Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique

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1 Équatios différetielles - Cours o 6 Approximatio umérique 1 Itroductio De très ombreux problèmes scietifiques sot mis e équatio à l aide d u système d équatios différetielles ẋt) = ft, xt)) voir par exemple le mouvemet à deux corps das le cours d itroductio) Au momet de l applicatio umérique, il esécessaire coaissat ue valeur iitiale) de pouvoir calculer ue ou plusieurs valeurs xt 1 ), xt ) L objet de ce cours est l étude des méthodes qui permettet d opérer ce calcul à la mai ou plutôt à l aide d u ordiateur de os jours) L exemple le plus élémetaire est la méthode d Euler : soit f C 1 R R d ), globalemet Lipschitz e sa deuxième variable Pour calculer la solutio au temps T > 0 du Problème de Cauchy { ẋt) = ft, xt)), 1) x0) = x 0, o subdivise l itervalle [0, T ] e 0 = t 0 < t 1 < < t N = T et, pour t voisi de, o utilise les approximatios ẋt) x+1) x ) +1, ft, xt)) f, x )) E reportat das l équatio différetielle, o aboutit à la méthode d Euler : x +1 = x + h f, x ), où x = x ), h = +1 E commeçat avec x 0 à = 0, o calcule de proche e proche récursivemet) x 1, x, etc jusqu à x N qui est sesé fourir ue valeur approchée de xt ) O verra que, lorsque h := sup 0 N 1 h 0, x N xt ) Cela motre l existece d ue méthode d approximatio umérique O va aussi répodre aux questios suivates : existe-t-il des méthodes arbitrairemet précise? Existe-t-il des méthodes respectat les propriétés de l équatio symétrie, coservatio)? Le pla du cours est le suivat Das le chapitre, o cotiue l exemple ci-dessus e décrivat d autres méthodes d approximatio umérique Das le chapitre 3, o aalyse ue classe de schémas schémas dits à u pas) Das le chapitre 4, o étudie quelques méthodes symplectiques 1

2 Remarque importate : il aurait été avisé d assortir ce cours d u cours de base) de programmatio foctioemet de l ordiateur, représetatio des ombres, operatios élémetaires, coditioemet, temps, coût de calcul, etc) Ce est pas le cas présetemet O s est doc absteu de commetaires sur l effectivité réelle des méthodes recotrées das le cours voir la remarque à la fi du chapitre 3 toutefois), c est-à-dire das quelle mesure elles satisfot des cotraites de calcul sur machie Le derier chapitre sur les méthodes symplectiques pose le problème de l élaboratio de méthode umérique sous ue cotraite plus simple à appréheder : celle des propriétés géométriques de l équatio différetielle Exemples Soit x la solutio du problème de Cauchy 1) et 0 = t 0 < t 1 < < t N = T ue subdivisio de l itervalle [0, T ] Par itégratio, o a x+1 ) = x ) + ft, xt))dt E utilisat des méthodes de calcul approché de l itégrale +1 gt)dt, gt) := ft, xt)), o obtiet les méthodes suivates Méthode d Euler : rectagle à gauche O approche gt)dt +1 )g ) O obtiet la méthode d Euler déjà décrite x +1 = x + h f, x ), où h = +1 Méthode d Euler implicite : rectagle à droite O approche gt)dt +1 )g+1 ) O obtiet la méthode d Euler implicite x +1 = x + h f+1, x +1 ), où h = +1 O déduit x +1 de x e iversat la foctio y y h f+1, y) Méthode de Ruge : poit milieu O approche ) t+1 + gt)dt +1 )g

3 O obtiet x+1 ) x ) + h f + h, x t+1 + E remplaçat par la méthode d Euler) ) t+1 + x x ) + h f, x )), o obtiet la méthode de Ruge x +1 = x + h f )), où h = +1 + h, x + h ) f, x ) Méthode de Heu : o utilise la formule de quadrature suivate : [ 1 gt)dt +1 ) 4 g) g 3 + )] 3 +1 O obtiet e otat h = +1 ) x+1 ) x ) + h [ 1 4 f, x )) f + 3 h, x + ))] 3 h E remplaçat par la méthode de Ruge) x + ) 3 h x ) + 3 h f + h 3, x) + h ) 3 f, x )), o obtiet la méthode de Heu x +1 = x + h [ 1 4 f, x ) f + 3 h, x + 3 h f + h 3, x + h ))] 3 f, x ) O peut gééraliser ce procédé, o obtiet des méthodes de plus e plus emboîtées Défiitio 1 Kutta) Soit s N L approximatio umérique de la solutio du problème de Cauchy 1) est ue méthode de Ruge-Kutta à s étage s il existe b i ) 1,s, c i ),s et a ij ) 1 j<i s tels que x +1 est calculé à partir de x par les formules où h := +1 k 1 =f, x ), k =f + c h, x + h a 1 k 1 )), k 3 =f + c 3 h, x + h a 31 k 1 + a 3 k ), k s =f + c s h, x + h a s1 k a s s 1 k s 1 )), x +1 =x + h b 1 k b s k s ), 3

