa réciproque Rappel : signification de «réciproque» «Si un bâtiment a un clocher alors ce bâtiment est une église» la réciproque est vraie «Si un bâtiment est une église alors ce

Plus en détail

exercices travail autonome

exercices travail autonome travail autonome 1 On considère les quatre figures suivantes : 6 On considère les quatre figures suivantes : R R R T Fig. 1 Fig. 2 (d) R T Fig. 1 Fig. 2 T Fig. 3 Fig. 4 À l aide du codage des figures,

Plus en détail

Activité 2 : Parallélogramme et centre de symétrie

Activité 2 : Parallélogramme et centre de symétrie ctivités ctivité 1 : Les quadrilatères a. omment appelles-tu des figures géométriques qui ont plusieurs côtés? rois côtés? Quatre côtés? b. Quatre élèves ont nommé la igure 1. Quels sont ceux qui se sont

Plus en détail

(2) 1 Côté du carré par rapport au rayon du disque :

(2) 1 Côté du carré par rapport au rayon du disque : Cet article est rédigé par des élèves. Il peut comporter des oublis et imperfections, autant que possible signalés par nos relecteurs dans les notes d'édition. La géométrie de Pierre Année 01-014 LEGENDRE

Plus en détail

Mathématiques en Seconde. David ROBERT

Mathématiques en Seconde. David ROBERT Mathématiques en Seconde David ROERT 2011 2012 Sommaire 1 Translation Vecteurs 1 1.1 Translation......................................................... 1 1.1.1 Définition.....................................................

Plus en détail

BTSA Aménagement Paysager

BTSA Aménagement Paysager BTSA Aménagement Paysager MODULE M41 COURS ET EXERCICES DE GÉOMÉTRIE Version 1.0 Septembre 2009 Géométrie vectorielle 1 1.1 Vecteurs Nous partirons de la notion de vecteur lié. s On appelle vecteur (ou

Plus en détail

2. Si x désigne le prix d un article, exprimer en fonction de x le prix de cet article après une baisse de 20%.

2. Si x désigne le prix d un article, exprimer en fonction de x le prix de cet article après une baisse de 20%. 3 ème REVISIONS BREVET EXERCICE 1 : Soit P = (x 2) (2x + 1) (2x + 1)² 1. Développer et réduire P. 2. Factoriser P. 3. Résoudre l équation (2x + 1) (x + 3) = 0 4. Pour x = 3, écrire P sous forme fractionnaire.

Plus en détail

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume.

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

Tableau comparatif des connaissances et capacités des programmes de CM2 et 6ème

Tableau comparatif des connaissances et capacités des programmes de CM2 et 6ème Lundi Matin - «Comparatif des programmes de CM2 et 6 ème» Page 1 Tableau comparatif des connaissances et capacités des programmes de CM2 et 6ème CM2 6 ème Plus tard... Vocabulaire divers Le vocabulaire

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

Fonctions linéaires. $ Calculer son périmètre et son aire. $ Calculer le périmètre et l aire du nouveau carré. Que remarque-t-on?

Fonctions linéaires. $ Calculer son périmètre et son aire. $ Calculer le périmètre et l aire du nouveau carré. Que remarque-t-on? Fonctions linéaires Je double, moi non plus Le côté d un carré mesure cm. $ Calculer son périmètre et son aire. On double le côté du carré. $ Calculer le périmètre et l aire du nouveau carré. Que remarque-t-on?

Plus en détail

ENTRÉE EN TS. Exercice 1 Second degré - les aspects élémentaires.

ENTRÉE EN TS. Exercice 1 Second degré - les aspects élémentaires. 1 ENTREE EN CLASSE DE TERMINALE S. FEUILLE D EXERCICES 2015 1. Pour qui est ce document. Ce document est destiné à tous les élèves entrant en Terminale S, quelle qu ait été leur moyenne dans la discipline

Plus en détail

Représentation des courbes planes

Représentation des courbes planes TP Maple 9 Représentation des courbes planes Nous n explorerons dans ce chapitre que les commandes graphiques essentielles offertes par Maple. Pour chacune des commandes de tracé, nous avons fait le choix

Plus en détail

1 Cinématique du solide

1 Cinématique du solide TBLE DES MTIÈRES 1 Cinématique du solide 1 1.1 Coordonnées d un point dans l espace......................... 1 1.1.1 Repère et référentiel................................ 1 1.1.2 Sens trigonométrique...............................

