Communications Numériques et Théorie de l Information CNTI. Formulaire de Communications Numériques.

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1 Communications Numériques et héorie de l Information CNI Formulaire de Communications Numériques. 1 Septembre2011. Chaîne de transmission (Modulation M-aire en Bande de Base). 1 Contexte académique sans modifications

2 Paramètres de la transmission. Modulation M-aire. aux de modulation = log 2 M bits/symbole. («Modulation Rate») Période de symbole secondes («Symbol period») Période de bit b = log 2 M secondes Rapidité de modulation R = 1 Débit binaire D = Formule de Bennett. bauds (symboles/sec) log 2 M = 1 b (bits/sec) («Bit Rate») s(t) = k a k h e (t k ) Signal émis. La formule de Bennett permet de calculer le spectre de s(t); S ss (f) = H e (f) 2 S aa (f), où S aa (f) est la Densité Spectrale de Puissance (DSP) des symboles a k : S aa (f) = 1 k r aa k e j2πk f r aa k = E[a m.a m k ] Cette formule peut être exprimée de la façon suivante : S aa (f) = σ2 a avec les définitions suivantes : + m2 a 2 + k= m a = E[a k ] σ 2 a = E[(a k m a ) 2 ] δ(f k ), Interférence Entre Symboles (IES). y(k ) = a k.r(0) }{{} symbole k + n k a n.r((k n) ) } {{ } IES + b r (k ) }{{} bruit Distorsion maximale : CNI Formulaire de Communications Numériques. 2

3 D max = k 0 r(k ) r(0) Dans le cas M-aire : D max = (M 1) k 0 r(k ) r(0) L œil est ouvert verticalement si D max < 1. Critère de Nyquist. L IES est nulle si : r(k ) = 0 k 0 Condition de Nyquist : R(f k ) = r(0) k Cosinus surélevé. P (f) = 2 {1 sin[ π α ( f 1 2 )]} f 1 α 2 1 α 2 0 f > 1+α 2 f 1+α 2 p(t) = sinc( t ) cos απ t 1 (2α t )2 Filtre Adapté. Pour minimiser la P e le filtre de réception g r (t) doit vérifier : g r (t) = K.h e ( t) avec K une constante multiplicative. Dans le domaine de la fréquence cette condition devient : G r (f) = H e (f) CNI Formulaire de Communications Numériques. 3

4 Nyquist et Filtre Adapté. R(f) 0 et G r (f) = H e (f) = R(f) Filtres en Racine de Nyquist Facteur de retombée α (0 < α < 1) («Roll off») Largeur de bande (f > 0) B 1+α 2 Γ a(k) = E[(a n m a )(a n k m a )] σ 2 a Hz. («Bandwidth») Efficacité spectrale η = D B (bits/sec/hz) («Spectral efficiency») Paramètres de performance. Bruit Additif Blanc et Gaussien - BABG («AWGN») DSP Bilatérale du bruit No 2 (W atts/hz) («Spectral Density») Energie Moyenne par Symbole E s = E[ a 2 k h2 e(t) dt] = E[a 2 k ] h 2 e(t) dt (Joules/Symbole) Energie Moyenne par Bit E b = Es log 2 M Puissance Moyenne d émission P = Es («Average Power») Rapport Signal à Bruit par symbole («Signal to Noise Ratio - SNR») Rapport Signal à Bruit par bit Joules/bit = E b b Es E b = P D. W atts = (log 2 M) E b Probabilité d erreur par symbole P es = P r[ ˆα k α k ] Probabilité d erreur par bit P eb P es log 2 M P e b P es CNI Formulaire de Communications Numériques. 4

5 M=2 P eb = Q( 2Eb ) = 1 2 erfc( Eb ) M=2 m P es = 2 M 1 M Q( 2E b 3 log 2 M M 2 1 ) Fonction Q(x) Fonction erfc(x) Q(x) 1 + 2π erfc(x) 2 + π x x e x2 2 e x2 erfc(x) = 2Q( 2x) Q(x) = 1 2 erfc( x 2 ) Approximation de la fonction Q(x) (x 2) : Q(x) 1 e x2 /2. 2π x CNI Formulaire de Communications Numériques. 5

6 Probabilité d erreur pour les modulations M-aires. CNI Formulaire de Communications Numériques. 6

7 Fonction Q(x) et fonction erfc(x) x Q(x) erfc(x) x Q(x) erfc(x) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-28 CNI Formulaire de Communications Numériques. 7

8 db x db x CNI Formulaire de Communications Numériques. 8