4 Ue telle méthode est désigée par u tableau où c 1 = 0) Exemples : Voici les tableaux de quelque méthodes Euler : Ruge : Heu : / 1/ /3 1/3 /3 0 /3 1/4 0 3/4 c i a ij b j 3 Approximatio umérique par des méthodes à u pas Soit Φ CR R d [0, 1]), soit 0 = t 0 < t 1 < < t N = T ue subdivisio de l itervalle [0, T ] et h so pas : h := max 0 <N h, h = +1 Soit x h T ) le N-ième élémet de la suite défiie par x +1 = x + h Φ, x, h ), 0 N 1 ) O ote x la solutio du Problème de Cauchy 1) O va motrer le résultat suivat : il existe Φ telle que x h T ) xt ) 0 lorsque h 0, et même : p N, il existe Φ telle que x h T ) xt ) = oh p ) précisio arbitraire) 31 Stabilité et cosistace Défiitio Cosistace) Soit x ue solutio de ẋt) = ft, xt)) L erreur de cosistace locale au temps ) relative à x est L erreur de cosistace relative à x est ε x) = x+1 ) x ) + h Φ, x ), h )) ε h x) = N 1 =0 ε x) O dit que la méthode est cosistate si, pour tout x solutio de ẋt) = ft, xt)), ε h x) 0 lorsque h 0 4

5 Défiitio 3 Stabilité) O dit que la méthode est stable s il existe M > 0 idépedat de h tel que pour tout x ) et y ) satisfaisat { x+1 = x + h Φ, x, h ), 0 N 1, y +1 = y + h Φ, y, h ) + ε, 0 N 1, o a max x y M 0 N x 0 y <N Théorème 1 Covergece) Si la méthode est stable et cosistate, alors elle est covergete : lim h 0 x ht ) xt ) = 0 Preuve du Théorème 1 : Posos y := x ), de sorte que x h T ) xt ) = x N y N et y +1 = y + h Φ, y, h ) + ε x), 0 N 1, où ε x) est l erreur de cosistace locale relative à x) La stabilité de la méthode doe alors max x y M x 0 y 0 + ) ε x), 0 N c est-à-dire comme x 0 = y 0 ) 0 <N max x y Mε h x) 0 N O a doc max 0 N x y 0 lorsque h 0 Propositio 1 Cosistace) La méthode est cosistate si, et seulemet si, pour tout t [0, T ], x R d Φt, x, 0) = ft, x) Applicatio : ue méthode de Ruge-Kutta est cosistate dès que i b i = 1 C est le cas des méthodes décrites das le paragraphe Exemples Euler explicite, Ruge, Heu, RK4) Preuve de la Propositio 1 : o a ε ) doc ε x) = x+1 ) x ) = ft, xt))dt, ft, xt)) Φ, x ), h ))dt 5

6 Soit η > 0 Soit α u η-module d uiforme cotiuité de Φ sur [0, T ] K [0, 1], où K = x[0, T ]) Soit β u α-module d uiforme cotiuité de x sur [0, T ] : t, s [0, T ], t s < β xt) xs) < α Quitte à dimiuer β, o peut supposer β < α 0 < N, pour tout t [, +1 ], Pour h < β, o a alors, pour tout Φ, x ), h ) Φt, xt), 0) ε E particulier, e otat ε x) := ft, xt)) Φt, xt), 0))dt, ε h x) = N 1 =0 ε x), o a ε x) ε x) +1 )η et ε h x) ε h x) T η Par coséquet ε h x) teds vers 0 si, et seulemet si, ε h x) 0 lorsque h 0 Si Φt, x, 0) = ft, x) pour tout t, x, alors ε h x) = 0, c est doc ue coditio suffisate à la cosistace Motros que c est ue coditio écessaire : si ε h x) 0 lorsque h 0, alors, e particulier, c est-à-dire T 0 N 1 =0 ε x) 0, ft, xt)) Φt, xt), 0))dt = 0 Comme la cosistace sur [0, T ] implique la cosistace sur tout sous-itervalle I [0, T ], o a e fait : ft, xt)) Φt, xt), 0))dt = 0 I pour tout sous-itervalle I [0, T ] Cela motre que ft, xt)) = Φt, xt), 0), 0 t T Si t [0, T ], x R d, alors il existe x 0 R d tel que la solutio x du Problème de Cauchy 1) satisfait xt) = x pourquoi?) O e déduit ft, x ) = Φt, x, 0) Propositio Stabilité) Si Φ est L-globalemet lipschitziee e x uiformémet par rapport à t, h) [0, T ] [0, 1], alors la méthode est stable avec M = e LT ) Preuve de la propositio : L hypothèse est : pour tout t, h) [0, T ] [0, 1], pour tout x, y R d, Φt, x, h) Φt, y, h) L x y Si { x+1 = x + h Φ, x, h ), 0 N 1, y +1 = y + h Φ, y, h ) + ε, 0 N 1, 6