Plus en détail

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Propriété : Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. Si un point est

Plus en détail

;2 est-il situé sur la courbe Cf? Justifier par un calcul. Exercice 1 (8 points) Les étapes intermédiaires des calculs sont exigées.

;2 est-il situé sur la courbe Cf? Justifier par un calcul. Exercice 1 (8 points) Les étapes intermédiaires des calculs sont exigées. 3 èmes 1 à 9 Lundi 18 novembre 2013 DS de mathématiques n 2 1h50 calculatrice autorisée Consignes : - Coller l énoncé, plié en 4, sur la 1 ère page de la copie. - Souligner les résultats à la règle ; séparer

Plus en détail

En mathématiques, pour savoir si un énoncé est vrai ou faux, on utilise certaines règles. En voici quelques-unes :

En mathématiques, pour savoir si un énoncé est vrai ou faux, on utilise certaines règles. En voici quelques-unes : 1. Les règles du débat mathématique En mathématiques, pour savoir si un énoncé est vrai ou faux, on utilise certaines règles. En voici quelques-unes : (1) Un énoncé mathématique est soit vrai, soit faux

Plus en détail

Exercice 2 On considère le triangle DNB tel que DN = 5 cm ; NB = 12 cm et BD = 13 cm. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur.

Exercice 2 On considère le triangle DNB tel que DN = 5 cm ; NB = 12 cm et BD = 13 cm. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2008 - durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points. Activités numériques ( points) Exercice

Plus en détail

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S Exercice 1 R D Q C Soit un carré ABCD. On construit un rectangle AP QR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ; AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (P

Plus en détail

Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 sur lequel on définit un sens de

Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 sur lequel on définit un sens de Première S Chapitre 7 : Angles orientés. Trigonométrie. Année scolaire 01/013 I) Rappels de seconde : 1) Définition d'un cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 sur lequel

Plus en détail

1 ère S Exercices sur le produit scalaire dans le plan) Réponses

1 ère S Exercices sur le produit scalaire dans le plan) Réponses ère S Exercices sur le produit scalaire dans le plan) Soit CD un carré de côté a. Calculer les produits scalaires p C ; p C ; p3 CD ; p D D. Soit et deux points tels que a. On note I le milieu de [] et

Plus en détail

Produit scalaire. Expressions et propriétés du produit scalaire

Produit scalaire. Expressions et propriétés du produit scalaire Produit scalaire 1ère STI I - Expressions et propriétés du produit scalaire 1 éfinitions Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls u et v, noté u v, est le nombre, u v = u. u.cos ( u, v. u v θ u v

Plus en détail

Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 1

Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 1 BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES Mai 2010 La calculatrice est autorisée. Le soin et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation. N candidat : Observations Présentation et rédaction :

Plus en détail

Produit scalaire : définitions et premières propriétés

Produit scalaire : définitions et premières propriétés hapitre 6 Produit scalaire : définitions et premières propriétés Sommaire 6.1 Activités......................................................... 53 6.2 Définitions........................................................

Plus en détail

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x)

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x) EXERCICES LN Eercice : Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f ()=+ ln(). On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.. a. Calculer f () b. Déterminer l équation de la tangente T à

Plus en détail

HUITIEME PARTIE ANALYSE EN COMPSANTES PRINCIPALES

HUITIEME PARTIE ANALYSE EN COMPSANTES PRINCIPALES 105 HUITIEME PARTIE ANALYSE EN COMPSANTES PRINCIPALES 1. Introduction En statistiques il arrive fréquemment que les individus soient décrits par un grand nombre de caractères. : voitures décrites par leur