7 o a alors x +1 y Lh ) x y + ε E utilisat l iégalité 1 + u e u avec u = Lh et u raisoemet par récurrece, o déduit 1 x y e Lh+ +h0) x 0 y 0 + e Lh k+ +h 0 ) ε k, c est-à-dire 1 x y e L+1 x 0 y 0 + e Lt k ε k O e déduit le résultat k=0 k=0 3 Ordre de la méthode O a motré das la preuve du Théorème de covergece Théorème 1) l estimatio max x x ) Mε h x), 0 N qui motre que, plus petit est ε h x) avec h, meilleure est l approximatio umérique Défiitio 4 Ordre de la méthode) Soit p N O dit que la méthode a l ordre p si, pour tout x solutio de ẋt) = ft, xt)), o a ε h x) = Oh p ) Aisi, la méthode est cosistate si, et seulemet si, elle a l ordre 0 maiteat la Propositio 1 qui caractérise les méthodes cosistates Notatio : pour f C R R d ), o défiit par récurrece d 0 ft, x) =ft, x), de sorte que, si ẋ = ft, x), alors d 1 ft, x) = f d t, x) + t i=1 d k+1 ft, x) = dk f d t, x) + t f x i t, x)f i t, x), i=1 x k+1) t) = d k ft, xt)) d k f x i t, x)f i t, x), O gééralise Propositio 3 Ordre de la méthode) Soit p N Supposos f C R R d ) et Φ de classe C par rapport à h Alors la méthode a l ordre p si, et seulemet si, k Φ 1 t, x, 0) = hk k + 1 dk ft, x) pour tout t [0, T ], x R d et k {0,, p 1} 7

8 Applicatio : Euler explicite a l ordre 1, Ruge l ordre, Heu l ordre 3, RK4 l ordre 4 voir TD) Preuve de la Propositio 3 : c est ue gééralisatio de la preuve de la Propositio 1 p = 1) Supposos p O écrit les développemet de Taylor avec reste itégral et x+1 ) x ) = = = h Φ, x ), h ) = p k=1 p k=1 p 1 k=0 p 1 k=0 h k k! xk) ) + h k k! dk 1 f, x )) + h k+1 k! h k+1 k! t ) p x p+1) t)dt p! 1 t+1 k + 1 dk f, x )) + k Φ h h, xt k ), 0) + h 0 t ) p d p ft, xt))dt p! t ) p d p ft, xt))dt p! θ p 1 p Φ p 1)! h, xt p ), θ)dθ et o idetifie les puissaces de h Les restes sot Oh p+1 ); e les sommat de = 0 à N 1, o obtiet u Oh p ) = Oh p ) Applicatio : e posat Φx, t, h) := p 1 k=0 o obtiet la méthode de Taylor, qui a l ordre p Remarque : h k k + 1)! dk ft, x) La méthode de Taylor est e gééral pas utilisée e pratique car le calcul des valeurs d k ft, x) est trop coûteux Il maque des chapitres de bases das ce cours d itroductio, e particulier sur les méthodes à pas variable et les méthodes multi-pas O revoit au polycopié de Erst Hairer : hairer/polycophtml 4 Méthodes symplectiques Soit N N, soit U, T C 1 R N ; R) O s itéresse ) à l approximatio umérique du p système hamiltoie suivat l icoue est x := R q N ) : { ṗ = Uq) q = T p) 3) 8

9 Exemple 1 : le pedule : N = 1, T p) = p / éergie ciétique), Uq) = cosq) éergie potetielle) Exemple : cas liéaire : o ote, le produit scalaire caoique sur R N B, C M N R), T p) = 1 Cp, p, Uq) = 1 Bq, q O a alors { ṗ = Bq q = Cp, 4) Soit soit le système liéaire ẋ = Ax, x = ) p, A = q ) 0 B C 0 Doréavat, o se place das ce derier cas même si tout ce qui suit s applique au cas gééral de 3)) Le flot pour 4) est doé par e ta Théorème Le flot de 4) coserve le hamiltoie H : x = p, q) T p) + Uq) et les volumes : pour tout x R N, et, pour tout borélie D de R N, où D est la mesure de Lebesgue de D He ta x) = Hx) e ta D) = D, Preuve du Théorème : Le premier poit a déjà été vu e cours exercice) Pour le deuxième poit, o a e ta D) = dete ta ) D = e ttra) D = D car TrA) = 0 puisque A a ses blocs diagoaux uls Le but est de costruire ue méthode umérique permettat d approcher les solutios de 4) et respectat les deux propriétés de coservatio de l hamiltoie et des volumes Si elle est préserve les volumes, o dit qu elle est symplectique 41 La méthode d Euler Soit 0 = t 0 < t 1 < < t L = T ue subdivisio régulière de l itervalle [0, T ] : h = h = T/L pour tou E appliquat la méthode d Euler, o défiit : x +1 = x + hax = I N + ha)x Coservatio du volume : pour D borélie de R N, o a I N + ha)d = deti N + ha) D 9

10 Lemme 1 Si deti N + ha) = 1 quel que soit h das u voisiage de 0, alors A = 0 Coclusio : pas de coservatio du volume Exemple : N = 1, B = C = 1 : deti + ha) = 1 + h Coservatio de l hamiltoie : Calcul : Hx +1 ) = Hx ) + h CBq, p + BCp, q ) + h CBq, Bq + BCp, Cp ) Supposos que le terme e facteur de H esul, ie CB) = BC Pour simplifier, o se place das le cas B = C, B symétrique 5) O a alors Hx +1 ) = Hx ) + h B 3 q, q + B 3 p, p ) Lemme O a B 3 q, q + B 3 p, p = 0 quel que soit p, q) R N B = 0 ie A = 0) si, et seulemet si, Coclusio : pas de coservatio de H Exemple : N = 1, B = 1 : Hx +1 ) = 1 + h )Hx ) 4 La méthode du poit milieu O fait l hypothèse 5) O ote ) le produit scalaire caoique sur R N : pour x = p, q) et y = w, z) R N, x y) := p, w + q, z O itroduit la matrice symétrique) ) B 0 B := 0 B de sorte que Hx) = Bx x) Soit la méthode dite du poit milieu) ) x + x +1 x +1 = x + ha, c est-à-dire x +1 = I N h A ) 1 I N + h A ) x Coservatio du volume : O rappelle que si M, Q sot des matrices de M N R) alors la matrice bloc IN ) M Q I N a pour détermiat deti N MQ) Ue preuve est doée par le calcul suivat : ) ) ) IN M IN 0 IN MQ M = Q I N Q I N 0 I N 10

11 O a doc O e déduit det I N h ) A = det I N + h ) A = deti N h B ) det I N h ) 1 I A N + h ) A = 1 Coclusio : la méthode est symplectique Coservatio de l hamiltoie : O a O calcule e effet Hx +1 ) Hx )) = Bx +1 x +1 ) Bx x ) = Bx +1 x ) x +1 + x ) = h BAx +1 + x ) x +1 + x ) = 0 car BA est atisymétrique ) 0 B BA = B 0 Coclusio : la méthode du poit milieu préserve l hamiltoie Aisi, la méthode du poit milieu a les boes propriétés Das le cas o-liéaire pedule par exemple), il peut être difficile de faire ue iversio, comme c est requis ici La méthode qui suit est explicite calcul direct), est symplectique, et préserve presque l hamiltoie 43 La méthode d Euler symplectique O calcule x +1 coaissat x par { p+1 = p hbq q +1 = q + hcp +1 O peut le réécrire p+1 q +1 ) ) ) ) IN 0 IN hb p = 6) hc I N 0 I N q Les deux matrices e jeu ot pour détermiat 1 doc la méthode est symplectique Lemme 3 Supposos B = C, B symétrique L hamiltoie modifié Hx) := 1 Bp, p + Bp, p h B p, q ) est préservé 11

12 Exemple : N = 1, B = 1 ; la trajectoire e reste pas sur le cercle p + q = Cst mais sur l ellipse proche) p + q pq = Cst Preuve du Lemme 3 : de 6), o tire ) ) ) ) IN 0 p+1 IN hb p = hb I N q +1 0 I N q E multipliat par la matrice B ) 0 0 B o e déduit ) ) ) ) B 0 p+1 B hb p hb = B 0 B q +1 E multipliat d abord par le vecteur lige p +1, q +1 ), o e déduit ) ) ) ) B 0 p+1 B hb p p +1, q +1 ) hb = p B +1, q +1 ) 0 B q +1 E multipliat esuite par le vecteur lige p, q ), o a ) ) ) ) B 0 p+1 B hb p p, q ) hb = p B, q ) 0 B q +1 O coclut e observat les termes croisés das les égalité précédetes sot égaux : ) ) B hb p p +1, q +1 ) = Bp 0 B q +1, p + Bq +1, p h B p +1, q ) ) B 0 p+1 = p, q ) hb, B q q +1 q q et doc ) ) ) ) B 0 p+1 B hb p p +1, q +1 ) hb = p B, q ), 0 B q +1 q ie Hx+1 ) = Hx ) 1

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