Plus en détail

Propriété (admise) : la section d un cube par un plan parallèle à une face est un

Propriété (admise) : la section d un cube par un plan parallèle à une face est un Vérification des acquis (oral). Découverte de la section d un pavé droit par un plan (faire fiche activité 1). I- SECTION DE PARALLELEPIPEDE RECTANGLE PAR UN PLAN 1) Plan Pour avoir une représentation

Plus en détail

CHAPITRE IV. Utiliser la définition de la médiatrice d un segment ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d équidistance ( )

CHAPITRE IV. Utiliser la définition de la médiatrice d un segment ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d équidistance ( ) HPITRE IV TRINGLES OMPÉTENES ÉVLUÉES DNS E HPITRE : (T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions) Intitulé des compétences Eval.1

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

MATHEMATIQUES 1 partie. Activités numériques

MATHEMATIQUES 1 partie. Activités numériques NOM : Classe : Prénom : MATHEMATIQUES partie Les réponses seront justifiées. Le détail des calculs figurera sur la copie. Activités numériques Quel est le PGCD des nombres 185 et 444? 2 Un chef d orchestre

Plus en détail

COURS VECTEURS 3 2006-2007 LES VECTEURS. Date En Classe Date A préparer ou à rendre 26 janvier 2007 Distribution Polycopié et 30 janvier 2007 I

COURS VECTEURS 3 2006-2007 LES VECTEURS. Date En Classe Date A préparer ou à rendre 26 janvier 2007 Distribution Polycopié et 30 janvier 2007 I Objectifs du cours : I : translation : savoir la définir savoir effectuer la translation d une figure II : égalité de vecteurs : III : IV : VI : VII : VIII : IX : Planning : LES VETEURS Date En lasse Date

Plus en détail

1 S Calcul vectoriel et barycentres Exercices. Introduction et barycentres de deux points.

1 S Calcul vectoriel et barycentres Exercices. Introduction et barycentres de deux points. S alcul vectoriel et ycentres Exercices Introduction et ycentres de deux points Exercice On considère un triangle On appelle I le milieu de [] émontrer que I Exercice et sont deux points distincts N est

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

et si on l'écrase? ou des tentatives pour aplatir une sphère.

et si on l'écrase? ou des tentatives pour aplatir une sphère. page 231 et si on l'écrase? ou des tentatives pour aplatir une sphère. par Wafa Sekita, Frédéric Tribeau, Emilie Lang, Ngau Uy Kheang, Michel Meireles, Audrey Bensaid, Atelier de pratique scientifique

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

un repère orthonormé de l espace.

un repère orthonormé de l espace. Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble

Plus en détail

MATHÉMATIQUES PROGRAMMES DE. 1 ère & 2 ème Années secondaires

MATHÉMATIQUES PROGRAMMES DE. 1 ère & 2 ème Années secondaires RÉPUBLIQUE TUNISIENNE MINISTERE DE L EDUCATION ET DE LA FORMATION DIRECTION GENERALE DES PROGRAMMES ET DE LA FORMATION CONTINUE ------------------------------ DIRECTION DES PROGRAMMES ET DES MANUELS SCOLAIRES

Plus en détail

Feuille de révision n 3 pour le brevet

Feuille de révision n 3 pour le brevet Feuille de révision n 3 pour le brevet Cette feuille est constituée d exercices tirés des annales des brevets des années antérieures et traite les chapitres abordés en classe depuis le deuxième brevet

Plus en détail

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3.

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3. Mathématiques Devoirs de Vacances MPSI/PCSI août 5 Partie I : Manipulation d inégalités Eercice Soit m un réel Déterminer l'ensemble E des réels tels que e + e l'ensemble E des réels tels que (m + + m

Plus en détail

Cours de mathématiques de sixième

Cours de mathématiques de sixième Cours de mathématiques de sixième Bertrand Carry SOMMAIRE 1. Nombres entiers, nombres décimaux... 1 1.1 Ecriture et lecture de nombres... 1 1.2 Comparaison de deux nombres... 2 1.3 Valeurs approchées...

Plus en détail